2024-2025學(xué)年河南省鄭州市中牟縣高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年河南省鄭州市中牟縣高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1.試題卷共4頁(yè)，四大題19小題，滿分150分，作答時(shí)間120分鐘.2答題前，先將自己的姓名?班級(jí)?考場(chǎng)號(hào)?坐位?準(zhǔn)考正號(hào)正確填寫(xiě)在答題卡上.再將條形碼貼在答題卡的“貼條形碼區(qū)”.3.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案標(biāo)號(hào)涂黒；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.寫(xiě)在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.作答填空題和解答題時(shí)，用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列直線中傾斜角為的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】分析可知傾斜角為，等價(jià)于斜率為1，結(jié)合選項(xiàng)分析判斷即可.若直線的傾斜角為，等價(jià)于斜率為1，對(duì)于A：斜率為，不合題意；對(duì)于B：斜率為1，符合題意；對(duì)于C：斜率不存在，不合題意；對(duì)于D：斜率為0，不合題意；故選：B.2.向量，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.2 D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示列式計(jì)算即得.向量，由，得，所以.故選：D3.直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.無(wú)數(shù)個(gè)【正確答案】C【分析】分析可知直線和均過(guò)，結(jié)合圖象即可判斷.直線和均過(guò)，結(jié)合圖象可知直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：C.4.“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】D【分析】利用充分條件、必要條件的定義，結(jié)合兩直線平行問(wèn)題判斷即可.當(dāng)時(shí)，直線為，直線為，兩直線重合；當(dāng)直線與直線平行時(shí)，，解得或，而時(shí)，兩直線重合，當(dāng)時(shí)，直線為，直線為，兩直線平行，因此直線與直線平行時(shí)，，則，所以“”是“直線與直線平行”的既不充分也不必要條件.故選：D5.若直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意求得，可得為等邊三角形，即可得結(jié)果.由題意可知：圓的圓心為O0,0，半徑，則圓心O0,0到直線的距離為，可知，即為等邊三角形，所以.故選：B.6.如圖，在正方體中，，則下列結(jié)論中正確是（）A.平面 B.平面平面C.平面 D.平面內(nèi)存在與平行的直線【正確答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面平行的判定定理，線面垂直，面面垂直的判定定理，逐項(xiàng)判定計(jì)算即可．因?yàn)闉檎襟w，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，同理解得平面的法向量，，故A不正確；，故B不正確；，，所以，又，所以平面，C正確；平面的一個(gè)法向量為，，故D不正確；故選：C7.在中，，則點(diǎn)到直線的距離為().A. B. C.1 D.【正確答案】B【分析】由坐標(biāo)運(yùn)算求出，，進(jìn)而求出在方向上的投影，然后即可求出點(diǎn)到直線的距離.由題意可知因?yàn)?，，所以，，所以在方向上的投影為，所以點(diǎn)到直線的距離為.故選：B.8.已知點(diǎn)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，，若經(jīng)過(guò)的弦AB滿足，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)橢圓的定義可得，由，根據(jù)余弦定理可得，再由離心率公式求解即可.由題可知，所以，解得，因?yàn)?，即，整理得，所?故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，若只有2個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得3分；若只有3個(gè)正確選項(xiàng)，每選對(duì)1個(gè)得2分.9.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是（）A.若向量滿足，則B.若是空間的一組基底，且，則四點(diǎn)共面C.若向量滿足，則D.若是空間的一組基底，則也是空間的一組基底【正確答案】BD【分析】舉例判斷AC，利用共面向量基本定理的推論判斷B，利用空間向量基本定理判斷D.對(duì)于A，正方體共點(diǎn)的兩條棱對(duì)應(yīng)的向量，它們的模相等，而這兩個(gè)向量不共線，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，向量不共面，由，得，即，則向量共面，又它們有公共點(diǎn)，因此四點(diǎn)共面，B正確；對(duì)于C，正方體共點(diǎn)的三條棱對(duì)應(yīng)的向量，其中一個(gè)向量都垂直于另兩個(gè)向量，而另兩個(gè)向量不共線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若向量共面，則存在實(shí)數(shù)對(duì)使得，而向量，則，此方程組無(wú)解，即向量不共面，D正確.故選：BD10.已知圓與圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.兩圓相切B.兩圓的公共弦所在的直線方程為C.兩圓的公切線有兩條D.兩圓的公共弦長(zhǎng)為【正確答案】BC【分析】根據(jù)圓心距與兩圓半徑的關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系，進(jìn)而判斷兩圓相切是否正確；通過(guò)兩圓方程相減得到公共弦所在直線方程；根據(jù)兩圓位置關(guān)系判斷公切線的條數(shù)；再利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算公共弦長(zhǎng).對(duì)于圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑.對(duì)于圓，其圓心坐標(biāo)為，半徑.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，圓心距.，，而，所以兩圓相交，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，即，化簡(jiǎn)得，故B選項(xiàng)正確.因?yàn)閮蓤A相交，所以公切線有兩條，故C選項(xiàng)正確.先求圓心到公共弦的距離，.根據(jù)弦長(zhǎng)公式，則弦長(zhǎng)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.11.如圖，造型為“”的曲線C稱為雙紐線，其對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且曲線上的點(diǎn)滿足：到點(diǎn)和的距離之積為定值.若點(diǎn)在曲線C上，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.POC.面積的最大值為2D.周長(zhǎng)的最小值為6【正確答案】ABC【分析】根據(jù)給定條件，求出曲線C的方程，結(jié)合曲線過(guò)原點(diǎn)求出，再結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)逐項(xiàng)求解判斷.依題意，，即，由曲線過(guò)原點(diǎn)，得，對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，解得，即，A正確；對(duì)于B，，即，解得，因此，B正確；對(duì)于C，令，由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值1，，C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，因此在中，，其周長(zhǎng)PF1+PF2故選：ABC關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵在于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，既要化簡(jiǎn)曲線方程，又要結(jié)合圖形，關(guān)注圖形經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)，區(qū)域范圍，以及對(duì)稱性等特點(diǎn)，常運(yùn)用基本不等式或函數(shù)的最值求解范圍、最值問(wèn)題.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.橢圓的焦距為_(kāi)_________.【正確答案】【分析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而可得，即可得焦距.因?yàn)?，即，可知，則，所以橢圓的焦距為.故答案為.13.已知空間中一個(gè)靜止的物體用三根繩子懸掛起來(lái)，若三根繩子上的拉力大小都為，且三根繩子中任意兩根繩子的夾角均為，則該物體的重量為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量數(shù)量積求出三根繩子上拉力的合力大小即得答案.設(shè)三根繩子上的拉力分別為，則，，，令物體的重力為，則，因此，所以該物體的重量.故14.已知，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_________.若動(dòng)點(diǎn)的軌跡上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，試寫(xiě)出符合條件的實(shí)數(shù)的一個(gè)值為_(kāi)_________.【正確答案】①.②.3（答案不唯一，或）【分析】根據(jù)給定條件，列出方程并化簡(jiǎn)得答案；求出圓心到直線距離，再由已知列出不等式求出的范圍即可.設(shè)點(diǎn)，由，得，化簡(jiǎn)題得，所以點(diǎn)的軌跡方程為；點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，圓心到直線的距離，由點(diǎn)的軌跡上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，得，解得，即，解得或，取.故；3四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱中，，分別為的中點(diǎn).（1）若，求的值；（2）求【正確答案】（1）0（2）【分析】（1）根據(jù)向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，即可求解；（2）可得，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求解即可..【小問(wèn)1】由向量的線性運(yùn)算法則可得，又因?yàn)?，則，所以.【小問(wèn)2】由題意可知：，又因?yàn)?，所?16.已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）先求出線段的垂直平分線方程，再聯(lián)立已知直線方程求出圓心坐標(biāo)，然后根據(jù)圓心與點(diǎn)或的距離求出半徑.（2）先設(shè)出直線方程的點(diǎn)斜式，然后根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑來(lái)求解斜率.【小問(wèn)1】首先求線段的斜率,則垂直平分線的斜率為.中點(diǎn)坐標(biāo)為.根據(jù)點(diǎn)斜式可得垂直平分線方程為，即.聯(lián)立將代入得，即.把代入得，所以圓心.半徑.則圓的方程為.【小問(wèn)2】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為.此時(shí)圓心到直線的距離為，等于半徑，所以是圓的切線.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即.根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，可得.即.兩邊平方解得.此時(shí)直線的方程為，即.綜上所得，直線的方程為或.17.已知四棱錐的底面為菱形，且為等邊三角形，且.（1）求證：；（2）請(qǐng)從以下兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知條件，求二面角的余弦值.①四棱錐的體積為2；②向量與所成角的余弦值為.注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【正確答案】（1）證明見(jiàn)（2）【分析】（1）取的中點(diǎn)，可得，結(jié)合線面垂直關(guān)系證明；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可知點(diǎn)在底面內(nèi)的投影.若選①：求得，可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，建系，利用空間向量求二面角；若選②：可知，求得，可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，建系，利用空間向量求二面角.【小問(wèn)1】取的中點(diǎn)，連接，由題意可知：，可知為等邊三角形，且，則，且，平面，可知平面，且平面，所以.【小問(wèn)2】由（1）可知：平面，且平面，可得平面平面，且平面平面，由面面垂直的性質(zhì)可知：點(diǎn)在底面內(nèi)的投影.若選①：四棱錐的體積，解得，注意到是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則，可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，設(shè)，則，可得，由題意可知：平面的法向量，則，由題意可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為；若選②：因?yàn)?，可知向量與所成角即為，則，由余弦定理可得，即，解得，又因?yàn)?，則，可得，可知點(diǎn)與點(diǎn)重合，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的法向量，則，設(shè)，則，可得，由題意可知：平面的法向量，則，由題意可知：二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.18.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）若不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).【正確答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)短軸長(zhǎng)求出，再結(jié)合的PF最值關(guān)系求出和，從而得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程和交點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理和斜率公式求出直線所過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)1】已知短軸長(zhǎng)為，根據(jù)橢圓的性質(zhì)，.設(shè)橢圓的半焦距為，已知PF的最大值是最小值的倍，即.展開(kāi)可得，即.又因?yàn)?，把代入可?即，解得，那么.所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，,.因?yàn)椋跈E圓上，代入可得，.已知，則，，.把代入得，其值不為，所以直線的斜率存在.設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立直線與橢圓方程，得.展開(kāi)可得，整理得.根據(jù)韋達(dá)定理，，.因?yàn)?，所以，?即，展開(kāi)得.將，代入上式并化簡(jiǎn)可得.即，解得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，經(jīng)過(guò)原點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線的方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，不合題意.綜上所得，直線恒過(guò)定點(diǎn)原點(diǎn).19.已知點(diǎn)分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方）.如圖，將平面沿軸向上折疊，使二面角為直二面角，折疊后在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為.（1）當(dāng)時(shí)，①求證：平面；②求直線與平面所成角的正弦值；（2）是否存在，使得折疊后的周長(zhǎng)為15？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【正確答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②；（2）存在，.【分析】（1）①求出橢圓方程及直線的方程，聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用面面垂直的性質(zhì)推理得證；②建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用線面角的向量法求解.（2）設(shè)折疊前，表示折疊后點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合建立關(guān)系，求出，即得的值.【小問(wèn)1】①依題意，橢圓的半焦距，則，橢圓的方程為，直線，由消去得，解得或，而點(diǎn)在軸上方，則，，折疊后有，而二面角為直二面角，即平面平面，平面平面，平面，所以平面②以為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后的軸負(fù)半軸為軸，原軸為軸，原軸正半軸為軸，