2024-2025學(xué)年廣東省茂名市化州市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年廣東省茂名市化州市高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，，則與的夾角是（

）A． B． C． D．4．圓的圓心到直線的距離是（

）A． B． C．1 D．5．在空間四邊形中，、分別是、的中點，則等于（

）

A． B． C． D．6．已知為銳角，，角的終邊上有一點，則（

）A． B．C． D．7．過定點A的直線與過定點B的直線交于點與A、B不重合，則面積的最大值為（

）A． B． C．2 D．48．已知是定義在上的偶函數(shù)，，當(dāng)時，，則（

）A． B．0 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取兩個球，則下列選項中的兩個事件為不是互斥事件的是（

）A．至多有1個白球；都是紅球 B．至少有1個白球；至少有1個紅球C．恰好有1個白球；都是紅球 D．至多有1個白球；全是白球10．已知直線的方程，則（

）A．恒過定點B．存在實數(shù)使直線在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)C．直線的斜率一定存在D．點到直線的距離最大值為11．如圖，已知在長方體中，，點為棱上的一個動點，平面與棱交于點，則下列命題正確的是（

）

A．當(dāng)點在棱上的移動時，恒有B．在棱上總存在點，使得平面C．四棱錐的體積為定值D．四邊形的周長的最小值是三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，，且，則.13．若直線與直線平行，則這兩條直線間的距離為.14．設(shè)動點在棱長為的正方體的對角線上，且異于點，記當(dāng)為銳角時，的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．在△OAB中，O是坐標(biāo)原點，，．(1)求AB邊上的高所在直線的方程；(2)求△OAB的外接圓方程16．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求角；(2)設(shè)的中點為，若，且，求的面積．17．如圖，在多面體中，四邊形是邊長為2的正方形，四邊形是直角梯形，其中，，且.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的余弦值.18．航天員安全返回，中國航天再創(chuàng)輝煌1去年6月4日，當(dāng)?shù)貢r間6時20分許，神舟十五號載人飛船成功著陸，費(fèi)俊龍、鄧清明、張陸等航天員安全順利地出艙，身體狀況良好．這標(biāo)志著神舟十五號載人飛行任務(wù)取得了圓滿成功．某學(xué)校高一年級利用高考放假期間開展組織1200名學(xué)生參加線上航天知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：(1)若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人成績，求10人中成績不高于50分的人數(shù)；(2)求的值，并以樣本估計總體，估計該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；(3)由首輪競賽成績確定甲、乙、丙三位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，丙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求三人中至少有兩位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率．19．已知函數(shù)與函數(shù)，函數(shù)的定義域為.(1)求的定義域和值域；(2)若存在，使得成立，求的取值范圍；(3)已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).利用上述結(jié)論，求函數(shù)的對稱中心.

答案1．【正確答案】D【詳解】試題分析：由已知，所以考點：集合的運(yùn)算2．【正確答案】C【詳解】,,故選:C.3．【正確答案】C【詳解】由題意知，，所以，又，所以.故選：C.4．【正確答案】D【分析】根據(jù)已知條件把圓的一般方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可得到圓心坐標(biāo)，再代入點到直線的距離公式即可.【詳解】由題意可得：圓的一般方程為，轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，即圓的圓心坐標(biāo)為，因為直線方程為，所以圓心到直線的距離為故選：D5．【正確答案】C【詳解】由題意易知是的中位線，即，所以.故選：C6．【正確答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，利用三角函數(shù)的定義可求得的值，再利用兩角和的正切公式可求得的值.【詳解】因為為銳角，，則，所以，，由三角函數(shù)的定義可得，因此，.故選：A.7．【正確答案】C【分析】由題意可知，先求出動直線經(jīng)過定點，再結(jié)合垂直條件應(yīng)用基本不等式求出面積的最大值.【詳解】由題意可知，動直線經(jīng)過定點，動直線即，經(jīng)過點定點，過定點A的直線與過定點B的直線始終垂直，P又是兩條直線的交點，有，故,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以面積的最大值為故選:8．【正確答案】C【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，，可得，即，所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，可得，又因為當(dāng)時，，可得，所以.故選：C.9．【正確答案】AB【詳解】解：對于A：“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“至多有1個白球”與“都是紅球”不是互斥事件．故A正確；對于B：“至少有1個白球”包含都是白球和一紅一白，“至少有1個紅球”包含都是紅球和一紅一白，所以“至少有1個白球”與“至少有1個紅球”不是互斥事件．故B正確；對于C：“恰好有1個白球”包含一紅一白，“都是紅球”包含都是紅球，所以“恰好有1個白球”與“都是紅球”是互斥事件．故C錯誤；對于D：“至多有1個白球”包含都是紅球和一紅一白，“全是白球”包含都是白球，所以“至多有1個白球”與“全是白球”是互斥事件．故D錯誤．故選：AB．10．【正確答案】ABD【詳解】A.聯(lián)立，得，所以點滿足方程，即直線恒過定點，故A正確；B.當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，當(dāng)，得，故B正確；C.直線的方程，當(dāng)，時，直線的斜率不存在，故C錯誤；D.點到直線距離的最大值為點與定點之間的距離，即，故D正確.故選：ABD11．【正確答案】ACD【詳解】對于A，當(dāng)點為棱上的移動時，平面，由于平面，故，故A正確；對于B，當(dāng)點在時，平面，故B錯誤；對于C，在長方體中，平面平面,平面平面,平面平面,故，同理，則四邊形為平行四邊形；

故，由于，故，故，故C正確；對于D，如圖，將長方體展開，使四個側(cè)面在同一個平面內(nèi)，

連接（左側(cè)）交于F點，由于,則F為的中點，同理E為的中點，則四邊形的周長的最小值是,則D正確，故選：ACD.12．【正確答案】/【詳解】因為，，所以，又，所以，即.故答案為.13．【正確答案】/0.3【詳解】直線為：，顯然時，兩條直線平行，所以這兩條直線間的距離為.故14．【正確答案】【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則，由可得，，，由圖可知，不共線，所以當(dāng)為銳角時，即，解得或，又，所以.所以的取值范圍是.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）∵直線AB的斜率，∴AB邊上的高所在直線的斜率，又AB邊上的高所在直線過原點O，∴AB邊上的高所在直線的方程為．（2）設(shè)的外接圓的方程為（），則，解得，∴的外接圓方程為．16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意得，由正弦定理得，即，在中，因為，，，，．（2）由（1）知，在中，由余弦定理得，所以①，在中，由余弦定理得②，由①②兩式消去，得，所以，又，解得，．所以的面積.17．【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）證明：連接.因為是邊長為2的正方形，所以，因為，所以，，所以，則.因為，所以.因為，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）解：由（1）知，，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點，以射線，，分別為軸，軸，軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，故，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則.設(shè)平面的法向量為，則，令，則.，記二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則.18．【正確答案】(1)4(2)平均數(shù)為，中位數(shù)為(3)【詳解】（1）因為抽取的200名學(xué)生中,不高于50分的人數(shù)為（人），50分到60分的人數(shù)為（人），所以從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取10人的成績，不高于50分的人數(shù)為（人）.（2）由，解得，平均數(shù)，因為成績不高于70分的頻率為，成績不高于80分的頻率為，所以中位數(shù)位于內(nèi)，則中位數(shù)為.（3）三人中至少有兩位