《電路分析基礎(chǔ)》課件第10章

10.1耦合電感元件

10.2耦合電感的連接及去耦等效

10.3空芯變壓器電路分析

10.4理想變壓器和全耦合變壓器

10.5含理想變壓器電路的分析與計(jì)算

10.6練習(xí)題及解答提示

習(xí)題10第10章耦合電感和變壓器電路分析10.1.1耦合電感的伏安關(guān)系

當(dāng)一線圈中通以變化電流時(shí)，將在線圈中產(chǎn)生變化的磁通，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，這些變化的磁通將在線圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓。當(dāng)兩線圈靠近時(shí)，一線圈中變化電流所產(chǎn)生的磁通不僅會(huì)在本線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓，還可能在另一線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓。一個(gè)線圈中的變化電流在另一個(gè)線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電壓的現(xiàn)象叫做磁耦合現(xiàn)象或互感現(xiàn)象。產(chǎn)生磁耦合現(xiàn)象的這對(duì)線圈稱做互感線圈或耦合線圈?；ジ芯€圈的理想化模型即為耦合電感。下面討論耦合電感的伏安關(guān)系。10.1耦合電感元件相互靠近的兩個(gè)線圈如圖10-1(a)所示。設(shè)通過(guò)線圈Ⅰ的電流為i1,通過(guò)線圈Ⅱ的電流為i2,由于兩個(gè)線圈之間存在磁耦合，因此每個(gè)線圈電流所產(chǎn)生的磁通不僅要與本線圈交鏈形成磁鏈，而且有部分甚至全部還將與相鄰的另一線圈交鏈形成磁鏈。所以，每個(gè)線圈中的磁鏈將由本線圈電流所產(chǎn)生磁鏈和相鄰線圈電流所產(chǎn)生磁鏈兩部分組成。圖10-1耦合線圈若兩線圈匝數(shù)分別為N1、N2，線圈的每匝都全部交鏈，且選定線圈中各部分磁鏈的參考方向與產(chǎn)生該磁鏈的線圈電流的參考方向符合右手螺旋法則，每個(gè)線圈的總磁鏈的參考方向與它所在線圈電流的參考方向也符合右手螺旋法則，則各線圈總磁鏈在圖10-1(a)所示電流參考方向下可表示為(10-1)其中:Φ11、Φ22分別為電流i1、i2流經(jīng)線圈Ⅰ、線圈Ⅱ所產(chǎn)生的磁通，稱為自感磁通；Φ12、Φ21分別是Φ22、Φ11中與相鄰線圈交鏈的部分磁通，稱為互感磁通；

Ψnn=NnΦnn(n=1，2)，表示線圈n的線圈電流在線圈n中產(chǎn)生的磁鏈，稱為自感磁鏈；Ψnm=NnΦnm(n，m=1，2且n≠m)表示線圈m的線圈電流在線圈n中產(chǎn)生的磁鏈，稱為互感磁鏈；Ψ1、Ψ2分別是線圈Ⅰ、Ⅱ的總磁鏈。由于線圈自感磁鏈的參考方向由本線圈的電流按右手螺旋法則決定，而互感磁鏈的參考方向由相鄰線圈的電流按右手螺旋法則決定，故隨著線圈電流的參考方向和線圈繞向以及線圈間的相對(duì)位置的不同，自感磁鏈與互感磁鏈的參考方向可能一致，也可能相反。當(dāng)線圈繞向和電流的參考方向如圖10-1(a)所示時(shí)，每個(gè)線圈中的自感磁鏈和互感磁鏈的參考方向均一致；而當(dāng)線圈繞向和電流的參考方向如圖10-1(b)所示時(shí)，每個(gè)線圈中的自感磁鏈和互感磁鏈的參考方向均不一致。因此，耦合線圈中的總磁鏈可表示為

當(dāng)線圈中及周圍空間是各向同性的線性磁介質(zhì)時(shí)，每一種磁鏈都與產(chǎn)生它的電流成正比，即

(10-2)(10-3)式中:、分別稱為線圈Ⅰ、Ⅱ的自感系數(shù)，簡(jiǎn)稱自感，單位為亨［利］(H)；、稱為互感系數(shù)，簡(jiǎn)稱互感，單位為亨［利］(H)?？梢宰C明M12=M21，表明互感的互易性質(zhì)。所以，當(dāng)只有兩個(gè)線圈有耦合時(shí)，可以略去M的下標(biāo)，即可令M=M12=M21。當(dāng)流經(jīng)線圈的電流變化時(shí)，與線圈交鏈的磁通要作相應(yīng)的變化，并在線圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓。設(shè)各線圈電壓、電流均取關(guān)聯(lián)參考方向，則根據(jù)電磁感應(yīng)定律可得

(10-4)上式即為耦合電感的一般伏安關(guān)系式。由該式可見：耦合電感的每一線圈的感應(yīng)電壓包括兩部分，一部分是由線圈自磁鏈產(chǎn)生的自感電壓(uL1或uL2)，另一部分是由互磁鏈產(chǎn)生的互感電壓(uM1或uM2)。根據(jù)電磁感應(yīng)定律，若自感電壓和互感電壓的參考方向與產(chǎn)生感應(yīng)電壓的磁鏈的參考方向符合右手螺旋法則，當(dāng)線圈的電流與電壓取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)，自感電壓前的符號(hào)總為正；而互感電壓前的符號(hào)可正可負(fù)，當(dāng)互磁鏈與自磁鏈的參考方向一致時(shí)，取正號(hào)，反之，當(dāng)互磁鏈與自磁鏈的參考方向不一致時(shí)，取負(fù)號(hào)。

從耦合電感的伏安關(guān)系式可知，由兩個(gè)線圈組成的耦合電感是一個(gè)由L1、L2和M三個(gè)參數(shù)表征的四端元件，并且由于它的自感電壓和互感電壓分別與線圈中的電流的變化率成正比，因此它是一種動(dòng)態(tài)元件和記憶元件。10.1.2耦合線圈的同名端

由前面的分析可知，互感磁鏈與自感磁鏈的參考方向是否一致不僅與設(shè)定的兩線圈的電流的參考方向有關(guān)，還與線圈的繞向及線圈間的相對(duì)位置有關(guān)。實(shí)際的線圈往往是密封的，難以根據(jù)磁通方向來(lái)確定互感電壓的參考方向，其次在圖上也不便畫出線圈的繞向及相對(duì)位置。為了解決這一問(wèn)題，引入了同名端的概念。所謂同名端，是指耦合線圈中的這樣一對(duì)端鈕：當(dāng)線圈電流同時(shí)流入(或流出)該對(duì)端鈕時(shí)，它們所產(chǎn)生的磁鏈?zhǔn)窍嗷ゼ訌?qiáng)的，即線圈中的自感磁鏈與互感磁鏈的參考方向是一致的。同名端通常用標(biāo)志“·”(或“*”)表示。根據(jù)同名端的定義可以方便地判斷兩線圈的同名端：如圖10-2中，當(dāng)i1、i2分別由端鈕a和c流入(或流出)時(shí)，它們各自產(chǎn)生的磁通相助，因此a端和c端是同名端(當(dāng)然b端和d端也是同名端),并在圖上用“·”標(biāo)出同名端；a端與d端(或b端與c端)稱異名端。圖10-2耦合電感的同名端有了同名端的標(biāo)志，再根據(jù)設(shè)定電壓、電流的參考方向，就能直接寫出耦合電感的伏安關(guān)系式。其具體規(guī)則是：若耦合電感的線圈電壓與電流參考方向?yàn)殛P(guān)聯(lián)參考方向，

則自感電壓前取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)；若耦合電感線圈的電壓正極性端與另一線圈的電流流入端為同名端，則該線圈的互感電壓前取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。在耦合線圈繞向無(wú)法知道的情況下若需確定同名端，可用圖10-3所示的試驗(yàn)方法來(lái)測(cè)定。在該電路中，當(dāng)開關(guān)S閉合時(shí)，i1將從線圈Ⅰ的a端流入，且，如果電壓表正向偏轉(zhuǎn)，表示線圈Ⅱ中的互感電壓，則可判定電壓表的正極所接端鈕c與i1的流入端鈕a為同名端；反之，如果電壓表反向偏轉(zhuǎn)，表示線圈Ⅱ中的互感電壓，則可判定電壓表的正極所接端鈕c與i1的流入端鈕a為異名端，而端鈕a與d為同名端。圖10-3測(cè)定同名端的實(shí)驗(yàn)電路10.1.3耦合線圈的電路模型

有了同名端的概念，圖10-1(a)和(b)所示的耦合電感可分別用圖10-4(a)和(b)所示的電路模型表征，圖中L1、L2是自感系數(shù)，M是它們之間的互感系數(shù)，“·”或“*”表示同名端。圖10-4耦合電感的電路模型由于耦合電感中的互感反映了耦合電感線圈間的耦合關(guān)系，為了在電路模型中以較明顯的方式將這種耦合關(guān)系表示出來(lái)，各線圈中的互感電壓可用CCVS表示。若用受控源表示互感電壓，則圖10-4(a)和(b)所示的耦合電感可用圖10-5(a)和(b)所示的電路模型來(lái)表示。顯然，在這里電感L1和L2之間已沒有了耦合關(guān)系。圖10-5用受控源表示互感電壓時(shí)耦合電感的電路模型在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，式(10-4)所述的耦合電感伏安關(guān)系的相量形式為

式中：jωL1、jωL2稱為自感阻抗；jωM稱為互感阻抗。其相量模型如圖10-6(a)和(b)所示。相應(yīng)地，用受控源表示互感電壓的耦合電感相量模型如圖10-7(a)和(b)所示。(10-5)圖10-6耦合電感相量模型圖10-7用受控源表示互感電壓的耦合電感相量模型10.1.4耦合線圈的耦合系數(shù)

一般情況下，流經(jīng)耦合線圈的電流所產(chǎn)生的磁通只有部分與另一線圈交鏈，彼此不交鏈的那部分磁通稱為漏磁通。而耦合線圈的互感量反映了一個(gè)線圈在另一個(gè)線圈產(chǎn)生磁鏈的能力。工程上為了定量地描述兩個(gè)耦合線圈的耦合緊密程度，把兩個(gè)線圈的互感磁鏈與自感磁鏈的比值的幾何平均值定義為耦合系數(shù)，并用符號(hào)k表示，即

(10-6)又因?yàn)棣?1=L1i1，Ψ21=Mi1，

Ψ22=L2i2，Ψ12=Mi2，代入式(10-6)后，有

由于一般情況下Ψ21≤Ψ11，Ψ12≤Ψ22，因此k≤1。當(dāng)k＝1時(shí)，稱為全耦合，此時(shí)一個(gè)線圈中電流產(chǎn)生的磁通全部與另一線圈交鏈，互感達(dá)到最大值，即；k≈1時(shí)，稱為緊耦合；k較小時(shí)，稱為松耦合；k＝0時(shí)，稱為無(wú)耦合，此時(shí)耦合電感的兩個(gè)線圈的磁通互不交鏈，互感M=0。(10-7)

例10-1

試寫出圖10-8所示耦合電感的伏安關(guān)系。圖10-8例10-1圖

解因?yàn)閳D10-8所示耦合電感線圈Ⅰ的電流i1與電壓u1為關(guān)聯(lián)參考方向，故自感電壓；又因?yàn)榫€圈Ⅰ的正極性端與線圈Ⅱ電流i2的流入端為同名端，故線圈Ⅰ的互感電壓。因?yàn)榫€圈Ⅱ的電流i2與電壓u2為非關(guān)聯(lián)參考方向，故自感電壓；又因?yàn)榫€圈Ⅱ的正極性端與線圈Ⅰ電流i1的流入端為異名端，故線圈Ⅱ的互感電壓。由此可得該耦合電感的伏安關(guān)系為：

耦合電感的兩個(gè)線圈在實(shí)際電路中一般以某種方式相互連接，基本的連接方式有串聯(lián)、并聯(lián)和三端連接。在分析含耦合電感的電路時(shí)，首先將上述連接方式的耦合電感用無(wú)耦合的等效電路等效替代，然后進(jìn)行分析。通常我們將這個(gè)等效替代的過(guò)程稱為去耦等效。本節(jié)主要介紹這三種基本連接方式、三種基本連接方式的去耦等效以及去耦等效法在含耦合電感電路分析中的應(yīng)用。10.2耦合電感的連接及去耦等效10.2.1耦合電感的串聯(lián)

耦合電感的兩線圈串聯(lián)時(shí)有兩種連接方式：一種如圖10-9(a)所示，將耦合電感線圈的兩個(gè)異名端連在一起并通以同一個(gè)電流，耦合電感的這種連接方式稱為順串；另一種如圖10-9(b)所示，將耦合電感線圈的兩個(gè)同名端連在一起并通以同一個(gè)電流，耦合電感的這種連接方式稱為反串。圖10-9耦合電感的串聯(lián)設(shè)耦合電感線圈上的電壓、電流取如圖10-9所示的關(guān)聯(lián)參考方向，則由耦合電感的伏安關(guān)系可得兩種連接方式的串聯(lián)電路的伏安關(guān)系為

(10-8)式中:M前取正號(hào)時(shí)，對(duì)應(yīng)于順串;M前取負(fù)號(hào)時(shí)，對(duì)應(yīng)于反串。式(10-8)表明，作串聯(lián)連接的耦合電感在電路中可等效為一個(gè)如圖10-9(c)或(d)所示的電感元件，其等效電感為

Leq=L1+L2±2M10.2.2耦合電感的并聯(lián)

耦合電感的并聯(lián)連接也有兩種形式：一種如圖10-10(a)所示，將耦合電感線圈的兩個(gè)同名端連在一起并跨接在同一個(gè)電壓上，耦合電感的這種連接方式稱為同側(cè)并聯(lián)；

另一種如圖10-10(b)所示，將耦合電感線圈的兩個(gè)異名端連在一起并跨接在同一個(gè)電壓上，耦合電感的這種連接方式稱為異側(cè)并聯(lián)。圖10-10耦合電感的并聯(lián)設(shè)耦合電感線圈上的電壓、電流取如圖10-10所示的關(guān)聯(lián)參考方向，則由耦合電感的伏安關(guān)系可得兩種連接方式的并聯(lián)電路的伏安關(guān)系為

(10-9)式(10-9)中，M前取正號(hào)時(shí)，對(duì)應(yīng)于同側(cè)并聯(lián)；M前取負(fù)號(hào)時(shí)，對(duì)應(yīng)于異側(cè)并聯(lián)。對(duì)上式聯(lián)立求解得

(10-10)將式(10-10)中兩方程相加,即得兩種并聯(lián)連接方式的耦合電感的伏安關(guān)系為

或

(10-11)(10-12)其中:

在式(10-13)中，2M前取負(fù)號(hào)時(shí)，對(duì)應(yīng)于同側(cè)并聯(lián)；2M前取正號(hào)時(shí)，對(duì)應(yīng)于異側(cè)并聯(lián)。式(10-12)表明，作并聯(lián)連接的耦合電感在電路中可等效為一個(gè)如圖10-10(c)或(d)所示的電感元件。(10-13)10.2.3耦合電感的三端連接

將耦合電感的兩個(gè)線圈各取一端連接起來(lái)就構(gòu)成了耦合電感的三端連接電路。耦合電感的三端連接也有兩種接法：一種是將同名端相連，構(gòu)成如圖10-11(a)所示的三端連接電路；另一種是將異名端相連，構(gòu)成如圖10-11(b)所示的三端連接電路。顯然，前面介紹的耦合電感的串聯(lián)連接、并聯(lián)連接均可看成三端連接的特例。圖10-11耦合電感的三端連接下面介紹三端連接的耦合電感的去耦等效。設(shè)圖10-11(a)中耦合電感各線圈上的電壓和電流的參考方向如圖所示，則由耦合電感的伏安關(guān)系可得

(10-14)經(jīng)變換可得

由式(10-15)可得圖10-11(a)所示三端連接的耦合電感的去耦等效電路如圖10-11(c)所示。(10-15)同理可推得圖10-11(b)所示三端連接的耦合電感的去耦等效電路如圖10-11(d)所示。

在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，對(duì)應(yīng)于圖10-11所示耦合電感的三端連接及其去耦等效電路的相量模型如圖10-12所示。圖10-12耦合電感的三端連接的相量模型10.2.4去耦等效法在含耦合電感電路分析中的應(yīng)用

下面舉例說(shuō)明利用去耦等效的方法分析含耦合電感的電路。

例10-2

如圖10-13(a)所示電路，已知R1=12Ω，ωL1=2Ω，ωL2=10Ω，

ωM=6Ω，R3=6Ω，，試求其輸入阻抗Zab。

圖10-13例10-2題圖

解圖10-13(a)所示電路中的耦合電感為同名端相連的三端連接方式，其去耦等效電路的相量模型如圖10-13(b)所示。由圖(b)可得

例10-3

試求圖10-14(a)所示有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路。已知，R1=R2=3Ω，ωL1=ωL2=4Ω，ωM=2Ω。

圖10-14例10-3題圖

解圖10-14(a)所示電路中的耦合電感為同名端相連的三端連接方式，其去耦等效電路的相量模型如圖10-14(b)所示。

(1)求等效阻抗Zab

：

(2)求開路電壓:

故得圖10-14(a)所示有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路如圖10-14(c)所示。

例10-4

試列寫圖10-15(a)所示正弦穩(wěn)態(tài)電路的網(wǎng)孔方程。

圖10-15例10-4題圖

解圖10-15(a)所示電路中的耦合電感為同名端相連的三端連接，其去耦等效后的電路如圖10-15(b)所示。對(duì)于圖10-15(b)，設(shè)各網(wǎng)孔的網(wǎng)孔電流及其方向如圖所示，則網(wǎng)孔方程為

整理得

具有互感耦合作用的耦合線圈在工程上有多種用途，變壓器就是利用耦合線圈間的磁耦合來(lái)實(shí)現(xiàn)從一個(gè)電路向另一個(gè)電路傳輸能量或信號(hào)的器件。變壓器通常由兩個(gè)線圈組成，其中一個(gè)線圈與電源相接，稱為初級(jí)線圈或原邊線圈；另一個(gè)線圈與負(fù)載相接，稱為次級(jí)線圈或副邊線圈。10.3空芯變壓器電路分析初、次級(jí)線圈間只有磁的耦合而沒有電的直接聯(lián)系，這種電路稱為變壓器耦合電路，而把這一對(duì)具有互感的線圈稱為變壓器。若變壓器的線圈繞在鐵芯材料上，則構(gòu)成鐵芯變壓器；若繞在非鐵磁材料上，則構(gòu)成空芯變壓器。前者的耦合系數(shù)接近1，屬于緊耦合；后者線圈間的耦合系數(shù)較小，屬于松耦合。本節(jié)只介紹含空芯變壓器電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析。圖10-16(a)是最簡(jiǎn)空芯變壓器電路的相量模型，虛線框內(nèi)為空芯變壓器。它由一個(gè)互感元件與兩個(gè)電阻組成，其中：R1和R2分別表示原邊線圈和副邊線圈的繞線電阻；L1和L2分別表示原邊線圈和副邊線圈的繞線的自感；M表示原邊線圈和副邊線圈間的互感。圖10-16空芯變壓器在正弦穩(wěn)態(tài)下，設(shè)初、次級(jí)回路的電流相量分別為、，如圖10-16(a)所示。若將互感電壓用受控源等效替代，則圖10-16(a)可等效為圖10-16(b)所示電路，由此可列得回路間的KVL方程為

(10-16)若令Z11=R1+jωL1、Z22=R2+jωL2+ZL分別表示初、次級(jí)回路的自阻抗，則方程組(10-16)可簡(jiǎn)寫為

(10-17)由此可解得

由式(10-18)可得初級(jí)回路從a、b端看入的等效阻抗為

(10-18)

(10-19)式(10-19)表明，等效阻抗Zi由兩部分組成：一部分為初級(jí)回路自阻抗Z11，另一部分為，稱為次級(jí)回路對(duì)初級(jí)回路的反映阻抗或引入阻抗，它是一個(gè)決定于互感及次級(jí)回路參數(shù)的阻抗，反映了次級(jí)回路通過(guò)磁耦合對(duì)初級(jí)回路所產(chǎn)生的影響。當(dāng)時(shí)，Zi=Z11。利用反映阻抗的概念，空芯變壓器從電源看進(jìn)去的等效電路如圖10-16(c)所示，該電路稱為初級(jí)等效電路。由該等效電路可方便地計(jì)算出初級(jí)回路電流。求得初級(jí)回路電流后，由圖10-16(b)可得次級(jí)回路的回路電流為

此外，對(duì)于空芯變壓器電路也可用上節(jié)介紹的去耦等效的方法進(jìn)行分析。因?yàn)樵趫D10-17(a)所示的空芯變壓器電路中，若將b和d兩點(diǎn)相連，由于該連線上無(wú)電流流過(guò)，故對(duì)原電路并無(wú)影響，則此時(shí)空芯變壓器就變成了三端連接的耦合電感，通過(guò)去耦等效得圖10-17(b)所示的等效電路，對(duì)該電路用正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法即可求解。(10-20)圖10-17空芯變壓器電路的去耦等效電路

例10-5

空芯變壓器電路如圖10-18(a)所示，試求初、次級(jí)回路電流、。

圖10-18例10-5題圖

解法一利用反映阻抗的概念求解。

由圖10-18(a)所示電路可得

Z11=7.5+j30－j22.5=(7.5+j7.5)Ω

Z22=(60+j60)Ω

次級(jí)對(duì)初級(jí)的反映阻抗為

則可得初級(jí)等效電路如圖10-18(b)所示。由該圖可得

由圖10-18(a)進(jìn)一步求解可得

解法二利用去耦等效的方法求解。

圖10-18(a)所示電路的去耦等效電路如圖10-18(c)所示，則由該圖可得：

10.4.1理想變壓器的伏安關(guān)系

理想變壓器也是一種耦合元件，它是實(shí)際變壓器在滿足以下三個(gè)理想化條件下的電路模型：

(1)變壓器本身無(wú)損耗，即其電阻效應(yīng)為零。

(2)耦合系數(shù)k=1，即為全耦合。

10.4理想變壓器和全耦合變壓器

(3)線圈的自感系數(shù)L1和L2均為無(wú)限大，且L1/L2等于常數(shù)；互感系數(shù)也為無(wú)限大。

對(duì)于理想變壓器，我們一般用圖10-19所示的電路符號(hào)來(lái)表示。圖10-19理想變壓器在圖10-19(a)所示同名端及電壓、電流參考方向下，理想變壓器的伏安關(guān)系為

式中，n是常數(shù)，稱為理想變壓器的變比，數(shù)值上等于理想變壓器初、次線圈的匝數(shù)比，即，它是理想變壓器唯一的參數(shù)。(10-21)或式(10-21)是在圖10-19(a)所示同名端及電壓、電流參考方向下得到的。若將圖10-19(a)所示理想變壓器的同名端改為圖10-20(b)所示，則此時(shí)所對(duì)應(yīng)的理想變壓器的伏安關(guān)系為

(10-22)或比較式(10-21)和式(10-22)可以看出，理想變壓器的伏安關(guān)系與線圈電壓、電流參考方向及同名端位置有關(guān)。為了正確列寫理想變壓器的伏安關(guān)系，在給定電壓、電流參考方向及同名端的情況下，具體可按以下規(guī)則列寫：當(dāng)理想變壓器初、次級(jí)線圈電壓正極為同名端時(shí),初、次級(jí)電壓比等于匝數(shù)比,否則為負(fù)值；當(dāng)初、次級(jí)電流從異名端流入時(shí),初、次級(jí)電流比等于匝數(shù)比的倒數(shù),否則為倒數(shù)的負(fù)值。另外，式(10-21)和式(10-22)均為代數(shù)關(guān)系式，可見，理想變壓器是一種無(wú)記憶元件，也稱即時(shí)元件。它具有按式(10-21)或式(10-22)變換電壓、電流的能力，不論電壓、電流是直流還是交流，電路是暫態(tài)還是穩(wěn)態(tài)，都沒有電感或耦合電感元件的作用。

理想變壓器的電路模型也可以表示成圖10-20(a)和(b)所示的受控源形式。圖10-20用受控源表示的理想變壓器接下來(lái)討論理想變壓器的功率問(wèn)題。在任一時(shí)刻理想變壓器所吸收的功率應(yīng)為其兩端口吸收功率之和，對(duì)應(yīng)于圖10-19和圖10-20有

(10-23)上式表示，理想變壓器吸收的瞬時(shí)功率為零。這表明，理想變壓器是一個(gè)既不耗能也不儲(chǔ)能的元件。若把式(10-23)改寫成

p1=－p2

即u1i1=－u2i2

可以看出，理想變壓器的輸入瞬時(shí)功率等于輸出瞬時(shí)功率?？梢姡湓陔娐分兄黄鹬鴤鬟f能量的“橋梁”作用。顯然，在正弦穩(wěn)態(tài)條件下，式(10-21)和式(10-22)所述理想變壓器的伏安關(guān)系都可以表示為相應(yīng)的相量形式，即

或(10-24)10.4.2理想變壓器伏安關(guān)系的推導(dǎo)

前面我們介紹了理想變壓器的伏安關(guān)系。顯然，理想變壓器可看成耦合電感的極限情況，當(dāng)耦合電感滿足耦合系數(shù)k=1，且L1與L2→∞，但為定值時(shí)，即成為理想變壓器。下面由耦合電感的伏安關(guān)系著手，推導(dǎo)理想變壓器的伏安關(guān)系式。對(duì)于圖10-21所示耦合電感，由于是全耦合的，即k=1，故其中一個(gè)線圈電流產(chǎn)生的磁通將全部與另一個(gè)線圈相交鏈，而不存在漏磁通。假設(shè)初、次級(jí)線圈的匝數(shù)分別為N1、N2，Φ11表示初級(jí)線圈電流i1產(chǎn)生的全部磁通，Φ21表示i1產(chǎn)生并與次級(jí)線圈相交鏈的磁通；Φ22表示次級(jí)線圈電流i2產(chǎn)生的全部磁通，Φ12表示i2產(chǎn)生并與初級(jí)線圈相交鏈的磁通，顯然Φ11=Φ21，Φ22=Φ12。故兩線圈的總磁鏈分別為

式中，Φ=Φ11+Φ22稱為主磁通，它的變化將在初、次級(jí)線圈中分別產(chǎn)生感應(yīng)電壓u1、u2。在圖示參考方向下，

有：

(10-25)所以

上式表明，在全耦合的情況下，耦合電感初、次級(jí)電壓比等于初、次級(jí)線圈的匝數(shù)比。這就導(dǎo)出了式(10-21)的第一式。(10-26)

圖10-21全耦合電感又由耦合電感的伏安關(guān)系知，圖10-21所示耦合電感的伏安關(guān)系為

對(duì)式(10-27)中的第一式從－∞到t積分，則有

(10-27)(10-28)由于

N1Φ11=L1i1

N1Φ12=Mi2

N2Φ21=Mi1

N2Φ22=L2i2

當(dāng)k=1時(shí),將Φ11=Φ21，Φ22=Φ12代入上式，因此有

(10-29)將式(10-29)代入式(10-28)，得

當(dāng)自感系數(shù)L1→∞時(shí)，有

上式表明，當(dāng)k=1，L1→∞時(shí)，耦合電感初、次級(jí)電流比等于初、次級(jí)線圈的匝數(shù)比倒數(shù)的負(fù)值。這就導(dǎo)出了式(10-21)中的第二式。(10-30)或(10-31)以上我們由耦合電感的伏安關(guān)系導(dǎo)出了理想變壓器的伏安關(guān)系式。由于理想變壓器的伏安關(guān)系是一組代數(shù)方程，因此理想變壓器是一個(gè)即時(shí)、無(wú)記憶元件，即在任何時(shí)刻，理想變壓器兩對(duì)端子上的電流或電壓必同時(shí)存在或同時(shí)消失，不管該電流、電壓是直流還是交流，電路是暫態(tài)還是穩(wěn)態(tài)，其初、次級(jí)電壓比和初、次級(jí)電流比只與變比n有關(guān)。10.4.3理想變壓器的阻抗變換特性

理想變壓器具有三個(gè)基本特性：變換電壓、變換電流及阻抗變換。

我們?cè)诶硐胱儔浩鞯姆碴P(guān)系這部分內(nèi)容里介紹了理想變壓器對(duì)電壓、電流的變換特性，本小節(jié)我們介紹理想變壓器的另一個(gè)特性——阻抗變換特性。圖10-22(a)所示理想變壓器在次級(jí)并接阻抗ZL，則有

(10-32)即由式(10-32)可得圖10-22(b)所示等效電路。當(dāng)

時(shí)，圖10-22(b)所示電路可等效為圖10-22(c)所示等效電路。由圖10-22可知，將與理想變壓器次級(jí)并接的阻抗ZL搬移至理想變壓器的初級(jí)，阻抗將擴(kuò)大n2倍且仍與理想變壓器并接。圖10-22并接阻抗從次級(jí)搬移至初級(jí)類似推導(dǎo)可得，將與理想變壓器初級(jí)串接的阻抗ZL搬移至理想變壓器的次級(jí)，阻抗將縮小為原來(lái)的1/n2，且仍與理想變壓器串接，如圖10-23所示。圖10-23串接阻抗從初級(jí)搬移至次級(jí)上述“搬移”阻抗的方法還可以進(jìn)一步推廣：

(1)與理想變壓器初級(jí)相連的二端口純阻抗網(wǎng)絡(luò)可以從初級(jí)搬移到次級(jí)(仍與理想變壓器相連)，且搬移的過(guò)程是一平移平插過(guò)程，同時(shí)阻抗將縮小為原來(lái)的1/n2，如圖10-24所示。

圖10-24二端口純阻抗網(wǎng)絡(luò)從初級(jí)搬移到次級(jí)

(2)與理想變壓器次級(jí)相連的二端口純阻抗網(wǎng)絡(luò)可以從次級(jí)搬移到初級(jí)(仍與理想變壓器相連)，且搬移的過(guò)程是一平移平插過(guò)程，同時(shí)阻抗擴(kuò)大n2倍，如圖10-25所示。

圖10-25二端口純阻抗網(wǎng)絡(luò)從次級(jí)搬移到初級(jí)可見，利用理想變壓器變換阻抗的特性可以將與理想變壓器相連的阻抗在其初級(jí)與次級(jí)之間來(lái)回搬移，且：

(1)阻抗來(lái)回搬移與同名端無(wú)關(guān)。

(2)利用阻抗搬移可以簡(jiǎn)化電路。

(3)理想變壓器具有以n2倍關(guān)系變換阻抗的作用：當(dāng)阻抗從次級(jí)搬移到初級(jí)時(shí)要擴(kuò)大n2倍；當(dāng)阻抗從初級(jí)搬移到次級(jí)時(shí)要縮小為原來(lái)的1/n2。

(4)由于n為大于零的實(shí)常數(shù)，故阻抗在初、次級(jí)之間來(lái)回搬移過(guò)程中其性質(zhì)不變。

(5)理想變壓器次級(jí)短路相當(dāng)于其初級(jí)也短路。

(6)理想變壓器次級(jí)開路相當(dāng)于其初級(jí)也開路。10.4.4全耦合變壓器的電路模型

一個(gè)實(shí)際變壓器要完全滿足三個(gè)理想化條件是十分困難的。一般來(lái)說(shuō)，若變壓器的線圈無(wú)損耗，耦合系數(shù)k=1，而自感系數(shù)為有限值，則這樣的變壓器稱為全耦合變壓器。

在工程上，實(shí)際鐵芯變壓器就可以看成一個(gè)全耦合變壓器。全耦合變壓器除了可以用耦合電感來(lái)表征其特性，如圖

10-26(a)所示，還可以用含理想變壓器的電路模型來(lái)等效。下面我們來(lái)推導(dǎo)該模型。

圖10-26全耦合變壓器及其電路模型對(duì)于圖10-26(a)所示全耦合變壓器，根據(jù)10.4.2小節(jié)對(duì)理想變壓器伏安關(guān)系的推導(dǎo)可得，其伏安關(guān)系滿足：

(10-33)(10-34)式(10-33)和式(10-34)表明：全耦合變壓器的初、次級(jí)電壓關(guān)系與理想變壓器相同；而其初級(jí)電流則由兩部分組成，其中是電感電流，與次級(jí)電流i2符合理想變壓器初、次級(jí)電流關(guān)系。由此可得全耦合變壓器的電路模型如圖10-26(b)所示，它由理想變壓器模型在其初級(jí)線圈并一電感L1而構(gòu)成，其中理想變壓器的變比。該電路模型與圖10-26(a)所示模型等效。由于理想變壓器的伏安關(guān)系比耦合電感的伏安關(guān)系簡(jiǎn)單，因此，對(duì)全耦合變壓器分析與計(jì)算時(shí)，大多采用圖10-26(b)所示的全耦合變壓器模型。

全耦合變壓器的初級(jí)電流i常稱為空載電流，其為次級(jí)開路時(shí)(即i2=0，空載)流經(jīng)初級(jí)線圈的電流。該電流使變壓器鐵芯內(nèi)產(chǎn)生磁通，故又稱為激磁電流。圖中L1稱為激磁電感。由圖10-26(b)所示全耦合變壓器的等效電路模型可以看出，全耦合變壓器的等效電路中同樣含有理想變壓器，激磁電感(即初級(jí)電感)可以認(rèn)為是外接電感。本節(jié)介紹含理想變壓器電路的分析與計(jì)算，也包括含全耦合變壓器電路的分析與計(jì)算。10.5含理想變壓器電路的分析與計(jì)算含理想變壓器電路的分析與計(jì)算方法有三種：

(1)直接法，即直接利用理想變壓器的伏安關(guān)系列方程求解。

(2)利用理想變壓器的電壓變換、電流變換及阻抗變換特性求解。

(3)等效電源定理法。

下面舉例介紹。

例10-6

試求圖10-27所示電路中流過(guò)4Ω電阻的電流。

圖10-27例10-6題圖

解本題利用直接法求解。設(shè)各支路電流相量及理想變壓器初、次級(jí)電壓相量的參考方向如圖所示，可列回路方程如下

解聯(lián)立方程得

通過(guò)4Ω電阻的電流為

例10-7

含理想變壓器的電路如圖10-28(a)所示，試求電壓。

圖10-28例10-7題圖

解利用理想變壓器的阻抗變換特性，將圖10-28(a)所示電路的次級(jí)阻抗搬移到初級(jí)，得圖10-28(b)所示的等效電路。由該電路可得

由理想變壓器的電壓變換特性，可得

例10-8

圖10-29(a)所示變壓器電路，已知：R1=30Ω,L1=15H,R2=60Ω,L2=60H,互感M=30H,負(fù)載電阻RL=

180Ω，且電路原已處于穩(wěn)態(tài)，當(dāng)t=0時(shí)開關(guān)S閉合。求t>0時(shí)的電流i(t)。

圖10-29例10-8題圖

解由題意知該變壓器的耦合系數(shù)，所以圖10-29(a)所示電路中的變壓器為全耦合變壓器，故可將其等效為圖10-29(b)所示的電路，其中：

利用理想變壓器的阻抗變換特性，將圖10-29(b)所示電路的次級(jí)電阻搬移到初級(jí)，得圖10-29(c)所示的等效電路。對(duì)于該電路根據(jù)題意有

iL(0－)=0A由換路定則得

iL(0+)=iL(0－)=0A

所以

故

例10-9

含理想變壓器的電路如圖10-30(a)所示，已知R1=R2=2Ω,R3=10Ω，L=2H,us(t)=ε(t)V，試求uab(t)。圖10-30例10-9題圖

解首先根據(jù)戴維南定理將圖10-30(a)所示電路的a、b以左含理想變壓器的有源二端網(wǎng)絡(luò)等效為戴維南等效電路，如圖10-30(b)所示，其中：

uoc=2us(t)=2ε(t)V

Ro=4R1+R2=10Ω

對(duì)于圖10-30(b)，由直流激勵(lì)下的三要素公式，得

iL(0+)=iL(0－)=0A

uab(0+)=2V

uab(∞)=1V

代入三要素公式，得

uab(t)=(1+e－10t)ε(t)V由第8章可知，在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，負(fù)載阻抗必須與電源內(nèi)阻抗達(dá)到共軛匹配時(shí)，負(fù)載才能獲得最大功率。但在實(shí)際電路中負(fù)載往往和電源一樣是給定的，并非任意可調(diào)。

在這種情況下，為了使負(fù)載獲得盡可能大的功率，可通過(guò)理想變壓器來(lái)實(shí)現(xiàn)匹配。如圖10-31(a)所示電路，其中理想變壓器的變比是可調(diào)的。利用理想變壓器的阻抗變換特性，將負(fù)載阻抗折合到初級(jí)，得圖10-31(b)所示電路。由于理想變壓器的變比n為大于零的實(shí)常數(shù)，故改變n只能改變負(fù)載阻抗的模而不能改變其阻抗角，故一般無(wú)法達(dá)到共軛匹配。圖10-31理想變壓器實(shí)現(xiàn)功率匹配對(duì)于圖10-31(b)所示電路，設(shè)

則有

其電流有效值為

此時(shí)獲得的功率為要使P達(dá)到最大，必須有

可求得

即當(dāng)時(shí)，可獲得最大功率。由于此時(shí)不是共軛匹配，而是負(fù)載阻抗的模與電源內(nèi)阻抗的模相等，故將此使負(fù)載獲得最大功率的方法為模匹配?？梢宰C明，此時(shí)負(fù)載獲得的功率一般要比共軛匹配時(shí)的功率小。

又由于理想變壓器在傳遞能量的過(guò)程中本身不消耗能量，因此當(dāng)圖10-31(b)中等效阻抗獲得最大功率時(shí)，圖10-31(a)中負(fù)載阻抗ZL也獲得最大功率

例10-10

電路如圖10-32(a)所示，為了使負(fù)載電阻RL獲得最大功率，試求理想變壓器的匝數(shù)比n應(yīng)為多少？負(fù)載電阻RL獲得的最大功率為多少？

圖10-32例10-10題圖

解利用理想變壓器的變換阻抗作用，原電路可等效為如圖10-32(b)所示的電路。由于n為實(shí)常數(shù)，故與Zo=1∥(－j1)不可能達(dá)到共軛匹配，只能實(shí)現(xiàn)模匹配。即

因此

n=3.76此時(shí)

故負(fù)載獲得的最大功率為

在電路分析中，我們有時(shí)還會(huì)遇到一個(gè)初級(jí)線圈與多個(gè)次級(jí)線圈構(gòu)成的理想變壓器。例如，圖10-33(a)所示理想變壓器就是由一個(gè)初級(jí)線圈和兩個(gè)次級(jí)線圈組成的。圖10-33一個(gè)初級(jí)線圈與兩個(gè)次級(jí)線圈構(gòu)成的理想變壓器假設(shè)初級(jí)線圈的匝數(shù)為N1,兩個(gè)次級(jí)線圈的匝數(shù)分別為N2和

N3，在圖示電壓、電流參考方向下，有

又由全電流定理得

式中：。即若在兩個(gè)次級(jí)線圈中分別接負(fù)載電阻R2和R3，如圖

10-33(b)所示，則從初級(jí)線圈看入的等效電導(dǎo)為

由上式可得其等效電路如圖10-33(c)所示。由此可見，當(dāng)理想變壓器由一個(gè)初級(jí)線圈和多個(gè)次級(jí)線圈組成時(shí)，若在每個(gè)次級(jí)線圈分別接負(fù)載阻抗Zi，則可將每個(gè)次級(jí)阻抗

先后搬移至初級(jí)，并且阻抗從次級(jí)折合至初級(jí)應(yīng)擴(kuò)大n2倍，同時(shí)這些阻抗在初級(jí)的關(guān)系為并聯(lián)關(guān)系。

例10-11

求圖10-34(a)所示理想變壓器電路初級(jí)線圈上的電壓。

圖10-34例10-11題圖

解圖10-34(a)所示理想變壓器是由一個(gè)初級(jí)線圈和兩個(gè)次級(jí)線圈組成的。首先將兩個(gè)次級(jí)線圈所接負(fù)載電阻折合至初級(jí)，得等效電路如圖10-34(b)所示。由該圖可得

1.試確定圖10-35所示耦合線圈的同名端。

提示：本題可根據(jù)同名端的定義，分別在線圈1的1端和線圈2的2端加電流，依據(jù)它們所產(chǎn)生的磁通是相互增強(qiáng)還是削弱來(lái)判斷耦合線圈的同名端。

［12′為同名端］10.6練習(xí)題及解答提示圖10-35

2.試求圖10-36中的電壓u2。

提示：本題直接利用耦合電感的伏安關(guān)系求電壓u2。

［u2(t)=－12e－2tV］圖10-36

3.耦合電感L1=6H,L2=4H,M=3H。(1)若L2短路，求L1端的電感值；(2)若L1短路，求L2端的電感值。

提示：本題可利用空芯變壓器反映阻抗的概念或耦合電感的三端去耦等效法求解。

［(1)L1端的電感值為3.75H;(2)L2端的電感值為2.5H］

4.如圖10-37所示電路，已知，求i(t)及uC(t)。

提示：本題可利用耦合電感的三端去耦等效法先消去互感，再用相量分析法求解。

圖10-37

5.圖10-38所示電路，已知，

，，ZL可調(diào)。問(wèn)ZL為何值時(shí)其上可獲得最大功率，最大功率PLmax為多少？

提示：本題首先應(yīng)判斷耦合線圈的同名端，然后利用耦合電感的三端去耦等效法將電路等效為無(wú)耦合的正弦穩(wěn)態(tài)電路，最后求響應(yīng)。

［ZL=50－j50Ω;PLmax=25W］圖10-38

6.求圖10-39(a)、(b)所示電路的輸入阻抗Zab。

提示：對(duì)于圖(a)，由于2Ω電阻中沒有電流，故可去掉，再求解；對(duì)于圖(b)，由于2Ω電阻中有電流，故不可去掉，可利用加壓求流法及理想變壓器伏安關(guān)系求阻抗。

［(a)Zab=4Ω;(b)Zab=0.727Ω］圖10-39

7.求圖10-40所示電路中的電壓。

提示：本題利用理想變壓器變換電流的作用，先將初級(jí)電流折合至次級(jí)，然后求響應(yīng)。

［］圖10-40

8.圖10-41所示為含理想變壓器的電路，已知us(t)=

12cos2tV,電路原已處于穩(wěn)態(tài)，當(dāng)t=0時(shí)開關(guān)S閉合。求t>0時(shí)電容上的電壓uC(t)。

提示：本題是在正弦信號(hào)激勵(lì)下含理想變壓器的一階動(dòng)態(tài)電路。應(yīng)首先將全耦合電感用全耦合變壓器模型表示，再用第5章所講的三要素公式求響應(yīng)。此時(shí)三要素公式應(yīng)為

圖10-41

9.圖10-42所示電路，問(wèn)當(dāng)理想變壓器的匝數(shù)比n為多大時(shí)，負(fù)載R可獲最大功率？最大功率為多少?

提示：由于理想變壓器阻抗變換的特點(diǎn)，本題只能實(shí)現(xiàn)共模匹配。

［n=0.1;P=2500W］圖10-4210-1試標(biāo)出題圖10-1所示耦合線圈的同名端。習(xí)題10題圖10-1

10-2題圖10-2所示電路中，M=L，正弦電壓源電壓U=50V，cd端短路。若將b和d相連接，測(cè)得ac間的電壓為100V；若將b和c相連接，測(cè)得ad間的電壓為