《電路分析基礎(chǔ)》課件3第6章

6.1電感元件和電容元件6.2動(dòng)態(tài)電路和換路定律6.3無源一階電路6.4直流電源激勵(lì)的一階電路6.5全響應(yīng)的分解特性

6.6一階電路的階躍響應(yīng)*6.7計(jì)算機(jī)仿真

本章小結(jié)思考題習(xí)題6

6.1.1電感元件

電感元件是一種抵抗電流變化的電子元件。它由環(huán)繞在磁性或非磁性材料上的線圈組成。

電感元件的特性基于磁場(chǎng)現(xiàn)象。給線圈通過電流，若電流隨時(shí)間變化，則磁場(chǎng)也隨時(shí)間變化。

磁場(chǎng)的變化就會(huì)在線圈兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓。電感是用來表示電感元件的電路參數(shù)，用L表示，單位為H(享利)，圖形符號(hào)如圖6-1所示。電感L的定義為

6.1電感元件和電容元件圖6-1電感元件的符號(hào)

其中，Ψ為線圈的磁鏈；iL是通過線圈的電流。當(dāng)L為

常數(shù)時(shí)，稱為線性電感。

設(shè)電感元件端電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向，則有

(6-1)上式表示了電感元件的伏安關(guān)系，電感電壓是與電流的變化率成比例的。其中兩點(diǎn)要特別注意：

?

如果電流是直流，則電感元件兩端的電壓為零。因此，對(duì)于直流電流，電感元件表現(xiàn)為短路。

?

電感元件中的電流不能躍變。若電流有躍變，則電感元件兩端的電壓為無窮大，顯然這是不可能的。也就是說，電感電流必須是連續(xù)的。式(6-1)還可以寫為積分的形式

(6-2)其中,iL是相對(duì)于t的電流；而iL(t0)指的是開始積分時(shí)刻，即t0時(shí)刻電感的電流值。在許多實(shí)際應(yīng)用中，t0=0，式(6-2)變?yōu)?/p>

(6-3)

其中，體現(xiàn)了t=0之前電壓對(duì)電流的貢獻(xiàn)，稱為電感元件的初態(tài)電流。值得注意的是，電感元件的伏安關(guān)系的兩種形式(6-1)和(6-3)是在關(guān)聯(lián)參考方向下得出來的。若是采用非關(guān)聯(lián)參考方向，則在公式前應(yīng)加上負(fù)號(hào)。

【例6-1】

電路如圖6-2(a)所示，電流源的波形如圖6-2(b)所示，求電感電壓uL的波形。圖6-2例6-1的電路

解電流源波形可以分段表示為

電感元件兩端的電壓為

uL的波形如圖6-2(c)所示。也可以不寫出iS的表達(dá)式，直接對(duì)波形求導(dǎo)。因?yàn)榍髮?dǎo)就是求斜率。iS的正斜率對(duì)應(yīng)著uL的正值，iS的負(fù)斜率對(duì)應(yīng)著uL的負(fù)值。iS的常數(shù)對(duì)應(yīng)uL的零值。對(duì)于分段直線的波形求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)波形完全可以用這個(gè)方法求出。電感元件中功率和能量的關(guān)系可以直接由電流和電壓的關(guān)系推導(dǎo)出來。如果采用關(guān)聯(lián)參考方向，功率表示為

p=uLiL

(6-4)

功率的單位是W，電壓的單位是V，電流的單位是A。功率還可以表示為

(6-5)從-∞到t期間，所吸收的能量為

因iL(-∞)=0，于是

(6-6)上式表明，電感元件儲(chǔ)存的能量取決于該時(shí)刻的電流。只要電流不為零，無論其方向或符號(hào)如何，就有能量?jī)?chǔ)存在電感中。電感元件是一種儲(chǔ)能元件和無源元件。6.1.2電容元件

電容元件是一種電子元件。它是由絕緣體或電介質(zhì)材料隔離的兩個(gè)導(dǎo)體組成。電容元件的特性基于電場(chǎng)現(xiàn)象。給電容元件加電壓，若電壓隨時(shí)間變化，則電場(chǎng)也隨時(shí)間變化。時(shí)變的電場(chǎng)在該空間產(chǎn)生位移電流。電容是用來表示電容元件的電路參數(shù)，用C表示，單位為F(法拉)，圖形符號(hào)如

圖6-3所示。電容C定義為

圖6-3電容元件的符號(hào)即電容量的大小是電容極板上的電荷與所加電壓之比。

其中,q為電荷，當(dāng)C為常數(shù)時(shí)，稱為線性電容。

設(shè)電容元件端電壓和電流為關(guān)聯(lián)參考方向，則有

(6-7)

上式表示電容元件的伏安關(guān)系，電容電流是與其電壓的變化率成比例的。其中兩點(diǎn)要特別注意:

?

如果電壓是直流，則電容元件中的電流為零。因此，對(duì)于直流電壓，電容元件表現(xiàn)為開路。

?

電容元件兩端的電壓不能躍變。若電壓有躍變，則電容元件中的電流為無窮大，顯然這是不可能的。也就是說，電容電壓必須是連續(xù)的。

式(6-7)還可以寫為積分的形式

(6-8)在許多實(shí)際應(yīng)用中，t0=0，式(6-8)變?yōu)?/p>

(6-9)

其中，體現(xiàn)了t=0之前電流對(duì)電壓的貢獻(xiàn)，稱為電容元件的初態(tài)電壓。

值得注意的是，電容元件的伏安關(guān)系的兩種形式(6-7)和(6-9)是在關(guān)聯(lián)參考方向下得出來的。若是采用非關(guān)聯(lián)參考方向，則在公式前應(yīng)加上負(fù)號(hào)。

【例6-2】

已知電容C=5μF，通過電容元件的電流波形如圖6-4(a)所示，求電容電壓uC的波形。

解根據(jù)電容元件的伏安關(guān)系，即

采用分段積分，當(dāng)t≤0時(shí)，uC=0。圖6-4例6-2的波形當(dāng)0≤t≤2ms時(shí)，有

當(dāng)t=2ms時(shí)，

u

(2ms)=4000×2×10-3=8V

當(dāng)t≥2ms時(shí)，由于iC=0，有

uC的波形如圖6-4(b)所示。

電容元件中功率和能量的關(guān)系可以直接由電流和電壓的關(guān)系推導(dǎo)出來。如果采用關(guān)聯(lián)參考方向，功率表示為

p=uCiC

(6-10)

功率的單位是W，電壓的單位是V，電流的單位是A。功率還可以表示為

(6-11)

從-∞到t期間，所吸收的能量為

因uC(-∞)=0，于是

(6-12)上式表明，電容元件儲(chǔ)存的能量取決于該時(shí)刻的電壓。只要電壓不為零，無論其方向或符號(hào)如何，就有能量?jī)?chǔ)存在電容中。電容元件是一種儲(chǔ)能元件和無源元件。

【例6-3】

一個(gè)電容元件如圖6-5所示。電容C=4μF，已知t=0時(shí)，uC(0)=0，iC=2A，求t=20ms時(shí)電容的儲(chǔ)能。圖6-5例6-3的電路

解電容電壓為

電容的儲(chǔ)能為

【例6-4】

如圖6-6(a)所示為一線性元件，其電壓、電流的波形如圖6-6(b)、圖6-6(c)所示。判斷該元件是什么元件？它的電路參數(shù)是多少？

解由于采用非關(guān)聯(lián)參考方向，再觀察圖6-6(b)、圖(c)可知，對(duì)電壓u求導(dǎo)的負(fù)值就是i的波形。根據(jù)電容元件的伏安關(guān)系，有

圖6-6例6-4的用圖可見，該元件為電容元件。在0≤t≤2s，對(duì)圖6-6(b)有=1，對(duì)圖6-6(c)，有

故電容參數(shù)C=1μF。

6.1.3電感和電容的串并聯(lián)

電阻的串并聯(lián)可以簡(jiǎn)化為單個(gè)等效電阻，電感或電容的串并聯(lián)也可以簡(jiǎn)化為單個(gè)電感或電容。如圖6-7(a)所示是電感元件的串聯(lián)，流過的電流相同，每個(gè)電感的電壓是

串聯(lián)的總電壓為

顯然，電感串聯(lián)的等效電感為

Leq=L1+L2+L3

(6-13)如果原電感帶有初始電流i(0)，則等效電感帶有相同的初始電流i(0)。串聯(lián)電感的等效電路如圖6-7(b)所示。圖6-7電感元件串聯(lián)并聯(lián)電感有相同的電壓，每個(gè)電感元件的電流為

總電流為

顯然，并聯(lián)電感的等效電感和等效初始電流為

(6-15)

三個(gè)電感并聯(lián)的等效電路如圖6-8(b)所示。(6-14)圖6-8電感元件并聯(lián)由于電路的對(duì)偶性，因此根據(jù)對(duì)偶原理，只要將上述電感元件串聯(lián)和并聯(lián)的等效電路，用對(duì)應(yīng)的對(duì)偶元素替換，就可得出電容并聯(lián)和串聯(lián)的等效電路。即有并聯(lián)電容的等效電容為

Ceq=C1+C2+…+Cn

(6-16)

等效初始電壓與原電容相同。串聯(lián)電容的等效電容為

(6-17)

等效初始電壓為

u(0)=u1(0)+u2(0)+…+un(0)

(6-18)

自測(cè)題6-1電路中的儲(chǔ)能元件是指

。

(Ａ)電阻元件(Ｂ)電感元件(Ｃ)電容元件

(Ｄ)電壓源(Ｅ)電流源

自測(cè)題6-2

當(dāng)10Ａ的直流電流通過10ｍＨ線圈時(shí)，線圈的儲(chǔ)能為

。

(Ａ)0.5Ｊ(Ｂ)0.5W

(Ｃ)10Ｊ(Ｄ)10W

自測(cè)題6-3

兩個(gè)電容器，一個(gè)電容器容量大，另一個(gè)較小，充電到同樣電壓時(shí)，電容量越大的電容器，其極板上帶電量

。

(Ａ)越大(Ｂ)越小(Ｃ)相同

自測(cè)題6-4

2Ａ的電流向2F的電容充電，已知t=0時(shí)刻，uC(0)=1V，則在t=3s時(shí)，uC(3)=

。

(Ａ)2V

(Ｂ)3V

(Ｃ)4V

(Ｄ)8V圖6-9自測(cè)題6-5

自測(cè)題6-5

在圖6-9所示電路中，可求得Ａ、Ｂ兩點(diǎn)的等效電容Ceq=

。

(Ａ)1/3μF (Ｂ)0.28μF

(Ｃ)0.24μF (Ｄ)0.14μF6.2.1動(dòng)態(tài)電路的特點(diǎn)

在電阻電路中，描述電路的方程是代數(shù)方程。當(dāng)電路中含有電感、電容等儲(chǔ)能元件時(shí)，描述動(dòng)態(tài)電路的方程是微分方程。如果微分方程的階數(shù)為一，就稱為一階電路；若階數(shù)為二，就稱為二階電路等。一階電路是最簡(jiǎn)單、工程上又常見的動(dòng)態(tài)電路。6.2動(dòng)態(tài)電路和換路定律用一階微分方程描述的電路稱為一階電路。

電路的工作狀態(tài)有兩種，一是前面幾章介紹的電阻電路中電壓、電流都是恒定值，稱這類工作狀態(tài)為穩(wěn)定狀態(tài)，簡(jiǎn)稱穩(wěn)態(tài)。當(dāng)電路中含有儲(chǔ)能元件時(shí)，并出現(xiàn)結(jié)構(gòu)改變，如接通、斷開、短路、改接等，或者電源、電路參數(shù)突然改變時(shí)，常使電路從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)到達(dá)另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)。由于電磁慣性，狀態(tài)的改變上一般并非立即完成，而需經(jīng)歷一段時(shí)間，這段時(shí)間發(fā)生的過程稱為暫態(tài)過程。這就是電路的另一個(gè)工作狀態(tài)，即暫態(tài)。動(dòng)態(tài)電路分析的主要任務(wù)就是研究

動(dòng)態(tài)電路中電壓、電流的變化規(guī)律，即它們的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)的整個(gè)動(dòng)態(tài)過程。例如，給一個(gè)未儲(chǔ)能的電容充電的電路如圖6-10(a)所示。在開關(guān)閉合前電容電壓uC(0)=0V，這是一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)。開關(guān)合上后，電壓源US給電容充電，隨著時(shí)間增加，電容電壓uC的變化曲線如圖6-10(b)所示。當(dāng)t→∞時(shí)，uC(∞)=US，即電容充電完畢。這就到達(dá)了另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)。圖6-10電容充電過程電路的接通或斷開、電路的連接方式或電路參數(shù)的突然變化、激勵(lì)的突然變動(dòng)等，這些都屬于電路工作狀態(tài)的改變，稱為換路。事實(shí)上，并不是所有的電路在換路時(shí)都產(chǎn)生暫態(tài)過程。換路只是產(chǎn)生暫態(tài)過程的外因，還必須通過電路本身的內(nèi)因才能起作用。例如，當(dāng)一個(gè)電阻與電源接通時(shí)，流過該電阻的電流和其兩端的電壓都將在電源接通的瞬間達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)，并不產(chǎn)生暫態(tài)過程。產(chǎn)生暫態(tài)過程的內(nèi)因是電路中存在儲(chǔ)能元件，如電感元件和電容元件等。另一個(gè)內(nèi)因是電路存在兩個(gè)不同的穩(wěn)態(tài)。如圖6-10(a)所示電路，若電容已知有初始電壓uC(0)=US，當(dāng)開關(guān)合上后，電路雖然有電容元件，也不會(huì)出現(xiàn)暫態(tài)過程。因?yàn)殡娙菀呀?jīng)充滿電了，即電容電壓沒有兩個(gè)穩(wěn)態(tài)，只有一個(gè)穩(wěn)態(tài)。因此，產(chǎn)生動(dòng)態(tài)過程的原因是：

?

電路有換路；

?

電路含有電感、電容等儲(chǔ)能元件；

?

電路存在兩個(gè)不同的穩(wěn)定狀態(tài)。研究動(dòng)態(tài)電路具有十分重要的意義。其一是利用動(dòng)態(tài)過程的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)某種技術(shù)要求，如電子技術(shù)中的微分、積分、整流、濾波、振蕩等各種電路和控制系統(tǒng)中的各種控制電路；其二是可以防止某些電路裝置在暫態(tài)過程中會(huì)出現(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過穩(wěn)態(tài)情況時(shí)的過電壓和過電流，從而造成儀器設(shè)備的損壞和人身事故。6.2.2換路定律

眾所周知，能量只能從一種形式轉(zhuǎn)換為另一種形式，或從一個(gè)儲(chǔ)能元件傳遞到另一個(gè)儲(chǔ)能元件。而能量的轉(zhuǎn)換和傳遞必須有一個(gè)過程，而不可能發(fā)生躍變。能量的躍變意味著存在無窮大的功率，即

，這在客觀上是不可能的。在動(dòng)態(tài)電路中，電感儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能為，電容儲(chǔ)存的電場(chǎng)能為，能量不能躍變，即電感中的電流iL和電容兩端的電壓uC不能躍變。也就是說它們必須是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)。顯然，

換路瞬間電感中的電流iL和電容兩端的電壓uC應(yīng)該分別相等，這就是換路定律。通常用t=0表示電路進(jìn)行換路的時(shí)刻，t=0-表示換路前的瞬間，t=0+表示換路后的瞬間。以開關(guān)S閉合為例，t=0-表示開關(guān)閉合前的瞬間，這時(shí)開關(guān)S仍然處于斷開狀態(tài)；t=0+表示開關(guān)閉合后的瞬間，這時(shí)開關(guān)S處于剛剛閉合的狀態(tài)。而t=0則表示從t=0-到t=0+的換路時(shí)刻。若iL(0-)和iL(0+)分別表示換路前瞬間和換路后瞬間流過電感的電流，uC(0-)和uC(0+)分別表示換路前瞬間和換路后瞬間電容兩端的電壓，則換路定律可表示為

(6-19)換路定律僅適用于電路換路的瞬間，可用它來確定電感電流和電容電壓的初始值。

【例6-5】

如圖6-11所示為測(cè)量線圈直流電阻的原理電路圖，已知電壓表內(nèi)阻為2kΩ。如果測(cè)量結(jié)束后，突然打開開關(guān)S，電壓表承受的最大電壓是多少？

解開關(guān)打開前，電路是穩(wěn)定的，電感相當(dāng)于短路，電壓表的內(nèi)阻為2kΩ與2Ω并聯(lián)，由于2kΩ>>2Ω，因此，并聯(lián)后應(yīng)為2Ω。電流表的內(nèi)阻忽略不計(jì)，則電感中的電流為

圖6-11例6-5的電路

根據(jù)換路定律，有

iL(0+)=iL(0-)=0.2A

故電壓表承受的最大電壓是

u(0+)=2000×0.2=400V

即在開關(guān)S打開后瞬間電壓表承受的最大電壓是400V，這將對(duì)電壓表造成過電壓，以致?lián)p壞儀表。因此，通過以上分析可知，本題的這種接線方法就有問題，需要加以改進(jìn)。在實(shí)際中，要切斷大電感電路是十分危險(xiǎn)的。電感元件的儲(chǔ)能為。如果L和iL較大，則磁場(chǎng)能量較大。要在瞬間切斷電流，即電感的儲(chǔ)能瞬間消失，這些能量將消耗在開關(guān)處，即在開關(guān)處形成極高的電壓沖穿空氣，形成電火花。所以，不要以為是切斷電源就沒有問題。通過以上分析可知，對(duì)切斷電感電路都應(yīng)有保護(hù)措施，參見習(xí)題6-6。6.2.3初始值的確定

在換路后的瞬間，電路中各元件的電壓值或電流值稱為初始值，記作f(0+)。分析動(dòng)態(tài)電路的電壓、電流的變化規(guī)律時(shí)，必須首先確定初始值。一般地，通過換路定律可以確定電容電壓和電感電流的初始值。而其他元件上電壓、電流的初始值必須通過分析t=0+時(shí)刻的等效電路來確定。圖6-12電容和電感的初態(tài)等效電路電容元件和電感元件在t=0+時(shí)的特性如圖6-12所示。當(dāng)電容的初始值uC(0+)=0時(shí)，電容元件等效被短路；當(dāng)電容的初始值uC(0+)≠0時(shí)，電容元件等效于其值為uC(0+)的電壓

源。電容的初態(tài)等效電路如圖6-12(a)所示。根據(jù)同樣的原理，電感的初態(tài)等效電路如圖6-12(b)所示。

值得注意的是，電感元件和電容元件在t=0+時(shí)刻的等效電路與其在t=∞時(shí)的穩(wěn)態(tài)等效電路是完全不同的。為了說明這些區(qū)別，特列出表6-1供參考。表6-1電感元件和電容元件的特性綜上所述，動(dòng)態(tài)電路中非iL和uC初始值的求法可以分為以下三步：

(1)根據(jù)換路定律，求出電路中電感元件或電容元件的初始值；

(2)根據(jù)電感元件和電容元件在t=0+時(shí)的特性，畫出初態(tài)等效電路。這個(gè)電路顯然是電阻電路。

(3)對(duì)初態(tài)等效電路進(jìn)行計(jì)算，求出待求的初始值。

【例6-6】

電路如圖6-13(a)所示，開關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，開關(guān)在t＝0時(shí)接通，求在接通瞬間，流過開關(guān)S的電流i(0+)。圖6-13例6-6的電路

解電感元件和電容元件在開關(guān)S還未接通時(shí)，電容開路，電感短路。根據(jù)換路定律，有

畫出的初態(tài)等效電路如圖6-13(b)所示。從圖中可知

所以，開關(guān)中的電流為

i(0+)=4-i1(0+)=4-2=2A

【例6-7】

電路如圖6-14(a)所示，開關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，開關(guān)在t＝0時(shí)接通，求電路中電感兩端電壓的初始值uL(0+)。圖6-14例6-7的電路

解開關(guān)S接通前，電感相當(dāng)于短路，根據(jù)換路定律，電感中的電流為

電容電壓為

uC(0+)=uC(0-)=0

畫出的初態(tài)等效電路如圖6-14(b)所示。用疊加定理可得

自測(cè)題6-6

電路如圖6-15所示，開關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，開關(guān)在t＝0時(shí)接通，則電容中的電流的初始值iC(0+)=

。

(Ａ)0

(Ｂ)1Ａ(Ｃ)2Ａ(Ｄ)3Ａ

自測(cè)題6-7

如圖6-16所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時(shí)開關(guān)S突然打開，則電感兩端的電壓的初始值uL(0+)=

V。(Ａ)0

(Ｂ)3

(Ｃ)-6

(Ｄ)6圖6-15自測(cè)題6-6圖6-16自測(cè)題6-7

自測(cè)題6-8電路如圖6-17所示，開關(guān)閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，開關(guān)在t＝0時(shí)接通，則電路中電壓u(0+)=

。(Ａ)2V

(Ｂ)3V

(Ｃ)6V

(Ｄ)7V

自測(cè)題6-9

電路如圖6-18所示，換路前電路處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)S打開，則電路中電壓的初始值u(0+)=

；終值u(∞)=

。圖6-17自測(cè)題6-8圖6-18自測(cè)題6-96.3.1無源RC電路

在圖6-19中，開關(guān)原在位置1已經(jīng)穩(wěn)定，電容已經(jīng)充完電。t=0時(shí)開關(guān)由位置1切換到位置2，電容開始放電。在t=0-時(shí)電容電壓uC(0-)=U0。根據(jù)換路定律，電容電壓的初始值為

uC(0+)=uC(0-)=U0

(6-20)6.3無源一階電路圖6-19RC放電的電路根據(jù)換路后的電路列KVL方程

RiC+uC=0

(6-21)

電容元件的伏安關(guān)系為

(6-22)將式(6-22)代入(6-21)，得

(6-23)這是一階齊次線性常系數(shù)微分方程。

這里介紹兩種求解上述微分方程的方法。

方法一：直接法。

微分方程式(6-23)可寫為

(6-24)進(jìn)一步寫成分離變量的形式

(6-25)對(duì)式(6-25)兩邊積分，可得

(6-26)積分可得

(6-27

將初始值uC(0)=U0代入式(6-27)，令t=0有

lnU0=K(6-28)因此，式(6-27)變?yōu)?/p>

(6-29)

(6-30)

所以，電容電壓的零輸入響應(yīng)為

(6-31)方法二：簡(jiǎn)捷法。

在高等數(shù)學(xué)中，解線性常系數(shù)微分方程有一套十分有效的方法，介紹如下。

對(duì)方程(6-23)，假定齊次解為指數(shù)形式：

uC(t)=Kes1t

(6-32)其中，K和s1為待定常量。將假定的解代入式(6-23)，得

RCKs1es1t+Kes1t=0

(6-33)或

(RCs1+1)Kes1t=0

得到特征方程為

RCs1+1=0

(6-34)其解為特征根，可得到齊次解的形式為

(6-35)常數(shù)K由初始值uC(0)=U0來確定。令式(6-35)t=0得

K=U0

故電容電壓零輸入響應(yīng)為

(6-36)圖6-20零輸入響應(yīng)曲線

電容電流為

(6-37)

電容電壓和電流的波形如圖6-20所示。

第一種求解方法是數(shù)學(xué)的一般方法，通用性強(qiáng)。第二種方法是求解線性常系數(shù)微分方程的專用方法，齊次解、特解有特殊的物理意義?，F(xiàn)在來驗(yàn)證電路中的功率與能量的關(guān)系。電阻消耗的功率為

(6-38)

電阻消耗的總能量為

(6-39)可見，電阻消耗的能量與電容初始的儲(chǔ)能相同。也就是說，電容的初始儲(chǔ)能經(jīng)過很長(zhǎng)時(shí)間后，全部被電阻所消耗。微分方程的解描述了電路的響應(yīng)，它有很多名稱。因?yàn)檫@時(shí)輸入電源為零，常稱為零輸入響應(yīng)，也稱為自由響應(yīng)或固有響應(yīng)，又因?yàn)槭乔蠼恺R次方程，其解也稱為齊次解。表示這種響應(yīng)是由電路本身的固有特性所確定的，與外加激勵(lì)無關(guān)。因?yàn)殡娐分械某跏純?chǔ)能最終會(huì)全部消耗在電阻上，所以這個(gè)響應(yīng)最終必然消失，由此也通常稱它為暫態(tài)響應(yīng)。6.3.2時(shí)間常數(shù)

從RC電路的零輸入響應(yīng)表達(dá)式可知，各種響應(yīng)均從某初始值開始，然后按同樣的指數(shù)規(guī)律單調(diào)地衰減到零。很明顯，衰減過程進(jìn)行的快慢與指數(shù)函數(shù)中的RC的大小有關(guān)。稱RC為時(shí)間常數(shù)，RC的量綱為

(6-40)可見，RC是時(shí)間的量綱，用τ來表示時(shí)間常數(shù)，單位為秒(s)。即

τ=RC

(6-41)

時(shí)間常數(shù)τ與特征根s1的關(guān)系為

(6-42)以電容電壓uC為例，令t=τ，式(6-36)變成

(6-43)

或

可見，時(shí)間常數(shù)表現(xiàn)在零輸入響應(yīng)曲線上，可以表述為

時(shí)間常數(shù)τ等于零輸入響應(yīng)衰減到初始值的36.8%時(shí)所需的時(shí)間。根據(jù)這一含義，可以從零輸入響應(yīng)曲線圖解得到τ，如圖6-21(a)所示。嚴(yán)格地說，只有當(dāng)t趨于無窮大時(shí)電容電壓才降到零。事實(shí)上，當(dāng)t=(4~5)τ時(shí)，工程上通常認(rèn)為這時(shí)暫態(tài)過程結(jié)束。通過計(jì)算可知，當(dāng)t=τ時(shí)，uC(t)/U0的值為0.3679;當(dāng)t=2τ時(shí)，uC(t)/U0的值為0.135；t=3τ時(shí)uC(t)/U0的值為0.04979；當(dāng)t=4τ時(shí)uC(t)/U0的值為0.01832;當(dāng)t=5τ時(shí)，uC(t)/U0的值為0.006738。時(shí)間常數(shù)τ決定了零輸入響應(yīng)曲線變化的快慢，τ越大，暫態(tài)過程越長(zhǎng)，如圖6-21(b)所示。

由于τ=RC，因此，時(shí)間常數(shù)完全由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)確定，與初始值和激勵(lì)均無關(guān)。圖6-21時(shí)間常數(shù)的含義無源RC電路的求解：

(1)電容電壓的初始值uC(0)=U0；

(2)時(shí)間常數(shù)τ=RC；

(3)零輸入響應(yīng)為。

只要uC求出，電路中的其他量也能確定。在這里只討論了簡(jiǎn)單RC電路的零輸入響應(yīng)。

若電路是較復(fù)雜的RC電路，則可以采用電阻合并和電容合并方法將電路化簡(jiǎn)為簡(jiǎn)單的RC電路。

時(shí)間常數(shù)中的R就是將電容去掉后從兩端看進(jìn)去的等效電阻Req。

【例6-8】

電路如圖6-22(a)所示，已知uC(0)=15V，求t>0時(shí)的uC和ux。

解將電路變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)的RC電路，從電容兩端看進(jìn)去的等效電阻為

因此，等效電路如圖6-22(b)所示。時(shí)間常數(shù)為

τ=ReqC=4×0.1=0.4s圖6-22例6-8的電路故電容電壓為

從圖6-22(a)可知，用分壓公式求得ux，即

【例6-9】

在圖6-23(a)所示電路中，開關(guān)S在t=0時(shí)閉合，uC(0)=10V，求電容電壓uC。

解為求等效電阻，用伏安關(guān)系法，去掉電容后，在端口加電壓源如圖6-23(b)所示，可列出KCL方程

由于U=u1，等效電阻為

圖6-23例6-9的電路電路的時(shí)間常數(shù)為

τ=ReqC=103×10-6=10-3s

電容電壓為

uC=10e-103tV,

t≥06.3.3無源RL電路

在圖6-24所示的RL電路中，假定電感的初始電流

iL(0)=I0

應(yīng)用KVL列方程有

RiL+uL=0

(6-44)圖6-24

RL電路

電感元件的伏安關(guān)系為

(6-45)

將式(6-45)代入(6-44)，得

(6-46)

這是一階齊次線性常系數(shù)微分方程。下面用簡(jiǎn)捷法求解上述微分方程。

對(duì)式(6-46)，假定齊次解為指數(shù)形式：

(6-47)

其中，K和s1為待定常量。將假定的解代入式(6-46)，得到

(6-48)或

得到特征方程

Ls1+R=0

(6-49)

其解為特征根，可得到齊次解的形式為

(6-50)

常數(shù)K由初始值iL(0)=I0來確定。令上式t=0得

K=I0

故電感電流的零輸入響應(yīng)為

(6-51)圖6-25零輸入響應(yīng)曲線電感電壓為

(6-52)

電感電壓和電流的波形如圖6-25所示。

現(xiàn)在來驗(yàn)證電路中的功率與能量的關(guān)系。電阻消耗的功率為

(6-53)電阻消耗的總能量為

(6-54)

可見，電阻消耗的能量與電感初始的儲(chǔ)能相同。也就是說，電感的初始儲(chǔ)能經(jīng)過很長(zhǎng)時(shí)間后，全部被電阻所消耗。RL電路的時(shí)間常數(shù)定義為

(6-55)其量綱為

(6-56)

單位為秒(s)。時(shí)間常數(shù)τ與特征根s1的關(guān)系為

(6-57)時(shí)間常數(shù)τ決定了零輸入響應(yīng)曲線變化的快慢，τ越大，暫態(tài)過程越長(zhǎng)。這些都與RC電路的零輸入響應(yīng)的情況相同。

無源RL電路的求解：

(1)電感電流的初始值iL(0)=I0；

(2)時(shí)間常數(shù)τ=L/R；

(3)零輸入響應(yīng)為。

【例6-10】

電路如圖6-26(a)所示，開關(guān)閉合已經(jīng)很久了，在t=0時(shí)開關(guān)打開，求t>0時(shí)的電流i(t)。

解換路前t=0-的等效電路如圖6-26(b)所示，電感相當(dāng)于短路。

電感電流為

圖6-26例6-10的電路

根據(jù)換路定律

i(0+)=i(0-)=6A

換路后，電感兩端的等效電阻

Req=(4+12)∥16=8Ω

時(shí)間常數(shù)為

所以

【例6-11】

電路如圖6-27所示，開關(guān)閉合已經(jīng)很久了，在t=0時(shí)開關(guān)打開，求t>0時(shí)的電流i1和iL。

解換路后的電感合并為

等效電阻為

圖6-27例6-11的電路于是時(shí)間常數(shù)為

電感電流的初始值為

所以，電感電流為

iL=360e-50000t

mA,t≥0用分流公式，可以求得

自測(cè)題6-10

電路如圖6-28所示，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，開關(guān)S在t＝0時(shí)刻打開后，對(duì)于t≥0的所有時(shí)間，電壓u＝

。

(Ａ)10e-tV(Ｂ)10e-2tV(Ｃ)20e-tV(Ｄ)20e-2tV

自測(cè)題6-11

電路如圖6-29所示，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，開關(guān)S在t＝0時(shí)刻打開后，電容電壓的初始值u(0)=

；時(shí)間常數(shù)τ=

；對(duì)于t≥0的所有時(shí)間，電壓u=

。圖6-28自測(cè)題6-10圖6-29自測(cè)題6-11

自測(cè)題6-12

電路如圖6-30所示，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，開關(guān)S在t＝0時(shí)刻打開后，電感電流的初始i(0)=

；時(shí)間常數(shù)τ=

；對(duì)于t≥0的所有時(shí)間，電流i=

。圖6-30自測(cè)題6-126.4.1電源作用于RC電路

RC電路如圖6-31所示，開關(guān)在t=0時(shí)閉合，直流電壓源在t=0時(shí)作用于電路。設(shè)電容兩端的初始電壓為

uC(0+)=uC(0-)=U0

(6-58)

應(yīng)用KVL，有

RiC+uC=US

(6-59)6.4直流電源激勵(lì)的一階電路圖6-31

RC電路由于，式(6-59)變?yōu)?/p>

(6-60)

這是一階非齊次線性常系數(shù)微分方程。

這里介紹兩種求解上述微分方程的方法。方法一：直接法

微分方程式(6-60)可寫為

(6-61)進(jìn)一步寫成分離變量的形式

(6-62)對(duì)式(6-62)兩邊積分，可得

(6-63)

將初始值uC(0)=U0代入式(6-63)，令t=0，式(6-63)變?yōu)?/p>

ln(U0-US)=K

因此，式(6-63)為

所以，令τ=RC，電容電壓為

(6-64)這個(gè)解稱為RC電路的全響應(yīng)，也就是說，它是外加電源和電路中的初始儲(chǔ)能共同作用于電路的結(jié)果。

如果電容原沒有儲(chǔ)能，即電容的初始電壓uC(0)=U0=0，式(6-64)變?yōu)?/p>

(6-65)

這個(gè)解稱為RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)，即它是由外加電源引起的響應(yīng)，電路的初始狀態(tài)為零。

另外，如果輸入(外加電源)為零，式(6-64)變?yōu)?/p>

(6-66)這就是上節(jié)所討論的零輸入響應(yīng)。顯然有

全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)

零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)

方法二：簡(jiǎn)捷法。

在高等數(shù)學(xué)中，解線性常系數(shù)非齊次微分方程有一套十分有效的方法，無論是求RC電路還是RL電路都適用。式(6-60)的解由兩部分組成，即

uC=uCf+uCn

在全響應(yīng)表達(dá)式(6-64)中，

uCf=US

uCn=(U0-US)e-t/τ

其中，uCn為微分方程的齊次解，也稱電路的自由響應(yīng)或固有響應(yīng)。它的求解方法在6.3節(jié)已經(jīng)介紹了。由于這部分響應(yīng)最終是趨于零的，故也稱為暫態(tài)響應(yīng)。uCf為微分方程的特解，也稱為電路的強(qiáng)迫響應(yīng)，由于t→∞后，自由響應(yīng)趨于零，電路穩(wěn)定后只剩下強(qiáng)迫響應(yīng)，故也稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。因此，全響應(yīng)可以寫成:

全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)響應(yīng)+暫態(tài)響應(yīng)

uC=

US

+

(U0-US)e-t/τ,t≥0穩(wěn)態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)

電路的全響應(yīng)的表達(dá)式(6-65)就可以寫成

(6-67)

這就是求解RC電路全響應(yīng)的一般公式，其中只涉及三個(gè)量uC(∞)、uC(0+)和τ，故稱為三要素法。三要素法是求解一階電路的普遍適用的簡(jiǎn)捷方法。求解RC電路的三要素法：

(1)初值y(0+)，用換路定律或初態(tài)等效電路確定。

(2)終值y(∞)，將換路后的電路并令電容開路求得。

(3)時(shí)間常數(shù)τ=RThC，復(fù)雜RC電路可以用戴維南定理化簡(jiǎn)，求出戴維南電阻RTh。

(4)全響應(yīng)。

【例6-12】

在圖6-32所示電路中，Ｓ閉合前處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時(shí)，Ｓ閉合，求電壓uC。

解用換路定律求初值。

uC(0+)=uC(0-)=40V

開關(guān)合上后，穩(wěn)態(tài)時(shí)電容開路，可用疊加定理求得終值為

戴維南電阻為

RTh=20∥20=10Ω圖6-32例6-12電路時(shí)間常數(shù)為

τ=RThC=10×100×10-6=10-3s

用三要素法公式，有

【例6-13】

在圖6-33(a)所示電路中，Ｓ打開前處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時(shí)，Ｓ打開，求電壓uR。

解先求出電容電壓的初始值，根據(jù)換路定律有

uC(0+)=uC(0-)=0

畫出初態(tài)等效電路如圖6-33(b)所示，可求

圖6-33例6-13電路

當(dāng)t→∞時(shí)，電容開路，可得終值

戴維南電阻為

RTh=3∥(3+3)=2kΩ

時(shí)間常數(shù)為

τ=RThC=2×103×103×10-12=2×10-6s

用三要素法公式，有

圖6-34

RL電路6.4.2電源作用于RL電路

考慮圖6-34所示的RL電路，其全響應(yīng)完全可以用暫態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)之和求得，即

iL=iLn+iLf

(6-68)

暫態(tài)響應(yīng)具有負(fù)指數(shù)的形式

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是當(dāng)t→∞時(shí)電感電流的值，此時(shí)電感短路，有

所以，全響應(yīng)為

(6-69)設(shè)電感電流的初始值為

iL(0+)=iL(0-)=I0

(6-70)于是，當(dāng)t=0時(shí)，式(6-69)變?yōu)?/p>

(6-71)解得

(6-72)故全響應(yīng)為

(6-73)

如果電感原沒有儲(chǔ)能，即電感的初始電流I0=0，則式(6-73)變?yōu)?/p>

(6-74)這個(gè)解稱為RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)，即它是由外加電源引起的響應(yīng)，電路的初始狀態(tài)為零。

另外，如果輸入(外加電源)為零，式(6-73)變?yōu)?/p>

(6-75)

這就是上節(jié)所討論的零輸入響應(yīng)，顯然有全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)式(6-73)也可以寫成一般的形式

(6-76)

其中，iL(0+)、iL(∞)表示初始值和終值。這就是RL電路的三要素法公式。

【例6-14】

在圖6-35所示電路中，換路前處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)從2扳到1位置，求電壓uL。

解先求電感電流的初始值。

iL(0+)=iL(0-)=-1A

開關(guān)接通1的終值為

iL(∞)=1A圖6-35例6-14的電路

戴維南電阻為

RTh=1+1∥1=1.5Ω

時(shí)間常數(shù)為

用三要素法，電感電流為

電感電壓為

【例6-15】

在圖6-36(a)所示電路中，換路前處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)閉合，求電流i。圖6-36例6-15的電路

解先求電感電流的初始值。

iL(0+)=iL(0-)=0A

于是，畫出初態(tài)(t=0+)等效電路如圖6-36(b)所示，從圖中可得初值

當(dāng)t=∞時(shí)的等效電路如圖6-36(c)所示，從圖中可得終值

戴維南電阻為

RTh=4+6∥12=8Ω

時(shí)間常數(shù)為

用三要素法，電流為

【例6-16】如圖6-37(a)所示電路中，換路前處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)閉合，求電流i。圖6-37例6-16的電路

解先求電感電流的初始值。

iL(0+)=iL(0-)=0A

于是，初態(tài)(t=0+)時(shí)電感開路，從圖中可得初值

當(dāng)t=∞時(shí)，電感短路，應(yīng)用KVL，有

20i+4i=30

解得終值為

求戴維南電阻的電路如圖6-37(b)所示，用伏安關(guān)系法求U0和I0的關(guān)系為

U0=-4i-20i=-24i

將i=-

I0代入上式，得

戴維南電阻為

時(shí)間常數(shù)為

用三要素法，電流為

自測(cè)題6-13

電路如圖6-38所示，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，開關(guān)S在t=0時(shí)刻接通后，對(duì)于t≥0的所有時(shí)間，電壓u=

。

(A)3(1-e-2t)V

(B)3V

(C)3(1-e-0.5t)V

(D)3e-2tV圖6-38自測(cè)題6-13圖6-39自測(cè)題6-14

自測(cè)題6-14

電路如圖6-39所示，換路前電路已處于穩(wěn)態(tài)，開關(guān)S在t=0時(shí)刻接通后，對(duì)于t≥0的所有時(shí)間，電感電流iL=[CD#3]。電流i1=

。

綜上所述，全響應(yīng)可以分解為兩種形式，即零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，也可以分解為自由響應(yīng)的強(qiáng)迫響應(yīng)。6.5全響應(yīng)的分解特性6.5.1零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

如果將電感元件和電容元件的伏安關(guān)系加以比較，電感L與電容C是對(duì)偶量，RC電路的時(shí)間常數(shù)和關(guān)于uC的三素法公式，與RL電路的時(shí)間常數(shù)和關(guān)于iL的三素法公式均為對(duì)偶量。

所以，分析時(shí)只要對(duì)其中一種電路分析就可以了。另外，儲(chǔ)能元件電容以電壓uC儲(chǔ)存能量，電感以電流iL儲(chǔ)存能量。因此，電容電壓uC和電感電流iL在動(dòng)態(tài)電路的分析中占有特殊的地位，它們是電路的狀態(tài)變量。通常所說的電路中狀態(tài)、初始狀態(tài)就是指電容電壓uC和電感電流iL。

如零狀態(tài)響應(yīng)中的零狀態(tài)就是指狀態(tài)變量的初始值為零，即使是以非狀態(tài)變量為響應(yīng)也是如此。以RC電路為例，選電容電壓uC為響應(yīng)，初始值為uC(0)=U0，外加電壓源為US，則全響應(yīng)為

uC=U0e-t/τ+US(1-e-t/τ)=uCzi+uCzs

(6-77)其中，為零輸入響應(yīng)，即是令輸入為零，由初始值引起的響應(yīng)。僅與初始值有關(guān)，所以零輸入響應(yīng)與初始值成線性關(guān)系,也稱為零輸入響應(yīng)線性。也就是說，初始值U0乘以K倍，零輸入響應(yīng)uCzi也乘以K倍。而第二項(xiàng)uCzs=US(1-e-t/τ)為零狀態(tài)響應(yīng)，即令電容電壓初始值為零，由外加輸入電壓引起的響應(yīng)。僅與輸入有關(guān)，所以零狀態(tài)響應(yīng)與輸入電源成線性關(guān)系，也稱為零狀態(tài)響應(yīng)線性。也就是說，輸入U(xiǎn)S乘以K倍，零狀態(tài)響應(yīng)uCzs也乘以K倍。于是，可以得出如下結(jié)論：

全響應(yīng)分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)：y=yzi+yzs，并且有

(1)零輸入響應(yīng)是輸入為零而由初始狀態(tài)引起的響應(yīng)，是初始狀態(tài)的線性函數(shù)。

(2)零狀態(tài)響應(yīng)是初始狀態(tài)為零而由輸入引起的響應(yīng)，是輸入的線性函數(shù)。

(3)全響應(yīng)既不是初始狀態(tài)，也不是輸入的線性函數(shù)。這一結(jié)論不僅對(duì)一階電路成立，而且對(duì)線性高階電路也是成立的，它的正確性可以用疊加定理來說明。我們可以把動(dòng)態(tài)電路中的獨(dú)立電源和初始狀態(tài)看成是兩類電源，當(dāng)獨(dú)立電源單獨(dú)作用于電路產(chǎn)生的響應(yīng)就是零狀態(tài)響應(yīng)；當(dāng)初始狀態(tài)(初始電源)單獨(dú)作用于電路產(chǎn)生的響應(yīng)就是零輸入響應(yīng)。這實(shí)際上是疊加定理在線性動(dòng)態(tài)電路中的應(yīng)用。6.5.2自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)

以RC電路為例，選電容電壓uC為響應(yīng)，初始值為uC(0)=U0，外加電壓源為US，則全響應(yīng)為

(6-78)其中為自由響應(yīng)或暫態(tài)響應(yīng)，也是微分方程的齊次解。uCf=US為強(qiáng)迫響應(yīng)或穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，也是微分方程的特解。三要素法公式就是根據(jù)這種方法推導(dǎo)出來的。全響應(yīng)分解為自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)：y=yn+yf，并且有(1)自由響應(yīng)(暫態(tài)響應(yīng))：，反映了電路固有的特性。

(2)強(qiáng)迫響應(yīng)(穩(wěn)態(tài)響應(yīng))：yf=y(∞)=常數(shù)，反映了t→∞電路到達(dá)穩(wěn)定的特性。由此可見，第一種分解方法著眼于響應(yīng)的因果關(guān)系。反映了線性電路的疊加性。零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的概念在系統(tǒng)理論中有很重要的作用。第二種分解方法著眼于電路的兩種工作狀態(tài)，即暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)，反映了電路的固有特性和穩(wěn)定時(shí)的特性。本書內(nèi)容的敘述順序就是直流穩(wěn)態(tài)(直流電阻電路)→暫態(tài)(動(dòng)態(tài)電路)→交流穩(wěn)態(tài)(交流電路)?？梢?，電路的工作狀態(tài)有著重要的物理意義。

【例6-17】

如圖6-40(a)所示電路，換路前處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時(shí)開關(guān)閉合，求電流i。

解由于各種響應(yīng)的時(shí)間常數(shù)相同，先求時(shí)間常數(shù)。戴維南電阻為

RTh=3∥6+6=8Ω

時(shí)間常數(shù)為

電感電流的初始值為

方法一：分解為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。

圖6-40(b)就是輸入為零的電路。電流i的初始值為

由于終值i(∞)=0，因此零輸入響應(yīng)為

圖6-40例6-17的電路再求零狀態(tài)響應(yīng)：令iL(0+)=0，從圖6-40(a)將電感開路可得

求終值時(shí)，電感短路如圖6-41(b)所示，用疊加定理可求得

用三要素法公式，零狀態(tài)響應(yīng)為

全響應(yīng)為

圖6-41例6-17初態(tài)和穩(wěn)態(tài)電路方法二：分解為自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。

初態(tài)等效電路如圖6-41(a)所示，用疊加定理可得

求終值時(shí)，將電感短路如圖6-41(b)所示，用疊加定理可求得

用三要素法公式，全響應(yīng)為

通過此題可知，在一般情況下用三要素法直接求解電路的全響應(yīng)要簡(jiǎn)單些。它只能得到自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。而用零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)求解，計(jì)算上顯然復(fù)雜些。

【例6-18】

如圖6-42所示電路，換路前處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時(shí)開關(guān)打開，求電路中的電流i1和i2。

解

(1)當(dāng)t=0-時(shí)，畫出等效電路如圖6-43所示，可得

圖6-42例6-18的電路圖6-43

t<0的等效電路

(2)當(dāng)t≥0時(shí)，電路可分解為兩個(gè)一階電路，如圖6-44所示。

對(duì)圖6-44(a)，電容電壓的終值可用疊加定理求得

時(shí)間常數(shù)τ=

s，用三要素法公式，有

圖6-44

t>0的等效電路所以，電流為

對(duì)圖6-44(b)，電感電流的終值可用疊加定理求得

時(shí)間常數(shù)τ=

s，用三要素法公式，有

iL=2.5+0.25e-8tV,

t≥0

于是有

i2=3-iL=0.5-0.25e-8tA,

t≥0+

顯然本題是先求狀態(tài)變量uC和iL，再求非狀態(tài)變量i1和i2。這樣免去了求i1和i2初始值的麻煩。當(dāng)然，也可以直接用三要素法求i1和i2。

自測(cè)題6-15

RC一階電路的全響應(yīng)uC(t)=10-6e-10tV，初始狀態(tài)不變而輸入增加一倍，則全響應(yīng)uC(t)為

。

(Ａ)20-12e-10t(Ｂ)20-6e-10t

(Ｃ)10-12e-10t(Ｄ)20-16e-10t

自測(cè)題6-16

如圖6-45所示，電路原已穩(wěn)定，當(dāng)t=0時(shí)，開關(guān)由位置“1”換到“2”，則換路后，響應(yīng)uC(t)的暫態(tài)分量為

，穩(wěn)態(tài)分量為

；零輸入響應(yīng)為

，零狀態(tài)響應(yīng)為

。

自測(cè)題6-17

如圖6-46所示電路在S閉合前處于穩(wěn)態(tài)，求S閉合后的電流i1=

，i2=

。圖6-45自測(cè)題6-16圖6-46自測(cè)題6-176.6.1階躍函數(shù)

單位階躍函數(shù)可看成信號(hào)γ(t)使τ趨于零，如圖6-47(a)所示。可定義為

(6-79)6.6一階電路的階躍響應(yīng)單位階躍函數(shù)在t=0處是非連續(xù)的，它在這一點(diǎn)上的值未被定義。波形如圖6-47(b)所示。

對(duì)于一般格式ε［f(t)］，當(dāng)f(t)>0時(shí)，ε［f(t)］=1；當(dāng)f(t)<0時(shí)，ε［f(t)］=0。所以，延遲的單位階躍函數(shù)為

(6-80)

其波形如圖6-47(c)所示。圖6-47階躍函數(shù)和延遲的階躍函數(shù)用階躍函數(shù)可以很方便地表示一些分段常量波形，如方波可以分解為兩個(gè)階躍函數(shù)之和，即

f(t)=Kε(t-t0)-Kε(t-t1)

其波形如圖6-48所示。圖6-48方波分解為兩個(gè)階躍函數(shù)之和階躍函數(shù)相當(dāng)于電源瞬時(shí)接通網(wǎng)絡(luò)，如圖6-49(a)所示電路可以用圖6-49(b)來表示。

這樣就省去了開關(guān)，同樣表示t=0時(shí)網(wǎng)絡(luò)N接通電壓源US。同樣，如圖6-49(c)所示電路可以用圖6-49(d)來表示。圖6-49用階躍函數(shù)表示電源在t=0時(shí)作用于網(wǎng)絡(luò)圖6-50

RC電路的階躍響應(yīng)電路對(duì)單位階躍函數(shù)輸入的零狀態(tài)響應(yīng)稱為階躍響應(yīng)，記為g(t)。下面以圖6-50所示電路為例說明階躍響應(yīng)的求法。以電容電壓uC為響應(yīng)，并且是零狀態(tài)uC(0-)=0。

用三要素法求解，時(shí)間常數(shù)τ=RC，終值uC(∞)=1V，階躍響應(yīng)為

g(t)=uC(t)=(1-e-t/τ)ε(t)如果電路的輸入是幅度為A的階躍函數(shù)Aε(t)，則根據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)線性可知階躍響應(yīng)為Ag(t)。若單位階躍函數(shù)作用下的響應(yīng)為g(t)，則在延遲的階躍函數(shù)ε(t-t0)作用下響應(yīng)應(yīng)為g(t-t0)，這一性質(zhì)稱為時(shí)不變性。

在實(shí)際中，常常有矩形波等分段常量信號(hào)作為電路的輸入。解決這類問題的方法有兩個(gè)：

一是將分段常量信號(hào)分解成多個(gè)階躍函數(shù)，求出階躍響應(yīng)并運(yùn)用疊加定理和時(shí)不變性質(zhì)得到電路的響應(yīng)；二是用三要素法分段求解。

【例6-19】

在如圖6-51(a)所示電路中，電感電流的初始值iL(0)=0，電壓源電壓如圖6-51(b)所示，求電路中的電流i。圖6-51例6-19的電路

解方法一:利用階躍響應(yīng)求解。將電壓源電壓寫成階躍函數(shù)的形式

uS=25ε(t)-25ε(t-1)V

當(dāng)單位階躍函數(shù)輸入時(shí)，即uS=ε(t)作用于電路時(shí)，由于iL(0+)=iL(0-)=0，因此，電流i的初始值為

當(dāng)t→∞時(shí)，電感短路，因此電流i的終值為

i(∞)=0

戴維南電阻RTh=2∥3=1.2Ω，時(shí)間常數(shù)為

單位階躍響應(yīng)為

g(t)=0.2e-tε(t)根據(jù)疊加定理和時(shí)不變性質(zhì)，電流i的表達(dá)式為圖6-52由階躍響應(yīng)疊加的電流波形畫出電流i的波形如圖6-52所示。

方法二：按時(shí)間段分別用三要素法求解。

當(dāng)0≤t≤1s時(shí)，初始值iL(0+)=iL(0-)=0,

終值

時(shí)間常數(shù)

所以

圖6-53分段畫出的電流波形當(dāng)t≥1s時(shí)，電感電流的初始值，即t=1s的值

iL(1)=12.5(1-e-1)=7.9015A

當(dāng)t=1+s時(shí)，電壓源的電壓為零，電感等效于7.9A的電流源。因此，電流i的初始值為

i(∞)=0,時(shí)間常數(shù)不變，可得

i=-3.1606e-(t-1)A,t≥1+畫出電流i的波形如圖6-53所示。6.7.1電感元件和電容元件的伏安關(guān)系

電感元件的伏安關(guān)系為

電容元件的伏安關(guān)系為

*6.7計(jì)算機(jī)仿真以電容元件為例，在電容元件兩端加正弦電壓uC=5sin(1000πt)，選電容C=0.1μF，則電容電流為

運(yùn)行EWB，創(chuàng)建如圖6-54所示電路。電容C=0.1μF，選取并設(shè)置信號(hào)發(fā)生器參數(shù)，選擇正弦波，頻率f=1kHz，振幅為5V，選取樣電阻為1Ω，如圖6-55所示。圖6-54EWB創(chuàng)建的測(cè)量電路圖6-55設(shè)置信號(hào)源為正弦波打開右上角的開關(guān)，然后馬上關(guān)上。調(diào)節(jié)好示波器橫(時(shí)間)軸和縱(幅度)軸，直到能比較清楚地顯示波形為止，如圖6-56所示。

從圖中可知，兩正弦波相差90°，A通道測(cè)量的是uC，用游標(biāo)尺量出幅度為4.9947V。B通道測(cè)量的是iC，用游標(biāo)尺量出幅度為3.1565mV(取樣電阻上的電壓)。與理論計(jì)算的結(jié)果一致。圖6-56示波器顯示的uC和iC的波形6.7.2動(dòng)態(tài)電路的瞬態(tài)分析

用EWB還可以進(jìn)行電路的瞬態(tài)分析。設(shè)輸入信號(hào)為如圖6-57所示的波形，加入RC電路，求電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)。首先，創(chuàng)建RC電路如圖6-58(a)所示，R=1kΩ，C=1μF，構(gòu)造如圖6-57所示的輸入信號(hào)。選用延遲開關(guān)，接法如圖6-58(a)所示，其參數(shù)設(shè)置如圖6-58(b)所示，TON為0.006s，表示接通10V時(shí)間是6ms；TOFF為0.002s，表示接通4V時(shí)間是2ms。所以開關(guān)延遲換路的順序是：接通4V從0至2ms，再接通10V至6ms，最后接通4V。圖6-57輸入信號(hào)的波形選“Analysis”中的“TransientAnalysis”，彈出如圖6-58(c)所示的對(duì)話框，設(shè)初始值為零，開始時(shí)間為零，

終止時(shí)間為0.01s，計(jì)算的總抽樣點(diǎn)200，對(duì)節(jié)點(diǎn)3即電容電壓分析。設(shè)置好后，單擊右上角的“Simulate”按鈕。仿真結(jié)果彈出如圖6-58(d)所示。

從仿真曲線可知，結(jié)論與理論分析一致。圖6-58

RC電路仿真用圖電感元件的特性

·

電感電流不允許躍變

·

電感的端電壓允許躍變

·

電感對(duì)于直流可以視為短路

電容元件的特性

·

電容的端電壓不允許躍變

·

電容電流允許躍變

·

電容對(duì)于直流可以視為開路本章小結(jié)電感元件和電容元件是無源元件。它們能儲(chǔ)存能量，但不能產(chǎn)生或消耗能量。

串聯(lián)和并聯(lián)電感的等效電感，可以分別采用與電阻串聯(lián)和并聯(lián)等效電阻相同形式的公式表示。串聯(lián)和并聯(lián)電容的等效電容，可以分別采用與電導(dǎo)串聯(lián)和并聯(lián)等效電阻相同形式的公式表示。

換路定律用來確定狀態(tài)變量的初始值。非狀態(tài)變量的初始值要用初態(tài)等效電路來確定。

全響應(yīng)有