【高考數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)】高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)分類

易錯(cuò)01集合

元素意義理不清否命題與命題否定區(qū)分

集

合

與

邏

輯

集合互異性忘檢驗(yàn)用充分、必要傻傻分不清

語

子集為空集與取等全稱特稱與最值

易錯(cuò)點(diǎn)1元素的意義

【例1】(2020?高郵市第一中學(xué)高三月考)已知集合A-{(x,y),2+y2-1},B-{(x,y)|y-|x||,則集

合ACIB的子集的個(gè)數(shù)為()

A.2B.4C.8D.16

=旦

x=-----

x+y=\2-~^2

【解析】解《得’,L或《

V2_V2：

y=—一2

408=一日，乎，孝，孝，，即4nB中有2個(gè)元素；「.AnB子集個(gè)數(shù)為4.故選：B.

【變式訓(xùn)練】

1.（2017?全國(guó)高考真題（理））己知集合,4={（m），）,2+>2=]},〃={（%,y）b，=%},則an25中元素的

個(gè)數(shù)為（）

A.3B.2C.1D.0

【解析】由題意，可知集合/表示以（0,0）為圓心，1為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集合8表示直

線y=%上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓V+y2=與直線y=x相交于兩點(diǎn)

則ACI8中有2個(gè)元素.故選B.

2.（2020?山東））若集合A/={（x,y）|x+；H）},N={（x,y）|x2+/=0,x€R,y￡R},則有（）

A.MUN=MB.MUN=NC.MC\N=MD.MCN=@

【解析】根據(jù)集合的表示法知集合M表示直線，集合N表示一個(gè)點(diǎn)且點(diǎn)在直線上，得到兩集合的并集.

詳解：N={（x,y）\x2+y2=0,x￡R,y￡R}={（0,0）},且點(diǎn)（0,0）滿足直線x+y=0.

所以,故選A.

2f?

3.（2020-寧夏銀川一中高三月考（理））設(shè)集合4=,（乂曰％2+1_=13=（x,y）y=-1>，則4nB

的子集的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

【解析】集合A=

丁+2

則Ac\B=h畫出圖形：由圖知，AflB元素有2個(gè)，則AflB子集有2?=4個(gè)，選A

fn

易錯(cuò)點(diǎn)2集合的互異性

【例2】20.（2020黑龍江哈爾濱-高三月考（理））已知集合4={0,1,。2},5={1,0,3?-2},若A=6,

則。笨于（）

A.1或2B.一1或一2C.2D.1

【答案】C

【解析】因?yàn)锳=3，所以〃2=3〃—2，解得。=1或。=2.

當(dāng)。=1時(shí)，"=i，與集合元素互異性矛盾，故。=1不正確.經(jīng)檢驗(yàn)可知。=2符合.故選：C

【易錯(cuò)總結(jié)】

根據(jù)題意求出參數(shù)后，記得將參數(shù)代入原集合，看集合中的元素是否滿足元素的互異性，不滿足則舍

去。

【變式訓(xùn)練】

1.（2020?四川成都?石室中學(xué)月考）4={。-2,2/+5。,12}其一3￡4,則由。的值構(gòu)成的集合是（）

A.0

【解析】v-3eA,當(dāng)〃-2=-3,即a=T時(shí)，A={-3,-3,12},集合中有相同元素，舍去;

當(dāng)加2+5。二一3，即。=一1（舍）或。?時(shí)，4=，一1,一3』21,符合，

乙IzJ

故由。的值構(gòu)成的集合是.故選：D

2.（2020?泊頭市第一中學(xué)高一月考）若一lw{3,/一。一1,/一］},則斫（

A.-1D.0或1

【解析】因?yàn)橐?W{3,。2一。一1,。2一］},所以有一白一1=—1或q2—1=—］

當(dāng)。2一。一1二一1時(shí)，解得。=。或。=1,當(dāng)。=0時(shí)，K符合集合元素的互異性，故

舍去，所以。=1.當(dāng)片—1=—1時(shí)，解得〃=0,由上可知舍去，綜上：〃=1.故選：C

易錯(cuò)點(diǎn)3子集為空集與取等

3x

［例3］（2020?渝中?重慶巴蜀中學(xué)月考）已知集合A=\x\<2>,3={x|4-2<x<2a+l},若,

x+1

則實(shí)數(shù)"的取值范圍是（）

A.B.C.1D.

5r2

3x-2x-2x-2

【解析】（1）因?yàn)锳—<2=x<0>=x<0^=1x|-l<x<2|,

x+1x+1x+7

a—2W—1]

又3={X。-2cx<2a+l},A^B,所以，c-c，解得故選：B.

2a+\>22

【易錯(cuò)總結(jié)】

區(qū)分子集包括集合相等，真子集不包括集合相等

f分式中分母為0

子子集=0

集子集含有參數(shù)［不等式左端點(diǎn)）（或二）右端點(diǎn)

為

空子集工0

集

求

與

參真子集按子集思路求參數(shù)再驗(yàn)證”=”

取

數(shù)

等里空外空取等

子集取J”，里空外實(shí)取等

V空指集合沒有等號(hào)，實(shí)指集合有等號(hào)

-----------?里實(shí)外實(shí)取等

里實(shí)外空不取等

【變式訓(xùn)練】

1.（2020?安慶市第七中學(xué)高三其他（文））已知集合用={幻/=1},7V={x|ar=l},若NqM,則實(shí)

數(shù)a的取值集合為（）

A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{1,-1,0）

【解析】???集合M={x|x2=l}={-1,1},N={x|ax=l},NUM,工當(dāng)a=0時(shí)，N=0,成立；

當(dāng)a#）時(shí)，N={—},VNCM,，一=一1或一=1.解得a=-l或a=l,

aaa

綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合為{1,-I,0}.故選D.

x—3

2.（2020?揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校月考）若集合A=\x\-->0k8={x|依+140},若BqA,

x+1

則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（

b-（4J.

c.y,-l）U[0,E）D.r-1,o）u（o,i）

【解析】因?yàn)楦嬷?x+l聲0

所以1）納所以-1或壯3,

所以A={x|%v-1或％之3},

當(dāng)。=0時(shí)，1VO不成立，所以4=0,所以8口4滿足,

當(dāng)。>0時(shí)，因?yàn)閍c+l<0,所以xW-L,

a

又因?yàn)锽qA,所以一，<一1,所以O(shè)va<l,

a

當(dāng)a<0時(shí)，因?yàn)閍r+lWO,所以x之一

又因?yàn)?口4,所以一工之3,所以一

a3

綜上可知：一!』）.故選：A.

3.（2021?三門峽市第一高級(jí)中學(xué)月考）已知集合4={也一l?xKa+2},3={小<九<5},則使A33

成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

A.{&3<aW4}B.1t7|3<x<4|C.{43<a<4}D.0

【解析】若滿足438,由已知條件得〈.一解得3W/nW4,故選：C.

。+225

易錯(cuò)點(diǎn)4命題的否定與否命題的區(qū)分

【例4】（1）（2020?福建其他）命題“Dxe（0,+oo）,sinx上x十■!"”的否定是（）

x

A.Vxe（0,+oo）,sinx<x+—B.3X€（0,-H?）,sinx^x+—

xx

C.Hxe（0,+<?）,sinx<x+—D.3XG（-OO,0],sinx<x+—

xx

（2）.（2020?陜西省商丹高新學(xué)校高三其他（理））命題“若則Hx>0,使得優(yōu)>/，，的否命題為（）

A.若a<l,則Vx>0,ax<x2B.若則玉>0,ax<x2

xx2

C.若則*WO,a>^D.若。>1,則Dx>0,a<x

【解析】（1）因?yàn)槊}“Vxe（0,+co）,sinxNx+—"為全稱命題，

X

所以該命題的否定是“3XG（0,2）,sinxvx+!”.故選；C.

x

⑵命題“若則3%>0,使得/>/，，的否命題為“若則以>0,廢工爐”故選：人

【易錯(cuò)總結(jié)】

J否命題：否定條件與結(jié)論

[命題的否定：又名非命題，只否定結(jié)論

【變式訓(xùn)練】

1.（2020?河北月考）命題“Vx￡（0,T8）,爐+2》之1”的否定是（）.

A.G（0,+oo）,石+2與<1B.丸c（O,~Hx））,片+2“21

2V2r

C.Vxe（0,-Ko）,X+2<1D.x+2<l

【解析】命題“Wxw（0,+8）,f+2》N1”為全稱量詞命題，其否定為存在量詞命題，所以命題的否定為:

e（0,+oo）,片+2/<1.故選：A.

2.（2020?甘谷縣第四中學(xué)月考（文））命題“若丁+/=。，則工=了=0”的否命題為（）

A.若f+y2=o,則不工0且丁。0B.若f+y2=o,則xwO或y=0

C.若f+y2工o,則xwo且ywOD.若d+VwO,則xwO或ywO

【解析】???設(shè)P為原命題條件,q為原命題結(jié)論，則否命題:若非P則非q.

???原命題“若f+y2=0,則x=y=0"

故其否命題為：若d+），2w0,則或ywO故選:D.

3.（2010?黑龍江齊齊哈爾）下列說法正確的是（）

A.命題“若/〉［,則％>1”的否命題為“若產(chǎn)>1，則XW1”

B.命題“三%￡R，%>1”的否定是“心￡及，X2>r>

C.命題“若x=y,則cosx=8sy”的逆否命題為假命題

D.命題“若％=y，則?08冗=85戶，的逆命題為假命題

【解析】4命題“若犬>1，則x>l”的否命題為“若fwi，則XW1”，故4錯(cuò)誤；

B.命題“6：oWR,x>l”的否定是“X/xeR,X2<1故8錯(cuò)誤；

C命題“若x=y,則cosx=cosy，，為真命題，故它的逆否命題為真，故C錯(cuò)誤；

D.命題“若x=y,貝1r08冗=8$戶，的逆命題為“若?08冗=80九則工='"，當(dāng)工=一丁時(shí)，cosx=cosy

成立，故為假命題.故選：D

易錯(cuò)點(diǎn)5充分、必要傻傻分不清

【例5】(1)(2020黑山縣黑山中學(xué)月考)三知集合人=卜卜=愴(2—*)},3=(ro,a],若；veA是;veZ?

的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)?的取值范圍為()

A.a<2B.a>2C.a>2D.a<2

(2)(2020?陜西新城?西安中學(xué)高三月考(理))設(shè)P:|4x-3|41,4：X2—(2z+l)x+a(a+l)<0,若一*是

F的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

r1-1(\\「1、(\

A.0,-B.0,-C.(-oo,0]U-,+ooD.(-oo,0)U-,+(?

-2」\2).2))

[解析](1)VA=^x\y=1g(2-x)}=\x\2-x>0}={x\x<2},B=(-co,a],

由于JVWA是xwb的必要不充分條件，則「.avZ.故選：A.

(2)由非〃是非4的必要而不充分條件，可知4是〃的必要而不充分條件，即〃是4充分而不必要條件，

解不等式|43一3區(qū)1,得4=g』，解不等式翁：￡一帆北?陸中城裔三蜘得8=[a,a+l]，由題意知

aW-I

-A是3=[a,a+l]的真子集，所以{2,即0<。<一，故選A.

a+l>l

【易錯(cuò)總結(jié)】

一.充分、必要性

［條件=結(jié)論f充分性

i結(jié)論=條件T必要性

—.充分、必要條件與集合的關(guān)系

充分、必要條件：4=,8={Mq（M集合關(guān)系

若kq,則"是。的充分條件，9是"的必要條件AQB

。是q的充分不必要條件0=>9且牙pAUB

夕是q的必要不充分條件Fq且gpBUA

。是9的充要條件p^qA=B

夕是9的既不充分也不必要條件尸q且審p/住B且

（1）先求出各自的范圍

（小范圍可以推出大范圍

解題思路.（2）判斷范圍的大小列式O

［大范圍可以推不出小范圍

（3）按子集思路解決“取等”問題再驗(yàn)證結(jié)果的“二”

【變式訓(xùn)練】

1.（2020?天津高考真題）設(shè)aeR,貝『加>1”是"/>。，，的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】求解二次不等式〃2可得：或。<0,據(jù)此可知：是小>〃的充分不必要條件.

故選：A.

2.（2020?江蘇省鄭集高級(jí)中學(xué)月考）已知命題p：。2+1,命題夕：x2-4x<0,若p是4的充分不必要條

件，則。的取值范圍是.

【解析】令A(yù)/={x|aSr^a+l},N={4^-4》<0}=國(guó)084}.

??6是q的充分不必要條件，???M￡V,???JQ+]<4,解得0<"3.故填（0,3）

3.（2020?陜西省洛南中學(xué)）已知集合A=?2、<8,3={乂-1vx<加+1},若xeA是xeB

的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)用的取值范圍為.

【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得4=b'<2]<8,4￡6=何一1<%<3}.

因?yàn)椋?￡人是xeB的充分不必要條件，所以,

所以機(jī)+1>3,解得m>2.

所以實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍為（2,一）故答案為：（2,”）

易錯(cuò)點(diǎn)6全稱特稱與最值

【例6】已知函數(shù)/(”)=2/+4x-A,g(x)="2-2x.

(1)若對(duì)任意x4-3,3],都有〃x)Wg(x)成立，求實(shí)數(shù)％的取值范圍；

(2)若存在工?-3,3],使/(x)Kg(x)成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)若對(duì)任意芭，々式一工3],都有“耳)《8(王)成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

【解析】⑴由題意得：g(x)-/(x)=T2_6x+AN0對(duì)任意工￡[一3,3]恒成立,

即％2公+6x對(duì)任意xc[-3,3]恒成立，

當(dāng)x=3時(shí)，f+6x取得最大值27,.?MN27,即％的取值范圍為[27,+?).

(2)由題意得：存在xe[—3,3],使得g(x)—/(x)=—x2—6x+4二0成立，

即存在工?—3,3],使得女之。+6x成立,

當(dāng)％=—3時(shí)，f+6/取得最小值—9,.，.4之一9,即Z的取值范圍為[-9,+/).

⑶由題意得:當(dāng)了7-3,3]時(shí),/(x)-Kg(必

當(dāng)x=3時(shí)，/(x)a=18+12—攵=30—左：當(dāng)％=1時(shí)，g(x).=l-2=-l,

.?.30-人工一1,解得：k>31,即％的取值范圍為[31,田).

【易錯(cuò)總結(jié)】

一.形如ax?+bx+c的不等式

4=0

X€Ra>0和△列式

a>0和△列式

V：大于最大小于最小

分離參變量=參變量與最值的關(guān)系

3：大于最小小于最大

X房???

不能分離參變量=

。=()=開口、對(duì)稱軸、△等列式

二.非一元二次模型

V：大于最大小于最小

分離參變量=參變量與最值的關(guān)系

3；大于最小小于最大

【變式訓(xùn)練】

1.(2020?臨高縣臨高中學(xué)月考)命題“玉小寵二片一叫+?^^^為假命題.則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是,

【解析】由題意可得命題:以￡氏2/一3奴+920為真命題.

所以△=（一3。）2-4、2*940,解得_20￡〃工2&.

2.(2020?利辛縣闞瞳金石中學(xué)月考)若命題“存在實(shí)數(shù)/41,2],使得，+產(chǎn)+3一加<0”是假命題,則實(shí)數(shù)m

的取值為

【解析】因?yàn)槊}“存在實(shí)數(shù)xo￡[l,2],使得ex+x2+3-m<0”是假命題

所以命題的否定形式為“對(duì)于任意實(shí)數(shù)x°￡[l,2],使得ex+x2+3-m20”恒成立是真命題

由^+\*2+3-01>0可得加wex+x2+3在[1,2]上恒成立

設(shè)/(.0=/+/+3/(幻=F+2%在[1,2]上大于0恒成立，

所以/(x)=/+/+3在[1,2]為單調(diào)遞增函數(shù)所以/(x)inin=/⑴=e+l+3=e+4

所以m.We+4即m的取值范圍為(YO,C+4]

3.（2020?湖南寧鄉(xiāng)一中）已知函數(shù)/（幻=/，g*）=（廠一機(jī)

⑴若對(duì)任意[-1,3],%?0,2]都有fa）2g（毛）成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍；

（2）若對(duì)任意天《0,2],總存在％w卜1,3],使得/（x,）》g（w）成立，求實(shí)數(shù)"7的取值范圍.

【解析】（1）由題設(shè)知：〃西）喻之8（%）皿，

???/（x）在（一1,0）上遞減，在（0,3）上遞增，???/（x）min=/（0）=0

又「g（x）在（0,2）上遞減，???g（w）1rax=g（0）=l-m?,?有0之1一加,加的范圍為[1,+8）

（2）由題設(shè)知1raxNg（W）a，???有f⑶Ng（°），即9之1一加，???”的范圍為[―8,一）

【鞏固提升】

1.（2G20?土默特左旗第一中學(xué)）若集合A="=｛（x,y）|y=幻，則集合4nB

中的元素個(gè)數(shù)為.

【解析】集合4=｛（蒼））及=2/-3%+1｝,8=｛（x,y）|y=x｝均表示的是點(diǎn)集，即曲線上的點(diǎn)構(gòu)成的集

合，則集合AcB即為求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn).

y—2/2—3工+1

聯(lián)立方程得：V,2X2-4X+1=0?由A=16—8=8>0知兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以

y=x

集合AcB中的元素個(gè)數(shù)為2.

2.（2020?全國(guó)高考真題（理））己知集合4=｛?田|若丁€4,"之刈,B=｛（x>y）\x+y=S]f則中元

素的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.6

（y>x

【解析】由題意，ACI3中的元素滿足《J-C,且x,ywN",由x+y=822x,得x44,

Ix+y=8

所以滿足x+y=8的有（1,7）,（2,6）,（3,5）.（4,4）,故4nB中元素的個(gè)數(shù)為4.故選：C.

3.（2020?山東高三零模）已知集合4={-1,2},B={x|ox=l},若BqA,則由實(shí)數(shù)。的所有可能的取

值組成的集合為（）

C.>D.—1,0,—>

22

【解析】因?yàn)榧?={-1,2},B={x\ax=\],B^A,

若3為空集，則方程以=1無解，解得。=0；

若5不為空集，則〃￥0；由欠=1解得了=，,所以1=_i或L=2,解得々=一1或。=工,

aaa2

綜上，由實(shí)數(shù)。的所有可能的取值組成的集合為，.故選D

4.（2020?安徽省泗縣第一中學(xué)開學(xué)考試）若集合A={x|"—av+l<O}=0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

（）

A.{a|0<a<4}B.{a\0<a<4}c.{a|0<a<4}D.{a|0<a<4}

【解析】設(shè)/（x）=a?—ar+1

當(dāng)a=O時(shí)，/（x）=l>0,滿足題意；當(dāng)a±O時(shí)，“X）時(shí)二次函數(shù)

因?yàn)锳={X|G;2-ar+l<O}=0,所以/（1）=加一如+1恒大于0,即口40

所以/-4aW0，解得

5.（2020?江西南昌二中月考）已知集合4=卜|四2+2戈+。=0,?！瓿遾,若集合A有且僅有兩個(gè)子集,

則“的值是（）

A.1B.-1C.0,1D.-1,0,1

【解析】因?yàn)榧?有且僅有兩個(gè)子集，即為。和集合力本身，

故集合A中的元素只有一個(gè)，即方程O￥2+2X+Q=0只有一個(gè)解，

當(dāng)。=0時(shí)，原方程為2x=0,即x=0,符合題意；

當(dāng)awO時(shí)，令△=22-4/=0，：.a=±\

綜上，a=T,〃=0或。=1可符合題意.故選：D.

6.（2021?四川省瀘縣第四中學(xué)月考）已知集合4={^/-3工+2=0},3={乂丁一如+2=0},若

4口8=〃，則〃z的取值范圍為.

【解析】由f_3x+2=O解得X=1或才=2,所以4={1,2},因?yàn)?所以可能

區(qū)=點(diǎn){1},{2},{1,2},分別分析，當(dāng)△二病一8<0即一2血<相<2應(yīng)時(shí)B=。，符合題意，再有根與

系數(shù)的關(guān)系知，8二{1,2}時(shí)，w=3符合題意，B={1},{2}不符合題意，故填{制陽=3或

-272<m<2>/2}

7.（2020?寶山?上海交大附中開學(xué)考試）設(shè)集合A=[l,3],B=[/〃+l,2〃?+4],若A=B,則實(shí)數(shù)用的取

值范圍是.

w+1<11「1

【解析】VAcB,,解得一-WmVO.故答案為：一:7，0.

8.（2020?江蘇寶應(yīng)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知集合4={討-2?工<5},B={^m+\<x<2m-\}t若

B=則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

【解析】根據(jù)題意得：當(dāng)4=0時(shí)，m+1之26一1,解得加工2：

tn+\<2m-1

當(dāng)3工0時(shí)，+12-2,解得2〈機(jī)43.綜上，機(jī)<3.故答案為：（-oo,3].

2m-1<5

9.（2020?四川省瀘縣第一中學(xué)月考）已知集合4={2-2<%<5},3={x|切+1WxW29一1},若A,

求實(shí)數(shù)〃1的取值范圍____________.

【解析】由題：B^A

當(dāng)m+l>26一1,即機(jī)<2時(shí)，B=0,符合題意;

當(dāng)m十即加22時(shí)，"0,BoA,{黑焦>得2KmK3；綜上：加￡（f3]

10.（2020?宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校月考）設(shè)人={./一2工一15>0},Z?={x|a+I<x<2?-1},且

BQCRA,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

【解析】???A={4/一2x—15>0}={X|XV—3或%>5},:.CRA={x\-3<x<5}f

vB=1x|a+1<x<,且BqC^A,

當(dāng)8=0時(shí)，a+\>2a-\,解得：a<2.

a+\<2a-\a+\<2a-\

當(dāng)8工0時(shí)，?。+1>-3,或，a+\>-3即2<a<3.綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為a<3.

2a-l<52a-l<5

11.（2020?全國(guó)月考（理））己知集合A一四（；）了*6?1}

B={x|log3(x-l-a)>1),若aw〉”是

的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【解析】由4=卜|（，'-6小

X—6>0即x<—2或xN3；?A={x\x<-2或xN3}

由Iog3（x+〃）N1,得x+aN3,即讓3-a,則8={小之3-。}

由題意知：BOA,3—。23,得.故答案為：（-8,0]

12.（2020?河南高三其他（文））若關(guān)于x的不等式（尤一。）（工一3）<0成立的充要條件是2vxv3,貝=

【解析】因?yàn)?vxv3是不等式（工一。）（％-3）<0成立的充分條件，所以。42,

因?yàn)?vxv3是不等式（、一。）（％-3）v0成立的必要條件，所以2WaK3,故。=2.故答案為：2

13.（2020?欽州市第四中學(xué)月考（理））命題使（m+l）/2一呼+加-1<0，，是假命題，則實(shí)數(shù)

機(jī)的取值范圍為.

【解析】玉：ocR,使（6+1）/2-7mo+加一1?0是假命題，

則Dxw/?,使（加+1）%2-/nr+m-l>0是真命題，

當(dāng)m+l=0,即帆=-1,（加+1）%2-做+加一1>0轉(zhuǎn)化為了一2>0,不是對(duì)任意的xwR恒成立；

當(dāng)桃+1。0,VxwR,使（/〃+1）%2—加￥+勿7—1>0即恒成立，即

m+\>0/oAo/Q

k遂八/八八，第二個(gè)式子化簡(jiǎn)得3m2>4,解得機(jī)>把■或加<-&■所以生

（-/n）-4（w+l）（w-l）<0333

14.（2020?四川閭中中學(xué)高三開學(xué)考試（文））命題〃：去使得2t<4成立；命題夕：”￡（0,欣）,

不等式仆<￡+1恒成立.若命題〃八。為真，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為.

【解析】命題〃八夕為真，則P，夕都為真，

對(duì)P,3XG[-1,1],使得2t<4成立，則。

對(duì)4,Vxe（0,4-00）,不等式+]恒成立，則avxd--,

X

又x+工之2G^=2（當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等），

:.a<2,故]<a<2.故答案為.

212）

15.(2020?天津靜海)函數(shù)g(%)=or+2(a>0),/(x)=x2-2x,對(duì)2],3L^)e[-l,2],

使g(%)=/(%)成立，則〃的取值范圍是.

【解析】由函數(shù)/(x)=f-2x的圖象是開口向上的拋物線，且關(guān)于x=l對(duì)稱，

所以不時(shí)，函數(shù)”X)的最小值為〃1)=7,最大值為〃-1)=3,

可得〃與)的值域?yàn)閇T3]，

又因?yàn)?(%)="+2(白>0),王G[-1,2],所以g(x)為單調(diào)增函數(shù)，

g(F)的值域?yàn)閇g(T),g(2)],g|Jg(x)e[2-?,2a+2],

因?yàn)閷?duì)％w[-1,2],3XQe[-l,2],使g(x)=〃％)成立，

2-a>-1

所以，2〃+2?3,解得0<。<工，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0，!.

2I2

a>0、」

16.(2020?湖北宜都二中月考)已知命題“：任意x￡[l,2],/一色0,命題/存在必+2依+2—a

=0.若命題。與g都是真命題，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解析】由命題,為真，可得不等式/一生0在x￡[l,2]上恒成立.

所以aW(N)min,xe[l,2].所以aS.

若命題夕為真，則方程/+2ax+2—a=0有解.

所以判別式』=442-4(2-a)20.

所以a>\或a<—2.

a<\

又因?yàn)镻，4都為真命題，所以〈所以aW—2或a=l.

a>1或Q<-2

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{禰匹-2,或a=I}.

易錯(cuò)02函數(shù)

分段函數(shù)求值

抽象函數(shù)定義域

對(duì)稱性與周期的區(qū)別

單調(diào)區(qū)間勿忘定義域函數(shù)

分段函數(shù)單調(diào)性分界點(diǎn)函數(shù)值

奇偶性勿忘定義域

對(duì)數(shù)函數(shù)值域?yàn)镽

易錯(cuò)點(diǎn)1抽象函數(shù)定義域

、…f(2x)_

[例I](2020?莆田第二十五中學(xué)月考)函數(shù)/(處的定義域?yàn)閇3,6],則函數(shù))一聲不定義域?yàn)?/p>

）

3

-8B317

A.2,+C.，+0D.

1-2°2'"

3

—領(lǐng)k3

3觸》62

【解析】由函數(shù)f(x)的定義域是[3,6],得到3歿必i6,故，2—x>0明2>x

logL（2-x）>0\<x<2

331

解得：1?x<2；所以原函數(shù)的定義域是：-,2.故選：B.

【易錯(cuò)總結(jié)】

??抽象函數(shù)求定義域的解題思路就是對(duì)應(yīng)法則不變，括號(hào)的范圍相等。

理解思路可以通過換元法即

/[g(X)冉八版X)成義域的區(qū)別

(1)定義域是自變量的取值范圍，一般指X的范圍

(2)對(duì)應(yīng)法則不變，括號(hào)等范圍；即對(duì)應(yīng)法則f不變，則g(x)與h(x)的范圍相等

二.解不等式其實(shí)考查單調(diào)性

對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性

解不等式=單調(diào)性=0<a<1

考慮函數(shù)的定義域

【變式訓(xùn)練】

1.(2020?湖北黃岡高考模擬)已知函數(shù)f(x+l)的定義域?yàn)?一2,0),則〃2%一1)的定義域?yàn)?)

/、(11A、(1

A.(-1,0)B.C.(0,1)D.I--,0^

【解析】???函數(shù)/(x+1)的定義域?yàn)?一2,0),即一2vxv0,.?.—1〈％+1〈1,則/(工)的定義域?yàn)?-1,1),

由一得0<xvl.「./(Zx—l)的定義域?yàn)?0,1).故選C.

2.(2021?宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校月考)若函數(shù))'=/")的定義域是[0,2],則函數(shù)g(x)=102的定義

X-1

域?yàn)?)

A.[0,4]B.[0,1)C.[0,l)U(l,4]D.(0,1)

【解析】由題：函數(shù)y=/(x)的定義域是[0,2],即在/(幻中，0VXV2,

則在g(x)=△^中""2,解得xw[0,i)所以函數(shù)g0)=T。的定義域?yàn)閇01)選：B

x-\[xwlx-1

3.(2020?河南宛城?南陽中學(xué)高三月考(文))函數(shù)〃%)=尢一2)的定義城是()

ua111311

A.15引，D.—,+oo

151515

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)=J°gl(2-5可，所以(i,解得1<<|,

2X

、(2-5x>055

I712114

所以函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镮-,-),令不工3%一2<w，解得—<%<-,

5555155

I14

所以/(3x—2)的定義城是［行,《)故選：B

易錯(cuò)點(diǎn)02單調(diào)性勿忘定義域

【例2】.(2020?全國(guó)其他)函數(shù)〃力=In(-3/+1)的單調(diào)遞減區(qū)間為()

［易錯(cuò)總結(jié)］

1.求單調(diào)性相關(guān)的問題記得先求定義域，單調(diào)區(qū)間只是定義域的子集。

2.復(fù)合函數(shù)求單調(diào)區(qū)間：同增異減

【解析】f(x)=In(-3d+1)是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，復(fù)合函數(shù)求單調(diào)遞減區(qū)間同增異減，

/(x)=lnx為單調(diào)遞增函數(shù)，故求-3r+1的遞減區(qū)間即可，所求遞減區(qū)間為(0,+8),

又因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)定義域—+1〉0,解得一(正,

33

2

故函數(shù)“力=In(-3x+1)的單調(diào)遞減區(qū)間為0,故選：A.

【變式訓(xùn)練】

1.(2020?渝中重仄巴蜀中學(xué)月考)函數(shù)曠=，_工2+4\+12的單調(diào)遞減區(qū)間為()

A.(9,2]B.[2,+00)C.[2,6]D.[-2,2]

【解析】對(duì)于函數(shù)丫=」一%2+4%+12，則一f+4x+12N0，即/一4x-12W0，解得一2<%<6.

所以，函數(shù)y=J—d+4己+12的定義域?yàn)閇-2,6].

內(nèi)層函數(shù)〃=+41+12在區(qū)間[-2,2]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[2,6]上單調(diào)遞減，

外層函數(shù)y=4為定義域上的增函數(shù)，

因此，函數(shù)y=J—d+4x+12的單調(diào)遞減區(qū)間為[2,6].故選:C.

2.(2020?南昌市豫章中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，則f(Jf-3.—4)的單調(diào)遞增區(qū)間為

【解析】由d—3n—4N0得，(x-4)5+1)20,

Ax<—1,或x",

???函數(shù)/*)在R上單調(diào)遞減,

???由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”可得，函數(shù)/(JX，—3x—4)的單調(diào)遞增區(qū)間為函數(shù)