2022北京通州高一（上）期末數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2022北京通州高一（上）期末數(shù)學(xué)本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.已知，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.已知函數(shù)，則（）A.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為B.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值為C.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為4.下列各式中，正確的是（）A. B.C. D.5.計(jì)算（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，則的（）A.最小正周期為，最大值為 B.最小正周期為，最大值為C.最小正周期為，最大值為 D.最小正周期為，最大值為7.已知函數(shù)表示為設(shè)，的值域?yàn)椋瑒t（）A.， B.，C.， D.，8.甲、乙兩位同學(xué)解答一道題：“已知，，求的值.”甲同學(xué)解答過程如下：解：由，得.因?yàn)?，所?所以.乙同學(xué)解答過程如下：解：因?yàn)椋?則在上述兩種解答過程中（）A.甲同學(xué)解答正確，乙同學(xué)解答不正確 B.乙同學(xué)解答正確，甲同學(xué)解答不正確C.甲、乙兩同學(xué)解答都正確 D.甲、乙兩同學(xué)解答都不正確9.已知函數(shù)（，，）的圖象如圖所示，則（）A.B對于任意，，且，都有C.，都有D.，使得10.已知關(guān)于的方程（）的根為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是（）A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.不等式的解集為_____．12已知，，則_____；_____．13.已知，且第三象限角，則_____；_____．14.化簡_____．15.某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積（單位：平方米）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系式為（且）圖象如圖所示.則下列結(jié)論：①浮萍蔓延每個(gè)月增長的面積都相同；②浮萍蔓延個(gè)月后的面積是浮萍蔓延個(gè)月后的面積的；③浮萍蔓延每個(gè)月增長率相同，都是；④浮萍蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間與蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間的和比蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間少.其中正確結(jié)論的序號是_____．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知二次函數(shù).（1）求的對稱軸；（2）若，求的值及的最值.17.已知函數(shù)，且的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求的值；（2）求在區(qū)間上的最大值；（3）若，求證：在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，．（1）求的值；（2）將射線繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，求的值；（3）若點(diǎn)與關(guān)于軸對稱，求的值.19.已知函數(shù)．（1）求的最大值，并寫出取得最大值時(shí)自變量的集合；（2）把曲線向左平移個(gè)單位長度，然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.20.某地區(qū)每年各個(gè)月份月平均最高氣溫近似地滿足周期性規(guī)律，因此第個(gè)月的月平均最高氣溫可近似地用函數(shù)來刻畫，其中正整數(shù)表示月份且，例如表示月份，和是正整數(shù)，，．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個(gè)月份的月平均最高氣溫基本相同，月份的月平均最高氣溫為攝氏度，是一年中月平均最高氣溫最低的月份，隨后逐月遞增直到月份達(dá)到最高為攝氏度.（1）求的解析式；（2）某植物在月平均最高氣溫低于攝氏度的環(huán)境中才可生存，求一年中該植物在該地區(qū)可生存的月份數(shù).21.若函數(shù)的自變量的取值范圍為時(shí)，函數(shù)值的取值范圍恰為，就稱區(qū)間為的一個(gè)“和諧區(qū)間”.（1）先判斷“函數(shù)沒有“和諧區(qū)間”是否正確，再寫出函數(shù)的“和諧區(qū)間”；（2）若是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（i）求的“和諧區(qū)間”；（ii）若函數(shù)的圖象是在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖象，是否存在實(shí)數(shù)，使集合恰含有個(gè)元素，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】D【解析】【分析】利用交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D.2.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)和充要條件的判定條件進(jìn)行判定即可.【詳解】因?yàn)?，，所以成立；又，，所以成立；所以?dāng)時(shí)，“”是“”的充分必要條件.故選：C.3.【答案】A【解析】【分析】由基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立.故選：A.4.【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷AB選項(xiàng)的正誤，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，則，A錯；對于B選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，則，B錯；對于C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的增函數(shù)，則，C對；對于D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為上的減函數(shù)，則，D錯.故選：C.5.【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡可得結(jié)果.【詳解】由誘導(dǎo)公式可得.故選：D.6.【答案】B【解析】【分析】利用輔助角公式化簡得到，求出最小正周期和最大值.【詳解】所以最小正周期為,最大值為2.故選：B7.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)所給函數(shù)可得答案.【詳解】根據(jù)題意得，的值域?yàn)?故選：A.8.【答案】D【解析】【分析】分別利用甲乙兩位同學(xué)的解題方法解題，從而可得出答案.【詳解】解：對于甲同學(xué)，由，得，因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以，故甲同學(xué)解答過程錯誤；對于乙同學(xué)，因?yàn)?，所以，故乙同學(xué)解答過程錯誤.故選：D.9.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定函數(shù)圖象求出函數(shù)的解析式，再逐一分析各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】觀察函數(shù)的圖象得：，令的周期為，則，即，，由，且得：，于是有，對于A，，A不正確；對于B，取且，滿足，，且，而，，此時(shí)，B不正確；對于C，，，，即，都有，C正確；對于D，由得：，解得：，令，解得與矛盾，D不正確.故選：C10.【答案】D【解析】【分析】分類參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在的值域，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】將化為，因?yàn)殛P(guān)于的方程（）的根為負(fù)數(shù)，所以的取值范圍是在的值域，當(dāng)時(shí)，，則，即的取值范圍是.故選：D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【解析】【分析】把不等式x2﹣2x＞0化為x（x﹣2）＞0，求出解集即可．【詳解】不等式x2﹣2x＞0可化為x（x﹣2）＞0，解得x＜0或x＞2；∴不等式的解集為{x|x＜0或x＞2}．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．12.【答案】①.②.【解析】【分析】利用指數(shù)式與對數(shù)的互化以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，故.故答案為：；213.【答案】①.##②.##0.96【解析】【分析】利用平方關(guān)系求出，再利用商數(shù)關(guān)系及二倍角的正弦公式計(jì)算作答.【詳解】因，且是第三象限角，則，所以，.故答案為：；14.【答案】-2【解析】【分析】利用余弦的二倍角公式和正切的商數(shù)關(guān)系可得答案.【詳解】.故答案為：.15.【答案】②④【解析】【分析】由，可求得的值，可得出，計(jì)算出萍蔓延月至月份增長的面積和月至月份增長的面積，可判斷①的正誤；計(jì)算出浮萍蔓延個(gè)月后的面積和浮萍蔓延個(gè)月后的面積，可判斷②的正誤；計(jì)算出浮萍蔓延每個(gè)月增長率，可判斷③的正誤；利用指數(shù)運(yùn)算可判斷④的正誤.【詳解】由已知可得，則.對于①，浮萍蔓延月至月份增長的面積為（平方米），浮萍蔓延月至月份增長的面積為（平方米），①錯；對于②，浮萍蔓延個(gè)月后的面積為（平方米），浮萍蔓延個(gè)月后的面積為（平方米），所以，浮萍蔓延個(gè)月后的面積是浮萍蔓延個(gè)月后的面積的，②對；對于③，浮萍蔓延第至個(gè)月的增長率為，所以，浮萍蔓延每個(gè)月增長率相同，都是，③錯；對于④，浮萍蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間、蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間的和蔓延到平方米的時(shí)間分別為、、，則，，，所以，，所以，浮萍蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間與蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間的和比蔓延到平方米所經(jīng)過的時(shí)間少，④對.故答案為：②④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）（2）的值是，最小值是，無最大值【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式，即可得到結(jié)果；（2）由，可求出的值，再根據(jù)二次函數(shù)的開口和對稱軸，即可求出最值.【小問1詳解】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)，所以對稱軸．【小問2詳解】解：因?yàn)?，所?所以.所以．因?yàn)?，所以開口向上，又對稱軸為，所以最小值為，無最大值.17.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入解析式求解；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解最大值；（3）零點(diǎn)存在性定理證明在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn).【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以.所以.【小問2詳解】因?yàn)椋?所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以在區(qū)間上的最大值是.所以.所以在區(qū)間上的最大值是.【小問3詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以，又在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，由零點(diǎn)存在性定理可得：在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)．18.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)的定義得到，再根據(jù)且點(diǎn)在第一象限，即可求出；（2）依題意可得，再由（1），即可得解；（3）首先求出的坐標(biāo)，連接交軸于點(diǎn)，即可得到，再利用二倍角公式計(jì)算可得；【小問1詳解】解：因?yàn)榻墙K邊與單位圓交于點(diǎn)，且，由三角函數(shù)定義，得.因?yàn)椋?因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以.【小問2詳解】解：因?yàn)樯渚€繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓交于點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所?【小問3詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)與關(guān)于軸對稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是.連接交軸于點(diǎn)，所以．所以.所以的值是.19.【答案】（1）的最大值，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的范圍可得的范圍，可得的最大值及取得最大值時(shí)自變量的集合；（2）由圖象平移規(guī)律可得，結(jié)合的范圍和正弦曲線的單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)即時(shí)的最大值，所以取得最大值時(shí)自變量的集合是.【小問2詳解】因?yàn)榘亚€向左平移個(gè)單位長度，然后使曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，所以.因?yàn)椋?因?yàn)檎仪€在上的單調(diào)遞增區(qū)間是，所以，所以.所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間是.20.【答案】（1），，為正整數(shù)（2）一年中該植物在該地區(qū)可生存的月份數(shù)是【解析】【分析】（1）先利用月平均氣溫最低、最高的月份求出周期和及值，再利用最低氣溫和最高氣溫求出、值，即得到所求函數(shù)的解析式；（2）先判定函數(shù)的單調(diào)性，再代值確定符合要求的月份即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)樵路莸脑缕骄罡邭鉁刈畹?，月份的月平均最高氣溫最高，所以最小正周?所以.所以，.因?yàn)椋?因?yàn)樵路莸脑缕骄罡邭鉁貫閿z氏度，月份的月平均最高氣溫為攝氏度，所以，.所以，.所以的解析式是，，為正整數(shù).【小問2詳解】解：因?yàn)椋?，為正整?shù).所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.因?yàn)槟持参镌谠缕骄罡邭鉁氐陀跀z氏度的環(huán)境中才可生存，且，，所以該植物在1月份，2月份，3月份可生存.又，所以該植物在11月份，12月份也可生存.即一年中該植物在該地區(qū)可生存的月份數(shù)是.21.【答案】（1）正確，；（2）（i）和，（ii）存在符合題意，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)和諧區(qū)間的定義判斷兩個(gè)函數(shù)即可；（2）（i）根據(jù)是奇函數(shù)求出的解析式，再利用“和諧區(qū)間”的定義求出的“和諧區(qū)間”，（ii）由（i）可得的解析式，由與都是奇函數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為與的圖象在第一象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，由單調(diào)性求出的端點(diǎn)坐標(biāo)，代入可得臨界值即可求解.【小問1詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，任意的，則，所以時(shí)，沒有“和諧區(qū)間”，同理時(shí)，沒有“和諧區(qū)間”，所以“函數(shù)沒有“和諧區(qū)間”是正確的，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以值域?yàn)?，即，所以，所以，是方程的兩?因?yàn)?，解得，所以函?shù)的“和諧區(qū)間”為.【小問2詳解】（i）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，所以因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，可得，設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，，所以，，所以，是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根，即，是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根，且，所以，，所