2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系234平面與平面垂直的性質(zhì)課件新人教A版必修2

2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)

平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β圖形語言

【思考】性質(zhì)定理若去掉“一個(gè)平面內(nèi)(a?α)”,定理是否成立?提示:不一定成立,如圖a⊥α,這時(shí)也有a⊥l,但a與β不垂直.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)平面垂直,其中一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線與另一個(gè)平面一定垂直. (

)(2)若α⊥β,則α內(nèi)的直線必垂直于β內(nèi)的無數(shù)條直線. (

)(3)如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ. (

)(4)若兩個(gè)平面互相垂直,一條直線與一個(gè)平面垂直,那么這條直線在另一個(gè)平面內(nèi). (

)【提示】(1)×.不一定.只有在一個(gè)平面內(nèi)垂直于兩平面交線的直線才能垂直于另一個(gè)平面.(2)√.若設(shè)α∩β=l,a?α,b?β,b⊥l,則a⊥b,故β內(nèi)與b平行的無數(shù)條直線均垂直于α內(nèi)的任意直線.(3)√.設(shè)α∩γ=m,β∩γ=n,在平面γ內(nèi)取一點(diǎn)P不在m,n上,過P作直線a,b,使a⊥m,b⊥n.因?yàn)棣谩挺?a⊥m,則a⊥α.所以a⊥l,同理有b⊥l.又a∩b=P,l?γ,所以l⊥γ.故正確.(4)×.若α⊥β,l⊥α,在β內(nèi)作a與α,β的交線垂直,則a⊥α,所以a∥l.所以l∥β或l?β,即直線l與平面β平行或在平面β內(nèi).2.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,則BD與CC1 (

)A.平行 B.相交C.異面且垂直 D.異面且不垂直【解析】選C.如圖所示,在四邊形ABCD中,因?yàn)锳B=BC,AD=CD.所以BD⊥AC.因?yàn)槠矫鍭A1C1C⊥平面ABCD,平面AA1C1C∩平面ABCD=AC,BD?平面ABCD,所以BD⊥平面AA1C1C.又CC1?平面AA1C1C,所以BD⊥CC1.3.如圖所示,已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi),M,N分別為AB,DF的中點(diǎn).若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,則線段MN的長等于________.

【解析】取CD的中點(diǎn)G,連接MG,NG.因?yàn)锳BCD,DCEF為正方形,且邊長為2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=.因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DCEF,平面ABCD∩平面DCEF=CD,所以MG⊥平面DCEF,由于GN?平面CDEF,可得MG⊥NG,所以MN=答案:

類型一用面面垂直的性質(zhì)定理解證明問題【典例】1.(2019·棗莊高一檢測)已知互不重合的直線a,b,互不重合的平面α,β,給出下列四個(gè)命題,正確命題的個(gè)數(shù)是 (

)①若a∥α,a∥β,α∩β=b,則a∥b;②若α⊥β,a⊥α,b⊥β,則a⊥b;③若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,則a⊥α;④若α∥β,a∥α,則a∥β.A.1 B.2 C.3 D.42.(2018·北京高考改編)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD.(1)求證:DC⊥平面PAD.(2)求證:平面PAB⊥平面PCD.【思維·引】1.根據(jù)線面平行的性質(zhì)判斷①;根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理判斷②③;根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷④.2.(1)依據(jù)平面PAD⊥平面ABCD和AD⊥DC證明;(2)轉(zhuǎn)化為證明PA⊥平面PCD.【解析】1.選C.依題意,當(dāng)a∥α,a∥β,α∩β=b時(shí),根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得a∥b,故①正確;當(dāng)α⊥β,a⊥α?xí)r,a∥β或a?β,又b⊥β,所以a⊥b,故②正確;當(dāng)α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,則交線a⊥α;故③正確;當(dāng)α∥β,a∥α?xí)r,a∥β或a?β,故④錯(cuò)誤.正確的有3個(gè).2.(1)因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形,所以AD⊥DC,又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,且DC?平面ABCD,所以DC⊥平面PAD.(2)由(1)得DC⊥平面PAD.又因?yàn)镻A?平面PAD,所以DC⊥PA,又因?yàn)镻A⊥PD,DC∩PD=D,所以PA⊥平面PCD,又PA?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PCD.【類題·通】1.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理的一個(gè)意識(shí)和三個(gè)注意點(diǎn)(1)一個(gè)意識(shí)若所給題目中有面面垂直的條件,一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直.(2)三個(gè)注意點(diǎn):①兩個(gè)平面垂直,是前提條件;②直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi);③直線必須垂直于它們的交線.2.證明線面垂直的常用方法(1)線面垂直的判定定理;(2)面面垂直的性質(zhì)定理;(3)若a∥b,a⊥α,則b⊥α(a,b為直線,α為平面);(4)若a⊥α,α∥β,則a⊥β(a為直線,α,β為平面).【習(xí)練·破】(2019·蕪湖高一檢測)如圖,在三棱錐P-ABC中,已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,△PAC是直角三角形,∠PAC=90°,平面PAC⊥平面ABC.求證:平面PAB⊥平面PBC.【證明】因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC,且PA⊥AC,所以PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC,又BC⊥BA,所以BC⊥平面PAB,所以平面PAB⊥平面PBC.【加練·固】如圖,在三棱錐P-ABC中,E,F分別為AC,BC的中點(diǎn).(1)求證:EF∥平面PAB.(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,∠ABC=90°.求證:平面PEF⊥平面PBC.【證明】(1)因?yàn)镋,F分別為AC,BC的中點(diǎn),所以EF∥AB.又EF?平面PAB,AB?平面PAB,所以EF∥平面PAB.(2)因?yàn)镻A=PC,E為AC的中點(diǎn),所以PE⊥AC.又因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABC,所以PE⊥平面ABC,所以PE⊥BC.又因?yàn)镕為BC的中點(diǎn),所以EF∥AB.因?yàn)椤螦BC=90°,所以BC⊥EF.因?yàn)镋F∩PE=E,所以BC⊥平面PEF.又因?yàn)锽C?平面PBC,所以平面PBC⊥平面PEF.類型二用面面垂直的性質(zhì)定理解計(jì)算問題角度1求空間角【典例】(2018·天津高考改編)如圖,在四面體ABCD中,△ABC是等邊三角形,平面ABC⊥平面ABD,點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn),AB=2,AD=2,∠BAD=90°.(1)求證:AD⊥BC.(2)求直線CD與平面ABD所成角的正弦值.【思維·引】(1)由平面ABC⊥平面ABD想到在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩個(gè)平面交線的垂線,推出線面垂直進(jìn)而推出線線垂直.(2)由平面ABC⊥平面ABD推出CM⊥平面ABD,得到直線CD與平面ABD所成角.【解析】(1)因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ABD,平面ABC∩平面ABD=AB,AD⊥AB,AD?平面ABD,所以AD⊥平面ABC,故AD⊥BC.(2)連接CM.因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,M為AB的中點(diǎn),故CM⊥AB,CM=.又因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面ABD,而CM?平面ABC,故CM⊥平面ABD.所以,∠CDM為直線CD與平面ABD所成的角.在Rt△CAD中,CD==4.在Rt△CMD中,sin∠CDM=所以,直線CD與平面ABD所成角的正弦值為.

【素養(yǎng)·探】在求空間角有關(guān)的問題中,經(jīng)常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算,通過用面面垂直的性質(zhì)定理將“面面垂直”轉(zhuǎn)化為“線面垂直”,進(jìn)而得到所求線面角或面面角,并進(jìn)行計(jì)算.在本例的條件下,計(jì)算二面角A-BC-D的余弦值.【解析】取BC的中點(diǎn)N,連接AN,DN,因?yàn)锳B=AC,所以BC⊥AN,由原例題解析可知BC⊥AD,又AN∩AD=A,所以BC⊥平面ADN,所以∠AND是二面角A-BC-D的平面角,在Rt△AND中,AN=,AD=2,∠DAN=90°,所以DN=所以cos∠AND=角度2求體積【典例】(2018·全國卷Ⅰ)如圖,在平行四邊形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC為折痕將△ACM折起,使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置,且AB⊥DA(1)證明:平面ACD⊥平面ABC.(2)Q為線段AD上一點(diǎn),P為線段BC上一點(diǎn),且BP=DQ=DA,求三棱錐Q-ABP的體積.【思維·引】(1)轉(zhuǎn)化為證明AB⊥平面ACD.(2)過Q作AC的垂線,得三棱錐Q-ABP底面ABP上的高.【解析】(1)由已知可得,∠BAC=90°,則BA⊥AC.又BA⊥AD,AD∩AC=A,所以AB⊥平面ACD.又AB?平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC.(2)由已知可得,DC=CM=AB=3,DA=3.又BP=DQ=DA,所以BP=2.作QE⊥AC,垂足為E,則QE=DC=1.由已知及(1)可得DC⊥平面ABC,所以QE⊥平面ABC,因此,三棱錐Q-ABP的體積為=×QE×=×1××3×2sin45°=1.【類題·通】計(jì)算問題的解決方法(1)上述計(jì)算問題一般在三角形中求解.所給條件中的面面垂直首先轉(zhuǎn)化為線面垂直,然后轉(zhuǎn)化為線線垂直.往往把計(jì)算問題歸結(jié)為一個(gè)直角三角形中的計(jì)算問題.(2)求幾何體的體積時(shí)要注意應(yīng)用轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)法,求線段的長度或點(diǎn)到平面的距離時(shí)往往也應(yīng)用幾何體中的轉(zhuǎn)換頂點(diǎn)(等體積)法.提醒:證明線面垂直的問題時(shí),要注意以下三點(diǎn):(1)兩個(gè)平面垂直.(2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi).(3)直線必須垂直于它們的交線.【習(xí)練·破】1.(2019·九江高一檢測)如圖,α⊥β,AB?α,AC?β,∠BAD=∠CAD=45°,則∠BAC= (

)A.90° B.60° C.45° D.30°【解析】選B.在AB上任意找一點(diǎn)F,過點(diǎn)F作AD的垂線EF,垂足為E,再過點(diǎn)E作EG⊥AD,EG交AC于點(diǎn)G.如圖所示.因?yàn)椤螧AD=∠CAD=45°,EF⊥AE,EG⊥AD,所以EF=AE=EG,所以根據(jù)三角形的勾股定理可知,AF2=AE2+FE2,FG2=FE2+EG2,AG2=AE2+EG2,所以AF=AG=FG,所以△AFG是等邊三角形,則∠BAC=60°.2.(2019·汕頭高一檢測)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.O為AB的中點(diǎn).(1)證明:AB⊥平面A1OC.(2)若AB=CB=2,平面ABC⊥平面A1ABB1,求三棱柱ABC-A1B1C1的體積.【解析】(1)連接A1B.,因?yàn)镃A=CB,OA=OB,所以O(shè)C⊥AB,因?yàn)锳B=AA1,∠BAA1=60°,所以三角形AA1B為等邊三角形,所以AA1=A1B,又OA=OB,所以O(shè)A1⊥AB,又OC∩OA1=O,所以AB⊥平面A1OC.(2)由題可知,△ABC與△AA1B是邊長為2的等邊三角形,得OA1=,因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面A1ABB1,平面ABC∩平面A1ABB1=AB,由(1)OA1⊥AB,OA1?平面A1ABB1,所以O(shè)A1⊥面ABC,所以O(shè)A1⊥三棱柱ABC-A1B1C1的高,所以=S△ABC×OA1=3.【加練·固】如圖,在三棱臺(tái)ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(1)求證:BF⊥平面ACFD.(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【解析】(1)延長AD,BE,CF相交于一點(diǎn)K,如圖所示,因?yàn)槠矫鍮CFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCFE,所以BF⊥AC,又因?yàn)镋F∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK為等邊三角形,且F為CK的中點(diǎn),則BF⊥CK,又因?yàn)镃K∩AC=C,所以BF⊥平面ACFD.(2)過點(diǎn)F作FQ⊥AK,連接BQ.因?yàn)锽F⊥平面ACK,所以BF⊥AK,則AK⊥平面BQF,所以BQ⊥AK.所以∠BQF是二面角Β-ΑD-F的平面角.在Rt△ACK中,AC=3,CK=2,得FQ=在Rt△ΒQF中,FQ=,BF=,得cos∠BQF=.所以二面角Β-ΑD-F的平面角的余弦值為.類型三折疊問題【典例】如圖,在多邊形PABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,PA=AB=AD=2BC,∠PAD=60°,M是線段PD上的一點(diǎn),且DM=2MP,若將△PAD沿AD折起,得到幾何體P-ABCD.(1)證明:PB∥平面AMC.(2)若BC=1,且平面PAD⊥平面ABCD,求三棱錐P-ACM的體積.【思維·引】(1)用線面平行的判定定理證明.(2)一方面要注意由平面PAD⊥平面ABCD推出BA⊥平面PAD;另一方面要注意VP-ACM=VC-PAM.【解析】(1)連接BD,交AC于點(diǎn)O,連接MO.因?yàn)锳D∥BC,所以△BCO∽△DAO,因?yàn)锳D=2BC,所以DO=2BO,因?yàn)镈M=2MP,所以PB∥MO,因?yàn)镻B?

平面AMC,MO?平面AMC,所以PB∥平面AMC.(2)因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?

平面ABCD,AB⊥AD,所以BA⊥平面PAD.因?yàn)锽C∥AD,BC?平面PAD,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD,則三棱錐C-PAM的高等于點(diǎn)B到平面PAD的距離,即BA=2,因?yàn)镾△PAM=S△PAD=××AP×AD×sin60°=,所以VP-ACM=VC-PAM=S△PAM·BA=.【內(nèi)化·悟】折疊后,若兩個(gè)平面互相垂直,則應(yīng)注意什么問題?提示:折疊問題,即由平面圖形經(jīng)過折疊成為立體圖形,在立體圖形中解決有關(guān)問題.折疊后,若兩個(gè)平面互相垂直,一方面要注意抓住折疊前后的變量與不變量,另一方面要注意面面垂直性質(zhì)定理和面面垂直定義的應(yīng)用.【類題·通】解決折疊問題的策略(1)抓住折疊前后的變量與不變量,一般情況下,在折線同側(cè)的量,折疊前后不變,“跨過”折線的量,折疊前后可能會(huì)發(fā)生變化,這是解決這類問題的關(guān)鍵.(2)在解題時(shí)仔細(xì)審視從平面圖形到立體圖形的幾何特征的變化情況,注意相應(yīng)的點(diǎn)、直線、平面間的位置關(guān)系,線段的長度,角度的變化情況.【習(xí)練·破】1.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,E,F分別在線段BC,AD上,EF∥AB,將矩形ABEF沿EF折起,記折起后的矩形為MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.在線段BC上是否存在一點(diǎn)E,使得ND⊥FC,若存在,求出EC的長并證明;若不存在,請(qǐng)說明理由.【解析】EC=3時(shí)符合.證明如下:連接ED,交FC于點(diǎn)O,如圖所示.因?yàn)槠矫鍹NEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,平面MNEF∩平面ECDF=EF,NE?平面MNEF,所以NE⊥平面ECDF.因?yàn)镕C?平面ECDF,所以FC⊥NE.因?yàn)镋C=CD,所以四邊形ECDF為正方形,則FC⊥ED.又因?yàn)镋D∩NE=E,ED,NE?平面NED,所以FC⊥平面NED.因?yàn)镹D?平面NED,所以ND⊥FC.2.如圖,E是矩形ABCD中AD邊上的點(diǎn),F為CD邊的中點(diǎn),AB=AE=AD=4,現(xiàn)將△ABE沿BE邊折至△PBE的位置,且平面PBE⊥平面BCDE.(1)求證:平面PBE⊥平面PEF.(2)求四棱錐P-BEFC的體積.【解析】(1)因?yàn)锳B=AE=AD=4,所以DE=AD=AB=2,因?yàn)镕為CD邊的中點(diǎn),所以DE=DF,又DE⊥DF,所以∠DEF=45°,同理∠AEB=45°,所以∠BEF=90°,即EF⊥BE,又平面PBE⊥平面BCDE,平面PBE∩平面BCDE=BE,所以EF⊥平面PBE,EF?平面PEF,所以平面PBE⊥平面PEF.(2)取BE的中點(diǎn)O,連接OP,因?yàn)镻B=PE,所以PO⊥BE,又平面PBE⊥平面BCDE,平面PBE