高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值與最值》專項測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值與最值》專項測試卷及答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________復(fù)習(xí)要點1.借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件.2.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值.3.體會導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關(guān)系．一函數(shù)的極值1．函數(shù)的極小值與極小值點若函數(shù)f(x)在點x＝a處的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，且f′(a)＝0，而且在x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點a叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值．2．函數(shù)的極大值與極大值點若函數(shù)f(x)在點x＝b處的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，且f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點b叫做函數(shù)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)的極大值．3．函數(shù)的極值與極值點極小值點和極大值點統(tǒng)稱為極值點，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．二函數(shù)的最大(小)值1．函數(shù)f(x)在[a，b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．2．求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大(小)值的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值．(2)將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．常/用/結(jié)/論1．對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是函數(shù)f(x)在x＝x0處有極值的必要不充分條件．若x0是f(x)的極值點，則必有f′(x0)＝0，反過來，若f′(x0)＝0，但x0不一定是極值點.通俗講：只有y＝f′(x)穿透x軸的零點，才是f(x)的極值點．2．若函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷，則f(x)在[a，b]上一定有最值．3．若函數(shù)f(x)在[a，b]上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)一定在區(qū)間端點處取得最值．4．若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極值點，則相應(yīng)的極值點一定是函數(shù)的最值點．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上不存在最值．()(2)函數(shù)的極小值一定是函數(shù)的最小值．()(3)函數(shù)的極小值一定不是函數(shù)的最大值．(√)(4)三次函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c最多有兩個極值點．(√)2．(課本習(xí)題改編)函數(shù)f(x)＝(x2－1)2＋2的極值點是()A．1 B．－1C．1，－1,0 D．0解析：∵f(x)＝x4－2x2＋3，由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得x＝0或x＝1或x＝－1.又當(dāng)x＜－1時，f′(x)＜0，當(dāng)－1＜x＜0時，f′(x)＞0，當(dāng)0＜x＜1時，f′(x)＜0，當(dāng)x＞1時，f′(x)＞0，∴x＝0,1，－1都是f(x)的極值點．故選C.答案：C3．(2024·甘肅蘭州模擬)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則以下命題錯誤的是()A．－3是函數(shù)y＝f(x)的極值點B．－1是函數(shù)y＝f(x)的最小值點C．y＝f(x)在區(qū)間(－3,1)上單調(diào)遞增D．y＝f(x)在x＝0處切線的斜率大于零解析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知當(dāng)x∈(－∞，－3)時，f′(x)＜0，當(dāng)x∈(－3,1)時，f′(x)≥0，所以函數(shù)y＝f(x)在(－∞，－3)上單調(diào)遞減，在(－3,1)上單調(diào)遞增，故C正確；易知－3是函數(shù)y＝f(x)的極小值點，故A正確；因為y＝f(x)在(－3，1)上單調(diào)遞增，所以－1不是函數(shù)y＝f(x)的最小值點，故B錯誤；因為函數(shù)y＝f(x)在x＝0處的導(dǎo)數(shù)大于0，所以切線的斜率大于零，故D正確．故選B.答案：B4．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x＋m在[0,3]上的最大值為4，則m＝________.解析：f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，當(dāng)x∈[0,2)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(2,3]時，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上是減函數(shù)，在(2,3]上是增函數(shù)，又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0,3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.答案：4題型函數(shù)極值問題的多維研討維度1根據(jù)函數(shù)圖象判斷極值典例1(多選)(2024·遼寧錦州模擬)函數(shù)f(x)的定義域為R，它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是()A．f(－2)＞f(－1)判斷f(x)在[－2，－1]上的單調(diào)性．B．x＝1是f(x)的極小值點C．函數(shù)f(x)在(－1,1)上有極大值極值點一定是導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)穿透x軸的零點．D．x＝－3是f(x)的極大值點解析：由y＝f′(x)的圖象可知，當(dāng)x∈(－∞，－3)時，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(－3，－1)時，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，因此有f(－2)＞f(－1)，x＝－3是f(x)的極大值點，所以A，D正確；當(dāng)x∈(－1,1)或x∈(1，＋∞)時，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，因此函數(shù)f(x)在(－1,1)上沒有極大值，且x＝1不是f(x)的極小值點，所以B，C不正確．故選AD.由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值要抓住的兩點(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點．(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點．對點練1設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(x－1)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()A．函數(shù)f(x)有極大值f(－3)和f(3)B．函數(shù)f(x)有極小值f(－3)和f(3)C．函數(shù)f(x)有極小值f(3)和極大值f(－3)D．函數(shù)f(x)有極小值f(－3)和極大值f(3)解析：由題圖知，當(dāng)x∈(－∞，－3)時，y＞0，x－1＜0?f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(－3,1)時，y＜0，x－1＜0?f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1,3)時，y＞0，x－1＞0?f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(3，＋∞)時，y＜0，x－1＞0?f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．所以函數(shù)f(x)有極小值f(－3)和極大值f(3)．答案：D維度2求函數(shù)的極值問題典例2設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(2ax－a2＋1,x2＋1)(a＜0)，求函數(shù)f(x)的極值．解：函數(shù)f(x)的定義域為R，f′(x)＝eq\f(－2ax2＋2a2－1x＋2a,x2＋12).令f′(x)＝eq\f(－2ax2＋2a2－1x＋2a,x2＋12)＝0，即－2ax2＋2(a2－1)x＋2a＝0，解得x1＝a，x2＝－eq\f(1,a).f′(x)＝0的兩個不等實根，是兩個極值點，依據(jù)二次函數(shù)開口方向，與x軸相交的位置，判斷出是極大值點還是極小值點．又因為a＜0，則x1＜x2.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，a)aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，－\f(1,a)))－eq\f(1,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，＋∞))f′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值所以函數(shù)f(x)在x＝a處取得極大值f(a)，且f(a)＝1，在x＝－eq\f(1,a)處取得極小值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－a2.運用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域．(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)．(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根．(4)列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號．(5)求出極值．對點練2(2024·江西贛州五校協(xié)作體聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝(xex－m)x－2ex(x∈R)，若m＝0，則f(x)的極大值點為________．解析：當(dāng)m＝0時，f(x)＝(x2－2)ex，f′(x)＝(x2＋2x－2)ex，令f′(x)＝0，解得x1＝－1－eq\r(3)，x2＝－1＋eq\r(3)，所以f(x)在(－∞，－1－eq\r(3))和(－1＋eq\r(3)，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－1－eq\r(3)，－1＋eq\r(3))上單調(diào)遞減，所以f(x)的極大值點為－1－eq\r(3).答案：－1－eq\r(3)維度3已知極值(點)求參數(shù)典例3(1)(2024·黑龍江大慶模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極小值10，則a＋b＝()條件中的一句話蘊含著兩個方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝0，,f1＝10.))A．－7 B．0C．－7或0 D．－15或6(2)(2024·安徽蕪湖模擬)函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－ax(x＞0)有極值，則實數(shù)a有極值?y＝f′(x)有穿透x軸的零點，而非與x軸相切的零點．的取值范圍是________．解析：(1)由函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2有f′(x)＝3x2＋2ax＋b.函數(shù)f(x)在x＝1處有極小值10，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝0，,f1＝10，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f′1＝3＋2a＋b＝0，,f1＝1＋a＋b＋a2＝10，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3.))當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11))時，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(x－1)(3x＋11)，求出參數(shù)后，仍需回代檢驗x＝1處是不是極小值點．令f′(x)＞0得x＞1或x＜－eq\f(11,3)，令f′(x)＜0得－eq\f(11,3)＜x＜1，所以函數(shù)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(11,3)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,3)，1))上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．顯然滿足函數(shù)f(x)在x＝1處有極小值10.當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3))時，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，此時x＝1處顯然并不是極值點．所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，不滿足函數(shù)f(x)在x＝1處有極小值10.所以a＋b＝4－11＝－7.故選A.(2)∵f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－ax(x＞0)，∴f′(x)＝eq\f(1,x)＋x－a.∵函數(shù)f(x)＝lnx＋eq\f(1,2)x2－ax(x＞0)有極值，∴y＝f′(x)有變號零點．理解此句話的含義．令f′(x)＝eq\f(1,x)＋x－a＝0，得a＝eq\f(1,x)＋x.此時要求y＝a和y＝eq\f(1,x)＋x相交，而非相切，即a≠2.設(shè)g(x)＝eq\f(1,x)＋x，則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴g(x)min＝g(1)＝2，∴a＞2，即實數(shù)a的取值范圍是(2，＋∞)．故答案為(2，＋∞)．已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個要領(lǐng)(1)列式：根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2)驗證：因為某點處的導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性．對點練3(1)(2024·云南民族大學(xué)附中模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－mx2＋mx＋9在R上無極值，則實數(shù)m的取值范圍為________．(2)(2024·黑龍江牡丹江高三第一次段考)若函數(shù)y＝ax2－lnx在x＝eq\f(1,2)處取得極值，則a＝________.解析：(1)函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－mx2＋mx＋9在R上無極值?f′(x)＝x2－2mx＋m在R上無變號零點?Δ＝4m2－4m≤0?0≤m≤1.(2)∵y′＝2ax－eq\f(1,x)，∴y′x＝eq\f(1,2)＝a－2.∵函數(shù)y＝ax2－lnx在x＝eq\f(1,2)處取得極值，∴a－2＝0，故a＝2.經(jīng)檢驗符合題意．答案：(1)[0,1](2)2題型函數(shù)最值問題的多維研討維度1求函數(shù)的最值典例4(2022·全國乙卷，文)函數(shù)f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1在區(qū)間[0,2π]的最小值、最大值分別為()欲解最值，先求極值點．A．－eq\f(π,2)，eq\f(π,2) B．－eq\f(3π,2)，eq\f(π,2)C．－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)＋2 D．－eq\f(3π,2)，eq\f(π,2)＋2解析：因為f(x)＝cosx＋(x＋1)sinx＋1，所以f′(x)＝－sinx＋sinx＋(x＋1)cosx＝(x＋1)cosx，求導(dǎo)后，因式分解，極值點迅速暴露，x＝eq\f(π,2)和x＝eq\f(3π,2).因為x∈[0,2π]，所以x＋1>0.當(dāng)f′(x)>0時，解得x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))；當(dāng)f′(x)<0時，解得x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2))).所以f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))上單調(diào)遞增．由單調(diào)性可知x＝eq\f(π,2)為極大值點，x＝eq\f(3π,2)為極小值點．又f(0)＝2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(π,2)＋2，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)))＝－eq\f(3π,2)，f(2π)＝2，所以f(x)的最大值為eq\f(π,2)＋2，最小值為－eq\f(3π,2).故選D.最值點的最終確定，要把極值和端點值作比較．求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值的方法(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則f(a)與f(b)一個為最大值，一個為最小值．(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有極值，則先求出函數(shù)在[a，b]上的極值，再與f(a)，f(b)比較，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有唯一一個極值點，這個極值點就是最值點，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用中經(jīng)常用到．對點練4已知函數(shù)g(x)＝alnx＋x2－(a＋2)x(a∈R)，求g(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值h(a)．解：g(x)的定義域為(0，＋∞)，g′(x)＝eq\f(a,x)＋2x－(a＋2)＝eq\f(2x2－a＋2x＋a,x)＝eq\f(2x－ax－1,x).①當(dāng)eq\f(a,2)≤1，即a≤2時，g(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，h(a)＝g(1)＝－a－1；②當(dāng)1＜eq\f(a,2)＜e，即2＜a＜2e時，g(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(a,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，e))上單調(diào)遞增，h(a)＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝alneq\f(a,2)－eq\f(1,4)a2－a；③當(dāng)eq\f(a,2)≥e，即a≥2e時，g(x)在[1，e]上單調(diào)遞減，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.綜上，h(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a－1，a≤2，,aln\f(a,2)－\f(1,4)a2－a，2＜a＜2e，,1－ea＋e2－2e，a≥2e.))維度2已知最值求參數(shù)典例5(1)(2022·全國甲卷，理)當(dāng)x＝1時，函數(shù)f(x)＝alnx＋eq\f(b,x)取得最大值－2，則f′(2)＝()條件轉(zhuǎn)化為兩個方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝－2，,f′1＝0.))A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D．1(2)(2024·湖北黃岡模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2a，x≤0，,lnx，x>0，))若f(x1)＝f(x2)(x1<x2)，且2x2－x1的最小值為ln2，則a的值為條件讀到這里，需要構(gòu)造函數(shù)2x2－x1＝g(t).這里的參數(shù)t＝f(x1)＝f(x2)．()A．－eq\f(1,2) B．－eq\f(lnln\r(2),2)C.eq\f(e,2) D．－eq\f(e,2)解析：(1)由題意，得f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(a,x)－eq\f(b,x2)＝eq\f(ax－b,x2).由于定義域為(0，＋∞)，而f(x)max＝f(1)，說明函數(shù)y＝f(x)為單峰函數(shù)，暗含a＜0.又當(dāng)x＝1時，f(x)取得最大值－2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,f′1＝0，,f1＝－2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,a－b＝0，,b＝－2，))所以a＝b＝－2，則f′(x)＝eq\f(－2x＋2,x2)，所以f′(2)＝eq\f(－2×2＋2,22)＝－eq\f(1,2).故選B.(2)令f(x1)＝f(x2)＝t，由圖象可得t∈(－∞，－2a]，∵x1<x2，∴x1－2a＝t，lnx2＝t，即x1＝t＋2a，x2＝et，則2x2－x1＝2et－t－2a，令g(t)＝2et－t－2a，t≤－2a，則g′(t)＝2et－1，這樣構(gòu)造函數(shù)很自然流暢，使問題轉(zhuǎn)化為求g(t)的最小值問題．令g′(t)＝0，解得t＝－ln2，∵t∈(－∞，－2a]，∴當(dāng)a≥eq\f(ln2,2)時，g′(t)≤0，g(t)單調(diào)遞減，∴g(t)min＝g(－2a)＝2e－2a＝ln2，解得a＝－eq\f(lnln\r(2),2)，符合題意；當(dāng)a<eq\f(ln2,2)時，此時這個a的值滿足條件，即a≥eq\f(ln2,2).g(t)在(－∞，－ln2)上單調(diào)遞減，在(－ln2，－2a]上單調(diào)遞增，則g(t)min＝g(－ln2)＝1＋ln2－2a＝ln2，解得a＝eq\f(1,2)，不符合題意．這里a＝eq\f(1,2)，不符合條件a＜eq\f(ln2,2)，故應(yīng)舍去．綜上，a＝－eq\f(lnln\r(2),2).故選B.利用最值求參數(shù)的值或范圍是高考命題的熱點，熱度一直不減，?？汲Ｐ?，具有非常旺盛的生命力，一定要引起重視，有時與恒成立問題綜合命題.對點練5已知函數(shù)f(x)＝ax＋eq\f(1,x)＋(a－1)lnx(a∈R)的最小值為2，則實數(shù)a的值是________．解析：因為f′(x)＝a－eq\f(1,x2)＋eq\f(a－1,x)＝eq\f(x＋1ax－1,x2)，x＞0，當(dāng)a≤0時，f′(x)＜0，所以f(x)是(0，＋∞)上的減函數(shù)，函數(shù)f(x)無最小值，不符合題意；當(dāng)a＞0時，由f′(x)＜0，得0＜x＜eq\f(1,a)，由f′(x)＞0，得x＞eq\f(1,a)，所以f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)的最小值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝1＋a＋(1－a)lna，由1＋a＋(1－a)lna＝2，得(a－1)(1－lna)＝0，解得a＝1或e.答案：1或e題型生活中的優(yōu)化問題典例6某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)，設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率)．(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時，該蓄水池的體積最大．解：(1)∵蓄水池的側(cè)面的總成本為100×2πrh＝200πrh(元)，底面的總成本為160πr2元，∴蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元．由題意得200πrh＋160πr2＝12000π，∴h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)．從而V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3)．由h＞0，且r＞0，可得0＜r＜5eq\r(3).h＞0?300－4r2＞0，解得r的范圍．故函數(shù)V(r)的定義域為(0,5eq\r(3))．(2)由(1)知V(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)，故V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．當(dāng)r∈(0,5)時，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上單調(diào)遞增；當(dāng)r∈(5,5eq\r(3))時，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5eq\r(3))上單調(diào)遞減．利用導(dǎo)數(shù)確定r＝5為函數(shù)的最大值點．由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時h＝8，即當(dāng)r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大．利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的方法求實際問題中的最大值或最小值時，一般是先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)的最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實際情況相結(jié)合．用導(dǎo)數(shù)求解實際問題中的最大(小