2024-2025學(xué)年北京市高二上冊(cè)第二學(xué)段12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年北京市高二上學(xué)期第二學(xué)段12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、選擇題（共12小題，每小題4分，共48分，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1．已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝的虛部為（

）A．i B．2 C．－1 D．－i2．已知點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，則的值分別為（

）A．1，3 B．， C．-2，0 D．，3．已知兩條不重合的直線和平面，則的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．C． D．4．與橢圓有相同焦點(diǎn)，且滿足短半軸長(zhǎng)為的橢圓方程是（

）A． B．C． D．5．在中，若，，的面積為，則（

）A．13 B． C．2 D．6．直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的面積為A． B． C． D．7．若直線始終平分圓的周長(zhǎng)，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．108．已知橢圓的左焦點(diǎn)是，右焦點(diǎn)是，點(diǎn)P在橢圓上，如果線段的中點(diǎn)在軸上，那么A．3:5 B．3:4 C．4:3 D．5:39．四名同學(xué)各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．根據(jù)四名同學(xué)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，可以判斷可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為6的是（

）A．平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B．中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C．平均數(shù)為2，方差為2.4 D．中位數(shù)為3，方差為2.810．橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓：，這個(gè)圓稱為橢圓的蒙日?qǐng)A．在圓上總存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P能作橢圓的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，若，且函數(shù)的部分圖象如圖所示，則等于（

）A． B． C． D．12．如圖，在直三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，N為棱上的中點(diǎn)，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)N作平面ABM的垂線段，垂足為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)O的軌跡長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．二、填空題（共6小題，每小題5分，共30分）13．已知橢圓的離心率為，則.14．已知x，y滿足，則的最大值為．15．已知直線，.若，則的值為；若直線與圓交于兩點(diǎn)，則.16．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，且是面積為的正三角形．過(guò)垂直于的直線交橢圓M于B，C兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為．17．已知為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．18．某中學(xué)開展“勞動(dòng)創(chuàng)造美好生活”的勞動(dòng)主題教育活動(dòng)，展示勞動(dòng)實(shí)踐成果并進(jìn)行評(píng)比，某學(xué)生設(shè)計(jì)的一款如圖所示的“心形”工藝品獲得了“十佳創(chuàng)意獎(jiǎng)”，該“心形”由上、下兩部分組成，并用矩形框虛線進(jìn)行鑲嵌，上部分是兩個(gè)半徑都為的半圓，分別為其直徑，且，下部分是一個(gè)“半橢圓”，并把橢圓的離心率叫做“心形”的離心率．（1）若矩形框的周長(zhǎng)為，則當(dāng)該矩形框面積最大時(shí)，；（2）若，圖中陰影區(qū)域的面積為，則該“心形”的離心率為．三、解答題（共5題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程）19．給出以下三個(gè)條件：①直線，是圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，②，③對(duì)任意的，；請(qǐng)從這三個(gè)條件中任選一個(gè)將下面的題目補(bǔ)充完整，并求解．已知函數(shù)，，______．(1)求的表達(dá)式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間以及在區(qū)間上的值域．20．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，，，，平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn)．(1)證明：若，直線平面；(2)求二面角的余弦值；(3)是否存在點(diǎn)，使與平面所成角的正弦值為？若存在求出值；若不存在，說(shuō)明理由．21．某心理教育測(cè)評(píng)研究院為了解某市市民的心理健康狀況，隨機(jī)抽取了n位市民進(jìn)行心理健康問卷調(diào)查，將所得評(píng)分(百分制)按研究院制定的心理測(cè)評(píng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)整理，得到頻率分布直方圖.已知調(diào)查評(píng)分在[70，80)中的市民有200人心理測(cè)評(píng)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)調(diào)查評(píng)分[0，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]心理等級(jí)EDCBA（1）求n的值及頻率分布直方圖中t的值；（2）在抽取的心理等級(jí)為D的市民中，按照調(diào)查評(píng)分的分組，分為2層，通過(guò)分層隨機(jī)抽樣抽取3人進(jìn)行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在[40，50)的市民的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率為，調(diào)查評(píng)分在[50，60)的市民的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率為，假設(shè)經(jīng)心理疏導(dǎo)后的等級(jí)轉(zhuǎn)化情況相互獨(dú)立，求在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率；（3）該心理教育測(cè)評(píng)研究院建議該市管理部門設(shè)定預(yù)案：若市民心理健康指數(shù)的平均值不低于0.75，則只需發(fā)放心理指導(dǎo)資料，否則需要舉辦心理健康大講堂.根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)，判斷該市是否需要舉辦心理健康大講堂，并說(shuō)明理由.(每組的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，心理健康指數(shù)=調(diào)查評(píng)分÷100)22．已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是曲線，線段的中點(diǎn)的軌跡方程是．(1)求曲線的方程；(2)已知斜率為的直線與曲線相交于異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)直線的斜率分別為，，且證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．23．設(shè)A是正整數(shù)集的一個(gè)非空子集，如果對(duì)于任意，都有或，則稱A為自鄰集.記集合的所有子集中的自鄰集的個(gè)數(shù)為.(1)直接寫出的所有自鄰集；(2)若為偶數(shù)且，求證：的所有含5個(gè)元素的子集中，自鄰集的個(gè)數(shù)是偶數(shù)；(3)若，求證.1．C【分析】先化簡(jiǎn)分母，再分母實(shí)數(shù)化，化簡(jiǎn)即可.【詳解】因?yàn)閦＝，所以z的虛部為－1.故選：C.本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．B點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則利用垂直關(guān)系，以及線段的中點(diǎn)在直線上，列式求解.【詳解】，若點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線與直線垂直，直線的斜率是，所以，得.線段的中點(diǎn)在直線上，則，得故選:B3．C【分析】利用直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系判斷.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，或m與n異面或相交，故錯(cuò)誤；B.當(dāng)時(shí)，或m與n異面或相交，故錯(cuò)誤；C.當(dāng)時(shí)，，反之不一定成立，故正確；

D.當(dāng)時(shí)，或m與n異面，故錯(cuò)誤；故選：C4．B【分析】由焦點(diǎn)和短半軸長(zhǎng)，待定系數(shù)法求橢圓方程.【詳解】橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求橢圓方程為，依題意有，所以，所求橢圓方程為.故選：B5．B【分析】先用面積公式求出c，再用余弦定理求出a.【詳解】在中，，，的面積為，所以,解得：c=4.由余弦定理得：,所以.故選：B.6．B【分析】此題直線與圓的交點(diǎn)恰有一點(diǎn)就是（0，1），就以1為底，另一點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離就是另一點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，求得面積．【詳解】解得或

故選B求解三角形面積問題，選取合適的底和高是解題關(guān)鍵．7．A由直線過(guò)圓心得滿足的關(guān)系式，說(shuō)明點(diǎn)在一條直線上，由點(diǎn)到平面的距離公式可得最小值．【詳解】由題意直線過(guò)已知圓的圓心，圓心為，∴，即，點(diǎn)在直線上，表示直線的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，∴最小值為．故選：A．方法點(diǎn)睛：本題考查二元函數(shù)的最值問題．解題方法是利用其幾何意義：兩點(diǎn)間距離求解，解題關(guān)鍵是求出滿足的條件，得點(diǎn)在一條直線上，從而只要求得定點(diǎn)到直線的距離即可得．8．A【分析】求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上，線段的中點(diǎn)在軸上,求得P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算，從而求解.【詳解】由橢圓方程可得：,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的中點(diǎn)為，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在軸上，所以，即，代入橢圓方程得或，不妨取,則，所以，故選A.本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，距離公式，中點(diǎn)公式，屬于中檔題.9．ABD【分析】根據(jù)題意舉例判斷即可【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)6，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)6，所以B正確；對(duì)于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，則方差，所以當(dāng)平均數(shù)為2，方差為2.4時(shí)，一定不會(huì)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)擲骰子出現(xiàn)的結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，則平均數(shù)為，方差為，所以可以出現(xiàn)點(diǎn)6，所以D正確，故選：ABD10．D【分析】根據(jù)蒙日?qǐng)A的定義，將問題轉(zhuǎn)化為兩圓有公共點(diǎn)的問題，根據(jù)兩圓關(guān)系即可求解.【詳解】由題意可知：與橢圓相切的兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)的軌跡為圓：，圓心由于在圓，圓心，故兩圓有公共點(diǎn)即可，故兩圓的圓心距為，故.故選：D11．B【分析】結(jié)合圖象即可得到，進(jìn)而求得，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可求得周期和，從而求得答案.【詳解】由圖可知，函數(shù)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，即，又因?yàn)?，所以，結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，，解得，所以，解得，因?yàn)?，所以所以，所以，即，解得，因?yàn)?，所以故選：B.12．B【分析】根據(jù)條件先判斷出點(diǎn)的軌跡為圓的一部分，再由弧長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】取AB中點(diǎn)P，連接PC，C1N，如圖，因?yàn)镻C⊥AB，PN⊥AB，且PN∩PC=P，所以AB⊥平面，AB平面ABM,所以平面ABM⊥平面，平面ABM∩平面=PM，過(guò)N作NO⊥PM，NO平面，所以NO⊥平面ABM，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C1時(shí)，點(diǎn)是以PN為直徑的圓(部分)，如圖，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到最高點(diǎn)，此時(shí)，所以，從而，所以弧長(zhǎng)，即點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為.故選:B13．4【分析】將橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程得，由橢圓的離心率為，利用，化簡(jiǎn)整理，可求得．【詳解】由題意得：橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，∵橢圓的離心率為，∴，，又，∴，故．故答案為.本題主要考查了橢圓離心率有關(guān)的問題，注意公式的運(yùn)用，解題過(guò)程注意的關(guān)系．屬于較易題.14．##【分析】設(shè)，故直線與圓有交點(diǎn)，從而利用點(diǎn)到直線距離得到不等式，求出答案.【詳解】可化為，設(shè)，則直線與圓有交點(diǎn)，所以，解得，的最大值為2+2．故．15．-1..【分析】由列式求解值；利用直線系方程求出直線所過(guò)定點(diǎn)，化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)與半徑，作出圖象，再由垂徑定理求．【詳解】解：直線，若，則，解得；直線過(guò)定點(diǎn)，化圓為，可知圓心坐標(biāo)為，半徑為5.如圖，，則.故-1；.

本題考查直線的一般方程與直線平行的關(guān)系，考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法．16．【分析】由面積為，且其為正三角形，可得.后由中垂線性質(zhì)結(jié)合橢圓定義可得答案.【詳解】如圖，設(shè)，則，因面積為，且其為正三角形，又，則，則.又直線BC過(guò)，與垂直，為正三角形，則直線BC為中垂線，則，又，故的周長(zhǎng)，又C，B在橢圓上，則由橢圓定義有.故17．【分析】分析出當(dāng)為圓的切線且⊥時(shí)，最大，結(jié)合，求出此時(shí)，從而得到最大值.【詳解】的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，若要最大，則最大，顯然當(dāng)為圓的切線時(shí)，最大，此時(shí)，由于，故當(dāng)最小時(shí)，取得最大值，則最大，當(dāng)⊥時(shí)，最小，最小值為，故，所以，故的最大值為.故18．1##0.5【分析】空1：設(shè)矩形的寬為，寫出面積表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可；空2：建立合適的直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可.【詳解】設(shè)矩形的寬為，則長(zhǎng)為，矩形面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，矩形框面積最大為9，所以；如圖，以為軸，的中垂線為軸，直線交軸于點(diǎn)，設(shè)為橢圓長(zhǎng)軸，則，所以圓圓聯(lián)立兩圓方程得，所以，，所以扇形面積，又因?yàn)?，所以，即，得，，解得，又，所以，則.故1；.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：陰影部分面積的表示中的難點(diǎn)是，需要先利用相似三角形表示出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可.19．(1)任選一條件，都有(2)單調(diào)遞增區(qū)間為：，值域?yàn)椋痉治觥浚?）先進(jìn)行三角恒等變換求出，再分別選三個(gè)條件，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，分別求解，即可得出函數(shù)解析式；（2）先根據(jù)圖象變換求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和值域求解.【詳解】（1）．選①時(shí)，由于直線，是圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且的最小值為，所以，解得，所以．選②時(shí)，，即，整理得，故，由于，故當(dāng)時(shí)，，所以．選③時(shí)，對(duì)任意的，，所以，即，，解得：，，由于，故當(dāng)時(shí)，，所以．（2）函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，令，整理得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：．由于，所以，故．所以函數(shù)的值域?yàn)椋?0．(1)證明見解析(2)(3)存在點(diǎn)，此時(shí)或．【分析】（1）先利用面面平行的判定定理證明平面平面，從而得線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，即，，利用線面角的向量法求的值即可.【詳解】（1）如圖所示，在線段上取一點(diǎn)，使，連接，，，，平面，平面，平面，又，，且，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，又平面，所以平面平面，平面，平面；（2）如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，又是中點(diǎn)，則，所以，，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，設(shè)平面的法向量，則，令，則，所以，則二面角的余弦值為（3）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，即，，由（2）得，，，且平面的法向量，則，，則，，，解得或，故存在點(diǎn)，此時(shí)或．21．（1），t=0.002；（2）；（3）只需發(fā)放心理指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動(dòng)，理由見解析.【分析】（1）利用公式求n的值，利用矩形的面積和為1求的值；（2）設(shè)事件M=“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B”，利用對(duì)立事件的概率公式求解；（3）利用頻率分布直方圖的平均數(shù)求出平均數(shù)即得解.【詳解】解：(1)由已知條件可得，又因?yàn)槊拷M的小矩形的面職之和為1.所以(0.035+0.025+0.02+0.004+8t)×10=1，解得t=0.002·(2)由(1)知：t=0.002，所以調(diào)查評(píng)分在[40，50)中的人數(shù)是調(diào)查評(píng)分在[50，60)中人數(shù)的，若按分層抽樣抽取3人，則調(diào)查評(píng)分在[40，50)中有1人，在[50，60)中有2人，設(shè)事件M=“在抽取的3人中，經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B”.因?yàn)榻?jīng)心理疏導(dǎo)后的等級(jí)轉(zhuǎn)化情況相互獨(dú)立，所以所以故經(jīng)心理疏導(dǎo)后至少有一人的心理等級(jí)轉(zhuǎn)為B的概率為·(3)由頻率分布直方圖可得，45×0.02+55×0.04+65×0.14+75×0.2+85×0.35+95×0.25=80.7.估計(jì)市民心理健康調(diào)查評(píng)分的平均值為80.7，所以市民心理健康指數(shù)平均值為.所以只需發(fā)放心理指導(dǎo)材料，不需要舉辦心理健康大講堂活動(dòng).22．(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及求軌跡方程的方法求解；（2）利用韋達(dá)定理結(jié)合題意求解.【詳解】（1）（1）設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得因?yàn)辄c(diǎn)的軌跡方程是，所以，整理得曲線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，，由，得，所以，，所以，所以，且即，即，所以直線的方程為，即直線過(guò)定點(diǎn)．方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.23．(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)自鄰集的定義及子集的概念一一寫出結(jié)果即可；（2）取的一個(gè)含5個(gè)元素的自鄰集，判定集合，再證明C也是自鄰集且，從而得出結(jié)論；（3）