2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高三12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市高三12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知，且，，則（

）A．2 B． C．1 D．2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知，則cosB=（）A. B. C. D.3．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．4．“村超”是貴州榕江縣鄉(xiāng)村足球超級(jí)聯(lián)賽的簡(jiǎn)稱，是該縣的一項(xiàng)傳統(tǒng)鄉(xiāng)村體育賽事，“村超”深受當(dāng)?shù)厝嗣竦南矏?，也?023年開始火爆全網(wǎng).某體育新聞網(wǎng)站派出含甲、乙在內(nèi)的4名記者前去A，B，C三個(gè)足球場(chǎng)報(bào)道“村超”賽事，要求每個(gè)足球場(chǎng)至少1名記者，則甲、乙分在不同足球場(chǎng)的概率為（

）A． B． C． D．5．已知中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)．若平面，，且與面所成角的正弦值的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)和的圖象與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a、b，則（

）A．1 B．2 C．3 D．47．閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為．閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（）A．0 B． C． D．8．已知等差數(shù)列中，記，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．為調(diào)研加工零件效率，調(diào)研員通過試驗(yàn)獲得加工零件個(gè)數(shù)與所用時(shí)間（單位：）的5組數(shù)據(jù)為：，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．B．回歸直線必過點(diǎn)C．加工6個(gè)零件的時(shí)間大約為D．若去掉，剩下4組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程不會(huì)有變化10．如圖，若正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M是正方體在側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．三棱錐的體積為B．若，則點(diǎn)M的軌跡是以為半徑的半圓弧C．若，則的最大值為3D．平面截正方體的截面面積為11．已知，函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱 B．恰有2個(gè)極值點(diǎn)C．在上單調(diào)遞增 D．的最小值小于三、填空題（本大題共3小題）12．與圓柱底面成角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體，截面上的點(diǎn)到圓柱底面距離的最大值為4，最小值為2，則該幾何體的體積為.

13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且四點(diǎn)共面（為該平面外一點(diǎn)），則．14．如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形中，半徑為1的動(dòng)圓Q的圓心Q在邊CD和DA上移動(dòng)（包含端點(diǎn)A,C,D），P是圓Q上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．某足球隊(duì)為評(píng)估球員的場(chǎng)上作用，對(duì)球員進(jìn)行數(shù)據(jù)分析.球員甲在場(chǎng)上出任邊鋒、前衛(wèi)、中場(chǎng)三個(gè)位置，根據(jù)過往多場(chǎng)比賽，其出場(chǎng)率與出場(chǎng)時(shí)球隊(duì)的勝率如下表所示.場(chǎng)上位置邊鋒前衛(wèi)中場(chǎng)出場(chǎng)率0.30.50.2球隊(duì)勝率0.80.60.7(1)當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，求球隊(duì)輸球的概率；(2)當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，在球隊(duì)獲勝的條件下，求球員甲擔(dān)當(dāng)邊鋒的概率；(3)如果某場(chǎng)比賽該足球隊(duì)獲勝，那么球員甲最有可能在場(chǎng)上的哪個(gè)位置？請(qǐng)說明理由.16．記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.17．如圖，在平行六面體中，，，，，點(diǎn)為中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.18．設(shè)函數(shù).（Ⅰ）求在上的最小值；（Ⅱ）若圖象與軸交于兩點(diǎn)，求證.19．已知結(jié)論：橢圓上一點(diǎn)Px1,y1處切線方程為.試用此結(jié)論解答下列問題.如圖，已知橢圓：的右焦點(diǎn)為，原點(diǎn)為，橢圓的動(dòng)弦AB過焦點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸，弦的中點(diǎn)為，橢圓在點(diǎn)A，B處的兩切線的交點(diǎn)為.

(1)試判斷：O，M，N三點(diǎn)是否共線若三點(diǎn)共線，請(qǐng)給出證明；若三點(diǎn)不共線，請(qǐng)說明理由；(2)求的最小值.

答案1．【正確答案】B【詳解】由，則，故，則.故選：B.2．【正確答案】D【詳解】結(jié)合題意：利用正弦定理得：,即,解得.故選：D.3．【正確答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性分別判斷出的范圍，然后可得到結(jié)果.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：，由冪函數(shù)單調(diào)性可知：，所以，故選：D.4．【正確答案】D【詳解】記甲、乙分在不同足球場(chǎng)為事件，所以.故選：D.5．【正確答案】B【分析】根據(jù)題意得PQ的最小值為，的最小值是1，即A到BC的距離為1，則∠ACB＝90°，結(jié)合圖形找出△ABC的外接圓圓心與三棱錐外接球的球心，求出外接球的半徑，再計(jì)算它的表面積．【詳解】三棱錐中，PA⊥平面ABC，設(shè)直線PQ與平面ABC所成角為，∵的最大值是，∴，解得，即PQ的最小值為，的最小值是1，即A到BC的距離為1，直角三角形△ABQ中，AB＝2，所以∠＝60°,又∠BAC＝60°，所以重合，則∠ACB＝90°，則△ABC的外接圓圓心M為AB的中點(diǎn)，又PA⊥平面ABC，從而外接球的球心O為PB的中點(diǎn)，外接球的半徑，三棱錐的外接球的表面積．故選：B．6．【正確答案】B【分析】作出函數(shù)圖像，利用反函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】設(shè)，，，，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，圖像關(guān)于對(duì)稱，設(shè)它們與的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，可知交點(diǎn)坐標(biāo)也關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即.故選：B7．【正確答案】A【詳解】根據(jù)材料可知平面的法向量可取，平面的法向量可取，平面的法向量可取，因?yàn)橹本€是兩平面與的交線，設(shè)的方向向量，則，取可得的一個(gè)方向向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為，故選：A8．【正確答案】C【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)得設(shè)，當(dāng)，時(shí)，故故選：C9．【正確答案】ACD【分析】求得數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)可求出可判斷A；令代入回歸直線方程可判斷B；將代入回歸方程求得預(yù)測(cè)值可判斷C；根據(jù)恒過，可判斷D.【詳解】，，所以恒過，所以，解得：，故A正確；當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；由，令，則，故加工6個(gè)零件的時(shí)間大約為，故C正確；因?yàn)楹氵^，所以剩下4組數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程不會(huì)有變化，故D正確.故選ACD.10．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)P為棱的中點(diǎn)，所以三角形的面積是定值，且點(diǎn)M到面的距離是正方體的棱長(zhǎng)，所以三棱錐的體積是定值，三棱錐的體積，故A正確；對(duì)于B，在面上，過點(diǎn)P作，則由正方體的性質(zhì)得平面，平面，所以.又，正方體的棱長(zhǎng)為2，所以.所以點(diǎn)的軌跡是以Q為圓心，1為半徑的半圓弧，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在面上，過點(diǎn)P作，則點(diǎn)Q是的中點(diǎn).連接，取的中點(diǎn)N，連接，，，，則，.因?yàn)槠矫?，平面，所?又，平面，所以平面，所以點(diǎn)M的軌跡是線段.在中，，，，所以的最大值為3，故C正確；對(duì)于D，平面截正方體的截面為矩形，其面積為，故D正確；故選：ACD.

11．【正確答案】BCD【分析】由函數(shù)奇偶性的定義域判定方法，可得判定A；求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性，以及相應(yīng)的函數(shù)值，得到函數(shù)的單調(diào)性與極值，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，可得其定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，令，則，當(dāng)時(shí)，可得，所以，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，可得，所以，單調(diào)遞增，由且，可得，所以在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)兩個(gè)零點(diǎn)分別為，不妨設(shè)當(dāng)時(shí)，，可得，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，可得，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，可得，單調(diào)遞減，所以時(shí)函數(shù)的2個(gè)極值點(diǎn)，且只有2個(gè)極值點(diǎn)，所以B正確；對(duì)于C中，由B知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又由，且，則當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以C正確；對(duì)于D中，由，所以D正確.故選BCD.12．【正確答案】【詳解】作出幾何體的軸截面如下圖所示：則所求幾何體是由一個(gè)底面直徑為，高為的圓柱與一個(gè)底面直徑為，高為的圓柱的一半構(gòu)成，則所求幾何體體積.故答案為.

13．【正確答案】【詳解】由，得到，又四點(diǎn)共面，所以，得到，所以，故答案為.14．【正確答案】【分析】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，可得,＝（4，0），.由圖可知，當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，P.此時(shí)m+n取得最大值：4m+4n＝8+，可得m+n＝2+．當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心為點(diǎn)C或點(diǎn)A時(shí)，利用三角函數(shù)求m+n的最小值．【詳解】如圖所示，邊長(zhǎng)為4的長(zhǎng)方形ABCD中，動(dòng)圓Q的半徑為1，圓心Q在邊CD和DA上移動(dòng)（包含端點(diǎn)A，C，D），P是圓Q上及內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn)，向量（m，n為實(shí)數(shù)），=（0，4），＝（4，0），可得＝（4m，4n）．當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心經(jīng)過點(diǎn)D時(shí)，如圖：P.此時(shí)m+n取得最大值：4m+4n＝8+，可得m+n＝2+．當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心為點(diǎn)C時(shí)，BP與⊙C相切且點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，＝（4+cosθ，sinθ），此時(shí)，4m+4n＝4﹣sin（θ+），m+n取得最小值為：1﹣，此時(shí)P（4﹣，﹣）．同理可得，當(dāng)動(dòng)圓Q的圓心為點(diǎn)A時(shí)，BP與⊙A相切且點(diǎn)P在y軸的左方時(shí)，m+n取得最小值為：1﹣，此時(shí)P（-，4﹣）．所以則m+n的取值范圍為故答案為.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查了分類討論思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力．15．【正確答案】(1)；(2)；(3)前衛(wèi)，理由見解析【詳解】（1）用表示“甲出任邊鋒”，表示“甲出任前衛(wèi)”，表示“甲出任中場(chǎng)”，用表示“球隊(duì)贏球”.則甲出場(chǎng)時(shí)，球隊(duì)贏球的概率為：.所以甲出場(chǎng)比賽時(shí)，球隊(duì)輸球的概率為.（2）因?yàn)椋?即當(dāng)甲出場(chǎng)比賽時(shí)，在球隊(duì)獲勝的條件下，球員甲擔(dān)當(dāng)邊鋒的概率為.（3）因?yàn)椋?因?yàn)?所以如果某場(chǎng)比賽該足球隊(duì)獲勝，那么球員甲最有可能在前衛(wèi).16．【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)?，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，a+b=c3當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡(jiǎn)得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中．因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)?，所以，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)椋訟D=2DC以向量BA,BC為基底，有所以BD2即，又因?yàn)?，所以．③由余弦定理得，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加直觀化.17．【正確答案】(1)證明見詳解；(2).【分析】（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，寫出各向量即可根據(jù)向量法證明；（2）利用向量法求出二面角的余弦值即可求出正弦值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，以為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，所以，，，，，所以，，，設(shè)面的法向量為，所以，令，所以，因?yàn)?，不在面?nèi)，所以平面；（2），所以，設(shè)面的法向量，因?yàn)?，所以，令，則，設(shè)面的法向量，因?yàn)?，所以，令，所以，所以，所以二面角的正弦值?18．【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.【詳解】解：（Ⅰ），時(shí)，在上單調(diào)遞增，；時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故若，；若，；若，；綜上：；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，此時(shí)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，設(shè)，而，因此，本題即