第二十一講　解直角三角形

第二十一講解直角三角形1.已知∠α為銳角,且sinα=12,則∠α=(A.30° B.45° C.60° D.90°2.如圖,從熱氣球A看一棟樓底部C的俯角是(D)A.∠BAD B.∠ACBC.∠BAC D.∠DAC3.如圖,AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tanC=2,則邊AB的長(zhǎng)為(D)A.32 B.35 C.37 D.624.如圖,△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn),則cos∠ABC的值為(B)A.23 B.22 C.435.爬坡時(shí)坡面與水平面夾角為α,則每爬1m耗能(1.025-cosα)J,若某人爬了1000m,該坡角為30°,則他耗能約為(參考數(shù)據(jù):3≈1.732,2≈1.414)(B)A.58JB.159JC.1025JD.1732J6.(2024·深圳)如圖,為了測(cè)量某電子廠的高度,小明用高1.8m的測(cè)量?jī)xEF測(cè)得頂端A的仰角為45°,小軍在小明的前面5m處用高1.5m的測(cè)量?jī)xCD測(cè)得頂端A的仰角為53°,則電子廠AB的高度約為(A)(參考數(shù)據(jù):sin53°≈45,cos53°≈35,tan53°≈A.22.7m B.22.4mC.21.2m D.23.0m7.一漁船在海上A處測(cè)得燈塔C在它的北偏東60°方向,漁船向正東方向航行12海里到達(dá)點(diǎn)B處,測(cè)得燈塔C在它的北偏東45°方向,若漁船繼續(xù)向正東方向航行,則漁船與燈塔C的最短距離是6(3+1)海里.

8.為弘揚(yáng)革命傳統(tǒng)精神,清明期間,某校組織學(xué)生前往懷化市烈士陵園緬懷革命先烈.大家被革命烈士紀(jì)念碑的雄偉壯觀震撼,想知道紀(jì)念碑的高度CD(碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x),于是師生組成綜合實(shí)踐小組進(jìn)行測(cè)量.他們?cè)诘孛娴腁點(diǎn)用測(cè)角儀測(cè)得碑頂D的仰角為30°,在B點(diǎn)處測(cè)得碑頂D的仰角為60°,已知AB=35m,測(cè)角儀的高度是1.5m(A,B,C在同一直線上),根據(jù)以上數(shù)據(jù)求烈士紀(jì)念碑的高度CD.(3≈1.732,結(jié)果保留一位小數(shù))【解析】由題意得,AM=BN=CE=1.5m,AB=MN=35m,∠DEM=90°,∠DNE=60°,∠DME=30°,∵∠DNE是△DMN的外角,∴∠MDN=∠DNE-∠DMN=30°,∴∠DMN=∠MDN=30°,∴DN=MN=35m,在Rt△DNE中,DE=DN·sin60°=35×32=35∴DC=DE+CE=3532+1.5≈35×1.7322+1.5≈答:烈士紀(jì)念碑的高度CD約為31.8m.9.(2024·達(dá)州)如圖,由8個(gè)全等的菱形組成的網(wǎng)格中,每個(gè)小菱形的邊長(zhǎng)均為2,∠ABD=120°,其中點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,則tan∠BCD的值為(B)A.2 B.23 C.32 D.10.為發(fā)展城鄉(xiāng)經(jīng)濟(jì),建設(shè)美麗鄉(xiāng)村,某鄉(xiāng)對(duì)A地和B地之間的一處垃圾填埋場(chǎng)進(jìn)行改造,把原來(lái)A地去往B地需要繞行到C地的路線,改造成可以直線通行的公路AB.如圖,經(jīng)勘測(cè),AC=6千米,∠CAB=60°,∠CBA=37°,則改造后公路AB的長(zhǎng)是9.9千米.(精確到0.1千米;參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,3≈1.73).

11.(2024·內(nèi)江)如圖,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,點(diǎn)E在DC上,將矩形ABCD沿AE折疊,點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F處,那么tan∠EFC=

4312.(2024·鹽城)如圖,小明用無(wú)人機(jī)測(cè)量教學(xué)樓的高度,將無(wú)人機(jī)垂直上升距地面30m的點(diǎn)P處,測(cè)得教學(xué)樓底端點(diǎn)A的俯角為37°,再將無(wú)人機(jī)沿教學(xué)樓方向水平飛行26.6m至點(diǎn)Q處,測(cè)得教學(xué)樓頂端點(diǎn)B的俯角為45°,則教學(xué)樓AB的高度約為17m.(精確到1m,參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

13.如圖,海中有一個(gè)小島A.一艘輪船由西向東航行,在B點(diǎn)測(cè)得小島A在北偏東60°方向上;航行12nmile到達(dá)C點(diǎn),這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東30°方向上.小島A到航線BC的距離是10.4nmile.(3≈1.73,結(jié)果用四舍五入法精確到0.1)

14.(2024·蘇州)圖①是某種可調(diào)節(jié)支撐架,BC為水平固定桿,豎直固定桿AB⊥BC,活動(dòng)桿AD可繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),CD為液壓可伸縮支撐桿,已知AB=10cm,BC=20cm,AD=50cm.(1)如圖②,當(dāng)活動(dòng)桿AD處于水平狀態(tài)時(shí),求可伸縮支撐桿CD的長(zhǎng)度(結(jié)果保留根號(hào));(2)如圖③,當(dāng)活動(dòng)桿AD繞點(diǎn)A由水平狀態(tài)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度α,且tanα=34(α為銳角),求此時(shí)可伸縮支撐桿CD的長(zhǎng)度(結(jié)果保留根號(hào))【解析】(1)過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD,垂足為點(diǎn)E,由題意得:AB=CE=10cm,BC=AE=20cm,∵AD=50cm,∴ED=AD-AE=50-20=30(cm).在Rt△CED中,CD=CE2+DE2=∴可伸縮支撐桿CD的長(zhǎng)度為1010cm.(2)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,交AD'于點(diǎn)G,由題意得:AB=FG=10cm,AG=BF,∠AGD=90°,在Rt△ADG中,tanα=DGAG=3∴設(shè)DG=3xcm,則AG=4xcm,∴AD=AG2+DG2∵AD=50cm,∴5x=50,解得x=10,∴AG=40cm,D