《正弦函數(shù)的定義及其性質(zhì)分析綜述》2100字

正弦函數(shù)的定義及其性質(zhì)分析綜述目錄TOC\o"1-2"\h\u21260正弦函數(shù)的定義及其性質(zhì)分析綜述 164361.1正弦函數(shù)的定義 180851.2正弦函數(shù)的圖像 284491.3正弦函數(shù)的周期性 2168171.3.1函數(shù)周期性的定義 218481.3.2正弦函數(shù)的周期性 215502由于 3216951.4正弦函數(shù)的奇偶性 3178601.4.1函數(shù)奇偶性的定義 3244141.4.2正弦函數(shù)的奇偶性 4164511.5正弦函數(shù)的單調(diào)性 4310791.5.1函數(shù)單調(diào)性的定義 4193791.5.2怎樣判別函數(shù)單調(diào)性 4266451.5.2正弦函數(shù)的單調(diào)性 51.1正弦函數(shù)的定義三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一,它是以角度為自變量,以任意角的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)或著它的比值為因變量的函數(shù).也可以用與單位圓有關(guān)的各種線段的長度來定義，如對正弦函數(shù)的定義就是用正弦線來定義.教材通過類比銳角三角函數(shù)的定義，直接給出三角函數(shù)的代數(shù)定義，以任意角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù).設(shè)是一個(gè)任意角，終邊上任意一點(diǎn)(除端點(diǎn)外)的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，其中，那么比值叫的正弦，即[2].下面是借助單位圓作出有向線段來表示正弦函數(shù)，給出正弦函數(shù)的幾何意義.如圖1,設(shè)為任意角,把角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓交于，那么叫做的正弦,記作，即.圖SEQ圖\*ARABIC1用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù),除了考慮到使學(xué)生在三角函數(shù)學(xué)習(xí)之初就能感受到單位圓的重要性,為后續(xù)借助單位圓的直觀討論三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)外,主要還是為了這樣的定義能夠更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)[3].用單位圓定義正弦函數(shù)使正弦函數(shù)反映的數(shù)形關(guān)系更為直接,為后面學(xué)習(xí)正弦函數(shù)的性質(zhì)奠定了很好的直觀基礎(chǔ).1.2正弦函數(shù)的圖像函數(shù)本身指的是自變量和因變量的相互變化關(guān)系,是高度抽象的,利用圖像能夠更加直觀具體的分析函數(shù)的特征,也能更好地理解函數(shù)的多種性質(zhì),例如周期性、單調(diào)性、對稱性等，都能夠清晰全面地將函數(shù)的變化趨勢呈現(xiàn)出來.在使用函數(shù)圖像的方法的過程中,它可以促進(jìn)許多高中數(shù)學(xué)問題的解決和發(fā)展,圖像的特征也可以直接或間接地判斷函數(shù)的特征,有利于促進(jìn)高中數(shù)學(xué)問題的解決,可以大大提高高中數(shù)學(xué)的準(zhǔn)確性.如圖2所示,在直角坐標(biāo)系的軸上取一點(diǎn),以為圓心,以單位長為半徑作一個(gè)圓,從圓與軸的交點(diǎn)開始,把圓分成12等份,然后過圓上各分點(diǎn)作軸的垂線,得到等角對應(yīng)的正弦線.同樣,再將軸上從到這一部分分成12等份.把角的正弦線向右平移,使它的起點(diǎn)與軸上的點(diǎn)重合,然后用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連接起來,就得到了函數(shù)的圖像.圖SEQ圖\*ARABIC2的圖像由圖像可知，正弦函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?1.3正弦函數(shù)的周期性1.3.1函數(shù)周期性的定義對于函數(shù),如果存在非零實(shí)數(shù),使得當(dāng)取定義域內(nèi)每一個(gè)值時(shí),都有,那么函數(shù)數(shù)就叫做周期函數(shù)(periodicfunction).非零常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期(period).如果在周期函數(shù)的所在周期中存在一個(gè)最小的正整數(shù),那么這個(gè)最小正整數(shù)就叫做的最小正周期(minimalpositiveperiod).1.3.2正弦函數(shù)的周期性如圖3所示，通過觀察正弦函數(shù)的圖像可知，正弦函數(shù)具有“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，因?yàn)橹芷诤瘮?shù)的周期不止一個(gè)，所以他的周期可以是，，，……等.因此都是它的周期，它的最小正期為.通過觀察正弦函數(shù)圖像以及誘導(dǎo)公式可以看出，當(dāng)自變量的值增加的整數(shù)倍時(shí),函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn).當(dāng)自變量在定義域內(nèi)每增加或減少一定值，它的函數(shù)值就重復(fù)出現(xiàn),因此正弦函數(shù)是周期函數(shù).圖SEQ圖\*ARABIC3的圖像1.3.3函數(shù)的周期性例1求函數(shù)的周期.分析我們知道的周期為.那么不妨令，那么,因此由于因此自變量至少增加到，函數(shù)值才能重復(fù)出現(xiàn).即.用自變量的系數(shù)表示周期也是我們在解題中常常要用到的.根據(jù)這個(gè)結(jié)論，我們可以直接寫出這類正弦函數(shù)的解析式的周期.1.4正弦函數(shù)的奇偶性本部分主要分析了奇偶函數(shù)的特點(diǎn)，以及判斷正弦函數(shù)的奇偶性，通過對相關(guān)實(shí)例的解答,加深學(xué)生對奇偶函數(shù)的理解，從而使高中生充分掌握正弦函數(shù)奇偶性的性質(zhì).1.4.1函數(shù)奇偶性的定義一般地,如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè),都有,則稱函數(shù)為偶函數(shù).

一般地,如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè),都有,那么函數(shù)是奇函數(shù).1.4.2正弦函數(shù)的奇偶性如圖3，觀察正弦函數(shù)圖像，可以看出正弦函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱.由周期性可知，的對稱中心坐標(biāo)為，它的對稱軸方程為設(shè)，即為圖像上任意一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是，也就是.由誘導(dǎo)公式可知，圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是，它也在圖像上.所以，正弦函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱，正弦函數(shù)是奇函數(shù).1.5正弦函數(shù)的單調(diào)性1.5.1函數(shù)單調(diào)性的定義一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋喝绻麑τ诙x域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值,當(dāng)時(shí),都有,那么就說在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)（increasingfunction）,這個(gè)區(qū)間就為單調(diào)增區(qū)間.如果對于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值,當(dāng)時(shí),都有,那么就說在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)（decreasingfunction）,這個(gè)區(qū)間就為單調(diào)減區(qū)間.1.5.2怎樣判別函數(shù)單調(diào)性使用定義方法證明或判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟如下:(1)任意取值：在區(qū)間D上任取，且；(2)作差計(jì)算：求解,并做適當(dāng)?shù)淖冃危ㄅ袛鄦握{(diào)性最困難的步驟是在差時(shí)進(jìn)行變形處理,常見的處理方法有因式分解、配方法、有理化、通分等）；(3)判定符號：判斷的符號大于0還是小于0；(4)得出結(jié)論：函數(shù)f(x)是增函數(shù)或者減函數(shù).對于一些簡單函數(shù)單調(diào)性的判斷，可以利用定義法很快判斷.除了