信號與系統（第五版）課件第4章 連續(xù)時間信號和系統的復頻域表示與分析

第4章

連續(xù)時間信號和系統的復頻域表示與分析4.1拉普拉斯變換4.2拉普拉斯變換的性質與定理4.3拉普拉斯反變換4.4LTI系統的拉普拉斯變換分析法4.5系統函數與復頻域分析法4.6連續(xù)時間系統的模擬及信號流圖4.7LTI連續(xù)系統的穩(wěn)定性4.8基于MATLAB的復頻域分析

4.1拉普拉斯變換

4.1.1單邊拉普拉斯變換

1.單邊拉氏變換定義因果信號的傅氏正、反變換為

傅氏變換處理某些信號不方便，主要原因是這類信號不收斂，例如階躍信號u(t)。為了使信號收斂，在進行變換時，讓原信號f(t)乘以e-σt

。選擇合適的σ，使得f(t)e-σt

是一個收斂速度足夠快的信號，即有

式中，e-σt為收斂(衰減)因子，且f1(t)滿足絕對可積條件。則

因為e-σt的作用，式(4.1-2)與式(4.1-5)是適合指數階信號的變換。又由于式(4.1-2)中的f(t)是t<0時為零的因果信號，故稱“單邊”變換。將兩式重新表示在一起，單邊拉氏變換定義為

亦稱s=σ+jω

為復頻率，F(s)為像函數，f(t)為原函數。

像函數與原函數的關系還可以表示為

s=σ+jω

可以用直角坐標的復平面(s平面)表示，σ是實軸，jω

是虛軸，如圖4.1-1所示。

圖4.1-1復平面

2.單邊拉氏變換收斂區(qū)

收斂區(qū)是使f(t)e-σt

滿足可積的σ取值范圍，或是使f(t)的單邊拉氏變換存在的σ取值范圍。

由式(4.1-3)的推導可見，因為e-σt

的作用，使得f(t)e-σt

在一定條件下收斂，即有

式中，σ0

叫做收斂坐標，是實軸上的一個點。穿過σ0

并與虛軸jω

平行的直線叫做收斂邊界。收斂軸的右邊為收斂區(qū)，收斂區(qū)不包括收斂軸。一旦σ0

確定，f(t)的拉氏變換的收斂區(qū)就確定了。

以f(t)隨時間變化的趨勢，收斂區(qū)的大致范圍為：

(1)若f(t)是有限時寬的，則收斂區(qū)為全s平面，σ0=-∞。例如，單脈沖信號。

(2)f(t)的幅度是隨時間衰減的，σ0<0，例如單邊指數信號e-atu(t)(a>0)的σ0=-a，其拉氏變換的收斂區(qū)如圖4.1-2(a)所示。

(3)f(t)的幅度是隨時間不變的，σ0=0，例如u(t)、sinω0tu(t)，其拉氏變換的收斂區(qū)如圖4.1-2(b)所示。

(4)f(t)的幅度是隨時間增長的，σ0>0，例如eatu(t)(a>0)的σ0=a，其拉氏變換的收斂區(qū)如圖4.1-2(c)所示。

圖4.1-2收斂區(qū)示意圖

當σ0<0時，收斂區(qū)包含虛軸jω，信號的傅氏變換存在；當σ0>0時收斂區(qū)不包含虛軸jω，信號的傅氏變換不存在；當σ0=0時，收斂區(qū)雖不包含虛軸jω，但信號的傅氏變換存在，不過有沖激項。

因為指數階信號的單邊拉氏變換一定存在，所以一般可以不標明收斂區(qū)。

4.1.2常用函數的單邊拉普拉斯變換

通過求常用函數的像函數，可以掌握求解單邊拉氏變換的基本方法。

1.F(s)=F(jω)|s=jω的函數

當拉氏變換的收斂區(qū)包括jω

軸，F(s)可由F(jω)直接得到，僅將jω

換為s，即

例4.1-1已知f(t)=e-atu(t)(a>0)以及求f(t)的拉氏變換。

解

f(t)的收斂域如圖4.1-2(a)所示，包括jω

軸，所以

2.t的指數函數eatu(t)(a為任意復常數)

利用式(4.1-10)，可以推出以下常用信號的拉氏變換。

3.t的正冪函數

即

依此類推，

特別地，

表4-1列出了常用函數的單邊拉氏變換。

4.1.3雙邊拉普拉斯變換

1.定義

先討論e-σt的作用。當σ一定時，若t>0時e-σt為收斂因子，則t<0時e-σt為發(fā)散因子，有

但是，如果有函數在σ(σ1<σ<σ2)給定的范圍內，使得

則函數的雙邊拉氏變換存在，并記為

或

2.雙邊拉氏變換的收斂區(qū)

雙邊拉氏變換收斂區(qū)是使f(t)e-σt

滿足可積的σ取值范圍，或是使f(t)的雙邊拉氏變換存在的σ取值范圍。

例4.1-2已知函數f(t)=u(t)+etu(-t)，試確定f(t)雙邊拉氏變換及收斂區(qū)。

解

將積分分為兩項

對第①項，只有1-σ>0，即1>σ時積分收斂；收斂區(qū)如圖4.1-3(a)的陰影部分。

對第②項，只有σ>0時積分收斂，收斂區(qū)如圖4.1-3(b)的陰影部分，兩項的公共收斂區(qū)為0<σ<1。因此只有當0<σ<1時，∫-∞∞f(t)e-σtdt<∞，雙邊拉氏變換存在，f(t)波形與收斂區(qū)如圖4.1-4所示。其雙邊拉氏變換為

通常，雙邊拉氏變換有兩個收斂邊界，一個取決于t>0的函數，是左邊界，用σ1-表示；另一個取決于t<0的函數，是右邊界，以σ2-表示。若σ1<σ2-時，則t>0與t<0的變換有公共收斂區(qū)，雙邊拉氏變換存在。因此，雙邊拉氏變換的收斂區(qū)是s平面上σ1<σ<σ2-的帶狀區(qū)，如圖4.1-5陰影部分。

若σ1≥σ2-時，t>0與t<0函數的拉氏變換沒有公共收斂區(qū)，雙邊拉氏變換不存在。

圖4.1-3例4.1-2①、②收斂區(qū)

圖4.1-4例4.1-2的f(t)與收斂區(qū)

圖4.1-5雙邊拉氏變換收斂區(qū)示意圖

例4.1-3已知求所有可能的f(t)。

解

因為FB(s)中的s不能等于0、1，否則FB(s)不收斂。因此FB(s)的收斂區(qū)及對應的f(t)有三種情況，分別為

(a)收斂區(qū)0<σ<1，對應雙邊信號f1(t)=u(t)+etu(-t)；

(b)收斂區(qū)σ>1，對應因果信號f2(t)=(1-et)u(t)；

(c)收斂區(qū)σ<0，對應非因果信號f3(t)=(et-1)u(-t)。

從以上分析可見，雙邊拉氏變換的收斂區(qū)必須標明，否則不能正確確定時域信號。

4.1.4拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系

由傅氏變換引出了拉氏變換的概念，現在借助圖4.1-6，重新回顧雙邊拉氏變換、單邊拉氏變換、傅氏變換的關系。圖4.1-6拉氏變換與傅氏變換的關系

4.2拉普拉斯變換的性質與定理

1.線性若f1(t)?

F1(s)，f2(t)?

F2(s)，則

證

線性在實際應用中是用得最多、最靈活的性質之一。例如，

2.時延(位移、延時)特性

若f(t)u(t)?

F(s)，則

證

例4.2-1以f1(t)=sinωtu(t)為例，畫出f1(t)、f2(t)=sinω(t-t0)u(t)、f3(t)=sinωtu(t-t0)、f4(t)=sinω(t-t0)u(t-t0)的波形并分別求其拉氏變換。

解

f1(t)、f2(t)、f3(t)、f4(t)如圖4.2-1所示。

可以直接用公式的是f1(t)、f4(t)：

f2(t)、f3(t)經一定的變化后方可用性質。

圖4.2-1例4.2-1的波形圖

例4.2-2f(t)如圖4.2-2所示，求其像函數。

圖4.2-2例4.2-2的波形圖

例4.2-3求周期函數的單邊拉普拉斯變換，或求圖4.2-3所示單邊“周期”函數的拉普拉斯變換。圖4.2-3例4.2-3的單邊“周期”函數

例4.2-4求如圖4.2-4(a)所示周期的半波整流波形的單邊像函數。圖4.2-4例4.2-3的波形

解

半波整流波形第一個周期的波形如圖4.2-4(b)所示，可由兩個波形疊加，即

3.s域平移

若f(t)?

F(s)，則

式中，s0為復常數。

證

例4.2-5已知f(t)=e-atcosω0tu(t)，求像函數F(s)。

例4.2-6已知f(t)如圖4.2-5(a)所示，求F(s)。圖4.2-5例4.2-6的波形

解

f(t)=e(t)e-t?

F(s)=E(s+1)，e(t)如圖4.2-5(b)。

4.尺度變換

若f(t)?

F(s)，則

證

例4.2-7已知f(t)?

F(s)，求f1(t)=e-t/af(t/a)的像函數F1(s)。

解

先頻移

后尺度

例4.2-8求δ(at)、u(at)的像函數。

解

5.時域微分

若f(t)?

F(s)，則

式中，f(0)是f(t)在t=0時的值。

可以將式(4.2-6)推廣到高階導數：

特別地，當f(0)=f'(0)=f″(0)=…=f(n-1)(0)=0時，式(4.2-6)和式(4.2-7)可分別化簡為

式中，s為微分因子。

不難證明，當初始條件為f(r)(0-)(r=0，1，…，n-1)時，式(4.2-6)和式(4.2-7)也滿足，即

6.時域積分

若f(t)u(t)?

F(s)，則

7.復頻域微分

若

L[f(t)]=F(s)，則

證

可以推廣至復頻域的高階導數

用這一性質可證明t的正冪函數的像函數

8.復頻域積分

9.初值定理

比較等式左、右兩邊得

例4.2-11已知求f(0+)、f(t)。

10.終值定理

11.時域卷積定理

若f1(t)?

F1(s)，f2(t)?

F2(s)，則

證

因為f1(t)、f2(t)為有始函數，所以

交換積分次序

利用延時特性

12.復頻域卷積定理

4.3拉普拉斯反變換

拉普拉斯反(逆)變換是將像函數F(s)變換為原函數f(t)的運算，即

這個公式的被積函數是一個復變函數，其積分是沿著收斂區(qū)內的直線σ-j∞→σ+j∞進行的。這個積分可以用復變函數積分計算。但一般情況下計算函數比計算積分更容易，因此可以利用復變函數理論中的圍線積分和留數定理求反變換。但當像函數為有理函數時，更簡便的是代數方法，這種方法就是部分分式展開法，簡稱為“部分分式法”。

F(s)為s的有理函數時，一般形式可表示為

式中，ai、bi

為實常數，n、m

為正整數。

部分分式法的實質是利用拉氏變換的線性特性，先將F(s)分解為若干如表4-1所示的簡單函數之和，再分別對這些簡單像函數求原函數。

將分母多項式表示為便于分解的形式

式中，p1，p2，…，pn

是A(s)=0方程式的根，也稱F(s)的極點。

同樣，分子多項式也可以表示為

式中，z1，z2，…，zm

是B(s)=0方程式的根，也稱F(s)的零點。

4.3.1m<n，F(s)均為單極點時的部分分式展開法

式中，p1，p2，…，pn

為單極點，F(s)可分解為

則

例4.3-1已知像函數

解

4.3.2m≥n，F(s)均為單極點時的部分分式展開法

當m≥n

時，利用長除法將分子多項式的高次項提出，對余下的真分式(m'<n)部分處理同上。對提取的sr部分(0≤r≤mm')，利用微分性質：

例4.3-2已知像函數

求原函數f(t)。

解

例4.3-3已知像函數求原函數f(t)。

解

一般共軛復根可配成二次項的平方作為整體考慮，而不是分為兩個單根。

4.3.3m<n，F(s)有重極點時的部分分式展開法

設

其中，s=p1-是F(s)的k

階極點，由F(s)可展開為

對式(4.3-16)兩邊求導

令式(4.3-17)的s=p1，右邊除了第一項外，其余各項均為0，所以，

同理對式(4.3-17)再求導，可得

再令式(4.3-19)的s=p1，并解得

類推重極點展開式一般項系數

對剩下的中若均為單極點，用前面單極點的處理方法展開，如還有重極點可用上面的方法處理。重極點反變換式中一般項為

所以最后

4.4LTI系統的拉普拉斯變換分析法4.4.1用拉普拉斯變換求解線性微分方程用拉氏變換求解線性微分方程，可以把對時域求解微分方程的過程，轉變?yōu)樵趶皖l域中求解代數方程的過程，再經拉氏反變換得到方程的時域解。下面以二階常系數線性微分方程為例討論用拉氏變換求解線性微分方程的一般方法，高階微分方程求解方法類推。二階常系數線性微分方程的一般形式為

1.零狀態(tài)響應

零狀態(tài)響應是僅由激勵引起的響應。當f(t)是因果激勵時，系統零輸入初始條件為零(y(0)=y'(0)=0)，則式(4.4-2)為

由式(4.4-3)得零狀態(tài)響應為

2.零輸入響應

零輸入響應是僅由系統初始儲能引起的響應，由零輸入初始條件y(0)、y'(0)確定。此時激勵f(t)=0，式(4.4-2)變?yōu)?/p>

3.全響應

利用拉氏變換，實際上不需要分別求零狀態(tài)響應與零輸入響應，因零輸入初始條件y(0)，y'(0)已“自動”引入，所以可直接求解微分方程的全響應。式(4.4-2)即為全響應的拉氏變換，所以

由解此題過程可見：

(1)時域中的微分方程求解，在復頻域中為代數方程求解Y(s)。

(2)零輸入響應初始條件y(0)、y'(0)在變換中自動引入，其解為微分方程的完全解。

具體步驟：

(1)由具體電路列出微積分方程(組)。

(2)對微積分方程(組)取拉氏變換。

(3)用代數方法解出Y(s)或{Yi(s)}。

(4)求出y(t)=L-1{Y(s)}。

例4.4-4已知

且f(t)=1，y1(0)=2，y2(0)=1，求響應y1(t)、y2(t)。

解

對方程兩邊取單邊拉氏變換，

代參數并整理

4.4.2s域的網絡模型——運算電路法

根據元件上的電壓、電流關系列寫電路系統的微、積分方程，然后對方程取拉氏變換的方法，在分析電路響應時有許多優(yōu)點，但是對比較復雜的網絡(多網孔、節(jié)點)，以及對初始條件的處理(需要標準化或等效)還有許多不便之處，我們可以用類似頻域電路的方法，簡化獲得網絡拉氏變換方程的過程，并且可以將n

階系統的初始狀態(tài){xk(0-)}(其中k=1，2，…，n)直接引入，充分體現拉氏變換的優(yōu)越性，這種方法稱為s域網絡(電路)模型法或運算電路法。

1.元件的s域模型

首先討論無初始條件電阻、電感、電容的s域模型。此時R、L、C

元件的時域電壓電流關系為

對上式進行拉氏變換，得到

由上式可見，如果認為R、Ls、1/Cs是復頻域阻抗，則s域的電壓電流關系滿足復頻域(廣義)的歐姆定律。這樣就可以將原來的微、積分運算關系變?yōu)榇鷶颠\算關系。式(4.4-9)所表示的電壓電流關系可以用如圖4.4-1所示的s域網絡模型表示。圖4.4-1無初始條件元件的s域網絡模型

再考慮電感、電容具有初始條件的s域模型，此時L、C時域模型如圖4.4-2所示，其電壓電流關系為圖4.4-2-有初始條件元件的時域模型

分別對式(4.4-10)進行拉氏變換，得到

上式所表示的電壓電流關系，可以用如圖4.4-3所示的s域網絡模型表示。圖4.4-3-有初始條件元件的s域網絡模型

由式(4.4-11)還可解出：

所對應的s域網絡模型如圖4.4-4所示。圖4.4-4有初始條件元件的s域網絡模型另一種形式

例4.4-5電路如圖4.4-5所示，激勵為e(t)，響應為i(t)，求s域等效模型及響應的s域方程。圖4.4-5例4.4-5電路系統

解

s域等效模型(運算等效電路)如圖4.4-6所示，列回路KVL方程：

解出圖4.4-6例4.4-5電路的s域網絡模型

例4.4-6已知電路如圖4.4-7所示，求izi(t)。其中：R1=0.2Ω，R2=1Ω，C=1F，L=0.5H；vC(0-)=-0.2V，iL(0-)=-1A。圖4.4-7例4.4-6電路系統

解

s域等效模型如圖4.4-8所示，列網孔方程式：圖4.4-8例4.4-6電路的s域網絡模型

例4.4-7電路如圖4.4-9所示，已知e(t)=10V；vC(0-)=5V，iL(0-)=4A，求i1(t)。圖4.4-9例4.4-7電路

解

例4.4-7電路的s域等效模型如圖4.4-10所示，列網孔KVL方程：圖4.4-10例4.4-7電路的s域網絡模型

若要求計算零狀態(tài)、零輸入響應，可以先分別繪出與輸入及初始狀態(tài)有關的s域等效模型如圖4.4-11(a)、(b)所示，再列出各自KVL方程，具體求解留給讀者完成。圖4.4-11例4.4-7電路零狀態(tài)、零輸入的s域網絡模型

4.5系統函數與復頻域分析法

4.5.1系統函數H(s)系統函數在零狀態(tài)下定義為系統函數也稱轉移函數、傳輸函數、傳遞函數。

由式(4.5-1)可得系統零狀態(tài)響應像函數為

對式(4.5-2)取拉氏反變換得到系統的零狀態(tài)響應為

特別的，激勵為δ(t)時，系統零狀態(tài)響應是單位沖激響應

式(4.5-4)表明系統函數與單位沖激響應h(t)是一對拉氏變換對。

1.微分方程

n階系統微分方程的一般形式為

系統為零狀態(tài)且f(t)為因果信號時，對方程兩邊取變換，可得

2.電路系統

例4.5-1如圖4.5-1(a)所示為一電路系統，圖(b)為其s

域等效電路，若輸入為v1(t)，輸出為v2(t)，試求系統函數

H(s)。圖4.5-1例4.5-1電路

解

利用廣義分壓公式，可得

由輸入、輸出像函數F(s)、Y(s)所處的端口，以及輸入f(t)、輸出y(t)的物理意義，H(s)有不同的含義，可以是s域(運算)阻抗，s域(運算)導納、電壓、電流傳輸函數等。如上例的系統函數就是電壓傳輸函數。

3.轉移算子

已知穩(wěn)定系統的轉移算子，將其中的p

用s替代，可以得到系統函數。一般n階系統的轉移算子為

則由

可得系統函數為

4.5.2系統函數的零、

極點

分解系統函數的分子、分母多項式，可得

式(4.5-8)中，H(s)分母多項式D(s)的根pi(i=1，2，…，n)是

H(s)的極點，有n

個；H(s)分子多項式

N(s)的根zj(j=1，2，…，m)是H(s)的零點，有m

個。

若

H(s)是實系數的有理函數，其零、極點一定是實數或共軛成對的復數。

例4.5-2已知某系統的系統函數如下，求系統的零、極點。

解

n=4，極點為p1=-1(二階)，p3=j2，p4=-j2；

m=3，零點為z1=0，z2=1+j，z3=1-j。

將系統函數的零、極點準確地標在s平面上，這樣的圖稱零、極點圖或零、極圖，其中“·”表示零點，“×”表示極點。如例4.5-2的零、極點如圖4.5-2-所示。

圖4.5-2例4.5-2系統零、極點圖

4.5.3零、

極點分布與時域特性

H(s)與h(t)是一對拉氏變換對，所以只要知道

H(s)在s

平面上的零、極點分布情況，就可以知道系統沖激響應h(t)的變化規(guī)律。假設式(4.5-8)的所有極點均為單極點且m<n，利用部分分式展開

式中，pi=σi+jωi。

式(4.5-9)對應的單位沖激響應為

H(s)由極點決定的各因子與h(t)的各分量一一對應。

以jω

虛軸為界，將s平面分為左半平面與右半平面。由共軛極點pi=σi+jωi

在s平面的位置討論hi(t)與h(t)的變化規(guī)律。

(1)pi=σi±jωi

為一階(共軛)極點。

若σi>0，極點在s平面的右半平面，hi(t)隨時間增長；σi<0，極點在s平面的左半平面，hi(t)隨時間衰減；σi=0，極點在s平面的原點(ωi=0)或虛軸上，hi(t)對應于階躍或等幅振蕩。

(2)pi=σi±jωi

為二階或二階以上共軛重極點。

σi>0或σi<0時，hi(t)隨時間變化的總趨勢同一階情況；σi=0時，重極點在S

平面的原點(ωi=0)或虛軸上，hi(t)對應于t的正冪函數或增幅振蕩。

(3)系統函數

H(s)的全部極點在左半平面(σi<0)，h(t)隨時間衰減趨于零；系統函數

H(s)有極點在虛軸及右半平面(σi≥0)，h(t)不隨時間消失。

從以上分析可知，由系統函數

H(s)極點在s

平面上的位置，便可確定h(t)的模式，判斷單位沖激響應是隨時間增長或衰減為零的信號，還是一個隨時間等幅振蕩或不變(階躍)的信號，如圖4.5-3所示。

圖4.5-3零、極點與單位沖激響應模式

4.5.4零、

極點與各響應分量

從s域出發(fā)，由激勵的像函數F(s)和系統函數

H(s)可以討論零狀態(tài)響應中的自然、受迫、瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)分量等概念。

研究零狀態(tài)響應像函數在s平面的零、極點分布，可以預見在給定激勵下，系統零狀態(tài)響應的時域模式。因為

顯然Yzs(s)的零、極點由F(s)、H(s)的零、極點共同決定，而F(s)、H(s)可分別表示為

由對零、極點分布與時域特性討論可判斷：s

左半平面極點對應系統的瞬態(tài)響應，虛軸及s右半平面的極點對應系統的穩(wěn)態(tài)響應。圖4.5-4給出了穩(wěn)定系統各響應之間的關系。圖4.5-4穩(wěn)定系統各響應關系

4.5.5零、

極點分布與系統頻域特性

由系統的零、極點分布不但可知系統時域響應的模式，也可以定性了解系統的頻域特性。因為由穩(wěn)定系統的

H(s)在s平面上的零、極點圖，可以大致地描繪出系統的頻響特性|H(ω)|和φ(ω)。

取s=jω，即在s復平面中令s沿虛軸移動，得到

對于任意零點zj和極點pi，相應的復數因子(矢量)如圖4.5-5所示都可以表示為零點與極點矢量

其中，Nj、Mi

分別是零、極點矢量的模；ψj、θi

分別是零、極點矢量與正實軸的夾角。則

式中

由圖4.5-5可見

圖4.5-5零點與極點矢量

例4.5-4用矢量作圖法求如圖4.5-6所示高通濾波器的幅頻、相頻特性。

式中，α=1/(RC)，零點z1=0，極點p1=-1/(RC)，零點與極點矢量如圖4.5-7所示。

圖4.5-6例4.5-4高通濾波器

圖4.5-7例4.5-4的零點與極點矢量

(1)幅頻特性|H(ω)|=N1/M1。

當ω=0時，N1=0，所以|H(ω)|=0；隨著ω增大，N1、M1-增大，且使|H(ω)|增大；當ω→∞時，N1?M1，使得|H(ω)|?1。

(2)相頻特性φ(ω)=ψ1-θ1。其中：ψ1=π/2，所以φ(ω)=π/2-θ1。

當ω=0時，θ1=0，φ(ω)=π/2；隨著ω增大，θ1-增大，且使得φ(ω)減小；當ω→∞時，θ1→π/2，φ(ω)趨于0。

(3)由3dB截止頻率ωc

定義

幅頻、相頻特性如圖4.5-8所示。

圖4.5-8例4.5-4的頻響特性

這種在虛軸上的零、極點情況是特例，而一般意義的零、極點通常表示為zj=αj+jωj，pi=αi+jωi。其中αj、αi

為零、極點的實部。當αj、αi很小時，零、極點靠近虛軸，此時由零、極點定性繪出的系統幅頻特性及相頻特性曲線具有以下特點：

(1)幅頻特性

在ω=ωi

點，Mi=|pi|=|αi+jωi|最小，|H(ω)||ω=ωi

出現峰值；在ω=ωj點，Nj=|zj|=|αj+jωj|最小，|H(ω)||ω=ωj出現谷值。

(2)相頻特性

在ω=ωi、ω=ωj

附近相位變化均加快。零、極點靠近虛軸時系統幅頻特性及相頻特性曲線如圖4.5-9所示。

圖4.5-9靠近虛軸的零、極點頻響特性

4.5.6全通系統與最小相移系統的零、

極點分布

1.全通系統

當系統幅頻特性在整個頻域內是常數時，其幅度特性可無失真?zhèn)鬏敚@樣的系統稱為全通系統。全通系統的特點是系統函數

H(s)的零、極點對jω

軸成鏡像對稱，即零、極點

個數相同(m=n)，且零、極點矢量的大小相等(Nj=Mj)。三階全通系統零、極點分布示意圖如圖4.5-10所示，不難看出由系統的零、極點圖就可判斷系統是否為全通系統。圖4.5-10全通系統零、極點分布示意圖

全通系統的幅頻特性與相頻特性分別為

2.最小相移系統

實際應用中，會遇到在幅頻特性相同情況下，希望得到系統的相移(時延)最小，這樣的系統稱為最小相移系統。本書不加證明給出最小相移系統的條件為：全部零、極點在s平面的左半平面(零點可在jω

軸上)，不滿足這一條件的為非最小相移系統。圖4.5-11是幅頻特性相同，最小相移系統與非最小相移系統的零、極點分布示意圖。圖4.5-11最小相移系統與非最小相移系統零、極點分布示意圖

非最小相移系統可由全通系統與最小相移系統組成，組成圖4.5-11(b)非最小相移系統的最小相移系統與全通系統的零、極點分布示意圖如圖4.5-12所示。圖4.5-12組成非最小相移系統的最小相移與全通系統零、極點分布示意圖

4.6連續(xù)時間系統的模擬及信號流圖

4.6.1連續(xù)時間系統的模擬(仿真)用系統的觀點來分析問題時，可以把系統看做一個“黑盒子”，不管其內部的具體結構、參數，所關心的只是輸入

輸出之間的轉換關系，如圖4.6-1所示。圖4.6-1系統的輸入

輸出表示

例4.6-1分別求如圖4.6-2所示RL、RC

電路的系統函數。圖4.6-2例4.6-1RL、RC電路

解

這是兩個結構、參數不同的一階系統，但由于它們傳輸函數相同，因此它們的輸入

輸出關系完全相同，數學模型都是一階微分方程

n

階LTI系統微分方程的一般形式為

其系統函數為

用三種基本運算，就可對式(4.6-1)的運算關系作系統模擬。這三種基本運算是加法、標量乘法與積分。它們對應著三種基本模擬運算器件：加法器、標量乘法器、積分器。描述系統的輸入

輸出關系既可用數學方程描述，亦可由基本運算器組成的模擬圖描述?；具\算模擬的加法器、標量乘法器、積分器有時域、復頻域兩種表示方法，所以一般模擬圖既可用時域也可用復頻域表示。因為復頻域的系統函數是有理式，并且運算關系簡單，因此實際系統模擬更常用復頻域表示。

1.加法運算關系

加法器如圖4.6-3所示。圖4.6-3加法器

2.標量乘法運算關系

標量乘法器如圖4.6-4所示。圖4.6-4標量乘法器

3.積分運算關系

積分器如圖4.6-5所示。圖4.6-4標量乘法器

4.6.2系統模擬的直接(卡爾曼)形式

1.全極點系統模擬的直接形式

一階系統的微分方程及系統函數表示

將一階線性系統的微分方程改寫為

將y'(t)作為積分器輸入，得到用基本運算器組成的時域與復頻域模擬圖，如圖4.6-6所示。圖4.6-6-一階系統模擬

一階系統模擬的方法可推廣至全極點的二階系統模擬，其微分方程及系統函數為

改寫微分方程

積分器的輸入為y″(t)，經兩次積分得到y(t)，其模擬如圖4.6-7所示。圖4.6-7無零點二階系統模擬

由二階系統模擬可推廣至全極點n

階系統，其微分方程及系統函數為

n階系統的模擬如圖4.6-8所示。

圖4.6-8全極點n階系統模擬

2.一般系統模擬的直接(卡爾曼)形式

以上模擬實現了系統的極點，實際系統除了極點之外，一般還有零點。例如一般二階系統的系統函數為

將上式改寫為

式(4.6-10)的模擬如圖4.6-9所示。

圖4.6-9一般二階系統的模擬

由一般二階系統的模擬不難推廣到n

階系統(m≤n)

一般n

階系統的模擬如圖4.6-10所示。由圖可見，一般n

階系統模擬有n

個積分器。在系統模擬圖中，系數ai=bj=0時為開路；ai=bj=1時為短路。

圖4.6-10一般n階系統的模擬

4.6.3其他形式的模擬

1.級(串)聯形式

級(串)聯模擬實現方法是將

H(s)分解為基本(一階或二階)節(jié)相乘。

式中，Hi(s)是

H(s)的子系統。也有將級聯形式稱為串聯形式。式(4.6-11)表明級聯的系統函數是各子系統函數的乘積，子系統的級聯圖如圖4.6-11所示。圖4.6-11系統的級(串)聯方框圖

子系統的基本形式是由共軛極點(或兩個實單極點)組成的二階節(jié)，實單極點的一階節(jié)是基本形式的特例。子系統模擬構成原則是系統內所有參數為實數。利用基本形式的模擬，再將各子系統級聯起來，可得系統模擬圖，稱為級(串)聯模擬圖。

例4.6-2已知某系統函數為

畫出由一階系統級聯的模擬圖。

解

一階系統級聯的模擬圖如圖4.6-12所示。圖4.6-12例4.6-2系統的級聯模擬圖

2.并聯模擬

并聯模擬實現的方法是將系統分解為基本(一階或二階)節(jié)相加：

式中，Hi(s)是

H(s)的子系統。

Hi(s)子系統模擬的基本形式同級聯模擬相似。整個系統可以看成是n

個子系統的疊加(并聯)，其中每個子系統可按上面的子系統模擬，這種形式稱為并聯形式。子系統的并聯圖如圖4.6-13-所示。圖4.6-13系統的并聯方框圖

例4.6-3已知某系統函數為

畫出其并聯模擬圖。

解

系統的一階并聯模擬圖如圖4.5-14所示。

圖4.6-14例4.6-3系統的并聯模擬圖

實際工作中還用以下常用的兩種模擬方法。

3.混聯

混聯系統的系統函數的計算要根據具體情況具體對待。如圖4.6-15所示系統，圖4.6-15(a)的系統函數為

圖4.6-15(b)的系統函數為

圖4.6-15混聯系統方框圖

4.反饋系統

反饋系統應用廣泛，自動控制系統的基本結構就是反饋系統。最基本的反饋系統方框圖如圖4.6-16所示。由此圖可見，信號的流通構成閉合回路，即反饋系統的輸出信號又被引入到輸入端，這種與輸入相減的反饋稱為負反饋，若是與輸入相加的反饋則稱為正反饋。通常為保證系統穩(wěn)定，采用的都是負反饋，但正反饋在振蕩電路中也有實際應用，根據實際需要可采用不同的反饋。

圖4.6-16反饋系統方框圖

由圖4.6-16可見，除了輸入外，輸出也形成了對系統的控制。這種輸出信號對控制作用有直接影響的反饋系統，也稱為閉環(huán)系統，閉環(huán)系統的傳遞函數也稱為閉環(huán)增益。相應地，若輸出信號對控制作用沒有影響的系統稱為開環(huán)系統，開環(huán)部分的傳遞函數亦稱其為開環(huán)增益。反饋(閉環(huán))系統一般可由開環(huán)系統與反饋兩部分組成。圖4.6-16中，除去反饋部分剩下的是開環(huán)系統，開環(huán)部分的傳遞函數為H1(s)，整個反饋系統的傳遞函數(閉環(huán)增益)為

4.6.4連續(xù)系統的信號流圖表示

信號流圖是用節(jié)點與有向支路來描述系統。用流圖表示系統的具體處理方法是：用帶箭頭的有向線段代替模擬圖中的方框；線段的兩個端點為節(jié)點，表示原方框的輸入與輸出；線段箭頭的方向是信號傳輸的方向，原方框的傳遞系數(支路增益)直接標在箭頭旁；有兩個以上有向線段指向一個節(jié)點的，表示相加或相減(傳遞系數有負號)。

前面的方框圖與模擬圖都可以用信號流圖表示，例如圖4.6-9的信號流圖如圖4.6-17-所示。

圖4.6-17二階系統模擬的信號流圖

圖4.6-10n

階系統模擬的信號流圖如圖4.6-18所示。圖4.6-18-n階系統的信號流圖

式(4.6-11)的信號流圖如圖4.6-19所示。圖4.6-19級聯系統的信號流圖

例4.6-2系統的信號流圖如圖4.6-20所示。圖4.6-20例4.6-2系統的級聯模擬信號流圖

式(4.6-12)的信號流圖如圖4.6-21所示。圖4.6-21并聯系統的信號流圖

例4.6-3系統的信號流圖如圖4.6-22所示。圖4.6-22例4.6-3系統的并聯信號流圖

式(4.6-14)的信號流圖如圖4.6-23所示。圖4.6-23混合系統的信號流圖

式(4.6-15)的信號流圖如圖4.6-24所示。圖4.6-24反饋系統的信號流圖

4.7LTI連續(xù)系統的穩(wěn)定性

穩(wěn)定性是系統本身的性質之一，與激勵信號無關。穩(wěn)定系統也是一般系統設計的目標之一。由不同角度，有不同的穩(wěn)定性定義形式。本書由輸入

輸出關系定義穩(wěn)定系統為：有界輸入產生有界輸出(簡稱BIBO)的系統。

如果對有界激勵，系統的響應無界，系統就是不穩(wěn)定的。LTI系統BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是單位沖激響應絕對可積：

式中，M為一有界的實數。

4.7.1系統穩(wěn)定性分類

1.穩(wěn)定

由4.5節(jié)零、極點分析可知，若

H(s)的全部極點在s

的左半平面(不含jω

軸)，則單位沖激響應滿足

系統穩(wěn)定。

2.不穩(wěn)定

若

H(s)有極點落在右半平面，或者jω

軸、原點處有二階以上的重極點，則單位沖激響應為

系統不穩(wěn)定。

3.邊(臨)界穩(wěn)定

若

H(s)在原點或jω

軸上有一階極點，雖然單位沖激響應，但

例如純LC網絡，其單位沖激響應為無阻尼(等幅)的正弦振蕩。因為邊(臨)界穩(wěn)定是處在穩(wěn)定與不穩(wěn)定兩種情況之間，所以稱邊(臨)界穩(wěn)定。為使分類簡化，通常將其歸為非穩(wěn)定系統。

4.7.2H(s)中

m、n之間的限制

例4.7-1已知系統函數

H(s)為系統的電壓傳輸比，且m=n+1，則

4.7.3穩(wěn)定系統與系統函數分母多項式系數的關系

系統函數

設

穩(wěn)定系統的極點應位于s平面的左半平面，因此D(s)根的實部應為負值。它對應以下兩種情況：

式(4.7-7)表明復數根只能共軛成對出現，否則不能保證b、c

為實數。又因為復數根的實部應為負值(α>0)，所以b、