【八年級上冊數(shù)學(xué)蘇科版】專題08 解題技巧專題：共頂點的等腰三角形(解析版)

第第頁專題08解題技巧專題：共頂點的等腰三角形考點一共頂點的等腰三角形考點二共頂點的等邊三角形考點一共頂點的等腰三角形例題：（2022·湖北黃石·中考真題）如圖，在和中，，，，且點D在線段上，連．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證出∠BAD=∠CAE，由SAS證明△ABD≌△ACE即可；（2）先由全等三角形的性質(zhì)得到，再由和都是等腰直角三角形，得到且，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠AEC的度數(shù)，即可求出∠CED的度數(shù)．（1）證明：∵，∴，即．在與中，，∴≌（SAS）；（2）解：由（1）得，又∵和都是等腰直角三角形，∴且，在中∵且∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·山東·梁山縣第二中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，大小不同的等腰直角三角形△ABC和△DEC直角頂點重合在點C處，連接AE、BD，點A恰好在線段BD上．(1)找出圖中的全等三角形，并說明理由；(2)猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和垂直的定義解答即可．（1）解：，理由如下：，，即，在與中，，；（2）解：，理由如下：設(shè)與相交于點，在與中，，，，，．【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)得出與全等的解題的關(guān)鍵．2．（2022·安徽宿州·七年級期末）已知：和均為等腰直角三角形，點與點A重合，，，．(1)如圖1，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)點B、、在一條直線上時，__________°；(3)如圖3，當(dāng)點在邊上時，試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)，理由見詳解(2)90(3)，理由見詳解【分析】（1）證明，由全等三角形的性質(zhì)即可確定與的數(shù)量關(guān)系；（2）由等腰直角三角的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）由等腰直角三角的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．（1）解：，理由如下：∵，即，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）由（1）可知，，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案為：90；（3），理由如下：∵，，，由（1）可知，，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知中，；中，；，點A．D．E在同一直線上，AE與BC相交于點F，連接BE．(1)如圖1，當(dāng)時，①請直接寫出和的形狀；②求證：；③請求出的度數(shù)．(2)如圖2，當(dāng)時，若，，求線段AF的長．【答案】(1)①△ABC和△DEC是等邊三角形；②見詳解；③60°；(2)4【分析】（1）①根據(jù)中，；中，，=60°，即可得到結(jié)論；②先證明△ACD≌△BCE，即可得到結(jié)論；③由?ACD≌?BCE得∠ADC=∠BEC，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，即可求解；（2）延長BE、AC相交于點G，證明?ACD≌?BCE，得∠CAD=∠CBE，推出∠ACF=∠BEF=90°，證明?ACF≌?BCG以及?AEB≌?AEG，結(jié)合條件即可求解．（1）①∵，，∴，為等腰三角形，又∵，∴和是等邊三角形；②∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠BCE+∠DCB，∠ACB=∠DCE，∴∠ACD=∠BCE，又∵，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；③∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵∠ADC=180°-∠CDE=180°-60°=120°，∴∠BEC=∠CEF+∠AEB=120°，∵∠CEF=60°，∴∠AEB=120°-60°=60°；（2）延長BE、AC相交于點G，∵=90°，，，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∵∠AFC=∠BFE，∴∠ACF=∠BEF=90°，∴∠AEB=∠AEG=90°，在?ACF和?BCG中，∵，∴△ACF≌△BCG（ASA），∴AF=BG，∵∠CAF=∠BAF，∠AEB=∠AEG=90°，AE=AE，∴?AEB≌?AEG(ASA)，∴BE=GE=2，∴AF=4．【點睛】本題主要考查了等邊三角形，等腰直角三角形，全等三角形等，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，“旋轉(zhuǎn)全等”模型，是解題的關(guān)鍵．考點二共頂點的等邊三角形例題：（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，△ABC與△DCE為等邊三角形，B、C、E在同一條直線上，連接AE、BD相交于點M，連接CM、GF有如下結(jié)論：（1）AE=BD（2）MG=MD（3）GFBE

（4）MC平分∠BME，其中正確的有________．【答案】（1）（3）（4）【分析】求出∠BCD＝∠ACE，利用SAS證明△BCD≌△ACE可得AE＝BD，∠CAF＝∠CBG，（1）正確；然后證明△ACF≌△BCG，可得CF＝CG，證明△CGF是等邊三角形，求出∠CGF＝60°＝∠BCG，根據(jù)平行線的判定可得（3）正確；過點C分別作CP⊥BD于點P，CQ⊥AE于點Q，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高線相等可知CP＝CQ，由角平分線的判定可得MC平方∠BME，（4）正確；由于條件不足，無法證明MG=MD，故（2）錯誤．【詳解】解：∵△ABC，△DCE都是等邊三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴AE＝BD，∠CAF＝∠CBG，（1）正確；∵∠ACF＝180°－∠ACB－∠DCE＝180°－60°－60°＝60°，∴∠ACF＝∠BCG＝60°，又∵AC＝BC，∴△ACF≌△BCG（ASA），∴CF＝CG，∵∠ACF＝60°，∴△CGF是等邊三角形，∴∠CGF＝60°＝∠BCG，∴GFBE，（3）正確；過點C分別作CP⊥BD于點P，CQ⊥AE于點Q，∵△BCD≌△ACE，∴CP＝CQ，∴MC平方∠BME，（4）正確；條件不足，無法證明MG=MD，故（2）錯誤；正確的是（1）（3）（4），故答案為：（1）（3）（4）．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的判定等知識，仔細(xì)觀察圖形，找出合適的全等三角形進(jìn)行證明是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東青島·七年級期末）如圖，△ABC、△CDE均為等邊三角形，連接BD、AE交于點O，BC與AE交于點P．求∠AOB的度數(shù)．【答案】∠AOB＝60°【分析】利用“邊角邊”證明△BCD和△ACE全等，可得∠CAE＝∠CBD，根據(jù)“八字型”求出∠BOP＝∠ACP＝60°即可．【詳解】證明：∵△ABC和△ECD都是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵∠APC＝∠BPO，∴∠BOP＝∠ACP＝60°，即∠AOB＝60°．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．2．（2020·湖南常德·八年級階段練習(xí)）在數(shù)學(xué)探究課上，老師出示了這樣的探究問題，請你一起來探究：已知：C是線段AB所在平面內(nèi)任意一點，分別以AC、BC為邊，在AB同側(cè)作等邊三角形ACE和等邊三角形BCD，連接AD、BE交于點P．(1)如圖1，當(dāng)點C在線段AB上移動時，線段AD與BE的數(shù)量關(guān)系是：．(2)如圖2，當(dāng)點C在直線AB外，且∠ACB＜120°，上面的結(jié)論是否還成立？若成立請證明，不成立說明理由．此時∠APE是否隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，若變化寫出變化規(guī)律，若不變，請求出∠APE的度數(shù)．(3)如圖3，在（2）的條件下，以AB為邊在AB另一側(cè)作等邊三角形△ABF，連接CF，可證得CF也經(jīng)過點P，求證：PB+PC+PA=BE．【答案】(1)AD=BE(2)AD=BE成立，∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，始終是60°，見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACE＝∠DCB＝60°，CA＝CE，CD＝CB，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△ECB≌△ACD（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）證明△ECB≌△ACD（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AD＝BE，∠CEB＝∠CAD，設(shè)BE與AC交于Q，證出∠APQ＝∠ECQ＝60°，則可得出結(jié)論；（3）同理可得△EAB≌△CAF，求出∠CPE=∠EAC=60°，在PE上截取PH＝PC，連接HC，可得△PCH為等邊三角形，證明△CPA≌△CHE（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AP＝EH，則可得出結(jié)論．（1）解：∵△ACE和△BCD都是等邊三角形，∴∠ACE＝∠DCB＝60°，CA＝CE，CD＝CB，∴∠ACE＋∠DCE＝∠DCB＋∠DCE，即∠ACD＝∠ECB，在△ECB和△ACD中，，∴△ECB≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故答案為：AD＝BE；（2）AD=BE成立，∠APE不隨著∠ACB的大小發(fā)生變化，始終是60°，證明：∵△ACE和△BCD是等邊三角形，∴EC=AC，BC=DC，∠ACE=∠BCD=60°，∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD，在△ECB和△ACD中，，∴△ECB≌△ACD（SAS），∴AD=BE，∠CEB=∠CAD，設(shè)BE與AC交于Q，又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°，∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°；（3）由（2）同理可得△EAB≌△CAF（SAS），∴∠AEB＝∠ACF，設(shè)BE與AC交于Q，則∠AQE＝∠PQC，∴∠CPE=∠EAC=60°，在PE上截取PH=PC，連接HC，∴△PCH為等邊三角形，∴HC=PC，∠CHP=60°，∴∠CHE=120°，又∵∠APE=∠CPE=60°，∴∠CPA=120°，∴∠CPA=∠CHE，在△CPA和△CHE中，，∴△CPA≌△CHE（AAS），∴AP=EH，∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·遼寧沈陽·八年級階段練習(xí)）已知與都是等邊三角形，點B，C，D在一條直線上，點P為直線上一動點，（P不與B，C重合），連接，在的右側(cè)作射線交直線于點Q，且，連接．(1)如圖1所示，當(dāng)點P在邊上時，在邊上截取，連接．①請在圖1中補(bǔ)全圖形并證明：；②請直接寫出的形狀；(2)當(dāng)點P在直線上運動時，請直接寫出線段，，三者之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①見解析；②等邊三角形(2)或或【分析】（1）①根據(jù)題意作線段BM即可，由△ABC是等邊三角形推出∠BAP=∠QPD，證明△BMP是等邊三角形，得到∠AMP=120°，利用△CDE是等邊三角形，求出∠ECP=180°-60°=120°，推出AMP=∠PCQ，由AB-BM=BC-BP，得到=PC，即可證得△AMP≌△PCQ；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP=PQ，即可判斷△APQ是等邊三角形；（2）分三種情況：①當(dāng)點P在線段BC上時，②當(dāng)點P在射線BC的延長線上時，③當(dāng)點P在射線CB的延長線上時，利用全等三角形的判定和性質(zhì)證明三者之間的關(guān)系即可．（1）解：①在邊上截取，連接．如圖所示，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，AB=BC，∴∠BAP+∠APB=120°，又∵∠APQ=60°，∴∠APB+∠QPD=120°，∴∠BAP=∠QPD∵BM=BP，∠B=60°，∴△BMP是等邊三角形，∴∠BMP=60°，∴∠AMP=120°，∵△CDE是等邊三角形，∴∠ECD=60°，∴∠ECP=180°-60°=120°，∴∠AMP=∠PCQ，∵AB-BM=BC-BP，∴AM=PC，∴△AMP≌△PCQ；②∵△AMP≌△PCQ，∴AP=PQ，∵∠APQ=60°，∴△APQ是等邊三角形；（2）①當(dāng)點P在線段BC上時，如圖，由（1）知，△AMP≌△PCQ，∴AM=PC，MP=CQ，∵AC=AB=BM+AM，∴AC=CQ+CP；②當(dāng)點P在射線BC上時，如圖，在BA延長線上截取AM=CP，連接MP，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，AB=BC，∵AM=CP，∴BM=BP，∴△BMP是等邊三角形，∴BM=MP，∠M=60°，∵∠MAP=∠B+∠APB=∠APB+60°，∠CPQ=∠APB+∠APQ=∠APB+60°，∴∠MAP=∠CPQ，∵△CDE是等邊三角形，∴∠ECD=60°，∴∠M=∠QCP，∴△MAP≌△CPQ，∴CQ=MP，∵BM=AB+AM，∴CQ=AC+CP；③當(dāng)點P在射線CB上時，如圖，延長AB至M，使BM=BP，∴△BMP是等邊三角形，∴BM=MP，∠M=60°，∵∠MAP+∠APB=60°，∠APQ=∠APB+∠CPQ=60°，∴∠MAP=∠CPQ，∵△CDE是等邊三角形，∴∠PCQ=∠ECD=60°，∴∠M=∠QCP，∵AB=BC，∴AB+BM=BC+BP，∴AM=CP，∴△MAP≌△CPQ，∴CQ=MP，∵AM=AB+BM，∴CP=AC+CQ；綜上，線段，，三者之間的數(shù)量關(guān)系為：或或．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·河南鄭州·七年級期末）在等邊三角形中，點D為直線上一動點（點D不與點A，B重合），以為邊在右側(cè)作等