【八年級上冊數(shù)學(xué)蘇科版】專題05 線段、角的軸對稱性(解析版)（重點(diǎn)突圍）

第第頁專題05線段、角的軸對稱性考點(diǎn)一線段的垂直平分線的性質(zhì)考點(diǎn)二線段的垂直平分線的判定考點(diǎn)三線段的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)四角平分線的性質(zhì)考點(diǎn)五角平分線的判定考點(diǎn)六角平分線的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)七尺規(guī)作垂直平分線、角平分線考點(diǎn)八線段、角平分線的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一線段的垂直平分線的性質(zhì)例題：（2022·廣東深圳·八年級期末）如圖，在中，邊的垂直平分線交于E，交于點(diǎn)D，若，，則的周長為（

）A．8 B．9 C．7 D．10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到BE=CE，即可得到的周長．【詳解】解：∵DE垂直平分BC，∴BE=CE，∴的周長=AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB=5+3=8，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等．【變式訓(xùn)練】1．（2022·遼寧本溪·八年級期末）如圖，是線段的垂直平分線，垂足為點(diǎn)，，是上兩點(diǎn)．下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)分析選項(xiàng)即可．【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，∴，，故D選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；在和中，∴，∴，故B選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；同理可知：，∴，故C選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；利用排除法可知選項(xiàng)A結(jié)論不正確，符合題意．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)，利用性質(zhì)證明，．2．（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G．若BC＝15，求△AEG的周長．【答案】15【解析】【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可知AE=BE，AG=GC，從而△AEG的周長就等于BC的長．【詳解】解：∵DE是線段AB的垂直平分線，∴EA＝EB，∵GF是線段AC的垂直平分線，∴GA＝GC，∴△AEG的周長＝EA+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝15．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等．考點(diǎn)二線段的垂直平分線的判定例題：（2019·陜西·商州區(qū)第一初級中學(xué)八年級期中）如圖，在中，邊上的垂直平分線相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P在的垂直平分線上．【答案】見解析【解析】【分析】由垂直平分線的性質(zhì)知，，通過等量代換可得，即可證明．【詳解】證明：∵邊上的垂直平分線相交于點(diǎn)P，∴點(diǎn)P在，的垂直平分線上，∴，，∴，∴點(diǎn)P在的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)及判定，牢記垂直平分線的性質(zhì)及判定方法是解題的關(guān)鍵：垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．【變式訓(xùn)練】1.（2022·福建寧德·八年級期末）如圖，已知，，則點(diǎn)O是（

）A．三條邊垂直平分線的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條高的交點(diǎn)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定定理解答．【詳解】解：∵OA=OB，∴點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上，∵OB=OC，∴點(diǎn)O在線段BC的垂直平分線上，∴點(diǎn)O為△ABC的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．2．（2022·湖北恩施·二模）如圖，是的角平分線，、分別垂直于、，垂足為、，求證：垂直平分．【答案】見解析【解析】【分析】先利用角平分線性質(zhì)得出；再證≌，易證垂直平分．【詳解】證明：是的角平分線，，，，在和中，，，，又，垂直平分到線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)一定在線段的垂直平分線上【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)和線段垂直平分線逆定理的應(yīng)用，題目比較新穎，屬于基礎(chǔ)題，理解線段垂直平分線逆定理是關(guān)鍵．3．（2022·河南駐馬店·八年級期末）如圖，，，，．(1)求證：；(2)連接EC，AO，求證：AO垂直平分EC．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）先證得，可得．再由，，．可證得，即可求證；（2）由（1）可知，，．可得，從而得到，進(jìn)而得到點(diǎn)在的垂直平分線上．再由，點(diǎn)也在的垂直平分線上，即可求證．(1)證明：在和中，∵，，∴，∴．∵，，∴，∵，∴，∴；(2)證明∶如圖，由（1）可知，，．∴，∴，即，∴，∴點(diǎn)在的垂直平分線上．又∵，∴點(diǎn)也在的垂直平分線上，∴垂直平分．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三線段的垂直平分線的實(shí)際應(yīng)用例題：（2022·江西上饒·八年級期末）如圖，A，B，C均為新建居民小區(qū)，分別連接AB，AC，BC，形成一個三角形，若想建一個超市，使其到A，B，C這三個小區(qū)的距離相等（不考慮其它因素），則超市的位置應(yīng)該選在（

）A．△ABC三條中線的交點(diǎn)處 B．△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處C．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處 D．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)處【答案】B【解析】【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)即可判斷并得出結(jié)論．【詳解】解：∵超市到A，B，C這三個小區(qū)的距離相等，∴超市的位置應(yīng)選在△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東青島·八年級期中）某公園的A，B，C處分別有海資船、摩天輪、旋轉(zhuǎn)木馬三個娛樂項(xiàng)目，現(xiàn)要在公園內(nèi)一個售票中心，使三個娛樂項(xiàng)目所處位置到售票中心的距離相等，則售票中心應(yīng)建立在（

）A．△ABC三邊高線的交點(diǎn)處 B．△ABC三角角平分線的交點(diǎn)處C．△ABC三邊中線的交點(diǎn)處 D．△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三個娛樂項(xiàng)目所處位置到售票中心的距離相等，即可得到答案．【詳解】要使三個娛樂項(xiàng)目所處位置到售票中心的距離相等售票中心應(yīng)建立在三個娛樂項(xiàng)目組成的三角形的三邊的垂直平分線的交點(diǎn)處故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)定理，即線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東·平洲二中八年級階段練習(xí)）如圖，有A、B、C三個居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個小區(qū)之間修建一個購物超市，使超市到三個小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（）A．△ABC三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處B．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處C．△ABC三條高線的交點(diǎn)處D．△ABC三條中線的交點(diǎn)處【答案】A【解析】【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：∵線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等；∴△ABC三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)四角平分線的性質(zhì)例題：（2021·吉林長春·八年級期末）如圖，ABCD，BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點(diǎn)P，且與AB垂直．若AD＝10，則點(diǎn)P到BC的距離是_____．【答案】5【解析】【分析】作于E，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)P作于E．∵，，∴．∵BP和CP分別平分和，，，，∴．∵，∴，即點(diǎn)P到BC的距離是5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·寧夏·鹽池縣第五中學(xué)八年級期中）如圖，中，，，平分交于，于點(diǎn)，且，則的周長是_________．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，證明，可得，根據(jù)的周長為，即可求解．【詳解】解：∵，平分，，∴，在與中，，（HL），，，，的周長為，，的周長為6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，HL證明三角形全等，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．2．（2022·福建泉州·八年級期末）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線DG交∠ACB的平分線CD于點(diǎn)D，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，若AC＝10，CB＝4，則AE＝（）A．2 B．3 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】由角平分線的性質(zhì)得出．證明，得出，同理，得出，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：連接、，作于，如圖所示：點(diǎn)在的垂直平分線上，點(diǎn)在的平分線上，，，．在和中，，，，同理：，，，，，，；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．3．（2022·湖南株洲·八年級期末）已知點(diǎn)O是△ABC的三個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，若△ABC的周長為，面積為，則點(diǎn)O到AB的距離為_________cm．【答案】3【解析】【分析】連接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OD=OE=OF，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：連接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，∵OB平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD=OE，同理，OD=OE=OF，∵△ABC的周長為，面積為，則AB?OD+AC?OF+CB?OE=36，即×（AB+AC+BC）×OD=36，∴OD=3（cm），∴點(diǎn)O到AB的距離為3故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．考點(diǎn)五角平分線的判定例題：（2022·湖北隨州·八年級期末）到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)是（

）A．三角形三邊的中垂線的交點(diǎn) B．三角形三條高所在直線的交點(diǎn)C．三角形三條中線的交點(diǎn) D．三角形三條角平分線的交點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)角平分線的判定定理，即可求解．【詳解】解：∵三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊距離相等，∴三角形內(nèi)到三條邊距離相等的點(diǎn)是三角形三條角平分線的交點(diǎn)．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的判定定理，熟練掌握角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·黑龍江省二九一農(nóng)場中學(xué)八年級期末）點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部，且到三邊的距離相等，∠A=40°，則∠BOC等于（

）A．110° B．120° C．130° D．140°【答案】A【解析】【分析】連接AO、BO、CO，過O點(diǎn)作OM⊥BC于M點(diǎn)，過O點(diǎn)作ON⊥AB于N點(diǎn)，通過全等三角形的性質(zhì)先證明OB是∠ABC的角平分線，同理可得OA、OC分別為∠BAC、∠ACB的角平分線，即可求解．【詳解】解：連接AO、BO、CO，過O點(diǎn)作OM⊥BC于M點(diǎn)，過O點(diǎn)作ON⊥AB于N點(diǎn)，如圖，∵O到三角形三邊距離相等，OM⊥BC，ON⊥AB，∴OM=ON，∠ONB=∠OMB=90°，∴Rt△ONB和Rt△OMB中，根據(jù)OB=OB，OM=ON，可得Rt△ONB≌Rt△OMB，∴∠OBN=∠OBM，∴BO是∠ABC的角平分線，同理可證AO，CO分別為∠BAC、∠ACB的角平分線，∴∠CBO＝∠ABO∠ABC，∠BCO＝∠ACO∠ACB，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∴∠OBC+∠OCB＝70°，∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)定理．2．（2022·江蘇泰州·八年級期末）如圖，ΔABC中，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，BE，CD交于點(diǎn)O．求證：AO平分∠BAC．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠ADC＝∠AEB＝90°，根據(jù)全等三角形的判定即可得到△ADC≌△AEB，進(jìn)而可得BD＝CE，根據(jù)AAS得到△BDO≌△CEO，即可得到OD＝OE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（AAS），∴AD＝AE，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，DB＝EC；∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO＝∠CEO＝90°，在△BDO和△CEO中，，∴△BDO≌△CEO（AAS），∴OD＝OE，∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴AO平分∠BAC．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用兩次全等解決問題．考點(diǎn)六角平分線的實(shí)際應(yīng)用例題：（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計劃在△ABC中內(nèi)部修建一個探照燈，要求探照燈的位置到這三條公路的距離都相等，則探照燈位置是△ABC（

）的交點(diǎn)．A．三條角平分線 B．三條中線C．三條高的交點(diǎn) D．三條垂直平分線【答案】A【解析】【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到探照燈的位置在角平分線的交點(diǎn)處，即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵探照燈的位置到這三條公路的距離都相等，∴探照燈位置是△ABC的三條角平分線上，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，數(shù)據(jù)角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·湖南長沙·八年級期中）如圖：AB、AC、BC是三條相互交叉的公路，現(xiàn)要在三條公路圍成的三角形區(qū)域內(nèi)修建一座加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應(yīng)修建在（

）A．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)位置 B．△ABC三條高的交點(diǎn)位置C．△ABC三邊的中垂線的交點(diǎn)位置 D．以上說法都不正確【答案】A【解析】【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵加油站在三條公路圍成的平地上且到三條公路的距離相等，∴加油站應(yīng)該在△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)七尺規(guī)作垂直平分線、角平分線例題：（2021·青海海東·八年級期中）（1）如圖，我市擬在兩個HI型鋼廠A、B與兩條公路l1、l2附近修建一個中轉(zhuǎn)站C，要求中轉(zhuǎn)站C到兩條公路l1、l2的距離相等，且到兩個鋼廠A、B的距離也相等，那么中轉(zhuǎn)站C應(yīng)建在何處？請在圖中作出符合條件的點(diǎn)C（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在你所作的圖中，若點(diǎn)C到鋼廠A的距離為3km，點(diǎn)C到公路l1的距離為2km，則點(diǎn)C到鋼廠B的距離為km，點(diǎn)C到公路l2的距離為．【答案】（1）見解析；（2）3；2km【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，作∠EOF的角平分線交線段AB的垂直平分線MN于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求；（2）同（1）的原理，利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：（1）作∠EOF的角平分線，再作線段AB的垂直平分線MN，兩條直線相交于點(diǎn)C，如圖，點(diǎn)C即為所求；（2）∵OC平分∠EOF，∴點(diǎn)C到直線l1，l2的距離線段，∴點(diǎn)C到公路l2的距離為2km，∵M(jìn)N垂直平分線段AB，∵AC＝CB＝3km，故答案為：3，2km．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線和線段垂直平分線，熟練掌握角平分線與線段垂直平分線的作法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2020·湖南·雅禮丁江學(xué)校八年級期中）如圖，AO，OB是兩條筆直的交叉公路，M，N是兩個村莊，現(xiàn)準(zhǔn)備建一個聯(lián)通信號塔，要求信號塔到兩個村莊的距離相等，并且到兩條公路的距離也相等，同時在∠AOB所在區(qū)域內(nèi)．則信號塔應(yīng)修在什么位置？在圖中標(biāo)出塔的位置（保留作圖痕跡）．【答案】見詳解；【解析】【分析】作出∠AOB的平分線與線段MN的垂直平分線的交點(diǎn)即為塔P的位置．【詳解】解：如圖所示，∠AOB的平分線與線段MN的垂直平分線的交點(diǎn)即為塔P的位置，【點(diǎn)睛】本題考查了幾何作圖，角平分線的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)，綜合考慮這兩個性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)八線段、角平分線的綜合應(yīng)用例題：（2022·重慶梁平·八年級期末）如圖，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F．(1)證明：；(2)如果，，求AE、BE的長．【答案】(1)見解析(2)AE=4，BE=1【解析】【分析】（1）連接BD、CD，先由垂直平分線性質(zhì)得BD=CD，再由角平分線性質(zhì)得DE=CF，然后證Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得出結(jié)論；（2）證明Rt△AED≌Rt△AFD（HL），得AE=AF，則CF=AF-AC=AE-AC，又因?yàn)锽E=AB-AE，由（1）知BE=CF，則AB-AE=AE-AC，代入AB、AC值即可求得AE長，繼而求得BE長．(1)證明：如圖，連接BD、CD，∵且平分BC，∴BD=CD，∵AD平分，于E，于F，∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BED與Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；(2)解：∵AD平分，于E，于F，∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△AED與Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF，∴CF=AF-AC=AE-AC，由（1）知：BE=CF，∴AB-AE=AE-AC即5-AE=AE-3，∴AE=4，∴BE=AB-AE=5-4=1，【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定義和線段垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·福建·漳州三中八年級期中）如圖，在中，垂直平分，分別交邊于點(diǎn)D，點(diǎn)E，平分．(1)若，求的周長；(2)設(shè)，試用含的式子表示，再求當(dāng)，的值．【答案】(1)14(2)β＝180°﹣3α，96°【解析】【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EC，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ECA＝∠A＝α，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計算即可．(1)∵DE垂直平分AC，∴EA＝EC，∴△BCE的周長＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+AB＝14；(2)∵EA＝EC，∴∠ECA＝∠A＝α，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ECA＝α，∴β＝180°﹣3α，當(dāng)α＝28°時，β＝180°﹣3×28°＝96°．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022·陜西咸陽·七年級期末）如圖，OP平分∠AOB，點(diǎn)E為OA上一點(diǎn)，OE＝4，點(diǎn)P到OB的距離是2，則△POE的面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出距離也就是高為2，利用三角形面積公式即可求得．【詳解】∵OP平分∠AOB，點(diǎn)P到OB的距離是2，∴點(diǎn)P到OA的距離是2∴故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)，如何求三角形面積，解題的關(guān)鍵是利用角平分線的性質(zhì)求出距離（三角形高）．2．（2021·山東·禹城市督楊實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）下列說法中，正確的結(jié)論有（）①角平分線上的點(diǎn)到這個角兩條邊的距離相等②線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等③三角形三條角平分線的交點(diǎn)到這個三角形三個頂點(diǎn)的距離相等．④三角形三條角平分線的交點(diǎn)到這個三角形三邊的距離相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷①③④；根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷②．【詳解】解：①角平分線上的點(diǎn)到這個角兩條邊的距離相等，說法正確；②線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個端點(diǎn)的距離相等，說法正確；③三角形三條角平分線的交點(diǎn)到這個三角形三邊的距離相等，說法錯誤；④三角形三條角平分線的交點(diǎn)到這個三角形三邊的距離相等，說法正確．其中正確的結(jié)論有①②④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，用到的知識點(diǎn)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．3．（2022·山西省運(yùn)城市運(yùn)康中學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，AB＝10，S△ABD＝15，則CD的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面積列式計算即可得解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，∴S△ABD＝AB?DE＝×10?DE＝15，解得DE＝3，∴CD＝3．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022·湖南·臨湘市第六中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．已知∠C＝7∠BAE，則∠C的度數(shù)為（）A．41° B．42° C．43° D．44°【答案】B【分析】設(shè)∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，根據(jù)ED是AC的垂直平分線，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根據(jù)直角三角形中兩銳角互余建立方程，解方程即可求解．【詳解】設(shè)∠BAE＝x°，則∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分線，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，能根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出AE＝CE是解此題的關(guān)鍵．5．（2021·湖北·咸豐縣朝陽寺鎮(zhèn)民族中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，，E為BC的中點(diǎn)，連接DE，AE，，延長DE交AB的延長線于點(diǎn)F．若，則AD的長為（

）A．5 B．9 C．7 D．11【答案】C【分析】由“AAS”可證△BEF≌△CED，可得EF＝DE，BF＝CD＝2，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝AF＝8．【詳解】解：∵E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝EC，∵AB∥CD，∴∠F＝∠CDE，在△BEF與△CED中，，∴△BEF≌△CED（AAS）∴EF＝DE，BF＝CD＝2，∴AF＝AB+BF＝7，∵AE⊥DE，EF＝DE，∴AF＝AD＝7，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，證明△BEF≌△CED是本題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·四川成都·七年級期末）如圖，在ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN交BC于點(diǎn)D，連接AD，AD＝3，BD＝2．則BC＝_____．【答案】5【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出CD=3，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由作圖可知，MN垂直平分線段AC，∴DA=DC=3，∵BD=2∴BC=BD＋DC=2＋3=5故答案為：5．【點(diǎn)睛】題目主要考查線段垂直平分線的作法及性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)求解即可．7．（2022·浙江麗水·八年級期中）如圖，點(diǎn)P是∠AOC的平分線上一點(diǎn)，PD⊥OA于D，且PD＝3，點(diǎn)M是射線OC上一動點(diǎn)，則PM的最小值為_____．【答案】3【分析】根據(jù)題意得：當(dāng)PM⊥OC時，PM最小，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)PM⊥OC時，PM最小，如圖，過點(diǎn)P作PE⊥OC于點(diǎn)E，∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD=3，∴PD=PE=3，即PM的最小值為3．故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．8．（2022·山東煙臺·七年級期末）如圖，在中，平分交于點(diǎn)，，垂足為．若，，則△的面積為_________．【答案】2【分析】過D點(diǎn)作DF⊥AC于F，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF＝DE＝1，然后根據(jù)三角形面積公式求解．【詳解】解：過D點(diǎn)作DF⊥AC于F，如圖，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝1，∴△ADC的面積4×1＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，熟練掌握運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．9．（2021·湖北·襄陽市樊城區(qū)青泥灣中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，垂足為F，DE=DG，△ADG和△AED的面積分別為27和16，則的面積為__________【答案】5.5【分析】過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得DF=DH，再利用“HL”證明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根據(jù)全等三角形的面積相等列方程求解即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB，∴DF=DH，在Rt△ADF和Rt△ADH中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴，∵△ADG和△AED的面積分別為27和16，∴，∴；故答案為：5.5．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．10．（2022·江西吉安·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，，E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F．若，，當(dāng)______時，點(diǎn)B在線段AF的垂直平分線上．【答案】4【分析】通過求證△FEC≌△AED來證明CF=AD；若點(diǎn)B在線段AF的垂直平分線上，則應(yīng)有AB=BF因?yàn)锳B=8，CF=AD=2，所以BC=BF-CF=6-2=4時有AB=BF．【詳解】解：∵ADBC，∴∠DAE=∠CFE，∠D=∠ECF，∵E為CD的中點(diǎn)，∴DE=CE，在△ADE與△FCE中，，∴△ADE?△FCE(AAS)，∴CF=AD；連接BE，∵BE垂直平分AF，∴AB=BF，∵AD=CF，∵AD=2，AB=6，∴BC=BF-CF，=AB-AD，=6-2，=4，∴當(dāng)BC為4時，點(diǎn)B在線段AF的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等．三、解答題11．（2022·湖南永州·八年級期末）如圖，在中，，，D是AC上一點(diǎn)，于E，且，求的度數(shù)．【答案】28°【分析】先由直角三角形的兩銳角互余求得∠ABC，再由角平分線的判定定理即可求得BD平分，從而可求得的度數(shù)．【詳解】證明：∵，∴∵，，∴BD平分∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的兩銳角互余以及角平分線的判定定理，熟練掌握到叫兩邊距離相等的點(diǎn)在角的角平分線上．12．（2022·陜西·寶雞市渭濱區(qū)教研室八年級期末）某地有兩所大學(xué)和兩條相交的公路，如圖所示(點(diǎn)M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路)．現(xiàn)計劃在∠AOB的內(nèi)部修建一座物資倉庫，且倉庫到兩所大學(xué)的距離相等，到兩條公路的距離也相等．請你用尺規(guī)作圖法確定倉庫所在的位置．(保留作圖痕跡，不寫作法)【答案】見解析【分析】作∠AOB的角平分線OC，連接MN作線段MN的垂直平分線EF，EF交OC于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．【詳解】解：如圖點(diǎn)P即為所求倉庫【點(diǎn)睛】本題考查作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖，角平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用角平分線的性質(zhì)定理，線段的垂直平分線的性質(zhì)解決問題．13．（2022·河南平頂山·七年級期末）如圖所示，∠AOB內(nèi)有一點(diǎn)P，，分別是點(diǎn)P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，若，求△PMN的周長．【答案】5cm【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，由此即可得到答案．【詳解】解：∵P與關(guān)于OA對稱，∴OA為線段的垂直平分線，∴，同理，P與關(guān)于OB對稱，∴OB為線段的垂直平分線，∴，∴，∴的周長為5cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖，在中，，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于E，點(diǎn)F在AC上，且．(1)求證：；(2)若，，求BE的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）由角平分線的性質(zhì)可得DC＝DE，根據(jù)HL可證得進(jìn)而證得結(jié)論；（2）容易證得，則AC＝AE，分別用BE表示AC、AE，即可求出BE的長．（1）證明：∵AD平分∠BAC，DC⊥AC于C，DE⊥AB于E，∴DC＝DE，又DF＝BD，∴（HL），∴BE＝CF．（2）在和中，∵DE＝DF，AD＝AD，∴，∴AC＝AE，AB＝AE＋BE＝AC＋BE，AC＝AF＋CF，由（1）知CF＝BE，∴AB＝AF＋BE＋BE即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用角平分線的性質(zhì)得出線段相等，進(jìn)而證得兩三角形全等是解題的關(guān)鍵．15．（2022·貴州畢節(jié)·八年級期末）如圖，在中，平分且平分，垂足為G，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見詳解；(2)見詳解．【分析】（1）連接DB，DC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DB=DC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，可得Rt△BED≌Rt△CFD（HL），即可得證；（2）易證Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），可得AE=AF，從而可得AC+2BE=AB，即可求出BE的長．（1）證明：連接DB，DC，如圖所示：∵DG⊥BC且平分BC，∴DB=DC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△BED和Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE=AF，又∵BE=CF，∴AC+2BE=AB，∵AB=5，AC=3，∴BE=1．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造全等三角形是解決本題的關(guān)鍵．16．（2022·浙江·八年級專題練習(xí)）已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，(1)如圖1，求∠BDC的度數(shù)；(2)如圖2，連接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面積．【答案】(1)∠BDC＝130°；(2)△ADC的面積＝4【