高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題4立體幾何專題檢測(cè)4課件

專題檢測(cè)四123456789101112一、選擇題131415161718191.(2024四川成都模擬)已知直線l的方向向量是a=(3,2,1),平面α的一個(gè)法向量是n=(1,-1,-1),則l與α的位置關(guān)系是(

)A.l⊥α B.l∥αC.l與α相交但不垂直 D.l∥α或l?αD解析

因?yàn)閍=(3,2,1),n=(1,-1,-1),所以a·n=3×1+2×(-1)+1×(-1)=0,所以a⊥n.又直線l的方向向量是a,平面α的一個(gè)法向量是n,所以l∥平面α或l?平面α.故選D.123456789101112131415161718192.(2024重慶模擬)正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為,底面邊長(zhǎng)為2,則該四棱錐的體積為(

)C123456789101112131415161718193.(2024山東煙臺(tái)一模)設(shè)a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,下列說(shuō)法正確的是(

)A.若a∥α,b∥α,則a∥b B.若a,b與α所成的角相等,則a∥bC.若α⊥β,a∥α,b∥β,則a⊥b D.若α⊥β,a⊥α,b⊥β,則a⊥bD解析

平行于同一平面的兩條直線可能異面,可能相交,也可能平行,故A錯(cuò)誤;a,b與α所成的角相等,則a,b可能異面,可能相交,也可能平行,故B錯(cuò)誤;α⊥β,a∥α,b∥β,則a,b的位置關(guān)系無(wú)法判斷,故C錯(cuò)誤;因?yàn)棣痢挺?a⊥α,所以a∥β或a?β.又b⊥β,所以a⊥b,故D正確.故選D.123456789101112131415161718194.(2024湖南長(zhǎng)沙二模)蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子,建造和搬遷都很方便.已知蒙古包的造型可近似地看作一個(gè)圓柱和圓錐的組合體,已知圓錐的高為2米,圓柱的高為3米,底面圓的面積為64π平方米,則該蒙古包(含底面)的表面積為(

)A12345678910111213141516171819123456789101112131415161718195.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,過(guò)A1B1的截面與AC交于點(diǎn)D,與BC交于點(diǎn)E,該截面將三棱柱分成體積相等的兩部分,則

=(

)D解析

由題可知平面A1B1ED與棱柱上、下底面分別交于A1B1,ED,則A1B1∥ED,則ED∥AB,可得CDE-C1A1B1是三棱臺(tái).設(shè)△ABC的面積為1,△CDE的面積為S,三棱柱的高為h,12345678910111213141516171819123456789101112131415161718196.(2024河北唐山一模)已知球與圓臺(tái)的底面、側(cè)面都相切,且圓臺(tái)母線與底面所成的角為60°,則球表面積與圓臺(tái)側(cè)面積之比為(

)A.2∶3 B.3∶4 C.7∶8 D.6∶13B解析

設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓的半徑為r1,r2,母線長(zhǎng)為l,球的球心為點(diǎn)O,半徑為R.如圖,作圓臺(tái)的軸截面ABCD,則四邊形ABCD為等腰梯形,設(shè)圓O分別切梯形ABCD的邊AB,BC,CD,DA于點(diǎn)E,F,G,H.由切線長(zhǎng)定理可得AE=AH,DG=DH,所以AD=DG+AE,即l=r1+r2.12345678910111213141516171819123456789101112131415161718197.(2024陜西渭南模擬)在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是正方形,PC=AB,E,F分別為PD,BC的中點(diǎn),則下列結(jié)論一定正確的是(

)A.PB∥平面AEF

B.EF∥平面PABC.EF⊥PD

D.AF⊥平面PBDB12345678910111213141516171819解析

如圖,記BD與AF的交點(diǎn)為點(diǎn)G,連接EG.因?yàn)辄c(diǎn)F為BC的中點(diǎn),BC∥AD,所以△BFG∽△DAG,所以又點(diǎn)E為PD的中點(diǎn),所以直線PB與EG相交.又EG?平面AEF,所以PB與平面AEF有公共點(diǎn),故A錯(cuò)誤;取PA的中點(diǎn)H,連接EH,BH,則EH=AD,EH∥AD.又BF=AD,BF∥AD,所以EH=BF,EH∥BF,所以四邊形BFEH是平行四邊形,所以EF∥BH.12345678910111213141516171819又EF?平面PAB,BH?平面PAB,所以EF∥平面PAB,故B正確;連接PF,DF,若EF⊥PD,點(diǎn)E為PD中點(diǎn),則PF=DF.又CP=CD,所以△PCF≌△DCF,所以∠DCF=∠PCF,即CP⊥CF.由題可知點(diǎn)P的位置不確定,故C不一定正確;顯然AF與BD不垂直,所以AF與平面PBD不可能垂直,故D錯(cuò)誤.故選B.123456789101112131415161718198.(2024陜西西安二模)如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,F,G分別在線段AB,BC上,BF=BG=1,將△BFG沿FG折起,使B到達(dá)M的位置,且平面FGM⊥平面ADCGF,則四面體ADFM的外接球的表面積為(

)A12345678910111213141516171819解析

設(shè)FG的中點(diǎn)為O,連接OD,MO.由題可知△MFG為等腰直角三角形,所以MO⊥FG.又平面FGM⊥平面ADCGF,平面FGM∩平面ADCGF=GF,MO?平面FGM,所以MO⊥平面ADCGF.由題可知,AF=AD=3,AD⊥AF,所以△ADF的外心為DF的中點(diǎn),記為點(diǎn)N.設(shè)四面體ADFM的外接球的球心為Q,則QN⊥平面ADF.在矩形ABCD中,易知∠DFA=∠BFG=45°,所以DF⊥GF.又DF,GF?平面ADCGF,所以O(shè)M,DF,GF兩兩垂直.1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819二、選擇題9.(2023新高考Ⅱ,9)已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點(diǎn)C在底面圓周上,且二面角P-AC-O為45°,則(

)A.該圓錐的體積為πAC12345678910111213141516171819解析

由題意,可得PO⊥平面AOC,∠APO=∠APB=60°,所以PO=PAcos∠APO=1,AO=PAsin∠APO=.如圖,取AC的中點(diǎn)D,連接PD,OD,則PD⊥AC,OD⊥AC,所以∠PDO即為二面角P-AC-O的平面角,所以∠PDO=45°.因?yàn)镺D?平面AOC,PO⊥平面AOC,所以PO⊥OD,所以△PDO為等腰直角三角形,123456789101112131415161718191234567891011121314151617181910.(2024貴州貴陽(yáng)一模)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P為線段A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)Q為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(

)A.存在點(diǎn)Q,使得PQ∥BDB.存在點(diǎn)Q,使得PQ⊥平面AB1C1DC.三棱錐Q-APD的體積是定值D.存在點(diǎn)Q,使得PQ⊥ACBD12345678910111213141516171819解析

如圖1,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,連接B1D1.易知BD∥B1D1.因?yàn)辄c(diǎn)P為線段A1C1的中點(diǎn),四邊形A1B1C1D1為正方形,所以點(diǎn)P為B1D1的中點(diǎn),所以B1D1∩PQ=P,即B1D1與PQ不平行,所以BD與PQ不平行,故A錯(cuò)誤;如圖2,連接A1B,易知A1B⊥AB1.由題可知B1C1⊥平面ABB1A1,因?yàn)锳1B?平面ABB1A1,所以A1B⊥B1C1.圖1圖212345678910111213141516171819又B1C1∩AB1=B1,B1C1,AB1?平面AB1C1D,所以A1B⊥平面AB1C1D,所以當(dāng)PQ∥A1B時(shí),PQ⊥平面AB1C1D.易知當(dāng)點(diǎn)Q為BC1中點(diǎn)時(shí),PQ∥A1B,故B正確;如圖3,連接AD1,易知BC1∥AD1.因?yàn)锳D1∩平面APD=A,所以BC1與平面APD不平行,所以點(diǎn)Q在線段BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q到平面APD的距離不是定值.又△APD的面積為定值,所以三棱錐Q-APD的體積不是定值,故C錯(cuò)誤;圖312345678910111213141516171819如圖4,易知AC⊥BD.由題可知BB1⊥平面ABCD,因?yàn)锳C?平面ABCD,所以AC⊥BB1.圖4又BD,BB1?平面BDD1B1,BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BDD1B1.又BP?平面BDD1B1,所以AC⊥BP,所以當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí),PQ⊥AC,故D正確.故選BD.1234567891011121314151617181911.(2024遼寧沈陽(yáng)模擬)中國(guó)古建筑聞名于世,如圖所示的中國(guó)傳統(tǒng)建筑的屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖為五面體EFBCDA.若四邊形ABCD為矩形,EF∥AB,AB=3EF=3,AD=2,△ADE與△BCF是全等的等邊三角形,則(

)ACD12345678910111213141516171819解析

如圖1,可將該五面體分割成四棱錐E-AGJD,三棱柱EGJ-FHI,四棱錐F-HBCI三部分,其中G,H是AB的三等分點(diǎn),I,J是CD的三等分點(diǎn).圖1因?yàn)镋F∥AB,AB=3EF=3,△ADE與△BCF是全等的等邊三角形,所以由對(duì)稱性可知點(diǎn)E,F在平面ABCD的投影分別為GJ,HI的中點(diǎn),平面EGJ,FHI均垂直于平面ABCD.易得四邊形HIJG是矩形,所以易證GH分別垂直于平面EGJ,FHI,所以幾何體EGJ-FHI是直三棱柱.由對(duì)稱性可知四棱錐E-AGJD與四棱錐F-HBCI的體積相等.1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819如圖2,取GJ的中點(diǎn)K,連接KE,KA,則KE⊥平面ABCD,所以AE與平面ABCD所成的角即為∠EAK.圖2因?yàn)?/p>

,∠EAK為銳角,所以∠EAK=45°,故C正確;12345678910111213141516171819由題可知,點(diǎn)O2為MN,PQ的中點(diǎn),O1O2⊥平面ABCD,O1O2⊥EF,MN⊥PQ,所以點(diǎn)O2為四邊形ABCD外接圓的圓心,O1O2為EF的中垂線,所以該五面體外接球的球心O在直線O1O2上.以點(diǎn)O2為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)2M,O2Q,O2O112345678910111213141516171819三、填空題12.已知圓柱的底面半徑為4,側(cè)面面積為16π,則該圓柱的母線長(zhǎng)等于

.

2解析

由題意可知圓柱的底面周長(zhǎng)為2π×4=8π,所以該圓柱的母線長(zhǎng)為1234567891011121314151617181913.(2024江蘇南通二模)已知二面角α-l-β為直二面角,A∈α,B∈β,A?l,B?l,AB與α,β所成的角分別為,則AB與l的夾角為

.

12345678910111213141516171819解析

如圖,作AD⊥l,BC⊥l,分別交l于點(diǎn)D,C,連接BD,AC.以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC所在的直線為x軸、y軸,以過(guò)點(diǎn)D且平行于BC的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.123456789101112131415161718191234567891011121314151617181914.(2024山東臨沂一模)球面被平面所截得的一部分叫做球冠,截得的圓叫做球冠的底,垂直于截面的直徑被截得的一段的長(zhǎng)度叫做球冠的高;球被平面截下的一部分叫做球缺,截面叫做球缺的底面,垂直于截面的直徑被截下的線段長(zhǎng)叫做球缺的高.如圖1,一個(gè)球面的半徑為R,球冠的高是h,球冠的表面積公式是S=2πRh,與之對(duì)應(yīng)的球缺的體積公式是V=πh2(3R-h).如圖2,已知C,D是以AB為直徑的圓上的兩點(diǎn),∠AOC=∠BOD=,S扇形COD=6π,則扇形COD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為

,體積為

.

144π圖1圖212345678910111213141516171819將扇形COD繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個(gè)半徑R=6的球上下截去兩個(gè)球缺及其底面圍成的幾何體所剩余部分再挖去兩個(gè)圓錐,其中球缺的高h(yuǎn)=3,圓錐的高h(yuǎn)1=3,底面半徑r=3.1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819四、解答題15.(13分)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為平行四邊形,M,N分別為AB,DD1的中點(diǎn).(1)證明:DM∥平面A1BN;(2)若底面ABCD為矩形,AB=2AD=4,異面直線DM與A1N所成角的余弦值為,求B1到平面A1BN的距離.12345678910111213141516171819(1)證明

如圖,連接AB1,交A1B于點(diǎn)E,連接NE,ME,則點(diǎn)E為A1B的中點(diǎn).所以ME∥DN,且ME=DN,所以四邊形EMDN為平行四邊形,所以EN∥DM.又因?yàn)镈M?平面A1BN,EN?平面A1BN,所以DM∥平面A1BN.12345678910111213141516171819(2)解

因?yàn)橹彼睦庵鵄BCD-A1B1C1D1的底面為矩形,所以AB,AD,AA1兩兩垂直.以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AA1所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,12345678910111213141516171819設(shè)異面直線DM與A1N所成角為θ,123456789101112131415161718191234567891011121314151617181916.(15分)某市政府實(shí)施“景觀工程”,對(duì)現(xiàn)有平頂?shù)拿裼枚鄬幼≌M(jìn)行“平改坡”,計(jì)劃將平頂房屋改為尖頂,并鋪上彩色瓦片.現(xiàn)對(duì)某幢房屋有A,B兩種改造方案:如圖1所示,A方案中坡頂為底面是等邊三角形的直三棱柱,尖頂屋脊AA1與房屋長(zhǎng)度BB1等長(zhǎng),有兩個(gè)坡面需鋪上瓦片.如圖2所示,B方案中坡頂為方案A坡頂?shù)膬啥讼魅蓚€(gè)相同的三棱錐而得,尖頂屋脊DD1比房屋長(zhǎng)度BB1短,有四個(gè)坡面需鋪上瓦片.若房屋長(zhǎng)BB1=2a,寬BC=2b,屋脊高為h,要使鋪設(shè)的瓦片比較省,則應(yīng)選擇A,B兩種方案中的哪一個(gè)?圖1圖212345678910111213141516171819解要比較A,B兩種方案鋪設(shè)的瓦片量,只要比較2S△ABD與S△BCD的大小即可.如圖,取BC中點(diǎn)E,連接AE,DE.由△ABC為等邊三角形得,AE⊥BC.因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為直三棱柱,所以BB1⊥平面ABC.又AE?平面ABC,所以BB1⊥AE.又BC∩BB1=B,BC,BB1?平面B1BCC1,所以AE⊥平面B1BCC1,所以AE=h,所以h=b.12345678910111213141516171819綜上,若AD長(zhǎng)小于房屋寬度的一半,則圖1尖頂鋪設(shè)瓦片較省,即選方案A;若AD長(zhǎng)等于房屋寬度的一半,則圖1與圖2相同,兩方案都可以;若AD長(zhǎng)大于房屋寬度的一半且小于房屋長(zhǎng)的一半時(shí),則圖2尖頂鋪設(shè)瓦片較省,即選方案B.1234567891011121314151617181917.(15分)(2024山東淄博一模)如圖,多面體ABCDEF是由一個(gè)正四棱錐A-BCDE與一個(gè)三棱錐F-ADE拼接而成,正四棱錐A-BCDE的所有棱長(zhǎng)均為3,AF∥CD.(1)在棱DE上找一點(diǎn)G,使得平面ABC⊥平面AFG,并給出證明;(2)當(dāng)AF=CD時(shí),求點(diǎn)F到平面ADE的距離;(3)若AF=CD,求直線DF與平面ABC所成的角的正弦值.12345678910111213141516171819解

(1)當(dāng)點(diǎn)G為DE中點(diǎn)時(shí),平面ABC⊥平面AFC,證明如下:因?yàn)樗睦忮FA-BCDE是正四棱錐,所以AD=AE,所以AG⊥DE.在正方形BCDE中,DE∥BC,所以AG⊥BC.在正方形BCDE中,CD⊥BC,因?yàn)锳F∥CD,所以AF⊥BC.又AF∩AG=A,AF,AG?平面AFG,所以BC⊥平面AFG.又BC?平面ABC,所以平面ABC⊥平面AFG.(2)如圖,設(shè)DE中點(diǎn)為點(diǎn)G,連接BD,CE交于點(diǎn)O,連接AO,OG,則AF∥OG.又AF=CD,所以O(shè)G=AF,所以四邊形AOGF為平行四邊形.因?yàn)樗睦忮FA-BCDE是正四棱錐,所以AO⊥平面BCDE.又OG?平面BCDE,所以AO⊥OG,所以四邊形AOGF為矩形,所以AF⊥FG.因?yàn)锳F∥OG,OG⊥DE,所以AF⊥DE.1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819(3)因?yàn)樗睦忮FA-BCDE是正四棱錐,所以O(shè)C,OD,OA兩兩垂直.以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以O(shè)C,OD,OA所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,3),B(0,-3,0),C(3,0,0),D(0,3,0),F(-1,1,3),123456789101112131415161718191234567891011121314151617181918.(17分)如圖,在平行四邊形ABCD中,D=60°,DC=2AD=2,將△ADC沿AC折起,使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P位置,且PC⊥BC,連接PB得三棱錐P-ABC.(1)證明:平面PAB⊥平面ABC;12345678910111213141516171819(1)證明

由題可知∠APC=60°,PC=2AP=2,易證PA⊥AC,所以BC⊥AC.又PC⊥BC,AC∩PC=C,AC,PC?平面PAC,所以BC⊥平面PAC.因?yàn)镻A?平面PAC,則PA⊥BC.又AC∩BC=C,AC,BC?平面ABC,所以PA⊥平面ABC.又PA?平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABC.12345678910111213141516171819(2)解

存在.由(1)知,PA,BC,AC兩兩垂直,以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),以過(guò)點(diǎn)A且平行于BC的直線為x軸,分別以AC,AP所在直線為y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,12345678910111213141516171819123456789101112131415161718191234567891011121314151617181919.(17分)(2024山東濟(jì)南一模)在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中,任何一個(gè)平面的方程都能表示成Ax+By+Cz+D=0,其中A,B,C,D∈R,A2+B2+C2≠0,且n=(A,B,C)為該平面的法向量.已知集合P={