《函數(shù)的極值》教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精編資源1/13《函數(shù)的極值》教學(xué)設(shè)計(jì)必備知識學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向函數(shù)的極值學(xué)習(xí)理解能力觀察記憶概括理解說明論證應(yīng)用實(shí)踐能力分析計(jì)算推測解釋簡單問題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)抽象【考查內(nèi)容】1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【考查題型】選擇題、填空題、解答題一、本節(jié)內(nèi)容分析函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.變化規(guī)律可用函數(shù)性質(zhì)來描述.導(dǎo)數(shù)方法是研究函數(shù)性質(zhì)的方法.本節(jié)主要內(nèi)容是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.在高考中常利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,并求單調(diào)區(qū)間、極值、最值、以及利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題.其中利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性起著基礎(chǔ)性的作用,形成初步的知識體系,培養(yǎng)學(xué)生掌握一定的分析問題和解決問題的能力.激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考和創(chuàng)新的意識,讓學(xué)生有創(chuàng)新的機(jī)會,充分體驗(yàn)成功的喜悅,開發(fā)了學(xué)生的自我潛能.本節(jié)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,也是高考考查的熱點(diǎn),本節(jié)包含的核心知識和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)直觀想象數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析本節(jié)課是在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算的基礎(chǔ)上繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的,學(xué)生已經(jīng)了解了一些解題的基本思想和方法,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的基本知識來解決實(shí)際問題對學(xué)生來說應(yīng)該不會很陌生,所以本節(jié)的學(xué)習(xí)應(yīng)讓學(xué)生能夠多參與、多思考,培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力,提高應(yīng)用所學(xué)知識的能力.在課堂教學(xué)中,應(yīng)該把以教師為中心轉(zhuǎn)向以學(xué)生為中心,把學(xué)生自身的發(fā)展置于教育的中心位置,為學(xué)生創(chuàng)設(shè)寬容的課堂氣氛,幫助學(xué)生確定適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)目標(biāo)和達(dá)到目標(biāo)的最佳途徑,指導(dǎo)學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、掌握學(xué)習(xí)策略和發(fā)展認(rèn)知能力,充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,倡導(dǎo)學(xué)生采用自主、合作、探究的方式學(xué)習(xí).學(xué)情補(bǔ)充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動準(zhǔn)備【任務(wù)專題設(shè)計(jì)】1.函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)】1.導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用,包括求函數(shù)的極值、最值、單調(diào)區(qū)間和判斷函數(shù)的單調(diào)性等.2.綜合考查,包括解決應(yīng)用問題,將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式和函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合在一起.【教學(xué)策略設(shè)計(jì)】根據(jù)新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)際及本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn),本部分的教學(xué)先從幾個(gè)基本問題入手,在解決基本問題的過程中喚起學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本方法、基本技能的回顧,為實(shí)現(xiàn)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),突出重點(diǎn),突破難點(diǎn),教學(xué)上主要采取以下的策略:(1)結(jié)合函數(shù)圖象,直觀感受函數(shù)在某些特殊點(diǎn)的函數(shù)值與附近點(diǎn)函數(shù)值大小的關(guān)系,建立函數(shù)的極大值、極小值的概念.(2)借助幾何直觀探索函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件.(3)通過適量的綜合性練習(xí),讓學(xué)生進(jìn)一步體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)中的優(yōu)越性.【教學(xué)方法建議】情境教學(xué)法、問題教學(xué)法,還有__________________________________________________【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn):1.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.難點(diǎn):1.準(zhǔn)確求函數(shù)極值.【教學(xué)材料準(zhǔn)備】1.常規(guī)材料:多媒體課件、____________________________________________2.其他材料:________________________________________________________________四、教學(xué)活動設(shè)計(jì)教學(xué)導(dǎo)入師:通過上節(jié)課的學(xué)習(xí),導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是什么?生:設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù),則在這個(gè)區(qū)間上,(1)若,則在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù);(2)若,則在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù);(3)若恒有,則在這一區(qū)間上為常函數(shù).反之,若在某區(qū)間上單調(diào)遞增,則在該區(qū)間上有恒成立(但不恒等于;若在某區(qū)間上單調(diào)遞減,則在該區(qū)間上有恒成立(但不恒等于0).師:我們知道,在函數(shù)的定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi),導(dǎo)數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的增減,那么在導(dǎo)數(shù)的正負(fù)交替點(diǎn)處,函數(shù)的圖象和性質(zhì)又是怎樣的呢?【設(shè)計(jì)意圖】通過回顧舊知,加強(qiáng)學(xué)生對新知和舊知的聯(lián)系,更便于利用舊知來學(xué)習(xí)新知.教學(xué)精講探究1極值的概念師:我們先來研究前面學(xué)習(xí)過的高臺跳水問題,觀察下圖:表示高臺跳水運(yùn)動員的高度h隨時(shí)間t變化的函數(shù)的圖象,回答以下問題.【情境設(shè)置】探究極值的概念(1)當(dāng)時(shí),高臺跳水運(yùn)動員距水面的高度最大,那么函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)是多少呢?(2)在點(diǎn)附近的圖象有什么特點(diǎn)?(3)點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)符號有什么變化規(guī)律?【學(xué)生發(fā)表意見,教師引導(dǎo)點(diǎn)撥】生:函數(shù)在點(diǎn)處,在的附近,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,,即當(dāng)在的附近從小到大經(jīng)過時(shí),先正后負(fù),且連續(xù)變化,于是.師:對于這一事例是這樣,對其他的連續(xù)函數(shù)是不是也有這種性質(zhì)呢?【通過幾何畫板進(jìn)行動畫演示】【教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用上節(jié)課函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系回答上面問題】師:以兩點(diǎn)為例,我們可以發(fā)現(xiàn),函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小,;而且在點(diǎn)附近的左側(cè),右側(cè).類似的,函數(shù)在點(diǎn)的變化情況呢?生:函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值比它在點(diǎn)附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大,;而且在點(diǎn)附近的左側(cè),右側(cè).師:我們把點(diǎn)叫做函數(shù)的極小值點(diǎn),叫做函數(shù)的極小值;點(diǎn)叫做函數(shù)的極大值點(diǎn),叫做函數(shù)的極大值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)稱為極值點(diǎn),極大值與極小值稱為極值.【以學(xué)定教】用本章多次出現(xiàn)的高臺跳水問題引入,熟悉情境,自然貼切,要說明極值的概念,并且要說明函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的,就必須加強(qiáng)對圖象的分析,讓學(xué)生先形成一個(gè)直觀概念,可以避免一些常見錯(cuò)誤的出現(xiàn).通過教師的點(diǎn)拔,幫助學(xué)生構(gòu)建知識體系,完善、深化對知識、規(guī)律內(nèi)涵的認(rèn)識.【意義學(xué)習(xí)】通過圖象歸納總結(jié)具體的概念,讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法,體會從特殊到一殷的研究過程.使學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比的思維過程,了解極值點(diǎn)和極值的概念.【要點(diǎn)知識】函數(shù)的極值的概念一般地,設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義,(1)若對于附近的所有點(diǎn),都有,則是函數(shù)的一個(gè)極大值,記作;(2)若對附近的所有點(diǎn),都有,則是函數(shù)的一個(gè)極小值,記作.極大值與極小值統(tǒng)稱極值.在定義中,取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),極值點(diǎn)是自變量的值,極值指的是函數(shù)值.【意義學(xué)習(xí)】通過對函數(shù)極值概念的總結(jié)和理解,讓學(xué)生進(jìn)行深度思考,概括分析出極值點(diǎn),表示出極值點(diǎn)是自變量的值,極值指的是函數(shù)值,從而提升概括理解能力.探究2求函數(shù)極值的基本步驟師:通過以上探索,你能歸納出可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的充要條件嗎?生:充要條件:且點(diǎn)的左右兩邊的導(dǎo)數(shù)值符號要相反.師:我們觀察上圖(教材P90圖5.3-11)辨析以下問題:(判斷命題真假)(1)圖中的是函數(shù)的極大值;(2)函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值;(3)函數(shù)的極大值一定大于極小值;(4)函數(shù)的極小值(或極大值)可能不止一個(gè).【學(xué)生思考、辨析、回答,得出結(jié)論】生:極值點(diǎn)不是點(diǎn),指的是“高點(diǎn)”或“低點(diǎn)”的橫坐標(biāo)的值,極值是縱坐標(biāo)的值;極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況,刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì);函數(shù)的極大值和極小值之間沒有確定的大小關(guān)系;函數(shù)的極值可能不止一個(gè).【典型例題】求函數(shù)極值例1:求函數(shù)的極值.【教師點(diǎn)撥:(1)求,解出,找函數(shù)極點(diǎn);(2)由函數(shù)單調(diào)性確定在極點(diǎn)附近的符號,從而確定哪一點(diǎn)是極大值點(diǎn),哪一點(diǎn)為極小值點(diǎn),從而求出函數(shù)的極值】生解:∵.令,解得,或.下面分兩種情況討論:當(dāng),即或時(shí);當(dāng)0,即時(shí).當(dāng)變化時(shí),的變化情況如下表:因此,當(dāng)時(shí),有極大值,且極大值為;當(dāng)時(shí),有極小值,且極小值為,函數(shù)的圖象如下:師:根據(jù)上面的例題我們歸納求函數(shù)極值的方法是什么?生:求,解方程,當(dāng)時(shí):(1)如果在附近的左邊,右邊,那么是極小值.(2)如果在附近的左邊,右邊,那么是極大值.【以學(xué)論教】設(shè)置一個(gè)開放性的問題,請學(xué)生再思考函數(shù)的極值、極值點(diǎn)還有什么特點(diǎn).教師選擇了設(shè)置幾個(gè)具有導(dǎo)向性的問題來加深學(xué)生對極值概念的理解.使學(xué)生知道極值刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì),而最值刻畫的是函數(shù)的整體性質(zhì).【自主學(xué)習(xí)】此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為學(xué)生熟悉的二次函數(shù),可以引導(dǎo)學(xué)生畫出導(dǎo)函數(shù)的簡圖,由導(dǎo)函數(shù)的圖象直接讀出在某個(gè)區(qū)間的正負(fù),達(dá)到“以形助數(shù),以數(shù)輔形”.【要點(diǎn)知識】求函數(shù)極值的基本步驟1.確定函數(shù)的定義域;2.求導(dǎo)數(shù);3.求方程的根;4.檢查在方程根左右的值的符號,如果左正右負(fù),則在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,則在這個(gè)根處取得極小值.(最好通過列表法)師:下面我們根據(jù)所學(xué)知識繼續(xù)鞏固練習(xí).【典型例題】探究函數(shù)的極值點(diǎn)例2:(1)如圖是函數(shù)的圖象,試找出函數(shù)的極值點(diǎn),并指出哪些是極大值點(diǎn),哪些是極小值點(diǎn)?(2)如果該函數(shù)圖象是導(dǎo)函數(shù)的圖象,那么函數(shù)的極大值點(diǎn),極小值點(diǎn)又是哪些呢?生解:(1)、、、是函數(shù)的極值點(diǎn),其中、是函數(shù)的極大值點(diǎn),、是函數(shù)的極小值點(diǎn).(2)、是函數(shù)的極值點(diǎn),其中是函數(shù)的極大值點(diǎn),是函數(shù)的極小值點(diǎn).不是極值點(diǎn).師:導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎?例如函數(shù),在處,,但不是函數(shù)的極值點(diǎn).那么函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).如:函數(shù),在處,左側(cè)時(shí),右側(cè)時(shí),當(dāng)時(shí),是的極小值,但不存在.【整體學(xué)習(xí)】學(xué)生通過對例題的學(xué)習(xí),達(dá)到對本節(jié)課所學(xué)知識的整體復(fù)習(xí),加深對函數(shù)極值的理解,掌握求函數(shù)極值的基本步驟.【以學(xué)定教】通過原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的圖象,運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行概念的辨析,讓學(xué)生掌握求極值點(diǎn)不只令導(dǎo)數(shù)為0,還需清楚判斷極值點(diǎn)的依據(jù),加深對極值概念的理解.下面我們來總結(jié)一下函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)的區(qū)別.【要點(diǎn)知識】函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)為0點(diǎn)的區(qū)別1.可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)函數(shù)為0的點(diǎn),但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).即是可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的必要非充分條件.2.可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)取得極值的充要條件是且在兩側(cè),的符號相異.3.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).【簡單問題解決能力】利用導(dǎo)數(shù)解決極值問題,理解導(dǎo)數(shù)與極值的密切關(guān)系,體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)法求極值的優(yōu)越性.師:下面我們根據(jù)所學(xué)知識繼續(xù)練習(xí).【典型例題】求函數(shù)的系數(shù)例3:已知函數(shù),當(dāng)時(shí),取得極大值7;當(dāng)時(shí),取得極小值.求這個(gè)極小值及、、的值.生解:.據(jù)題意,是方程的兩個(gè)根,由韋達(dá)定理得,極小值極小值為.師:我們來總結(jié)一下本節(jié)課所學(xué)知識.【課堂小結(jié)】函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)1.函數(shù)極值的定義.2.函數(shù)極值求解步驟.3.一個(gè)點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)的充要條件.【設(shè)計(jì)意圖】本課從函數(shù)圖象入手,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的知識去學(xué)習(xí)函數(shù)的極值,針對這些特殊的點(diǎn),從特殊性到一般性進(jìn)行分析,得出極大值和極小值的概念,對概念的理解和運(yùn)用是本節(jié)課的重點(diǎn),通過實(shí)現(xiàn)學(xué)生的主體地位,加強(qiáng)師生間的交流協(xié)作,增強(qiáng)學(xué)生自主探究能力和獨(dú)立解決問題的能力,使學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合,分類討論和函數(shù)的思想方法.教學(xué)評價(jià)從利用導(dǎo)數(shù)能求單調(diào)區(qū)間、極值、最值這一認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā),讓學(xué)生在新的問題情境中,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用作圖、猜想、歸納、驗(yàn)證等方法解決問題,在問題解決過程中獲得新知,讓學(xué)生逐漸體會到數(shù)學(xué)問題的緊密聯(lián)系,從而進(jìn)一步完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).導(dǎo)數(shù)思想方法具有程序化、易掌握的顯著特點(diǎn),它是一種有力的工具,可以作為解決函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間、函數(shù)在閉區(qū)間上的最大(小)值等基本方法.導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用為研究函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)圖象開辟了新的捷徑,成為溝通函數(shù)與數(shù)列、不等式、圓錐曲線等問題的一座橋梁.我們要意識到導(dǎo)數(shù)工具的重要性,教學(xué)中下最大的功夫進(jìn)行突破,為今后的深入學(xué)習(xí)與研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生整理知識,使其體會知識的生成、發(fā)展、完善的過程,通過具體知識點(diǎn)的演練,讓學(xué)生運(yùn)用課程教學(xué)過程中所學(xué)到的學(xué)科能力(概括理解、簡單問題解決、分析計(jì)算)解決問題,從而達(dá)到數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的素養(yǎng)目標(biāo)要求.根據(jù)所學(xué)知識,完成下面各題:1.已知函數(shù),求函數(shù)的極值.思路:求函數(shù)的極值的一般步驟如下:首先令,可解出其極值點(diǎn),然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0、小于0即可判斷函數(shù)的增減性,進(jìn)而求出函數(shù)的極大