現(xiàn)代控制理論課件-矩陣復(fù)習(xí)

矩陣的復(fù)習(xí)(現(xiàn)代控制理論用(線性代數(shù)的復(fù)習(xí)A

a1na2n

B

b2k bbbb

an

ann

jkAnmaijAijB為第j行，kA（aijB（bjk）n=m時(shí)稱為方陣，可表示為

a1n a2n

an

annAn給定najkj行第k列的全部元素而得到一個(gè)（n-1）階行列式，稱為原行列式的一個(gè)子行列式，簡稱子式，以jk表示。即a21

a22

a23

劃掉a23的子行列

a11

ajkn階行列式則有n行n列共n2個(gè)子式余因子或代數(shù) 如果用1jk去乘a的子式得到的結(jié)果稱為a的余因子或代 式 123

一般為Ajk j

行列式的拉斯展開式為任一行或任一列的各元素與對應(yīng)的余因子的乘積之和 a13 a

＝

a33上式為第一列各元素展開的拉斯展開式，任一行、任一列的元素展開結(jié)果之△值都相同

nndetaajkk12將行列式的任兩行（行與行）3將行列式任一行（任一列）的元素，乘以一個(gè)給定的數(shù)以后再加到另外的任一行（或任一列）的對應(yīng)45k倍，則行6用常數(shù)乘行列式任一行（或任一列）的諸元素，等于用乘這行列式。即：i在行列式中任一行（或列）元素的公因子可以提到行列式之外。ii在n×nA乘與每個(gè)元素，等于乘nAnAj=kajk 0A

ann1a11a22annI

1

x1 只有一列的矩陣x2稱為列向量n維稱為n維列向量 xn只有一行的矩陣

xnn五．零陣所有元素均為零的矩陣。n×mAm×nAATA

a1m a2m

an1 an2

nAT

nm

nmAAATA為對稱矩陣。AAA

a1m a2m

an

anm

>0，

an

A為正定陣，這是判別正定矩陣的賽爾維斯特（sylverster）準(zhǔn)則。，AB(a

bjk

AB(a

bjk矩陣的加減法滿換律，結(jié)合律。ABC(AB)kA(kajk矩陣與矩陣相乘，ABA(ajln×m

Bblkn×r

C

nnajllCA(BC)( (BC)ABA(AB)TAT

BT

注意

AT12n×mAkkk階行AkAA為方陣，而且其所有相當(dāng)?shù)男辛惺街挡粸榱?，即滿足條件則稱A是滿秩的n階方陣。3余因子轉(zhuǎn)置矩陣（或稱伴隨矩陣）A（即行與列交換）陣，并以符號A)T或A或adjA 4A是滿秩的n即detA≠0）A1AA1＝A1AA1由下面公式確TA1T

(Ajk

(Akj)

5

(AB)1B1 注意(AB)1(A1)1（不等于零1(AB)2解：(AB)2＝(AB)(ABA2ABBA一般矩陣乘法不滿換律，即AB≠B當(dāng)AB＝BA

(AB)2＝A22ABB2 例2：求A＝ 2 2

31的逆矩陣A122detA＝－22

1＋0

3－1

311

1 2

3 1伴隨矩陣adjA 11＝

1

1 ＝detA1 3x1＋3x2＋x3＝2x1－2x2＋x3＝32x1+x2+3x3＝1

解：A=

xx2

b

x

1 Ax

3 x1

11伴隨矩陣adjA＝1511

5A1

det

0

1 x

2 1

x2

0 x

1 3

1