《利用二分法求方程的近似解》教學(xué)設(shè)計(jì)

9/9《利用二分法求方程的近似解》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題問(wèn)題1：在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫(kù)閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障這是一條10km長(zhǎng)的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多.每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿，10km長(zhǎng)，大約有200多根電線桿呢.想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？設(shè)計(jì)意圖：以實(shí)際問(wèn)題為背景，從學(xué)生感覺(jué)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，激活學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生再創(chuàng)造的欲望.注意學(xué)生解題過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考，從而解決問(wèn)題.學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生獨(dú)立思考，可能出現(xiàn)以下解決方法：思路1：直接一個(gè)一個(gè)電線桿去尋找.思路2：先找中點(diǎn)，縮小范圍；再找判定有故障段的中點(diǎn)，縮小范圍，依次進(jìn)行下去.教師從思路2入手，引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題：如圖，維修工人首先到中點(diǎn)C檢查，用隨身帶的話機(jī)向兩個(gè)端點(diǎn)測(cè)試時(shí)，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段；再到BC段中點(diǎn)D檢查，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見(jiàn)故障在CD段；再到CD中點(diǎn)E來(lái)檢查每查一次，可以把待查的線路長(zhǎng)度縮減一半，如此查下去，不用幾次，就能把故障點(diǎn)鎖定在一兩根電線桿附近.師：我們可以用一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程來(lái)展示一下（展示多媒體課件）.在一條線段上找某個(gè)特定點(diǎn)，可以通過(guò)取中點(diǎn)的方法逐步縮小特定點(diǎn)所在的范圍，即二分法思想.設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際問(wèn)題入手，利用計(jì)算機(jī)演示用二分法思想查找故障發(fā)生點(diǎn)，通過(guò)演示讓學(xué)生初步體會(huì)二分法的算法思想與方法，說(shuō)明二分法原理源于現(xiàn)實(shí)生活，并在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛應(yīng)用.二、合作探究，構(gòu)建新知1.問(wèn)題2：假設(shè)電話線故障點(diǎn)大概在方程的解的位置，請(qǐng)同學(xué)們先猜想方程的解大概是多少？我們?nèi)绾握页鲞@個(gè)值？活動(dòng)：設(shè)函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)或借助計(jì)算機(jī)、計(jì)算器畫(huà)出函數(shù)圖象，通過(guò)具體的函數(shù)圖象幫助學(xué)生理解閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值是異號(hào)的，那么函數(shù)圖象就一定與x軸相交，即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)解（即上節(jié)課學(xué)習(xí)的零點(diǎn)存在定理，為下面的學(xué)習(xí)提供理論基礎(chǔ)）引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)”和“形”兩個(gè)角度去體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)的意義，掌握常見(jiàn)方程的近似解的求法，明確二分法的適用范圍.師：設(shè)函數(shù)，我們已經(jīng)知道，方程在區(qū)間內(nèi)有解，且，那么，如何找出這個(gè)解呢？合作探究：學(xué)生按四人小組進(jìn)行探究（倡導(dǎo)學(xué)生積極交流、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性）.生：如果能夠?qū)⒎匠痰慕馑诘姆秶M量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到方程的解的近似值.師：如何有效縮小方程的解所在的區(qū)間？生1：通過(guò)取中點(diǎn)的方法逐步縮小方程的解所在的范圍.生2：是否也可以通過(guò)取三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)的方法，逐步縮小方程的解所在的范圍？師：很好，一個(gè)直觀的想法是：如果能夠?qū)⒎匠痰慕馑诘姆秶M量縮小，那么在一定精確度的要求下，可以得到方程的解的近似值其實(shí)取中點(diǎn)和取三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)都能實(shí)現(xiàn)縮小解所在的范圍.但是，在同樣可以實(shí)現(xiàn)縮小解所在范圍的前提下，取中點(diǎn)的方法比取三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)的方法更簡(jiǎn)便.因此，為了方便，下面通過(guò)取中點(diǎn)的方法逐步縮小方程的解所在的范圍.引導(dǎo)學(xué)生分析理解求區(qū)間的中點(diǎn)的方法，取.合作探究：學(xué)生兩人一組互相配合，一人按計(jì)算器，人記錄過(guò)程.四人小組中的兩組比較縮小方程的解所在范圍的結(jié)果.步驟一：取區(qū)間的中點(diǎn)2.5，利用計(jì)算器算得.由，得知，所以方程的解在區(qū)間內(nèi).步驟二：取區(qū)間的中點(diǎn)2.75，利用計(jì)算器算得.因?yàn)椋苑匠痰慕庠趨^(qū)間內(nèi).結(jié)論：由于，所以方程的解所在的范圍確實(shí)越來(lái)越小了.如果重復(fù)上述步驟，在定精確度下，我們可以在有限次重復(fù)上述步驟后，將所得的方程的解所在區(qū)間內(nèi)的任一數(shù)作為方程的解的近似值.特別地，可以將區(qū)間端點(diǎn)值作為方程的解的近似值.引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器邊操作邊認(rèn)識(shí)，通過(guò)小組合作探究，得出下表：讓學(xué)生有更多的時(shí)間來(lái)思考與體會(huì)二分法的實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的良好品質(zhì).學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)知道這個(gè)方程的解就是對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故它在區(qū)間內(nèi).進(jìn)一步利用函數(shù)圖象通過(guò)“取中點(diǎn)”逐步縮小解的范圍，利用計(jì)算器很快得出上表，找出方程的解的大概區(qū)間.設(shè)計(jì)意圖：從問(wèn)題1到問(wèn)題2，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想方法，問(wèn)題2起著承上啟下的作用，使學(xué)生更深刻地理解二分法的思想，同時(shí)也突出了二分法的特點(diǎn).通過(guò)問(wèn)題2讓學(xué)生掌握常見(jiàn)方程的解的求法，明確二分法的適用范圍.2.問(wèn)題3：對(duì)于其他方程，是不是也可以用這種方法去求它的近似解呢？引導(dǎo)學(xué)生把上述方法推廣到一般的方程，經(jīng)歷歸納方法的一般性過(guò)程之后得出二分法的定義及用二分法求方程的近似解的步驟.對(duì)于一般的函數(shù)，若函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線，，則每次取區(qū)間的中點(diǎn)，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的求方程近似解的方法稱為二分法.注意引導(dǎo)學(xué)生分析二分法的定義（一是二分法的適用范圍，二是用二分法求方程近似解的步驟）.給定精確度，用二分法求方程的近似解的步驟如下：（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精確度ε；（2）求區(qū)間的中點(diǎn)c；（3）計(jì)算：①若，則c就是方程的解；②若，則令（此時(shí)方程的解）；③若，則令（此時(shí)方程的解）；（4）判斷是否達(dá)到精確度ε：即若，則得到方程的近似解（此區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)）；否則重復(fù)步驟（2）~（4）.利用二分法求方程近似解的過(guò)程，可以簡(jiǎn)約地用下圖表示.設(shè)計(jì)意圖：以問(wèn)題研討的形式替代教師的講解，分化難點(diǎn)、解決重點(diǎn)，給學(xué)生“數(shù)學(xué)創(chuàng)造”的體驗(yàn)，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，并強(qiáng)化對(duì)二分法原理的理解學(xué)生在討論、合作中解決問(wèn)題，充分體驗(yàn)成功的愉悅.讓學(xué)生歸納一般步驟有利于提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，讓學(xué)生嘗試由特殊到一般的思維方法，利用二分法求方程近似解的過(guò)程，用圖表示，既簡(jiǎn)約又直觀，同時(shí)能讓學(xué)生初步體會(huì)算法的思想.三、例題剖析，鞏固新知例求方程的一個(gè)近似解.（精確度為0.01）學(xué)生兩人一組，一人用計(jì)算器求值，一人記錄結(jié)果.學(xué)生講解縮小方程的解所在區(qū)間的方法和過(guò)程，教師點(diǎn)評(píng).解：考察函數(shù)，基于零點(diǎn)存在定理，從一個(gè)兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)的區(qū)間開(kāi)始，應(yīng)用二分法逐步縮小方程解所在區(qū)間.經(jīng)試算，，所以方程在區(qū)間內(nèi)有解.取區(qū)間的中點(diǎn)0.5，，所以方程在區(qū)間內(nèi)有解.如此下去，得到方程的解所在的區(qū)間（如下表）.至此，可以看出，區(qū)間的區(qū)間長(zhǎng)度為0.0078125，它小于0.01.而方程的解就在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，因此區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)都是滿足精確度的近似解，例如，0.74就是方程精確度為0.01的個(gè)近似解.設(shè)計(jì)意圖：鼓勵(lì)學(xué)生自行嘗試解決例題，讓學(xué)生體驗(yàn)解題遇阻時(shí)的困惑以及解決問(wèn)題的快樂(lè)通過(guò)此例讓學(xué)生體會(huì)用二分法求方程近似解的完整過(guò)程，進(jìn)一步鞏固二分法的思想方法.思考：?jiǎn)栴}（1）：用二分法只能求方程的近似解嗎？問(wèn)題（2）：是否所有的方程都可以用二分法來(lái)求其近似解？教師有針對(duì)性地提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回答學(xué)生討論、交流反思二分法的特點(diǎn)，進(jìn)一步明確二分法的適用范圍以及優(yōu)缺點(diǎn)，指出它只是求方程近似解的“一種”方法.設(shè)計(jì)意圖：及時(shí)鞏固二分法的解題步驟，讓學(xué)生體會(huì)二分法是求方程近似解的有效方法.四、嘗試練習(xí)，檢驗(yàn)成果1.下列函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是（）設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生明確二分法的適用范圍.2.用二分法求圖象是連續(xù)不斷的函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)近似值的過(guò)程中，得到，，則函數(shù)的零點(diǎn)落在區(qū)間（）A.B.C.D.不能確定設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生進(jìn)一步明確縮小函數(shù)的零點(diǎn)所在范圍的方法.3.用二分法求方程的近似解.（精確度為0.1，可以使用計(jì)算器）設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步加深和鞏固對(duì)用二分法求方程近似解的理解.五、課堂小結(jié)，回顧反思學(xué)生歸納，互相補(bǔ)充，教師總結(jié)：1.理解二分法的定義和思想，用二分法可以求方程的近似解，還可以求函數(shù)的零點(diǎn)近似值，但要保證該函數(shù)的圖象在零點(diǎn)所在的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)不斷的.2.用二分法求方程的近似解的步驟.設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生梳理知識(shí)，形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)同時(shí)讓學(xué)生知道理解二分法定義是關(guān)鍵，掌握二分法解題的步驟是前提，實(shí)際應(yīng)用是深化.板書(shū)設(shè)計(jì)1.2利用二分法求方程的近似解一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題二、合作探究，構(gòu)建新知對(duì)于一般的函數(shù)，若函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線，，則每次取區(qū)間的中點(diǎn)，將區(qū)間一分為二，再經(jīng)比較，按需要留下其中一個(gè)小區(qū)間的求方程近似解的方法稱為二分法給定精確度ε，用二分法求方程的近似解的步驟如下：（1）確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精確度ε；（2）求區(qū)間的中點(diǎn)c；（3）計(jì)算：①若，則c就是方程的解；②若，則令（此時(shí)方程的解；③若，則令（此時(shí)方程的解；（4）判斷是否達(dá)到精確度ε：即若，則得到方程的近似解（此區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)）；否則重復(fù)步驟（2）~（4）.三、例題剖析，鞏固新知例四、嘗試練習(xí)，檢驗(yàn)成果五、課堂小結(jié)，回顧反思教學(xué)研討這節(jié)課既是一堂新課又是一堂探究課.整個(gè)教學(xué)過(guò)程以問(wèn)題為教學(xué)出發(fā)點(diǎn)，以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，設(shè)計(jì)情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，激勵(lì)學(xué)生去取得成功，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特點(diǎn)，同時(shí)重視思維訓(xùn)練，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，注意數(shù)學(xué)思想方法的融入滲透，整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中，特別注重以下幾個(gè)方面：重視學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，突出他們的主體地位，本節(jié)課訓(xùn)練了學(xué)生用從特殊到一般，再由一般到特殊的思維方式解決問(wèn)題的能力，不斷加強(qiáng)他們的轉(zhuǎn)化類(lèi)比思想；注重將用二分法求方程的近似解的方法與現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)方法來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，又