卡爾曼濾波在測(cè)量和變形分析中的應(yīng)用研究報(bào)告

§6.3卡爾曼濾波在測(cè)量和變形分析中的應(yīng)用6.3.1在測(cè)量中的應(yīng)用由于卡爾曼濾波是一種較好的動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理方法，它具有以下特點(diǎn)：對(duì)狀態(tài)向量的估計(jì)是LS準(zhǔn)則下的最優(yōu)估計(jì)；算法是遞推的，便于計(jì)算與編程實(shí)現(xiàn)，也可以用硬件設(shè)計(jì)卡爾曼濾波器；對(duì)動(dòng)態(tài)過程是平穩(wěn)隨機(jī)過程的要求不嚴(yán)；可以進(jìn)行實(shí)時(shí)地預(yù)測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)，預(yù)測(cè)時(shí)不要求使用全部觀測(cè)數(shù)據(jù)，只需要利用部分?jǐn)?shù)據(jù)就可以較好地進(jìn)行預(yù)測(cè)。因此卡爾曼濾波在信號(hào)處理、組合導(dǎo)航、GPS動(dòng)態(tài)定位、變性分析與預(yù)報(bào)等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，并在應(yīng)用中不斷進(jìn)行了改進(jìn)。

卡爾曼濾波在測(cè)量上的應(yīng)用也得到測(cè)量學(xué)者的廣泛研究。比如研究發(fā)現(xiàn)測(cè)量上各種平差模型都是卡爾曼濾波模型的特例，都可以通過卡爾曼濾波模型推導(dǎo)出來卡爾曼濾波模型可以說是現(xiàn)代測(cè)量平差理論的基礎(chǔ)。左圖描述了各種平差模型間的相互關(guān)系。卡爾曼濾波在測(cè)量上的另一個(gè)重要應(yīng)用是在組合導(dǎo)航問題上的應(yīng)用。下圖描述了組合導(dǎo)航與定位的基本原理。圖中設(shè)船在時(shí)刻的狀態(tài)可以從岸上測(cè)定，其狀態(tài)向量為，協(xié)方差矩陣為，同時(shí)還觀測(cè)了衛(wèi)星，觀測(cè)向量為，協(xié)方差矩陣為，時(shí)刻的狀態(tài)向量由下列數(shù)據(jù)模型確定

（6-19）船的運(yùn)動(dòng)模型由下式確定

（6-20）其中，表示在時(shí)刻的狀態(tài)向量。同時(shí)在時(shí)刻有如下觀測(cè)方程

（6-21）綜合以上信息，最優(yōu)地估計(jì)的船的位置就是濾波器要解決的問題。它可以描述為：如何根據(jù)歷史觀測(cè)數(shù)據(jù)和船的運(yùn)動(dòng)模型實(shí)時(shí)估計(jì)和預(yù)測(cè)船在下一時(shí)刻的狀態(tài)。速度和加速度向量與位置、時(shí)間有如下關(guān)系

（6-24）由式（6-20）至（6-22），可以得到運(yùn)動(dòng)點(diǎn)場(chǎng)的狀態(tài)推估方程如下

（6-25）其中，I表示單位矩陣，0表示零矩陣。下面我們考慮運(yùn)動(dòng)方程中的噪聲模型。狀態(tài)向量、噪聲的選擇與所監(jiān)測(cè)的對(duì)象和觀測(cè)頻率有關(guān)。如果被監(jiān)測(cè)對(duì)象的動(dòng)態(tài)性強(qiáng)、變化快，就需要將位置、速率、加速率作為狀態(tài)向量考慮，這時(shí)可考慮如下的噪聲模型由此，式（6-24）就變?yōu)?/p>

（6-27）以上各式構(gòu)成了運(yùn)動(dòng)點(diǎn)場(chǎng)的卡爾曼濾波模型。6.3.3應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用卡爾曼濾波的具體步驟如下：（1）根據(jù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的物理特性確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，包括狀態(tài)方程，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣、動(dòng)態(tài)噪聲矩陣和觀測(cè)矩陣；（2）利用前三期的觀測(cè)數(shù)據(jù)確定濾波的初始值，包括初始狀態(tài)向量及其協(xié)方差矩陣；動(dòng)態(tài)噪聲的協(xié)方差矩陣和觀測(cè)噪聲的協(xié)方差矩陣；（3）卡爾曼濾波遞推公式實(shí)時(shí)估計(jì)狀態(tài)向量及其協(xié)方差，單位權(quán)方差等信息；（4）當(dāng)有新的觀測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，將最前面觀測(cè)數(shù)據(jù)刪除，將新的觀測(cè)數(shù)據(jù)放在序列的后面，再重新進(jìn)行卡爾曼濾波計(jì)算，入戲遞推下去，達(dá)到自動(dòng)濾波的目的。取某高邊坡變形觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行卡爾曼濾波數(shù)據(jù)處理。觀測(cè)周期為1個(gè)月，共有30期數(shù)據(jù)。采用自適應(yīng)卡爾曼濾波方差法進(jìn)行計(jì)算。狀態(tài)向量去單點(diǎn)的三維坐標(biāo)、三維速率共6個(gè)參數(shù)。用第一次平差結(jié)果作為初始值。設(shè)速率參數(shù)值為0，方差按下式估計(jì)式中，假定為任意坐標(biāo)方向的最大速率。

下表列出其中一點(diǎn)y方向坐標(biāo)及速率參數(shù)濾波估計(jì)值及其方差。坐標(biāo)估計(jì)精度為2~3mm，速率估計(jì)精度為2~3mm。對(duì)y坐標(biāo)進(jìn)行一步預(yù)測(cè)，最