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高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1吉林省白山市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題:“,”的否定是()A., B.,C., D.,【答案】C【解析】由題意知命題:“,”全稱(chēng)量詞命題,其否定為:,.故選:C.2.已知集合,,則()A. B.C. D.【答案】B【解析】,得,所以,又,所以.故選:B.3.已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】由三角函數(shù)的定義得,,又由誘導(dǎo)公式得,.故選:A.4.已知冪函數(shù)在上是減函數(shù),則的解集為()A. B.C. D.【答案】A【解析】是冪函數(shù),,解得或,當(dāng)時(shí),不滿足在上是減函數(shù),當(dāng)時(shí),滿足在上是減函數(shù),,將不等式的兩邊同時(shí)平方得,,解得,的解集為.故選:A.5.函數(shù)的圖像大致為()A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè),則函數(shù)的定義域?yàn)?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),又,所以函數(shù)為偶函數(shù),排除AC;當(dāng)時(shí),,所以,排除D.故選:B.6.將函數(shù)的圖象向左平移m個(gè)單位(),若所得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則m的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】,則,函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則,解得,由,則當(dāng)時(shí),m有最小值.故選:B.7.已知,則下列各式中最小值是2的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí),,此時(shí),A不是;,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”,但,B不是;當(dāng)時(shí),,C不是;令,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”,D是.故選:D.8.“函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的一個(gè)必要不充分條件可以是()A. B.C. D.或【答案】A【解析】當(dāng)時(shí),由得;當(dāng),即時(shí),由解得,函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng),即時(shí),若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),則,即,解得,當(dāng)時(shí),的零點(diǎn)為;當(dāng)時(shí),得,此時(shí)由解得或,綜上,函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),或,故是“函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的必要不充分條件.故選:A.二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.若,,,則下列不等式中正確的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A,,,,當(dāng)時(shí),,則,即,當(dāng)時(shí),,則,即,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由,則,又,所以,故B正確;對(duì)于C,,,,即,故C正確;對(duì)于D,由題,當(dāng)時(shí),,則,故D錯(cuò)誤.故選:BC.10.下列函數(shù)中,最小正周期是的是()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A:的周期為,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:利用圖象的翻折變換畫(huà)出,結(jié)合圖象可知該函數(shù)不具備周期性,故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C:,故的最小正周期是,故C正確;對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)椋?,,故的最小正周期是,故D正確.故選:ACD.11.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有()A.的最小值點(diǎn)是B.若,則的解析式為C.在定義域內(nèi)是增函數(shù)D.若滿足:定義在,則關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)【答案】ABC【解析】的最小值點(diǎn)是實(shí)數(shù)0,而不是點(diǎn),A選項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以的定義域是,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;的增區(qū)間是,而其定義域是,它在整個(gè)定義域上不單調(diào),C選項(xiàng)錯(cuò)誤;若滿足:定義在,則關(guān)于中心對(duì)稱(chēng),D選項(xiàng)正確.故選:ABC.12.若在上僅有一個(gè)最值,且為最大值,則的值可能為()A. B.1 C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)?,所以,所以由題意得,Z,解得,Z,為負(fù)整數(shù)時(shí),的范圍時(shí)小于零的,與已知不符,時(shí),;時(shí),,因?yàn)?,故A不正確;由題可知BD正確,C不正確.故選:BD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若一扇形的周長(zhǎng)為18,面積為14,則它的半徑為_(kāi)_____.【答案】7【解析】設(shè)扇形的圓心角為,半徑為,由題意,解得,或,又扇形中,,所以.故答案:7.14.若函數(shù)的一段圖象如圖所示,則______.【答案】【解析】由函數(shù)的圖象可知;函數(shù)的最小正周期,故;將代入中,即,由于,故,故.故答案為:.15.設(shè)m,n是方程的兩個(gè)實(shí)根,則______.【答案】【解析】由方程得,,令,得方程,因?yàn)閙,n是方程的兩個(gè)實(shí)根,所以是關(guān)于的方程的兩根,,則有,解得.故答案為:.16.設(shè),,若在上是增函數(shù)且在R上至少有3個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是______.【答案】【解析】由在上是增函數(shù),得,解得,顯然,,且當(dāng)時(shí),,令,由,得,解得或,而,由于在R上至少有3個(gè)零點(diǎn),只需,又,解得;當(dāng)時(shí),,符合題意,因此,所以a的取值范圍是.故答案為:.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.解關(guān)于x的不等式:(1);(2).解:(1)由題意,可得,解得或,所以不等式的解集為.(2)不等式可化為,當(dāng)時(shí),,不等式的解集為;當(dāng)時(shí),不等式化為,其解集為;當(dāng)時(shí),不等式化為,(?。┊?dāng),即時(shí),不等式的解集為;(ⅱ)當(dāng),即時(shí),不等式的解集為;(ⅲ)當(dāng),即時(shí),不等式的解集為.18.某地2023年7月30日、31日的溫度y(單位:攝氏度)隨時(shí)間x(單位:小時(shí))的變化近似滿足如下函數(shù)關(guān)系:,其中.從氣象臺(tái)得知:該地在30日的最高氣溫出現(xiàn)在下午14時(shí),最高氣溫為32攝氏度,最低氣溫出現(xiàn)在凌晨2時(shí),最低氣溫為16攝氏度.(1)求函數(shù)的解析式,并判斷是否為周期函數(shù);(2)該地某商場(chǎng)規(guī)定:在環(huán)境溫度大于或等于28攝氏度時(shí),需要開(kāi)啟空調(diào)降溫,否則關(guān)閉空調(diào),問(wèn)2023年7月30日、31日這兩天需開(kāi)啟空調(diào)共多少小時(shí)?解:(1)由題意,,,得,,得,將代入得,即,所以,得,,又,得,所以,;因?yàn)槎x域是,所以不是周期函數(shù).(2)由題意,,得,,解得,,又,所以,所以兩天共需開(kāi)啟空調(diào)16小時(shí).19.設(shè),,且,.(1)求的值;(2)試比較與大?。猓海?)由,得,又,所以,從而,有,所以.(2)由(1)知,得,而,,所以,易知,又在上單調(diào)遞減,所以.20設(shè),.(1)判斷的奇偶性,并證明;(2)寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間(直接寫(xiě)出結(jié)果);(3)若當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的上方,求a的取值范圍.解:(1)時(shí),顯然恒成立;時(shí),,所以的定義域是R,又,即,所以是奇函數(shù).(2)增區(qū)間是,減區(qū)間是,證明如下:任取,且,則,易知在R上遞增,且,則,所以,即,所以在R上單調(diào)遞減,,當(dāng),即時(shí),單調(diào)遞增,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知:遞增;當(dāng),即時(shí),單調(diào)遞減,由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知:遞減,所以增區(qū)間是,減區(qū)間是.(3)令,則,即在上恒成立,令,設(shè),對(duì)稱(chēng)軸為,所以在上單調(diào)遞減,從而,所以的取值范圍是.21.設(shè).(1)若,求的值;(2)求的單調(diào)增區(qū)間;(3)設(shè),求在上的最小值.解:(1),解得.(2)=,令,,解得,,所以的單調(diào)增區(qū)間是.(3),因?yàn)椋瑥亩?,,,令,則,對(duì)稱(chēng)軸為,時(shí),單調(diào)遞減,則;時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,;時(shí),單調(diào)遞增,則;綜上,.22.設(shè)函數(shù),,.(1)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間;(2)若,,使成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)求證:函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),并求(表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如,).參考數(shù)據(jù):,.解:(1)令,,解得,,又,得的單調(diào)增區(qū)間是和;令,,解得,,又,得的單調(diào)減區(qū)間是和,函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間是和,單調(diào)減區(qū)間是和.(2)若,,使成立,則,,的值域應(yīng)為的值域的子集,由(1)知,在單調(diào)遞減,的值域?yàn)?,,?dāng)時(shí),令,則,開(kāi)口方向向上,對(duì)稱(chēng)軸是,,當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,不符合題意;當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,,即,解得,所以.(3)由(1)知在上是減函數(shù),易知在上是增函數(shù),所以在上是減函數(shù),又,,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理知在上有唯一零點(diǎn),當(dāng)時(shí),,,所以,即在上無(wú)零點(diǎn),綜上,在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),,,,.吉林省白山市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.命題:“,”的否定是()A., B.,C., D.,【答案】C【解析】由題意知命題:“,”全稱(chēng)量詞命題,其否定為:,.故選:C.2.已知集合,,則()A. B.C. D.【答案】B【解析】,得,所以,又,所以.故選:B.3.已知角終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】由三角函數(shù)的定義得,,又由誘導(dǎo)公式得,.故選:A.4.已知冪函數(shù)在上是減函數(shù),則的解集為()A. B.C. D.【答案】A【解析】是冪函數(shù),,解得或,當(dāng)時(shí),不滿足在上是減函數(shù),當(dāng)時(shí),滿足在上是減函數(shù),,將不等式的兩邊同時(shí)平方得,,解得,的解集為.故選:A.5.函數(shù)的圖像大致為()A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè),則函數(shù)的定義域?yàn)?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),又,所以函數(shù)為偶函數(shù),排除AC;當(dāng)時(shí),,所以,排除D.故選:B.6.將函數(shù)的圖象向左平移m個(gè)單位(),若所得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則m的最小值為()A. B. C. D.【答案】B【解析】,則,函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則,解得,由,則當(dāng)時(shí),m有最小值.故選:B.7.已知,則下列各式中最小值是2的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)時(shí),,此時(shí),A不是;,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”,但,B不是;當(dāng)時(shí),,C不是;令,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”,D是.故選:D.8.“函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的一個(gè)必要不充分條件可以是()A. B.C. D.或【答案】A【解析】當(dāng)時(shí),由得;當(dāng),即時(shí),由解得,函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng),即時(shí),若函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),則,即,解得,當(dāng)時(shí),的零點(diǎn)為;當(dāng)時(shí),得,此時(shí)由解得或,綜上,函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),或,故是“函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)”的必要不充分條件.故選:A.二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.若,,,則下列不等式中正確的是()A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A,,,,當(dāng)時(shí),,則,即,當(dāng)時(shí),,則,即,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由,則,又,所以,故B正確;對(duì)于C,,,,即,故C正確;對(duì)于D,由題,當(dāng)時(shí),,則,故D錯(cuò)誤.故選:BC.10.下列函數(shù)中,最小正周期是的是()A. B.C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A:的周期為,故A正確;對(duì)于選項(xiàng)B:利用圖象的翻折變換畫(huà)出,結(jié)合圖象可知該函數(shù)不具備周期性,故B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C:,故的最小正周期是,故C正確;對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?,,,故的最小正周期是,故D正確.故選:ACD.11.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有()A.的最小值點(diǎn)是B.若,則的解析式為C.在定義域內(nèi)是增函數(shù)D.若滿足:定義在,則關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)【答案】ABC【解析】的最小值點(diǎn)是實(shí)數(shù)0,而不是點(diǎn),A選項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)?,所以的定義域是,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;的增區(qū)間是,而其定義域是,它在整個(gè)定義域上不單調(diào),C選項(xiàng)錯(cuò)誤;若滿足:定義在,則關(guān)于中心對(duì)稱(chēng),D選項(xiàng)正確.故選:ABC.12.若在上僅有一個(gè)最值,且為最大值,則的值可能為()A. B.1 C. D.【答案】BD【解析】因?yàn)?,所以,所以由題意得,Z,解得,Z,為負(fù)整數(shù)時(shí),的范圍時(shí)小于零的,與已知不符,時(shí),;時(shí),,因?yàn)?,故A不正確;由題可知BD正確,C不正確.故選:BD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若一扇形的周長(zhǎng)為18,面積為14,則它的半徑為_(kāi)_____.【答案】7【解析】設(shè)扇形的圓心角為,半徑為,由題意,解得,或,又扇形中,,所以.故答案:7.14.若函數(shù)的一段圖象如圖所示,則______.【答案】【解析】由函數(shù)的圖象可知;函數(shù)的最小正周期,故;將代入中,即,由于,故,故.故答案為:.15.設(shè)m,n是方程的兩個(gè)實(shí)根,則______.【答案】【解析】由方程得,,令,得方程,因?yàn)閙,n是方程的兩個(gè)實(shí)根,所以是關(guān)于的方程的兩根,,則有,解得.故答案為:.16.設(shè),,若在上是增函數(shù)且在R上至少有3個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是______.【答案】【解析】由在上是增函數(shù),得,解得,顯然,,且當(dāng)時(shí),,令,由,得,解得或,而,由于在R上至少有3個(gè)零點(diǎn),只需,又,解得;當(dāng)時(shí),,符合題意,因此,所以a的取值范圍是.故答案為:.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.解關(guān)于x的不等式:(1);(2).解:(1)由題意,可得,解得或,所以不等式的解集為.(2)不等式可化為,當(dāng)時(shí),,不等式的解集為;當(dāng)時(shí),不等式化為,其解集為;當(dāng)時(shí),不等式化為,(?。┊?dāng),即時(shí),不等式的解集為;(ⅱ)當(dāng),即時(shí),不等式的解集為;(ⅲ)當(dāng),即時(shí),不等式的解集為.18.某地2023年7月30日、31日的溫度y(單位:攝氏度)隨時(shí)間x(單位:小時(shí))的變化近似滿足如下函數(shù)關(guān)系:,其中.從氣象臺(tái)得知:該地在30日的最高氣溫出現(xiàn)在下午14時(shí),最高氣溫為32攝氏度,最低氣溫出現(xiàn)在凌晨2時(shí),最低氣溫為16攝氏度.(1)求函數(shù)的解析式,并判斷是否為周期函數(shù);(2)該地某商場(chǎng)規(guī)定:在環(huán)境溫度大于或等于28攝氏度時(shí),需要開(kāi)啟空調(diào)降溫,否則關(guān)閉空調(diào),問(wèn)2023年7月30日、31日這兩天需開(kāi)啟空調(diào)共多少小時(shí)?解:(1)由題意,,,得,,得,將代入得,即,所以,得,,又,得,所以,;因?yàn)槎x域是,所以不是周期函數(shù).(2)由題意,,得,,解得,,又,所以,所以兩天共需開(kāi)啟空調(diào)16小時(shí).19.設(shè),,且,.(1)求的值;(2)試比較與大?。猓海?)由,得,又,所以,從而,有,所以.(2)由(1)知,得,而,,所以,易知,又在上單調(diào)遞減,所以.20設(shè),.(1)判斷的奇偶性,并證明;(2)寫(xiě)出的單調(diào)區(qū)間(直接寫(xiě)出結(jié)果);(3)若當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象恒在函數(shù)的上方,求a的取值范圍.解:(1)時(shí),顯然恒成立;
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