2023-2024學(xué)年廣東省茂名市信宜市高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省茂名市信宜市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的斜率為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€方程為，化為斜截式為：，所以直線的斜率為：.故選：D.2.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】B【解析】由拋物線方程，得，故拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，故選：B.3.已知兩條直線：，：，且，則的值為()A.－2 B.1 C.－2或1 D.2或－1【答案】B【解析】：，：斜率不可能同時(shí)不存在，∴和斜率相等，則或，∵m＝－2時(shí)，和重合，故m＝1.另解：，故m=1.故選：B.4.信宜市是廣東省首個(gè)“中國(guó)慈孝文化之鄉(xiāng)”．為弘揚(yáng)傳統(tǒng)慈孝文化，信宜某小學(xué)開展為父母捶背活動(dòng)，要求同學(xué)們?cè)谀持艿闹芤恢林芪迦芜x兩天為父母捶背，則該校的同學(xué)甲連續(xù)兩天為父母捶背的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令周一至周五的5天依次為1，2，3，4，5，則周一至周五任選兩天的樣本空間，共10個(gè)樣本點(diǎn)，連續(xù)兩天事件，共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以該校的同學(xué)甲連續(xù)兩天為父母捶背的概率為.故選：C5.若，則“”是“方程表示橢圓”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【答案】D【解析】若方程表示橢圓，則，解得或，因?yàn)榛?，因此，“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：D.6.平行六面體中，，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由平行六面體可得，又，所以，則.故選：B.7.若動(dòng)點(diǎn)P在直線上，動(dòng)點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)與直線平行的直線的方程為，∴當(dāng)直線與曲線相切，且點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離最小，設(shè)切點(diǎn)，，所以，，，，點(diǎn)，直線的方程為，兩點(diǎn)間距離的最小值為平行線和間的距離，兩點(diǎn)間距離的最小值為.故選：.8.已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，，202及2，8，14，，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為（）A.1678 B.1666 C.1472 D.1460【答案】B【解析】第一個(gè)數(shù)列的公差為4，第二個(gè)數(shù)列的公差為6，故新數(shù)列的公差是4和6的最小公倍數(shù)12，則新數(shù)列的公差為12，首項(xiàng)為2，其通項(xiàng)公式為，令，得，故，則，故選：B.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A：，所以，A正確；B：，所以，B錯(cuò)誤；C：，，所以，C正確；D：，不存在實(shí)數(shù)，使得，故與不平行，D錯(cuò)誤．故選：AC．10.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說法中正確的是（）A.邊BC與直線平行B.邊BC上高所在的直線的方程為C.過點(diǎn)C且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為D.過點(diǎn)A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點(diǎn)D(3，5)【答案】BD【解析】直線的斜率為，而直線的斜率為，兩直線不平行，A錯(cuò)；邊上高所在直線斜率為，直線方程為，即，B正確；過且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線不過原點(diǎn)時(shí)方程為，過原點(diǎn)時(shí)方程為，C錯(cuò)；過點(diǎn)A且平分△ABC面積的直線過邊BC中點(diǎn)，坐標(biāo)為，D正確．故選：BD．11.若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6，焦距為10，右焦點(diǎn)為F，則下列結(jié)論正確的是（）A.過點(diǎn)F的最短的弦長(zhǎng)為 B.雙曲線C的離心率為C.雙曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)F距離的最小值為2 D.雙曲線C的漸近線為【答案】BCD【解析】依題知，，則，所以雙曲線的方程為，且對(duì)于A，當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，該直線截雙曲線的弦長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，雙曲線的離心率，故B正確；對(duì)于C，設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)，則，則，又的對(duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，雙曲線方程知，漸近線方程為，故D正確；故選：BCD.12.材料：在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量的平面的方程為，經(jīng)過點(diǎn)且方向向量的直線方程為．閱讀上面材料，并解決下列問題：平面的方程為，平面的方程為，直線的方程為，直線的方程為，則（）A.平面與垂直B.平面與所成角的余弦值為C.直線與平面平行D.直線與是異面直線【答案】AD【解析】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直線的方向向量，直線的方向向量；對(duì)于A，，，則平面與垂直，A正確；對(duì)于B，，平面與所成角的余弦值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，直線平面或直線平面，直線過點(diǎn)，又滿足，直線平面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與不平行，直線與直線相交或異面，由得：，此時(shí)無解，直線與直線無交點(diǎn)，直線與直線是異面直線，D正確.故選：AD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知等比數(shù)列滿足，，則______．【答案】12【解析】等比數(shù)列an滿足，，由，得.故答案為：1214.長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)F是底面的中心，則直線與直線所成角的余弦值為______．【答案】【解析】如圖所示，建立如下空間直角坐標(biāo)系，依題可得，,則,所以,故直線與直線所成角的余弦值為,故答案為：.15.寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程________.【答案】（答案不唯一，或均可以）【解析】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，易得切線的方程為；因?yàn)椋?，所以，設(shè)，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以；可知和關(guān)于對(duì)稱，聯(lián)立，解得在上，在上取點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，則，所以直線，即，綜上，切線方程為或或.故答案為：（答案不唯一，或均可以）16.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交橢圓C于點(diǎn)A，若T為線段AF的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為_________．【答案】【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,連接，,由幾何關(guān)系可知，則，即，由橢圓的定義可知，即且，整理得，解得，.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線與垂直且經(jīng)過點(diǎn).（1）求的方程;（2）若與圓相交于兩點(diǎn),求.解：（1）由直線，可得斜率，因?yàn)?，所以直線的斜率為，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.（2）由圓，可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，又由圓的弦長(zhǎng)公式，可得弦長(zhǎng).18.記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．解：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.19.“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項(xiàng)活動(dòng)，出現(xiàn)在宋朝．南宋時(shí)，首都臨安每逢元宵節(jié)時(shí)制迷，猜謎的人眾多．開始時(shí)是好事者把謎語(yǔ)寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜．因?yàn)橹i語(yǔ)既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過程中深受社會(huì)各階層的歡迎．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動(dòng)中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)了12道，乙同學(xué)猜對(duì)了8道，丙同學(xué)猜對(duì)了n道．假設(shè)每道燈謎被猜對(duì)的可能性都相等．（1）任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率；（2）任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對(duì)概率為，求n的值．解：（1）設(shè)“甲猜對(duì)燈謎”事件A，“乙猜對(duì)燈謎”為事件B，“任選一道燈謎，恰有一個(gè)人猜對(duì)”為事件C，由題意得，，，且事件A、B相互獨(dú)立，則，所以任選一道燈謎，恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率為；（2）設(shè)“丙猜對(duì)燈謎”為事件D，“任選一道燈謎，甲、乙、丙三個(gè)人都沒有猜對(duì)”為事件E，則由題意，，解得．20.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，E是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)F．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的大?。猓海?）解法一：因?yàn)榈酌媸钦叫?，?cè)棱底面，以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，依意得，，，，所以，，因?yàn)?，所以，由已知，且，平面，平面，所以平面．解法二：底面是正方形，，底面，且平面，，，平面，平面，平面，平面，，，E為中點(diǎn)，，，平面，平面，平面，平面，，由已知，且，平面，平面，所以平面.（2）解法一：依題意得，且，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即取，因?yàn)?，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即取，設(shè)平面與平面的夾角為，則，又，所以，所以平面與平面的夾角為．解法二：由（1）知平面，，又，平面，平面，為平面與平面所成角，，E為中點(diǎn)，，，平面，平面，，直角三角形中，，所以，所以平面與平面的夾角為21.記數(shù)列an的前項(xiàng)和為，已知.（1）證明：數(shù)列bn為等比數(shù)列，并求數(shù)列a（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，即，則，即，又，故，所以，所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以．（2）由（1）得，所以,所以，則，兩式相減，得，所以．22.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，且.過右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過原點(diǎn)作一條垂直于的直線交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）由，得，又的周長(zhǎng)為，即，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，得；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線，直線，聯(lián)立直線和橢圓的方程，并消去整理得，.由根與系數(shù)的關(guān)系得，所以.聯(lián)立直線和橢圓的方程，并消去整理得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以.令，則不妨設(shè)，，，，綜上可得，的取值范圍為.廣東省茂名市信宜市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的斜率為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)橹本€方程為，化為斜截式為：，所以直線的斜率為：.故選：D.2.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.5 B.10 C.15 D.20【答案】B【解析】由拋物線方程，得，故拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為，故選：B.3.已知兩條直線：，：，且，則的值為()A.－2 B.1 C.－2或1 D.2或－1【答案】B【解析】：，：斜率不可能同時(shí)不存在，∴和斜率相等，則或，∵m＝－2時(shí)，和重合，故m＝1.另解：，故m=1.故選：B.4.信宜市是廣東省首個(gè)“中國(guó)慈孝文化之鄉(xiāng)”．為弘揚(yáng)傳統(tǒng)慈孝文化，信宜某小學(xué)開展為父母捶背活動(dòng)，要求同學(xué)們?cè)谀持艿闹芤恢林芪迦芜x兩天為父母捶背，則該校的同學(xué)甲連續(xù)兩天為父母捶背的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令周一至周五的5天依次為1，2，3，4，5，則周一至周五任選兩天的樣本空間，共10個(gè)樣本點(diǎn)，連續(xù)兩天事件，共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以該校的同學(xué)甲連續(xù)兩天為父母捶背的概率為.故選：C5.若，則“”是“方程表示橢圓”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【答案】D【解析】若方程表示橢圓，則，解得或，因?yàn)榛?，因此，“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：D.6.平行六面體中，，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由平行六面體可得，又，所以，則.故選：B.7.若動(dòng)點(diǎn)P在直線上，動(dòng)點(diǎn)Q在曲線上，則|PQ|的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)與直線平行的直線的方程為，∴當(dāng)直線與曲線相切，且點(diǎn)為切點(diǎn)時(shí)，，兩點(diǎn)間的距離最小，設(shè)切點(diǎn)，，所以，，，，點(diǎn)，直線的方程為，兩點(diǎn)間距離的最小值為平行線和間的距離，兩點(diǎn)間距離的最小值為.故選：.8.已知兩個(gè)等差數(shù)列2，6，10，，202及2，8，14，，200，將這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列，則這個(gè)新數(shù)列的各項(xiàng)之和為（）A.1678 B.1666 C.1472 D.1460【答案】B【解析】第一個(gè)數(shù)列的公差為4，第二個(gè)數(shù)列的公差為6，故新數(shù)列的公差是4和6的最小公倍數(shù)12，則新數(shù)列的公差為12，首項(xiàng)為2，其通項(xiàng)公式為，令，得，故，則，故選：B.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A：，所以，A正確；B：，所以，B錯(cuò)誤；C：，，所以，C正確；D：，不存在實(shí)數(shù)，使得，故與不平行，D錯(cuò)誤．故選：AC．10.△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列說法中正確的是（）A.邊BC與直線平行B.邊BC上高所在的直線的方程為C.過點(diǎn)C且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程為D.過點(diǎn)A且平分△ABC面積的直線與邊BC相交于點(diǎn)D(3，5)【答案】BD【解析】直線的斜率為，而直線的斜率為，兩直線不平行，A錯(cuò)；邊上高所在直線斜率為，直線方程為，即，B正確；過且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線不過原點(diǎn)時(shí)方程為，過原點(diǎn)時(shí)方程為，C錯(cuò)；過點(diǎn)A且平分△ABC面積的直線過邊BC中點(diǎn)，坐標(biāo)為，D正確．故選：BD．11.若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6，焦距為10，右焦點(diǎn)為F，則下列結(jié)論正確的是（）A.過點(diǎn)F的最短的弦長(zhǎng)為 B.雙曲線C的離心率為C.雙曲線C上的點(diǎn)到點(diǎn)F距離的最小值為2 D.雙曲線C的漸近線為【答案】BCD【解析】依題知，，則，所以雙曲線的方程為，且對(duì)于A，當(dāng)直線的斜率為零時(shí)，該直線截雙曲線的弦長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，雙曲線的離心率，故B正確；對(duì)于C，設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)，則，則，又的對(duì)稱軸為，故當(dāng)時(shí)，，故C正確；對(duì)于D，雙曲線方程知，漸近線方程為，故D正確；故選：BCD.12.材料：在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)且法向量的平面的方程為，經(jīng)過點(diǎn)且方向向量的直線方程為．閱讀上面材料，并解決下列問題：平面的方程為，平面的方程為，直線的方程為，直線的方程為，則（）A.平面與垂直B.平面與所成角的余弦值為C.直線與平面平行D.直線與是異面直線【答案】AD【解析】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直線的方向向量，直線的方向向量；對(duì)于A，，，則平面與垂直，A正確；對(duì)于B，，平面與所成角的余弦值為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，直線平面或直線平面，直線過點(diǎn)，又滿足，直線平面，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與不平行，直線與直線相交或異面，由得：，此時(shí)無解，直線與直線無交點(diǎn)，直線與直線是異面直線，D正確.故選：AD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知等比數(shù)列滿足，，則______．【答案】12【解析】等比數(shù)列an滿足，，由，得.故答案為：1214.長(zhǎng)方體中，，，點(diǎn)F是底面的中心，則直線與直線所成角的余弦值為______．【答案】【解析】如圖所示，建立如下空間直角坐標(biāo)系，依題可得，,則,所以,故直線與直線所成角的余弦值為,故答案為：.15.寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程________.【答案】（答案不唯一，或均可以）【解析】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，易得切線的方程為；因?yàn)椋?，所以，設(shè)，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以；可知和關(guān)于對(duì)稱，聯(lián)立，解得在上，在上取點(diǎn)，設(shè)其關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，則，所以直線，即，綜上，切線方程為或或.故答案為：（答案不唯一，或均可以）16.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過F點(diǎn)作圓的一條切線，切點(diǎn)為T，延長(zhǎng)FT交橢圓C于點(diǎn)A，若T為線段AF的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為_________．【答案】【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為,連接，,由幾何關(guān)系可知，則，即，由橢圓的定義可知，即且，整理得，解得，.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線與垂直且經(jīng)過點(diǎn).（1）求的方程;（2）若與圓相交于兩點(diǎn),求.解：（1）由直線，可得斜率，因?yàn)椋灾本€的斜率為，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為，即.（2）由圓，可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，又由圓的弦長(zhǎng)公式，可得弦長(zhǎng).18.記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．解：（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.19.“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項(xiàng)活動(dòng)，出現(xiàn)在宋朝．南宋時(shí)，首都臨安每逢元宵節(jié)時(shí)制迷，猜謎的人眾多．開始時(shí)是好事者把謎語(yǔ)寫在紙條上，貼在五光十色的彩燈上供人猜．因?yàn)橹i語(yǔ)既能啟迪智慧又饒有興趣，所以流傳過程中深受社會(huì)各階層的歡迎．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動(dòng)中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨(dú)立競(jìng)猜，甲同學(xué)猜對(duì)了12道，乙同學(xué)猜對(duì)了8道，丙同學(xué)猜對(duì)了n道．假設(shè)每道燈謎被猜對(duì)的可能性都相等．（1）任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個(gè)人猜對(duì)的概率；（2）任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個(gè)人中至少有一個(gè)人猜對(duì)概率為，求n的值．解：（1）設(shè)“甲猜對(duì)燈謎”事件A，“乙猜對(duì)燈謎”為事件B，“任選一道燈謎，恰有一個(gè)人猜對(duì)”為事件C，由題意得，，，且事件A、B相互獨(dú)立，