高考數(shù)學總復(fù)習《隨機事件的概率》專項測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學總復(fù)習《隨機事件的概率》專項測試卷及答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________復(fù)習要點1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區(qū)別.2.了解兩個互斥事件的概率加法公式．一樣本空間和隨機事件1．樣本點和有限樣本空間(1)樣本點：隨機試驗E的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，常用ω表示．全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Ω表示．(2)有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．2．隨機事件(1)定義：將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件，簡稱事件．(2)表示：大寫字母A，B，C，….(3)隨機事件的極端事件：必然事件、不可能事件．二事件的關(guān)系與運算名稱定義符號表示包含關(guān)系若事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A，且A?B，則稱事件A與事件B相等A＝B并事件(和事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B為不可能事件，則事件A與事件B互斥A∩B＝?對立事件若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則稱事件A與事件B互為對立事件A∩B＝?且A∪B＝Ω三頻率與概率1．頻率的穩(wěn)定性一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．2．頻率穩(wěn)定性的作用：可以用頻率fn(A)估計概率P(A)．常/用/結(jié)/論1．為方便統(tǒng)一處理，將必然事件和不可能事件作為隨機事件的兩個極端情形．2．當隨機事件A，B互斥時，不一定對立；當隨機事件A，B對立時，一定互斥．即兩事件互斥是對立的必要不充分條件．3．隨機事件A發(fā)生的頻率是隨機的，而概率是客觀存在的確定的常數(shù)，但在大量隨機試驗中，事件A發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率．1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)必然事件一定發(fā)生．(√)(2)在大量的重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(√)(3)若A∪B是必然事件，則A與B是對立事件．()(4)兩個事件的和事件是指兩個事件同時發(fā)生．()2．一個射手進行射擊，記事件A1＝“脫靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶環(huán)數(shù)大于4”，則在上述事件中，互斥而不對立的事件是()A．A1與A2B．A1與A3C．A2與A3D．以上都不對解析：射手進行射擊時，事件A1＝“脫靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶環(huán)數(shù)大于4”，事件A1與A2不可能同時發(fā)生，并且必有一個發(fā)生，即事件A1與A2互斥且對立，A不正確；事件A1與A3不可能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，即事件A1與A3互斥而不對立，B正確；事件A2與A3可以同時發(fā)生，即事件A2與A3不互斥不對立，C不正確，顯然D不正確．答案：B3．(2024·河北邢臺第二中學期末)如圖所示，A，B，C表示3個開關(guān)，若在某段時間內(nèi)，它們正常工作的概率分別為0.9,0.8，0.8，則該系統(tǒng)的可靠性(3個開關(guān)只要一個開關(guān)正常工作即可靠)為()A．0.504 B．0.994C．0.996 D．0.964解析：由題意知，所求概率為1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.8)＝1－0.004＝0.996.故選C．答案：C4．一只袋子中裝有7個紅球，3個綠球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個球，若取得兩個紅球的概率為eq\f(7,15)，取得兩個綠球的概率為eq\f(1,15)，則取得兩個同顏色的球的概率為________，至少取得一個紅球的概率為________．解析：由于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事件，則要取得兩個同顏色的球，只需兩個互斥事件中有一個事件發(fā)生即可，因而取得兩個同顏色的球的概率P＝eq\f(7,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(8,15).記事件A為“至少取得一個紅球”，事件B為“取得兩個綠球”，事件A與事件B是對立事件，則至少取得一個紅球的概率P(A)＝1－P(B)＝1－eq\f(1,15)＝eq\f(14,15).答案：eq\f(8,15)eq\f(14,15)題型有限樣本空間與隨機事件典例1(1)同時擲兩顆骰子一次，①“點數(shù)之和是13”是什么事件？其概率是多少？②“點數(shù)之和在2～13范圍之內(nèi)”是什么事件？其概率是多少？③“點數(shù)之和是7”是什么事件？其概率是多少？(2)從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次．①寫出這個試驗的樣本空間．每個樣本點可用有序數(shù)對表示．②下列隨機事件由哪些樣本點構(gòu)成：事件A：取出的兩件產(chǎn)品都是正品；事件B：取出的兩件產(chǎn)品恰有1件次品．解：(1)由題意知，樣本空間中有36個樣本點．6×6①由于點數(shù)最大是6，和最大是12，點數(shù)之和不可能是13，因此此事件不包含任何樣本點，是不可能事件，其概率為0.②由于點數(shù)之和最小是2，最大是12，在2～13范圍之內(nèi)，此事件包含所有樣本點，它是必然事件，其概率為1.③由②知，和是7是有可能的，此事件是隨機事件，事件“點數(shù)之和是7”包含的樣本點有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6個，因此其概率為P＝eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6).(2)①該試驗的樣本空間Ω＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．②事件A＝{(a1，a2)，(a2，a1)}，包含2個樣本點．事件B＝{(a1，b1)，(b1，a1)，(a2，b1)，(b1，a2)}，包含4個樣本點．解決這類問題的方法是弄清隨機試驗的意義和每個事件的含義，判斷一個事件是必然事件、不可能事件、隨機事件的依據(jù)是在一定的條件下，所要求的結(jié)果是否一定出現(xiàn)、不可能出現(xiàn)或可能出現(xiàn)、可能不出現(xiàn).eq\o(\s\up7(),\s\do5())對點練1(1)一個口袋內(nèi)裝有5個白球和3個黑球，從中任意取出一個球，①“取出的球是紅球”是什么事件？它的概率是多少？②“取出的球是黑球”是什么事件？它的概率是多少？③“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？(2)做拋擲兩顆骰子的試驗，用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第二顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)，寫出：①試驗的樣本空間；②事件“點數(shù)之和大于8”包含的樣本點；③事件“點數(shù)相等”包含的樣本點；④事件“點數(shù)之和大于10”包含的樣本點．解：(1)①由于口袋內(nèi)裝有黑、白兩種顏色的球，故“取出的球是紅球”是不可能事件，其概率為0.②由已知，從口袋內(nèi)取出一個球，可能是白球，也可能是黑球，故“取出的球是黑球”是隨機事件，它的概率是eq\f(3,8).③由于口袋內(nèi)裝的是黑、白兩種顏色的球，故取出一個球不是黑球，就是白球，因此“取出的球是白球或黑球”是必然事件，它的概率為1.(2)①這個試驗的樣本空間為Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．②事件“點數(shù)之和大于8”包含以下10個樣本點：(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，③事件“點數(shù)相等”包含以下6個樣本點：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．④事件“點數(shù)之和大于10”包含以下3個樣本點：(5,6)，(6,5)，(6,6)．題型隨機事件間的關(guān)系典例2(1)(多選)對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件A＝{兩彈都擊中飛機}，事件B＝{兩彈都沒擊中飛機}，事件C＝{恰有一彈擊中飛機}，事件D＝{至少有一彈擊中飛機}，則分兩類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(一彈擊中，,兩彈擊中.))下列關(guān)系正確的是()A．A∩D＝? B．B∩D＝?C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D(2)(2024·廣東梅州中學月考)“黑匣子”是飛機專用的電子記錄設(shè)備之一，黑匣子有兩個，分別為駕駛艙語音記錄器和飛行數(shù)據(jù)記錄器．某興趣小組對黑匣子內(nèi)部構(gòu)造進行相關(guān)課題研究，記事件A為“只研究駕駛艙語音記錄器”，事件B為“至少研究一個黑匣子”，事件C為“至多研究一個黑匣子”，事件分清“至多”“至少”所包含的情況至關(guān)重要．D為“兩個黑匣子都研究”．則()A．A與C是互斥事件B．B與D是對立事件C．B與C是對立事件D．C與D是互斥事件解析：(1)“恰有一彈擊中飛機”指第一枚擊中、第二枚沒擊中或第一枚沒擊中、第二枚擊中，“至少有一彈擊中飛機”包含兩種情況，一種是恰有一彈擊中，另一種是兩彈都擊中，故A∩D≠?，B∩D＝?，A∪C＝D，A∪B≠B∪D．故選BC．(2)事件A為“只研究駕駛艙語音記錄器”，事件B為“至少研究一個黑匣子”，包含“研究駕駛艙語音記錄器”或“研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”，或“研究駕駛艙語音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”；事件C為“至多研究一個黑匣子”，包含“研究駕駛艙語音記錄器”或“研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”，或兩個黑匣子都不研究；事件D為“兩個黑匣子都研究”，即“研究駕駛艙語音記錄器和研究飛行數(shù)據(jù)記錄器”．所以對于A，事件A與事件C不是互斥事件，故A不正確；對于B，事件B與事件D不是對立事件，故B不正確；對于C，事件B與事件C不是對立事件，故C不正確；對于D，事件C和事件D不能同時發(fā)生，故C與D是互斥事件，故D正確．故選D．1．準確把握互斥事件與對立事件(1)互斥事件是不可能同時發(fā)生的事件，但可同時不發(fā)生．(2)對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個發(fā)生．2．判別互斥、對立事件的方法判別互斥、對立事件一般用定義判斷，不可能同時發(fā)生的兩個事件為互斥事件；兩個事件，若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.對點練2(1)在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A，B，C，D發(fā)生的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是()A．A∪B與C是互斥事件，也是對立事件B．B∪C與D是互斥事件，也是對立事件C．A∪C與B∪D是互斥事件，但不是對立事件D．A與B∪C∪D是互斥事件，也是對立事件(2)從6件正品與3件次品中任取3件，觀察正品件數(shù)與次品件數(shù)，判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”．(1)解析：對于A，A∪B與C是互斥事件，但不對立，因為P(A∪B)＋P(C)＝0.7≠1，故A錯誤；對于B，B∪C與D是互斥事件，但不對立，因為P(B∪C)＋P(D)＝0.8≠1，故B錯誤；對于C，A∪C與B∪D是互斥事件，也是對立事件，因為P(A∪C)＋P(B∪D)＝1，故C錯誤；對于D，A與B∪C∪D是互斥事件，也是對立事件，因為P(A)＋P(B∪C∪D)＝1，故D正確．答案：D(2)解：從6件正品與3件次品中任取3件，共有4種情況：全是正品；2件正品1件次品；1件正品2件次品；全是次品．①“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它們是互斥事件但不是對立事件．②“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”“1件正品2件次品”“全是次品”3種情況，它與“全是次品”既不是互斥事件也不是對立事件．題型概率的基本性質(zhì)典例3(2024·遼寧大連高二期末)設(shè)A，B是兩個事件，以下說法正確的是()A．若P(A)＋P(B)＝1，則事件A與事件B對立B．若P(A)＋P(B)＝1，則事件A與事件B互斥C．若P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，則事件A與事件B互斥D．若P(A∩B)＝P(A)P(B)，則事件A與事件B相互獨立解析：對于A，B，例如拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件A為“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件B為“出現(xiàn)1點或2點或3點”，則P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(A)＋P(B)＝1，但事件A，B既不互斥也不對立，故A，通過舉反例理解二者關(guān)系．B錯誤；對于C，在不同的試驗下，即使P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，也不能說明事件A與事件B一定互斥，故C錯誤；根據(jù)相互獨立事件注意問題分析的切入點：不同的試驗下．的定義可知，若P(A∩B)＝P(A)P(B)，則事件A與事件B相互獨立，故D正確．故選D．求復(fù)雜的互斥事件的概率的兩種方法(1)直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的概率求和公式計算．(2)間接求解法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求解法就顯得較簡便.eq\o(\s\up7(),\s\do5())對點練3(1)某工廠生產(chǎn)了一批雪車，這批產(chǎn)品按質(zhì)量分為一等品，二等品，三等品．從這批雪車中隨機抽取一臺雪車檢測，已知抽到不是三等品的概率為0.93，抽到一等品或三等品的概率為0.85，則抽到一等品的概率為________．(2)某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個．設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A，B，C，求：①1張獎券的中獎概率；②1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率．(1)解析：設(shè)抽到一等品、二等品、三等品的事件分別為A，B，C，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＋PB＝0.93，,PA＋PC＝0.85，,PA＋PB＋PC＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＝0.78，,PB＝0.15，,PC＝0.07，))所以抽到一等品的概率為0.78.答案：0.78(2)解：①設(shè)“1張獎券中獎”為事件M，則M＝A∪B∪C．∵A，B，C兩兩互斥，∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1＋10＋50,1000)＝eq\f(61,1000).故1張獎券中獎的概率為eq\f(61,1000).②設(shè)“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與事件“1張獎券中特等獎或中一等獎”為對立事件，∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－[P(A)＋P(B)]＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1000)＋\f(10,1000)))＝eq\f(989,1000).故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為eq\f(989,1000).題型隨機事件的頻率與概率典例4(2017·全國Ⅲ卷，文)某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)求六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；由頻數(shù)分布表直接計算頻率，再用頻率估計概率．(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當六月份這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，寫出Y的所有可能值，并估計Y大于零的概率．解：(1)當最高氣溫低于25℃時，這種酸奶一天的需求量不超過300瓶．由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25℃的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率為0.6.(2)當這種酸奶一天的進貨量為450瓶時，這一天的利潤取決于需求量，而需求量與當天最高氣溫有關(guān)，因此按當天最高氣溫分段研究．若當天最高氣溫不低于25℃，則Y＝6×450－4×450＝900；若當天最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若當天最高氣溫低于20℃，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100，所以Y的所有可能值為900,300，－100.當最高氣溫不低于20℃時，Y大于零，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20℃的頻率為eq\