高考數(shù)學總復習《計數(shù)原理》專項測試卷及答案

第第頁高考數(shù)學總復習《計數(shù)原理》專項測試卷及答案學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________復習要點1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題．一分類加法計數(shù)原理完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．二分步乘法計數(shù)原理完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．三利用兩個計數(shù)原理解題的一般思路(1)弄清完成“一件事”是什么事．(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．(3)弄清分步、分類的標準是什么．(4)利用兩個計數(shù)原理求解．常/用/結(jié)/論兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點用來計算完成一件事的方法種數(shù)不同點分類、相加分步、相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情(每步中的每一種方法不能獨立完成這件事)注意點類類獨立，不重不漏步步相依，缺一不可1．判斷下列結(jié)論是否正確．(1)在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的每種方法都能直接完成這件事．(√)(2)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．()(3)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()(4)某商場共有4個門，購物者若從任意一個門進，從任意一個門出，則不同走法的種數(shù)是16.(√)2．小王有70元錢，現(xiàn)有面值分別為20元和30元的兩種IC電話卡．若他至少買一張，則不同的買法共有()A．7種B．8種D．9種C．6種解析：要完成的“一件事”是“至少買一張IC電話卡”，分3類完成：買1張IC電話卡、買2張IC電話卡、買3張IC電話卡，而每一類都能獨立完成“至少買一張IC電話卡”這件事，買1張IC電話卡有2種方法，買2張IC電話卡有3種方法，買3張IC電話卡有2種方法．不同的買法共有2＋3＋2＝7(種)．答案：A3．如圖，5個完全相同的圓盤用長度相同的線段連接成十字形．將其中兩個圓盤染上紅色，三個圓盤染上藍色．并規(guī)定：若一種染色方法經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后與第二種染色方法一致，則認為這兩者是同一種染色方法．則不同的染色方法共有()A．2種 B．3種C．6種 D．10種解析：第一種：中心圓盤染藍色，周圍圓盤中有兩個染紅色且紅色圓盤相鄰；第二種：中心圓盤染藍色，周圍圓盤中有兩個染紅色且紅色圓盤不相鄰；第三種：中心圓盤染紅色，周圍圓盤中有一個染紅色．答案：B4．(2024·河北滄衡八校聯(lián)盟)將3張不同的冬奧會門票分給10名同學中的3人，每人1張，不同的分法種數(shù)為()A．720 B．240C．120 D．60解析：第一步：第1張門票有10種不同分法．第二步：第2張門票有9種不同分法．第三步：第3張門票有8種不同分法．由分步乘法計數(shù)原理，共有10×9×8＝720(種)分法，故選A．答案：A5．已知集合M＝{1，－2,3}，N＝{－4,5,6，－7}，從M，N這兩個集合中各選一個元素分別作為點的橫坐標、縱坐標，則這樣的坐標在平面直角坐標系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)是()A．12B．8C．6D．4解析：第一象限內(nèi)不同的點有2×2＝4(個)，第二象限內(nèi)不同的點有1×2＝2(個)，故共有4＋2＝6(個)．故選C．答案：C題型兩個計數(shù)原理典例1(1)數(shù)獨是一種運用紙、筆進行演算的數(shù)學游戲．如圖是數(shù)獨的一個簡化版，由3行3列9個單元格構(gòu)成．玩該游戲時，需要將數(shù)字1,2,3(各3個)全部填入單元格，每個單元格填一個數(shù)字，要求每一行、每一列均有1,2,3這三個數(shù)字，則不同的填法有可先填某一行：3×2×1＝6，再用列舉法填剩余兩行．()A．12種B．24種C．72種D．216種(2)設I＝{1,2,3,4}，A與B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，則稱(A，B)為一個“理想配集”．若將(A，B)與(B，A)看成不同的“理想配集”，按其中一個子集中元素個數(shù)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2個；,3個；,4個.))其中必有元素1,2.則符合此條件的“理想配集”有________個．解析：(1)先填第一行，有3×2×1＝6(種)不同填法，再填第二行第一列，有2種不同填法，當該單元格填好后，其他單元格唯一確定．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，共有6×2＝12(種)不同的填法．故選A．(2)對子集A分類討論：當A是二元集{1,2}時，B可以為{1,2,3,4}，{1,2,4}，{1,2,3}，{1,2}，共4種情況；當A是三元集{1,2,3}時，B可以為{1,2,4}，{1,2}，共2種情況；當A是三元集{1,2,4}時，B可以為{1,2,3}，{1,2}，共2種情況；當A是四元集{1,2,3,4}時，B為{1,2}，有1種情況．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有4＋2＋2＋1＝9(種)結(jié)果，即符合此條件的“理想配集”有9個．故答案為9.利用兩個計數(shù)原理解決問題要扣緊兩個原理，根據(jù)具體問題首先弄清楚是“分類”還是“分步”，搞清楚“分類”或者“分步”的具體標準．(1)分類時需要滿足兩個條件：①類與類之間要互斥(保證不重復)；②總數(shù)要完備(保證不遺漏)，也就是要確定一個合理的分類標準．(2)分步時應按事件發(fā)生的連貫過程進行分析，必須做到步與步之間互相獨立、互不干擾，并確保連續(xù)性．對點練1(1)某學校有東、南、西、北四個校門，學校對進入四個校門做出如下規(guī)定：學生只能從東門或西門進入校園，教師只能從南門或北門進入校園．現(xiàn)有2名教師和3名學生要進入校園(不分先后順序)，請問他們進入校園的方式共有()A．6種B．12種C．24種D．32種(2)(2024·山西太原模擬)如圖所示，玩具計數(shù)算盤的三檔上各有7個算珠，現(xiàn)將每檔算珠分為左、右兩部分，左側(cè)的每個算珠表示數(shù)2，右側(cè)的每個算珠表示數(shù)1(允許一側(cè)無珠)，記上、中、下三檔的數(shù)字和分別為a，b，c.例如，圖中上檔的數(shù)字和a＝9.若a，b，c成等差數(shù)列，則不同的分珠計數(shù)法有________種．解析：(1)因為學生只能從東門或西門進入校園，所以3名學生進入校園的方式共23＝8(種)．因為教師只可以從南門或北門進入校園，所以2名教師進入校園的方式共有22＝4(種)．所以2名教師和3名學生進入校園的方式共有8×4＝32(種)．故選D．(2)根據(jù)題意知，a，b，c的取值范圍都是區(qū)間[7,14]中的8個整數(shù)，故公差d的范圍是區(qū)間[－3,3]中的整數(shù)．①當公差d＝0時，有Ceq\o\al(1,8)＝8(種)；②當公差d＝±1時，b不取7和14，有2×Ceq\o\al(1,6)＝12(種)；③當公差d＝±2時，b不取7,8,13,14，有2×Ceq\o\al(1,4)＝8(種)；④當公差d＝±3時，b只能取10或11，有2×Ceq\o\al(1,2)＝4(種)．綜上，共有8＋12＋8＋4＝32(種)不同的分珠計數(shù)法．答案：(1)D(2)32題型兩個計數(shù)原理的應用的多維研討維度1數(shù)字問題典例2(1)用0,1，…，9十個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)關(guān)鍵條件．數(shù)字0不在首位．的個數(shù)為()A．243B．252C．261D．279(2)(2024·河北滄州七校聯(lián)考)在三位正整數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則即十位數(shù)字最?。Q該數(shù)為“駝峰數(shù)”．比如102,546為“駝峰數(shù)”，由數(shù)字1,2,3,4構(gòu)成的無重復數(shù)字的“駝峰數(shù)”有________個．解析：(1)由分步乘法計數(shù)原理知，用0,1，…，9十個數(shù)字組成三位數(shù)(可有重復數(shù)字)的個數(shù)為9×10×10＝900，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為9×9×8＝648，則組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為900－648＝252.故選B．(2)分三步：第一步選3個數(shù)，有Ceq\o\al(3,4)＝4(種)方法；第二步把選出的3個數(shù)中最小的數(shù)排在十位，有1種方法；第三步排個位和百位，有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)方法．由分步乘法計數(shù)原理可知共有4×1×2＝8(個)“駝峰數(shù)”．故答案為8.與數(shù)字有關(guān)的問題的解題策略(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵．一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解．(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位.eq\o(\s\up7(),\s\do5())對點練2(1)從2,3,4,5,6,7,8,9這8個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則所產(chǎn)生的不同對數(shù)值的個數(shù)為()A．56B．54C．53D．52(2)(2024·河北秦皇島模擬)用0,1,2,3，…，9這十個數(shù)字可組成________個不同的小于500且沒有重復數(shù)字的自然數(shù)．解析：(1)在這8個數(shù)字中任取2個不同的數(shù)字共可產(chǎn)生8×7＝56(個)對數(shù)值，在這56個對數(shù)值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，則滿足條件的對數(shù)值共有56－4＝52(個)．故選D．(2)滿足條件的一位自然數(shù)有10個，兩位自然數(shù)有9×9＝81(個)，三位自然數(shù)有4×9×8＝288(個)，由分類加法計數(shù)原理知，共有10＋81＋288＝379(個)不同的小于500且沒有重復數(shù)字的自然數(shù)．答案：(1)D(2)379維度2住店問題典例3(1)5名旅客投宿到一個旅店的3個房間“旅客”選“房間”．(假設每個房間都有至少5個床位)，問共有多少種不同的住店方法？(2)5名學生爭奪3項比賽的冠軍，每項比賽只有1名冠軍，獲得“冠軍”選“學生”．冠軍的可能情況有多少種？解：(1)∵每名客人只能住一個房間，而每個房間可以容納多名客人，∴完成這件事需以客為主，安排5名客人分成5步：①安排第1名旅客有3個房間(3種方法)．②安排第2名旅客也有3個房間(3種方法)……∴共有3×3×3×3×3＝243(種)不同的住店方法．(2)每個冠軍只能有一個人獲得，而每人可獲得多個冠軍，所以“冠軍”相當于“客”，“學生”相當于“房間”，3人住5個房間，共有53＝125(種)可能的情況．此類問題均可以類比本例(1)，用“住店法”求解．用“住店法”解題時需要確定所給的兩類元素，哪一類是“客”(只能有一個選擇的元素為“客”)，哪一類是“房間”(可以容納多個元素的為“房間”).eq\o(\s\up7(),\s\do5())對點練3有六名同學報名參加三個智力競賽項目，在下列情況下各有多少種不同的報名方法？(六名同學不一定都能參加)(1)每人必須且只參加一項，每項人數(shù)不限；(2)每項限報一人，但每人參加的項目不限；(3)每項限報一人，且每人至多參加一項．解：(1)每人都可以從這三個競賽項目中任意選報一項，各有3種不同的報名方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有36＝729(種)．(本題相當于6個人住3個房間)(2)每人參加的項目不限，因此每一個項目都可以從這六名同學中選出一個參賽，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有63＝216(種)．(本題相當于3個人住6個房間)(3)每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目只有4種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法共有6×5×4＝120(種)．維度3實際應用典例4(1)甲與其四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是0,0,2,1,5，為遵守當?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定(奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶數(shù)的車通行)，五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則不同的用車方案種數(shù)為()3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，分兩步，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(第一步：奇數(shù)日：23，,第二步：偶數(shù)日\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(不排甲：22，,排甲：2×2.))))A．5B．24C．32D．64(2)用a代表紅球，b代表藍球，c代表黑球，由分類加法計數(shù)原理及分步乘法計數(shù)原理，從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展開式“1＋a＋b＋ab”表示出來，如：“1”表示一個球都不取，“a”表示取出一個紅球，而“ab”則表示把紅球和藍球都取出來，以此類推．下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是()考場應試技巧：可用特殊值排除法，藍球取法B，C，D均錯誤．A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)解析：(1)5日至9日，即5,6,7,8,9日，有3天奇數(shù)日，2天偶數(shù)日，第一步安排奇數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有23＝8(種)．第二步安排偶數(shù)日出行，分兩類：第一類，先選1天安排甲的車，另外一天安排其他車，有2×2＝4(種)；第二類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有22＝4(種)．共計4＋4＝8(種)．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的用車方案種數(shù)為8×8＝64.故選D．(2)分三步：第一步，5個無區(qū)別的紅球可能取出0個、1個、…、5個，表示為1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；第二步，5個無區(qū)別的藍球都取出或都不取出，表示為1＋b5；第三步，從5個有區(qū)別的黑球中任取0個、1個、…、5個，表示為(1＋c)5，所以所有的取法可表示為(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5.故選A．利用兩個計數(shù)原理解題時的三個注意點(1)當題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法，從這幾種方法中歸納出解題方法．(2)分類時，標準要明確，做到不重不漏，有時要恰當畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律．(3)對于復雜問題，一般是先分類再分步．對點練4(1)有4件不同顏色的襯衣，3件不同花樣的裙子，另有2套不同樣式的連衣裙．需選擇一套服裝參加“五一”節(jié)歌舞演出，則不同的選擇方式種數(shù)為()A．24 B．14C．10 D．9(2)(2024·廣東東莞高三聯(lián)考)東莞近三年連續(xù)被評為“新一線城市”，“東莞制造”也在加速轉(zhuǎn)型升級步伐．現(xiàn)有4個項目由東莞市政府安排到2個地區(qū)進行建設，每個地區(qū)至少有一個項目，其中項目A和B不能安排在同一個地區(qū)，則不同的安排方式有()A．4種B．8種C．12種D．16種解析：(1)第一類：一件襯衣，一件裙子搭配一套服裝有4×3＝12(種)選擇方式；第二類：選2套連衣裙中的一套服裝有2種選法．由分類加法計數(shù)原理可知，共有12＋2＝14(種)選擇方式．(2)先把A，B兩個項目安排到兩個地區(qū)，然后剩下的兩個項目再選擇地區(qū)，共有安排方式Aeq\o\al(2,2)×22＝8(種)．故選B．答案：(1)B(2)B維度4涂色、種植問題典例5(2024·甘肅白銀檢測)用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色(4種顏色全部使用)，要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有________種．解析：可分四步：第一步，涂區(qū)域1，有4種選擇；第二步，涂區(qū)域2，有3種選擇；第三步，涂區(qū)域3，有2種選擇；第四步，涂剩下的兩個區(qū)域，有2種選擇；【掃清障礙】區(qū)域4，由于與區(qū)域1,3不同色，故只有2種選擇．若區(qū)域4與區(qū)域2同色，由于4色都得涂，故區(qū)域5只能選余下一種顏色；若區(qū)域4與區(qū)域2不同色，由于區(qū)域5與區(qū)域1,2,4不同色，故區(qū)域5只能有一種顏色可選.故剩下的兩個區(qū)域一共有2種選擇．故不同的涂色方法有4×3×2×2＝48(種)．【另解】也可以按照兩個不相鄰的區(qū)域同色與不同色分類求解，區(qū)域2,4同色(也就是區(qū)域3,5不同色)，或區(qū)域3,5同色(也就是區(qū)域2,4不同色)，則不同的涂色方法共有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(4,4)＝48(種)．故答案為48.對于涂色、種植問題的解題策略(1)分清元素的數(shù)目以及在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同類元素．(2)注意對每個區(qū)域逐一進行，分步處理，一般先涂(種)與其他區(qū)域相鄰最多的區(qū)域．(3)可按顏色(作物)的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成.eq\o(\s\up7(),\s\do5())對點練5(2024·湖南郴州模擬)現(xiàn)要將5種不同的花卉種植在如圖所示的5個區(qū)域上，5種花