2024-2025學(xué)年湖南省長沙市地質(zhì)中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長沙市地質(zhì)中學(xué)高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.某班學(xué)生進(jìn)行了三次數(shù)學(xué)測試，第一次有8名學(xué)生得滿分，第二次有10名學(xué)生得滿分，第三次有12名學(xué)生得滿分，已知前兩次均為滿分的學(xué)生有5名，三次測試中至少有一次得滿分的學(xué)生有15名．若后兩次均為滿分的學(xué)生至少有n名，則n的值為(

)A.7 B.8 C.9 D.102.定義在R上的函數(shù)y=f(x)是減函數(shù)，且函數(shù)y=f(x?2)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)成中心對稱，若m，n滿足不等式f(m2?2m)+f(2n?n2)≤0.則當(dāng)1≤m≤4A.[?14,1) B.[?14,1]3.已知f(x)=log2x,x>0f(x+1),x≤0A.2 B.1 C.0 D.44.已知全集U=R，A={x|y=ln(1?x2)}，B={y|y=A.(?1,0) B.[0,1) C.(0,1) D.(?1,0]5.已知全集U=R，集合A={x∈R|0<x≤1}，B={?1,0,1}，則(?UA)∩B=A.{?1} B.{1} C.{?1,0} D.{0,1}6.已知全集I={x|x∈N?,x2<80}，A={1,3,4,7}，A.{2,5,6} B.{1,2,3,8} C.{2,8} D.{1,3,4,5,6,7}7.已知全集U=R，集合A={x|lg(x+1)≤0}，B={x|x<1}，則?UA.(?∞,0] B.(0,+∞)

C.(?∞,?1]∪(0，+∞) D.(?1,0]8.命題“?x>0，x2>x3A.?x>0，x2≤x3 B.?x≤0，x2≤x3

C.二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.若定義在[0,1]上的函數(shù)f(x)同時滿足：①f(1)=1；②對?x∈[0,1]，f(x)≥0成立；③對?x1，x2，x1+x2∈[0,1]A.f(x)=x2，x∈[0,1]是“正方和諧函數(shù)”

B.若f(x)為“正方和諧函數(shù)”，則f(0)=0

C.若f(x)為“正方和諧函數(shù)”，則f(x)在[0,1]上是增函數(shù)

D.若f(x)為“正方和諧函數(shù)”，則對?x∈[0,1]，10.下列敘述正確的是(

)A.1x<2的解是x>12

B.“0≤m≤4”是“mx2+mx+1≥0”的充要條件

C.已知x∈R，則“x>0”是“|x?1|<111.已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(x?32)=?f(x)，且f(x+34)為奇函數(shù)，f(?1)=?1A.3是函數(shù)y=f(x)的一個周期

B.函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=34對稱

C.函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)

12.已知全集U=Z，集合A={x|2x+1≥0,x∈Z}，B={?1,0,1,2}，則(

)A.A∩B={0,1,2} B.A∪B={x|x≥0}

C.(?UA)∩B={?1} D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。13.已知正數(shù)x，y滿足xy=x?yx+3y，則y的最大值為______，當(dāng)且僅當(dāng)______．14.已知f(x)是定義在R上的周期為3的奇函數(shù)，且f(?1)=2f(10)+3，則f(2021)=

．15.a>b>c，n∈N?，且1a?b+1四、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)

設(shè)a∈[0,4]，已知函數(shù)f(x)=4x?ax2+1，x∈R．

(Ⅰ)若f(x)是奇函數(shù)，求a的值；

(Ⅱ)當(dāng)x>0時，證明：f(x)≤a2x?a+2；

(Ⅲ)設(shè)x1，x217.(本小題12分)

已知a，b，c>0，且a+b+c=abc2．

(1)求abc2的最小值m；

(2)18.(本小題12分)

對稱變換在對稱數(shù)學(xué)中具有重要的研究意義．

若一個平面圖形K在m(旋轉(zhuǎn)變換或反射變換)的作用下仍然與原圖形重合，就稱K具有對稱性，并記m為K的一個對稱變換.例如，正三角形R在m1(繞中心O作120°的旋轉(zhuǎn))的作用下仍然與R重合(如圖1圖2所示)，所以m1是R的一個對稱變換，考慮到變換前后R的三個頂點(diǎn)間的對應(yīng)關(guān)系，記m1=123312；又如，R在l1(關(guān)于對稱軸r1所在直線的反射)的作用下仍然與R重合(如圖1圖3所示)，所以l1也是R的一個對稱變換，類似地，記l1=123132.記正三角形R的所有對稱變換構(gòu)成集合S．

一個非空集合G對于給定的代數(shù)運(yùn)算.來說作成一個群，假如同時滿足：

Ⅰ.?a，b∈G，a〇b∈G；

Ⅱ.?a，b，c∈G，(a〇b)〇c=a〇(b〇c)；

Ⅲ.?e∈G，?a∈G，a〇e=e〇a=a；

Ⅳ.?a∈G，?a?1∈G，a〇a?1=a?1〇a=e．

對于一個群G，稱Ⅲ中的e為群G的單位元，稱Ⅳ中的a?1為a在群G中的逆元．

一個群G的一個非空子集H叫做G的一個子群，假如H對于G的代數(shù)運(yùn)算〇來說作成一個群．

(1)直接寫出集合S(用符號語言表示S中的元素)；

(2)同一個對稱變換的符號語言表達(dá)形式不唯一，如m1=123312=132321=213132=2311219.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=x+mx，且f(1)=2．

(1)求m的值；

(2)判斷函數(shù)f(x)在(1,+∞)20.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ax2+(a2?1)x?a在區(qū)間[34,+∞)上是增函數(shù)．

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)21.(本小題12分)

已知某食品廠需要定期購買食品配料，該廠每天需要食品配料200千克，配料的價格為1.8元/千克，每次購買配料需支付運(yùn)費(fèi)236元，每次購買來的配料還需支付保管費(fèi)用，其標(biāo)準(zhǔn)如下：7天以內(nèi)(含7天)，無論重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天數(shù)，根據(jù)實(shí)際剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．

(1)當(dāng)9天購買一次配料時，求該廠用于配料的保管費(fèi)用P是多少元？

(2)設(shè)該廠x天購買一次配料，求該廠在這x天中用于配料的總費(fèi)用y(元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求該廠多少天購買一次配料才能使平均每天支付的費(fèi)用最少？

參考答案1.D

2.D

3.C

4.D

5.C

6.C

7.C

8.A

9.ABD

10.BC

11.ACD

12.ACD

13.13

x=1時取等號14.1

15.4

16.(1)解：由題意，對任意x∈R，都有f(?x)=?f(x)，

即?4x?ax2+1=?4x?ax2+1，即?4x?a=?4x+a，

可得a=0．

(2)證明：因?yàn)閤>0，a∈[0,4]，

4x?ax2+1?(a2x?a+2)=4x?a?(a2x?a+2)(x2+1)x2+1

=?12(x2+1)[ax(x2?2x+1)+4(x2?2x+1)]

=?12(x2+1)(ax+4)(x?1)2≤0，

所以f(x)≤a2x?a+2．

(3)證明：設(shè)t=4x?a，則y=f(x)=4x?ax2+1=16tt2+2at+a217.解：(1)a，b，c>0，

則a+b+c=a+b+c2+c2≥44ab?c24，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c2=1時，等號成立，

a+b+c=abc2．

則abc2≥44abc24，化簡整理可得，abc2≥4，

故m=4；

(2)證明：要證mabc+(a+b)c2≥m18.解析：(1)由題設(shè)可知，正三角形R的對稱變換如下：

繞中心O作120°的旋轉(zhuǎn)變換m1=123312；繞中心O作240°的旋轉(zhuǎn)變換m2=123231；

繞中心O作360°的旋轉(zhuǎn)變換m3=123123；關(guān)于對稱軸r1所在直線的反射變換l1=123132；

關(guān)于對稱軸r2所在直線的反射變換l2=123321；關(guān)于對稱軸r3所在直線的反射變換l3=123213．

綜上，S={123312,123231,123123,123132,123321,123213}.(形式不唯一)

(2)①Ⅰ．?a1a2a3b1b2b3，b1b2b3c1c2c3∈S，a1a2a3b1b2b3?b119.解：(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=x+mx，且f(1)=2．

則有f(1)=1+m=2，

解可得：m=1；

(2)根據(jù)題意，函數(shù)為增函數(shù)，證明如下：

設(shè)x1、x2是(1,+∞)上的任意兩個實(shí)數(shù)，且1<x1<x2，

則f(x1)?f(x2)=x1+1x1?(x2+120.解：(1)當(dāng)a=0時，f(x)=?x在R上單調(diào)遞減，不滿足題意；

所以a≠0，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2+(a2?1)x?a在區(qū)間[34,+∞)上是增函數(shù)，

所以函數(shù)的開口向上，且對稱軸x=?a2?12a≤34，

即a>0?a2?12a≤34，解得a≥12

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[21.解：【理解1】(當(dāng)天所用配料需要保管費(fèi))

(1)當(dāng)9天購買一次時，該廠用于配料的保管費(fèi)用P=70+0.03×200×(1+2)=88(元)．

(2)①當(dāng)0<x≤7(x∈N?)時，y=360x+10x+236=370x+236，

②當(dāng)x>7(x∈N?)時，y=360x+236+70+6[(x?7)+…+2+1]=3x2+321x+432．

∴y=370x+236,x≤73x2+321x+432,x>7,n∈N?，

設(shè)該廠x天購買一次配料平均每天支付的費(fèi)用為f(x)元．

則f(x)=370x+236x,x≤73x2+321x+432x,x>7,x∈N?，

當(dāng)x≤7時，f(x)=370+236x，當(dāng)且僅當(dāng)x=7時，f(x)有最小值28267≈404(元)；

當(dāng)x>7時，f(x)=3x2+321x+432x=3(x+144x)+321≥393，

當(dāng)且僅當(dāng)x=12時，取等號，

∵393<404，

∴當(dāng)x=12時，f(x)有最小值393元．

∴該廠12天購買一次配料才能使平均每天支付的費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為393元．

【理解2】(當(dāng)天所用配料不需要保管費(fèi))

(1)當(dāng)9天購買一次時，該廠用于配料的保管費(fèi)用P=60+0.03×200×(1+2)=78(