專題9-4 拋物線性質應用歸類-高考數(shù)學一輪復習熱點題型歸納與變式演練（解析版）

專題9-4拋物線性質應用歸類目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一】拋物線定義 3【題型二】焦半徑1：坐標公式 5【題型三】焦半徑2：極坐標公式轉化 7【題型四】焦點弦1： 9【題型五】焦點弦2：中位線型 12【題型六】焦點弦3：焦點定比值 14【題型七】拋物線切線 17【題型八】最值范圍1：線段型最值 19【題型九】最值范圍2：面積型最值 21【題型十】拋物線與圓 23【題型十一】拋物線與橢圓 26【題型十二】拋物線與雙曲線 28二、真題再現(xiàn) 31三、模擬檢測 36結束 46綜述1.拋物線有關知識：(1)拋物線定義：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M.(2)拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下2．重要公式(1)弦長公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2)韋達定理：x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).3.拋物線y2＝2px(p>0)焦點弦AB，設A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點E，準線為l.(1)焦半徑問題：①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(隨焦點位置變動而改變)；②焦點弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α為直線AB的傾斜角)；③eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)；焦半徑公式得：，，(2)A、B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值，即x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2(隨焦點動而變)；(3)其他結論：①S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)(其中，α為直線AB的傾斜角)； ②以AB為直徑的圓必與準線相切于點H．【題型一】拋物線定義【典例分析】已知是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，若，則______．【答案】2023【分析】設，由求出，再利用拋物線的定義求解.【詳解】解:設，因為是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線C的焦點，所以，因此，因為，所以，即．又由拋物線的定義，可得，所以．故答案為：2023【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線定義(1)拋物線定義：|PF|＝|PM|，點F不在直線l上，PM⊥l于M.(2)拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下【變式演練】1..如果P1,P2,?,Pn是拋物線A．n+10B．n+20C．2n+10D．2n+20【答案】B【分析】由拋物線性質得|P【詳解】∵P1,P2,?,Pn是拋物線C：2.我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線，有同學發(fā)現(xiàn)經(jīng)過拋物線這一節(jié)的學習，結合函數(shù)圖象平移的性質可求出該拋物線的焦點坐標.則二次函數(shù)的圖象的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將拋物線化為拋物線的標準方程形式，再根據(jù)平移左加右減上加下減原則判斷該拋物線是由怎樣平移形成的.【詳解】由拋物線知可以看做時拋物線(焦點坐標)先向右平移4個單位，再向下平移1個單位，故的焦點坐標為故選：C3..曲線上存在兩點A，B到直線到距離等于到的距離，則（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】D【分析】由題可知A，B為半圓C與拋物線的交點，利用韋達定理及拋物線的定義即求.【詳解】由曲線，可得，即，為圓心為，半徑為7的半圓，又直線為拋物線的準線，點為拋物線的焦點，依題意可知A，B為半圓C與拋物線的交點，由，得，設，則，，∴.故選：D.【題型二】焦半徑1：坐標公式【典例分析】在拋物線上有三點A，B，C，F(xiàn)為其焦點，且F為ABC的重心，則（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】D【分析】根據(jù)重心的性質可得，然后根據(jù)拋物線的定義可知即可求解.【詳解】解：由題意得：F為ABC的重心。故設點A，B，C的坐標分別為，，拋物線，F(xiàn)為其焦點故選：D【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線y2＝2px(p>0)焦點弦AB，設A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點E，準線為l.分別做A、B在準線上垂線垂足為C，D.焦半徑問題：①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(隨焦點位置變動而改變)由對稱性，可得如下對稱結論：（1）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（2）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則；（3）焦點在軸正半軸，拋物線上任意一點，則；（4）焦點在軸負半軸，拋物線上任意一點，則.【變式演練】1.．已知的三個頂點都在拋物線上，為拋物線的焦點，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】設，，的橫坐標分別是，，，由，得三點縱坐標之和，再結合拋物線的定義即可求出的值．【詳解】解：由拋物線的方程，得，焦點坐標為，設，，的橫坐標分別是，，，由，所以，即，因為為拋物線的焦點，由拋物線的定義可得，，，，即，故選：B．2.已知拋物線的焦點為F，點A，B是拋物線C上不同兩點，且A，B中點的橫坐標為2，則（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的定義結合已知可求得結果.【詳解】設，由A，B中點的橫坐標為2，可得，所以．故選：C．3.設點在拋物線上，是焦點，則（

）A．880 B．878 C．876 D．882【答案】A【分析】根據(jù)焦半徑公式，結合等差數(shù)列求和，即可求解.【詳解】由條件可知，拋物線開口向左，焦半徑公式，所以.故選：A【題型三】焦半徑2：極坐標公式轉化【典例分析】已知拋物線E關于軸對稱，它的頂點在坐標原點，點在拋物線上．(1)求該拋物線E的方程及其準線方程；(2)直線過拋物線E的焦點，交該拋物線于兩點，且，求的長度．【答案】(1)，；(2)．【分析】(1)根據(jù)題意設拋物線方程，拋物線過P點，將P點坐標代入方程求出參數(shù)即可；(2)設直線l的傾斜角，表示出AF和BF，(1)設拋物線為，∵P(1，2)在拋物線上，∴，∴拋物線方程為，其準線方程為；(2)根據(jù)拋物線的對稱性，不設點在第一象限，直線的傾斜角為，由拋物線定義可知，即，同理，即，，﹒【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線y2＝2px(p>0)焦點為F，焦點弦AB，設A(x1，y1)、B(x2，y2)，結合極坐標知識中的圓錐曲線同一方程，可得焦半徑如下簡潔公式：焦半徑公式：，，【變式演練】1.若過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點，且直線l的傾斜角，點A在x軸上方，則的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用點A的橫坐標及表示，再利用拋物線定義結合的范圍求解作答.【詳解】拋物線的焦點，準線方程為，，如圖，設點A的橫坐標是，則有，由拋物線定義知，于是得，而函數(shù)在上單調遞減，即，因此，即有，所以的取值范圍是.故答案為：2.如圖，過拋物線的焦點F作兩條互相垂直的弦AB、CD，若與面積之和的最小值為32，則拋物線的方程為___________．【答案】【分析】設直線AB的傾斜角為銳角，則直線CD的傾斜角為，利用焦半徑公式分別求出、、、，并求出與面積之和的表達式，通過不斷換元，并利用雙勾函數(shù)的單調性求出兩個三角形面積之和的最小值，求出p的值，于是得出拋物線的方程．【詳解】解：設直線AB的傾斜角為銳角，則直線CD的傾斜角為，由焦半徑公式得：，，，，的面積為：，同理可得的面積為：，令，則與面積之和為：，再令，則與面積之和為：，由雙勾函數(shù)的單調性可知，當時，與面積之和取到最小值，即，由于，得，因此，拋物線的方程為．故答案為：．【題型四】焦點弦1：【典例分析】已知拋物線（是正常數(shù)）上有兩點，，焦點，甲：乙：丙：.丁：以上是“直線經(jīng)過焦點”的充要條件有幾個（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】先證明必要性：設過拋物線：的焦點的直線為：，代入拋物線方程得：，計算、、、即可判斷甲、乙、丙、丁都是必要條件，再設直線的方程為：，代入拋物線方程得：，由韋達定理驗證四個結論成立時，實數(shù)的值，即可判斷充分性，進而可得正確答案.【詳解】必要性：設過拋物線：的焦點的直線為：，代入拋物線方程得：；由直線上兩點，，則有，，，由＝，故：甲、乙、丙、丁都是必要條件，充分性：設直線方程為：，則直線交軸于點，拋物線焦點將直線的方程與拋物線方程得：，由直線上兩點，，對于甲：若，可得，直線不一定經(jīng)過焦點.所以甲條件是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件；對于乙：若，則，直線經(jīng)過焦點，所以乙條件是“直線經(jīng)過焦點”的充要條件；對于丙：，可得或，直線不一定經(jīng)過焦點，所以丙條件是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件；對于丁：可得，直線不一定經(jīng)過焦點.所以丁條件是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件；綜上，只有乙正確，正確的結論有1個.故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線y2＝2px(p>0)焦點弦AB，設A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點E，準線為l.焦半徑：eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)。焦點弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α為直線AB的傾斜角)【變式演練】1.已知拋物線C：的焦點F到其準線的距離為2，圓M：，過F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A，P，Q，B四點，則的最小值為__________.【答案】4【分析】根據(jù)已知條件先求出拋物線的方程，然后將問題轉化為計算“”的最小值，通過拋物線的焦半徑公式將表示為坐標的形式，采用直線與拋物線聯(lián)立的思想，根據(jù)韋達定理和基本不等式求解出最小值.【詳解】因為拋物線的焦點到準線的距離為，所以，所以拋物線方程為，如下圖，，因為，設，所以，所以，設，所以，，所以，所以，當且僅當，即取等號.所以的最小值為4，故答案為：4.2.如圖，已知拋物線的焦點為，直線過且依次交拋物線及圓于點四點，則的最小值為__________．【答案】【詳解】，焦點，準線，由定義得，又，同理，當軸時，則，，當時，代入拋物線方程，得，，，綜上所述，的最小值為，故答案為.3.如圖所示，已知拋物線過點，圓.過圓心的直線與拋物線和圓分別交于，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由點在拋物線上求出p，焦半徑的幾何性質有，再將目標式轉化為，應用基本不等式“1”的代換求最值即可，注意等號成立條件.【詳解】由題設，16＝2p×2，則2p＝8，故拋物線的標準方程：，則焦點F(2,0)，由直線PQ過拋物線的焦點，則，圓C2：圓心為(2,0)，半徑1，，當且僅當時等號成立，故的最小值為13.故選：D【題型五】焦點弦2：中位線型【典例分析】設拋物線的焦點為，過的直線交拋物線于兩點，過的中點作軸的垂線與拋物線在第一象限內交于點，若，則直線的方程為__________．【答案】【詳解】分析：求出拋物線焦點為，準線為，設，直線方程為，由與拋物線方程消去得關于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關系算出的坐標，根據(jù)，利用兩點間的距離公式解出，進而得到結論.詳解：拋物線方程為，拋物線焦點為，準線為，設，因為在第一象限，所以直線的斜率，設直線方程為，代入拋物線方程消去，得，，過的中點作準線的垂線與拋物線交于點，設點的坐標為，可得，，，得到，可得，，，解之得，所以，直線方程為，即,，故答案為.【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線y2＝2px(p>0)焦點弦AB，設A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中點E，準線為l.①焦半徑：|AF|＝|AD|＝x1＋eq\f(p,2)，|BF|＝|BC|＝x2＋eq\f(p,2)(隨焦點位置變動而改變)；②焦點弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(其中，α為直線AB的傾斜角)；【變式演練】1.（多選）已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線過點且與拋物線交于，兩點，若是線段的中點，則（

）A． B．拋物線的方程為C．直線的方程為 D．【答案】ACD【分析】由焦點到準線的距離可求得，則可判斷A正確，B錯誤；利用斜率坐標計算公式幾何中點坐標計算公式可求得直線的斜率，從而求得的方程，可判斷C正確；，所以從而判斷D正確.【詳解】因為焦點到準線的距離為4，根據(jù)拋物線的定義可知，故A正確故拋物線的方程為，焦點，故B錯誤則，．又是的中點，則，所以，即，所以直線的方程為．故C正確由，得．故D正確故選：ACD．2..拋物線的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足.過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為__________．【答案】1【分析】設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線定義得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣3ab，進而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．【詳解】設|AF|=a，|BF|=b，由拋物線定義，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|。在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab。配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值為1．故答案為：1．3.過拋物線的焦點作直線交拋物線于點，，若，則線段的中點到拋物線準線的距離為_________.【答案】5【解析】【分析】線段的中點橫坐標為，其到準線距離為，由拋物線方程可得p,代入即可求解.【詳解】由拋物線方程，得．因為，所以AB的中點M到拋物線準線的距離為．【題型六】焦點弦3：焦點定比值【典例分析】已知拋物線，過焦點P的直線交拋物線C于A，B兩點，且線段的長是焦半徑長的3倍，則直線的斜率為______．【答案】【分析】利用拋物線的焦半徑公式列方程求得直線的傾斜角，即可求得直線的斜率【詳解】方法一：設直線的傾斜角為，則．因為線段的長是焦半徑長的3倍，所以，故，當時，，，則，解得，所以直線的斜率為同理可得當時，，所以直線的斜率為．綜上，直線的斜率為故答案為：方法二：因為，線段的長是焦半徑長的3倍，由定比分點比值知【提分秘籍】基本規(guī)律過拋物線的焦點F的弦AB與對稱軸的夾角為|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)【變式演練】1.已知傾斜角為的直線過拋物線的焦點，且與交于兩點（點在第一象限），若，則______．【答案】【分析】分別過點作準線的垂線，垂足為，過點作的垂線，垂足為，設，進而結合拋物線的性質求解即可.【詳解】解：如圖，分別過點作準線的垂線，垂足為，過點作的垂線，垂足為，設，易得，則，由拋物線的性質可得，，所以，，解得，故．故答案為：方法二：由焦點弦公式可知|AB|＝eq\f(2p,sin2α)=8p/3.A再由2.若是拋物線上一點，是拋物線的焦點，以為始邊、為終邊的角，則______．【答案】【分析】首先求出拋物線的焦點坐標與準線方程，設的坐標，利用銳角三角函數(shù)求出，再根據(jù)拋物線的定義計算可得.【詳解】解：方法一：由拋物線的方程，可得準線方程為，焦點坐標為，設的坐標，且，又，，整理得，解得或（舍去），所以由拋物線的定義可得．故答案為：方法二：由焦點弦公式可知|AB|＝eq\f(2p,sin2α)=16/3.A再由,。3.過拋物線，的焦點F作直線l，交拋物線于A，B兩點，若，則直線l的傾斜角等于__________.【答案】60°或120°【分析】利用拋物線的性質以及圖形中的幾何關系推導出的值即可得出結論.【詳解】如圖是拋物線的準線，作，，為垂足，設，則，由拋物線定義知，，過作，垂足為，則易得，所以，直角三角形中，，，此時直線傾斜角為60°，由對稱性，直線傾斜角也可為120°.故答案為：60°或120°方法二：由的。由對稱性，直線傾斜角也可為120°.故答案為：60°或120°【題型七】拋物線切線【典例分析】過拋物線準線上任一點作拋物線的切線，則過兩切點的弦必過焦點．【答案】答案見解析.【分析】根據(jù)兩切線方程分別為：，，且均過均過點P，可知弦AB方程為：.【詳解】以（p＞0）為例說明．設點是拋物線上的任意一點，則過點且與拋物線相切的直線方程為，聯(lián)立得：，因為二者相切，所以，即，化簡得：，又，代入得：，即拋物線在處的切線方程為.設準線上任一點，切點分別為、，則切線方程分別為：，兩切線均過點P，則滿足，．故過兩切點的弦AB方程為：，則弦AB過焦點．【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線切線有如下結論與性質：1.過拋物線準線上任一點作拋物線的切線，則過兩切點的弦必過焦點．3.點是拋物線上一點，則拋物線過點P的切線方程是：．【變式演練】1.已知是拋物線：上一點，且位于第一象限，點到拋物線的焦點的距離為4，過點向拋物線作兩條切線，切點分別為，，則（

）A． B．1 C．16 D．【答案】B【分析】先通過拋物線的定義求出拋物線的方程，再設，然后求出并化簡，然后求出直線AB的方程并代入拋物線方程，最后結合根與系數(shù)的關系求得答案.【詳解】如示意圖，由拋物線的定義可知點M到拋物線準線的距離為4，則，即拋物線，則.設，則.由，則，所以，，因為點在這兩條直線上，所以，于是點A,B都在直線上，即，代入拋物線方程并化簡得：，由根與系數(shù)的關系可知.于是.故選：B.2.過點作拋物線的切線，，切點分別為，，若的重心坐標為，且P在拋物線上，則的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知設切點坐標為，，利用導數(shù)寫出切線，的方程，聯(lián)立求出交點坐標，，代入重心坐標公式利用已知條件可求出的坐標為，再代入拋物線方程，求出，進而求的焦點坐標．【詳解】設切點坐標為，，由，得，所以，故直線的方程為，即，同理直線的方程為，聯(lián)立，的方程可得，，設的重心坐標為，則，，即所以，則的坐標為，將點坐標代入拋物線，得到，解得，故的焦點坐標為.故選：A.【題型八】最值范圍1：線段型最值【典例分析】已知點在拋物線上，是拋物線的焦點，點為直線上的動點，我們可以通過找對稱點的方法求解兩條線段之和的最小值，則的最小值為（

）A．8 B． C． D．【答案】D【分析】由題意，知拋物線的焦點，直線是拋物線的準線，設關于直線的對稱點，，利用兩點之間線段最短，可知的最小值等于，再利用兩點之間的距離即可求解.【詳解】由題意，知拋物線的焦點，直線是拋物線的準線，點在拋物線上，點為直線上的動點，設關于直線的對稱點，作圖如下，利用對稱性質知：，則即點在位置時，的值最小，等于，利用兩點之間距離知，則的最小值為故選：D.【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線線段型最值，可轉化為：1.利用定義和焦半徑公式，把到焦點距離轉化為到準線距離，或者把到準線距離轉化為到焦點距離2.設拋物線上點坐標，結合題意構造距離函數(shù)式求范圍最值【變式演練】1..拋物線與圓交于、兩點，圓心，點為劣弧上不同于、的一個動點，平行于軸的直線交拋物線于點，則的周長的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【解析】求出圓心坐標，可得拋物線的焦點，過作準線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得，故的周長為，聯(lián)立圓與拋物線可得B點坐標，可得的取值范圍，可得答案.【詳解】解：如圖，可得圓心也是拋物線的焦點，過作準線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得故的周長，由可得，.的取值范圍為的周長的取值范圍為。故選：.2.拋物線的焦點為F，準線為，A、B是拋物線上的兩個動點，且滿足.設線段AB的中點M在上的投影為N，則的最大值是A． B．1 C． D．【答案】B【詳解】設|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF，由拋物線定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，又∵ab≤∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值為1．故選B．3.已知過拋物線的焦點F且傾斜角為的直線交C于A，B兩點，Q為AB的中點，P為C上一點，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．5【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出點Q的橫坐標，再借助拋物線的定義求解作答.【詳解】拋物線的焦點，準線，直線：，由消去y并整理得：，設，則，線段AB的中點Q的橫坐標，過點Q作準線的垂線，垂足為D，交拋物線C于點P，連PF，如圖，于是，在拋物線C上任取點，過作準線的垂線，垂足為，連，則有，當且僅當點與點P重合時取等號，所以的最小值為.故選：A【題型九】最值范圍2：面積型最值【典例分析】已知拋物線：，點為拋物線上任意一點，過點向圓：作切線，切點分別為，，則四邊形的面積的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】由題意圓的圓心與拋物線的焦點重合，可得連接，則，而，所以當最小時，四邊形的面積最小，再拋物線的定義轉化為點到拋物線的準線的距離的最小值，結合拋物線的性質可求得結果【詳解】如圖，連接，圓：，該圓的圓心與拋物線的焦點重合，半徑為1，則．又，所以當四邊形的面積最小時，最?。^點向拋物線的準線作垂線，垂足為，則，當點與坐標原點重合時，最小，此時．故．故選：C【變式演練】1.已知F為拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，(其中O為坐標原點)，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是________.【答案】3【解析】由＝2可得點A，B的坐標之間的關系，再用點A，B的坐標表示直線的方程，進而可求直線AB與x軸的交點坐標。將△ABO分割成△ACO與△CBO兩個小三角形，進而用A，B的坐標表示△ABO與△AFO面積的和，再結合點A，B的坐標之間的關系化簡，進而利用基本不等式即可求解?！驹斀狻咳鐖D，可設A(m2，m)，B(n2，n)，其中m＞0，n＜0，則＝(m2，m)，＝(n2，n)，＝m2n2＋mn＝2，解得mn＝1(舍)或mn＝－2.∴l(xiāng)AB：(m2－n2)(y－n)＝(m－n)(x－n2)，即(m＋n)(y－n)＝x－n2，令y＝0，解得x＝－mn＝2，∴C(2,0).S△AOB＝S△AOC＋S△BOC＝×2×m＋×2×(－n)＝m－n，S△AOF＝××m＝m，則S△AOB＋S△AOF＝m－n＋m＝m－n＝m＋≥，當且僅當，即m=時等號成立.故△ABO與△AFO面積之和的最小值為3.2.已知是拋物線的焦點，點，在該拋物線上且位于軸的兩側，（其中為坐標原點），則與面積之和的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】試題分析：據(jù)題意得，設，則，或，因為位于軸兩側所以.所以兩面積之和為.3.已知為拋物線的焦點，點都是拋物線上的點且位于軸的兩側，若(為原點)，則和的面積之和的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先設出直線方程，代入拋物線方程，利用根系關系及平面向量數(shù)量積坐標公式得到，再計算和的面積之和，利用均值不等式求其最小值即可.【詳解】設直線的方程為，，，.，解得：或.因為位于軸的兩側，所以.即：，.設點在軸的上方，則，，.當且僅當時，即時，取“”號.所以和的面積之和的最小值為.故選：A【題型十】拋物線與圓【典例分析】在平面直角坐標系xOy中，若拋物線C:y2=2px()的焦點為F，直線x=3與拋物線C交于A，B兩點，｜AF|=4，圓E為的外接圓，直線OM與圓E切于點M，點N在圓E上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知及拋物線的定義，可求，進而得拋物線的方程，可求，，的坐標，直線的方程，可得圓的半徑，求得圓心，設的坐標，求得的坐標，結合向量數(shù)量積的坐標表示，以及輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，可得所求范圍．【詳解】解：由題意，設，所以，解得，所以拋物線的方程為，，，，所以直線的方程為，設圓心坐標為，，所以，解得，即，圓的方程為，不妨設，設直線的方程為，則，根據(jù)，解得，由，解得，設，所以，因為，所以．故選：B．【提分秘籍】基本規(guī)律拋物線與圓的綜合題型，多從以下幾方面入手：1.圓外一點與圓上一點距離，多轉化為與圓心的距離2.拋物線上點與焦點（或者準線）距離，多轉化為與準線（或焦點）的距離。3.利用圓的方程與拋物線的方程，可以設點坐標計算?！咀兪窖菥殹?.已知拋物線的準線與圓只有一個公共點，設是拋物線上一點，為拋物線的焦點，若（為坐標原點），則點的坐標是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【分析】先求出拋物線的焦點，根據(jù)拋物線的方程設，則，，再由，可求得的值，即可得答案.【詳解】解：拋物線的準線方程為．方程可化為．由題意，知圓心到準線的距離，解得，所以拋物線的方程為，焦點為．設，則，，所以，解得，所以點的坐標為或．故選B．2..拋物線的焦點為，其準線與軸的交點為，過點做直線與此拋物線交于，兩點，若，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)拋物線標準方程，得到焦點坐標和準線方程，設出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，整理得到關于的一元二次方程，根據(jù)垂直，得到點的橫坐標，根據(jù)韋達定理，得到的橫坐標，在由拋物線的定義，可得答案.【詳解】由，則焦點，且準線方程為直線，即，設過點的直線方程為，聯(lián)立拋物線可得：，消去可得：，化簡得：，因為，且直線過點，所以，即點位于以線段為直徑的圓上，易知以線段為直徑的圓的方程為，將代入上式，可得，解得，（舍去），則點的橫坐標，設點的橫坐標，由韋達定理可得：，則，根據(jù)拋物線的定義，可得，，則，故選：B3.已知點，點在拋物線上運動，點在圓上運動，則的最小值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】根據(jù)已知條件先求得拋物線的焦點和準線方程，過點作，垂足為點，求得圓的圓心和半徑，運用圓外一點到圓上的點的距離的最值和拋物線的定義，結合基本不等式，即可得到所求最小值.【詳解】如圖：拋物線的準線方程為，焦點，過點作，垂足為點，由拋物線的定義可得,圓的圓心為，半徑，可得的最大值為，由，可令，則，即，可得：，當且僅當時等號成立，即，所以的最小值為故選：C【題型十一】拋物線與橢圓【典例分析】已知拋物線的焦點F是橢圓的一個焦點，且該拋物線的準線與橢圓相交于A、B兩點，若是正三角形，則橢圓的離心率為A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出幾何圖形,由橢圓和拋物線的對稱性可知AB與軸交于橢圓的另一焦點,則.根據(jù)正三角形性質可得結合橢圓定義,可由勾股定理求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可知,畫出幾何圖形如下圖所示:由橢圓與拋物線的對稱性可知,AB與軸交于橢圓的另一焦點,則.由橢圓定義可知,且為正三角形。所以則由正三角形性質可知為直角三角形。所以即,化簡可得。所以故選:C【變式演練】1.已知橢圓的半焦距為，左焦點為，右頂點為，拋物線與橢圓交于，兩點，若四邊形是菱形，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由橢圓方程求出和的坐標，由對稱性設出，的坐標，根據(jù)菱形的性質求出橫坐標，代入拋物線方程求出的縱坐標，將點的坐標代入橢圓方程，化簡整理得到關于橢圓離心率的方程，即可得到該橢圓的離心率.【詳解】由題意得，橢圓（，為半焦距），的左焦點為，右頂點為，則，，拋物線于橢圓交于，兩點，，兩點關于軸對稱，可設，，四邊形是菱形，，，則，將代入拋物線方程得，，，則不妨設，再代入橢圓方程，化簡得，由，即有，解得或（舍去），故選：C.2.已知點A是拋物線的對稱軸與準線的交點，點B為拋物線的焦點，P在拋物線上．在△PAB中，，當m取最小值時，點P恰好在以A，B為焦點的橢圓上，則橢圓的離心率為________．【答案】【分析】作垂直于準線于H，然后結合拋物線的定義可以得到，進一步判斷出當直線AP與拋物線相切時，PAH最小，然后結合直線與拋物線相切求得答案.【詳解】如圖，作垂直于準線于H，∵，∴，根據(jù)拋物線的定義有，∴，當m最小時，最小.故當直線AP與拋物線相切時，PAH最?。字cA（0，2），設直線AP方程為，聯(lián)立，，．此時，橢圓中，橢圓離心率．故答案為：.3.已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，過點且斜率為的直線交橢圓于，兩點，若是線段的中點，則橢圓的方程為__．【答案】【分析】根據(jù)題意，求出拋物線的焦點為，可得橢圓的焦點在軸上，且，可以設該橢圓的標準方程為：，則，①，由點差法進行分析：設出、的坐標，代入橢圓的方程可得②，③，②③可得：④，再結合直線的斜率以及、的中點坐標，計算可得的值，結合可得的值，將、的值代入橢圓的標準方程即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，拋物線的焦點為，則橢圓的焦點在軸上，且，可以設該橢圓的標準方程為：，則，①設點坐標為，，點坐標為，，有②，③，②③可得：④，又由直線的斜率為，則，的中點的坐標為，則、，代入④中，可得，又由，則，，故要求橢圓的標準方程為：；故答案為：．【題型十二】拋物線與雙曲線【典例分析】已知雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則拋物線上一動點M到直線和的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，借助雙曲線求出拋物線焦點F的坐標，再結合拋物線定義及幾何意義求解最值作答.【詳解】雙曲線的漸近線，右焦點，依題意，，解得，因此拋物線的焦點為，方程為，其準線為，由消去x并整理得：，，即直線與拋物線相離，過點F作于點P，交拋物線于點M，過M作于點Q，交直線于點N，則有，在拋物線上任取點，過作于點，作于點，交準線于點，連，如圖，顯然，當且僅當點與點重合時取等號，所以拋物線上一動點M到直線和的距離之和的最小值為.故選：D【變式演練】1.已知點F為拋物線的焦點，，點M為拋物線上一動點，當最小時，點M恰好在以A，F(xiàn)為焦點的雙曲線C上，則雙曲線C的漸近線斜率的平方是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可知與拋物線相切時，取得最小值，求出點的坐標，利用雙曲線定義求出2a，結合，可求得，再利用求得結果.【詳解】由拋物線的對稱性，不妨設為拋物線第一象限內點，如圖所示：故點作垂直于拋物線的準線于點B，由拋物線的定義知，易知軸，可得。當取得最大值時，取得最小值，此時與拋物線相切，設直線方程為：，聯(lián)立，整理得，其中，解得：，由為拋物線第一象限內點，則，則，解得：，此時，即或。所以點的坐標且由題意知，雙曲線的左焦點為，右焦點為。設雙曲線的實軸長為2a，則，，又，則，故漸近線斜率的平方為。故選：B2.已知雙曲線的左，右焦點分別為，拋物線與雙曲線有相同的焦點．設為拋物線與雙曲線的一個交點，且,則雙曲線的離心率為A．或 B．或3 C．2或 D．2或3【答案】D【解析】不妨設在第一象限，過作直線的垂線，垂足為，利用可設，，且有，，從而利用焦半徑公式得到，從中解出可得雙曲線的離心率.【詳解】不妨設在第一象限且，則，，過作直線（拋物線的準線）的垂線，垂足為，則，故，因為直角三角形，故可設，且，所以，解得或，若，則，；若，則，；綜上，選D.3.已知拋物線：的焦點恰好是雙曲線的右焦點，且與的交點的連線過點，設雙曲線的漸近線的斜率為，則的值為___________.福建省龍巖市2020-2021學年高二上學期期末考試數(shù)學試題【答案】【解析】設與交點為.則軸，由焦點重合可得，求得，可得，平方后化簡，結合換元法可得的值，進而可得答案.【詳解】設與交點為.則軸。，∴，∴，時可得，由得∴，∴∴?！嗔睢唷！唷?。∴。故答案為：.1．（2007·全國·高考真題（理））焦點在，頂點在的拋物線方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對于AB，將頂點代入方程即可排除；對于CD，利用函數(shù)圖像平移的性質及拋物線的標準方程檢驗即可.【詳解】對于A，因為頂點是拋物線上的點，故將代入可得，故A錯誤；對于B，同理，將代入得，故B錯誤；對于C，易知的圖像是由的圖像向右平移一個單位得到的，而的焦點為，向右平移一個單位后，焦點為，顯然不滿足題意，故C錯誤；對于D，易知的圖像是由的圖像向右平移一個單位得到的，而的焦點為，頂點為，向右平移一個單位后，焦點為，頂點為，滿足題意，故D正確.故選：D.2．（遼寧·高考真題（文））已知為拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，，則線段的中點到軸的距離為

A． B． C． D．【答案】C【分析】拋物線的準線為，過作準線的垂線，垂足為，的中點為，過作準線的垂線，垂足為，則可利用幾何性質得到，故可得到軸的距離.【詳解】拋物線的準線為，過作準線的垂線，垂足為，的中點為，過作準線的垂線，垂足為，因為是該拋物線上的兩點，故，所以，又為梯形的中位線，所以，故到軸的距離為，故選C.【點睛】本題考查拋物線的幾何性質，屬于基礎題.3．（·山東·高考真題（文））拋物線的焦點與雙曲線的右焦點的連線交于第一象限的點，若在點處的切線平行于的一條漸近線，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】畫圖可知被在點M處的切線平行的漸近線方程應為，設，則利用求導得又點共線，即點共線，所以，解得所以【考點定位】本題考查了拋物線和雙曲線的概念、性質和導數(shù)的意義，進一步考查了運算求解能力.這一方程形式為導數(shù)法研究提供了方便，本題“切線”這一信號更加決定了“求導”是“必經(jīng)之路”.根據(jù)三點共線的斜率性質構造方程，從而確定拋物線方程形式,此外還要體會這種設點的意義所在.4．（海南·高考真題（理））已知點P在拋物線上，那么點P到點的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點P的坐標為A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)拋物線安的方程求出焦點坐標，由拋物線的性質，得到和三點共線且點在中間時距離和最小，由此求出縱坐標，代入拋物線的方程，即可求解．【詳解】由題意，拋物線的方程為，所以，所以焦點，過點作準線的垂線，垂足為，由,依題意可知當和三點共線且點在中間時距離和最小，如圖所示，故點的縱坐標為，代入拋物線的方程，求得，所以點，故選A．【點睛】本題主要考查了拋物線的定義、標準方程，及拋物線的幾何性質的應用，其中解答中由拋物線的性質，當和三點共線且點在中間時距離和最小是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．5．（·浙江·高考真題（理））若橢圓的左、右焦點分別為、，線段被拋物線的焦點分成的兩段，則此橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】拋物線的焦點坐標為，根據(jù)題意可以得到橢圓中關于的等量關系，代入橢圓的離心率公式，化簡即可求得橢圓的離心率【詳解】設拋物線的焦點為，則點坐標為，由題得：，所以，，所以，，所以橢圓離心率故選：D6．（全國·高考真題（文））如果拋物線的準線方程是，那么這條拋物線的焦點坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】是由拋物線向左平移一個單位長度得到，則拋物線方程轉化為標準方程，問題得以解決．【詳解】拋物線可由拋物線向左平移一個單位長度得到，因為拋物線的準線方程是，可得拋物線的準線方程是，且焦點坐標為，那么拋物線的焦點坐標為．故選：C．7．（湖北·高考真題（理））雙曲線的左準線為l，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的準線為l，焦點為；與的一個交點為M，則等于（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】利用拋物性的定義和雙曲線的定義可求的值.【詳解】過作準線的垂線，垂足為，由拋物線的定義可得，設，則，故，故，又，故即，故，故，故選：A.8．（山東·高考真題（文））已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，若線段的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為A． B．C． D．【答案】B【詳解】∵y2=2px的焦點坐標為,∴過焦點且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準線方程為x=-1.故選B.9．（湖北·高考真題（文））將兩個頂點在拋物線y2=2px（p＞0）上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為n，則（）A．n=0 B．n=1 C．n=2 D．n≥3【答案】C【詳解】結合圖象可知，過焦點且斜率為和－的直線與拋物線各有兩個交點，所以能夠構成兩個正三角形，且不難看出符合題意的正三角形有且僅有兩個．10．（2021·全國·高考真題）已知為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準線方程為______.【答案】【分析】先用坐標表示，再根據(jù)向量垂直坐標表示列方程，解得，即得結果.【詳解】拋物線：()的焦點,∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,不妨設,因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側，又，因為，所以,，所以的準線方程為故答案為：.【點睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關系是本題關鍵.11．（2017·天津·高考真題（文））設拋物線的焦點為F，準線為l.已知點C在l上，以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若，則圓的方程為____________.【答案】【詳解】設圓心坐標為，則，焦點，，，，由于圓與軸得正半軸相切，則取，所求圓得圓心為，半徑為1，所求圓的方程為.12．（2018·全國·高考真題（理））已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與交于，兩點．若，則________．【答案】2【分析】利用點差法得到AB的斜率，結合拋物線定義可得結果.【詳解】詳解：設則所以所以取AB中點,分別過點A,B作準線的垂線，垂足分別為因為,，因為M’為AB中點，所以MM’平行于x軸因為M(-1,1)所以，則即故答案為2.【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關系，考查了拋物線的性質，設，利用點差法得到，取AB中點,分別過點A,B作準線的垂線，垂足分別為，由拋物線的性質得到，進而得到斜率．1．已知拋物線的焦點為F，拋物線上的任意一點P到焦點F的距離比到直線的距離少，過焦點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，直線，與直線分別相交于M，N兩點，O為坐標原點，若，則直線的斜率為（

）A．1或 B．1或2 C．或2 D．【答案】A【分析】由條件結合拋物線定義求出拋物線方程，設直線方程，并與拋物線方程聯(lián)立求出的坐標的關系，再通過聯(lián)立方程組求出的坐標，結合的坐標的關系列方程求出直線的斜率.【詳解】因為拋物線的焦點為，拋物線上的任意一點到焦點的距離比到直線的距離少，所以拋物線上的任意一點到焦點的距離與到直線的距離相等，由拋物線的定義知，即，所以拋物線的方程為．，當直線的斜率為時，直線與拋物線有且只有一個交點，不滿足要求，故可設的方程為，，．聯(lián)立方程組整理得，方程的判別式，由韋達定理知，．直線的方程為，聯(lián)立方程組所以，因為，所以點的坐標為，同理，．因為都在直線上，所以，又由，有，解得或，故直線的斜率為1或．故選：A．【點睛】(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．2．已知拋物線的焦點為F，直線l過焦點F與C交于A，B兩點，以為直徑的圓與y軸交于D，E兩點，且，則直線l的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設的中點為M，根據(jù)求出r，進而得到M點橫坐標；再設直線，由韋達定理得到k與M橫坐標的關系，進而求出k．【詳解】設的中點為M，軸于點N，過A，B作準線的垂線，垂足分別為，如下圖：由拋物線的定義知，故，所以，即，解得或（舍去），故M的橫坐標為，設直線，將代入，得，則，解得，故直線l的方程為．故選：C．【點睛】本題解題的關鍵是要抓住圓的兩要素：圓心和半徑，用圓心的橫坐標得到斜率的等量關系．3．已知雙曲線的右焦點到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，則拋物線上一動點M到直線和的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，借助雙曲線求出拋物線焦點F的坐標，再結合拋物線定義及幾何意義求解最值作答.【詳解】雙曲線的漸近線，右焦點，依題意，，解得，因此拋物線的焦點為，方程為，其準線為，由消去x并整理得：，，即直線與拋物線相離，過點F作于點P，交拋物線于點M，過M作于點Q，交直線于點N，則有，在拋物線上任取點，過作于點，作于點，交準線于點，連，如圖，顯然，當且僅當點與點重合時取等號，所以拋物線上一動點M到直線和的距離之和的最小值為.故選：D【點睛】思路點睛：涉及拋物線上的點到定點與到焦點距離和或到定直線與準線距離和的最小值問題，利用拋物線定義轉化求解即可.4．已知拋物線：的焦點為，是上位于第一象限內的一點，若在點處的切線與軸交于點，且，為坐標原點，則直線的斜率為（

）A．

B．

C．

D．1【答案】C【分析】設，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切線的方程，結合拋物線的定義可得，從而得到直線的傾斜角為，得出，代入再計算直線的斜率即可.【詳解】設，因為：，故，故切線的方程為，即，故.又由拋物線的定義可得，且，故，故，故直線的傾斜角為.所以，即，故.所以直線的斜率為.故選：C5．過點作拋物線的切線，，切點分別為，，若的重心坐標為，且P在拋物線上，則的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知設切點坐標為，，利用導數(shù)寫出切線，的方程，聯(lián)立求出交點坐標，，代入重心坐標公式利用已知條件可求出的坐標為，再代入拋物線方程，求出，進而求的焦點坐標．【詳解】設切點坐標為，，由，得，所以，故直線的方程為，即，同理直線的方程為，聯(lián)立，的方程可得，，設的重心坐標為，則，，即所以，則的坐標為，將點坐標代入拋物線，得到，解得，故的焦點坐標為.故選：A.【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的相切問題，三角形重心的坐標公式以及拋物線的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題.6．在平面直角坐標系xOy中，若拋物線C:y2=2px()的焦點為F，直線x=3與拋物線C交于A，B兩點，｜AF|=4，圓E為的外接圓，直線OM與圓E切于點M，點N在圓E上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知及拋物線的定義，可求，進而得拋物線的方程，可求，，的坐標，直線的方程，可得圓的半徑，求得圓心，設的坐標，求得的坐標，結合向量數(shù)量積的坐標表示，以及輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，可得所求范圍．【詳解】解：由題意，設，所以，解得，所以拋物線的方程為，，，，所以直線的方程為，設圓心坐標為，，所以，解得，即，圓的方程為，不妨設，設直線的方程為，則，根據(jù)，解得，由，解得，設，所以，因為，所以．故選：B．【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是：首先求出圓的方