中考數(shù)學(xué)幾何專項(xiàng)沖刺專題06半角模型鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）含答案及解析

半角模型鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）1. 在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90o，O為AB的中點(diǎn)，∠EOF＝45o，交CA于F，交BC的延長線于E.（1）求證：EF＝CE＋AF；（2）如圖2，當(dāng)E在BC上，F(xiàn)在CA的反向延長線上時(shí)，探究線段AF、CE、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.2. 如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180o，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE＋FD.3. 如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120o，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60o的角，使其兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，則△AMN的周長是多少？4. 如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在線段AB、BC上，連接EO、FO，滿足∠EOF＝60o，連接EF.（1）①求證：OB＝OC；②求∠BOC的度數(shù)；（2）求證：CF＝BE＋EF.5. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，且.（1）求證：△ABC是等邊三角形；（2）如圖2，A、B兩點(diǎn)在軸上、軸上的位置不變，在線段AB上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N，滿足∠MON＝45o，試猜想線段BM、AN、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.6. 在四邊形ABDC中，AC＝AB，DC＝DB，∠CAB＝60o，∠CDB＝120o，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長線上一點(diǎn)，且CE＝BF.（1）試說明：DE＝DF；（2）在圖1中，若G在AB上且∠EDG＝60o，試猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）若題中條件“∠CAB＝60o，∠CDB＝120o”改為“∠CAB＝，∠CDB＝，G在AB上，那么∠EDG滿足什么條件時(shí)，（2）中的結(jié)論仍然成立？”（直接寫結(jié)果，不需證明）.半角模型鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）1. 在等腰Rt△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90o，O為AB的中點(diǎn)，∠EOF＝45o，交CA于F，交BC的延長線于E.（1）求證：EF＝CE＋AF；（2）如圖2，當(dāng)E在BC上，F(xiàn)在CA的反向延長線上時(shí)，探究線段AF、CE、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.【解答】（1）見解析；（2）AF－EF＝CE.【解析】（1）連接CO，過點(diǎn)O作OG⊥OF交BE于點(diǎn)G，如圖所示：由題意可得△AOF≌△COG，∴OF＝OG，∴△EOF≌△EOG，∴EF＝EG，∴EF＝EG＝EC＋CG＝EC＋AF；（2）AF－EF＝CE.2. 如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180o，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，求證：EF＝BE＋FD.【解答】見解析【解析】如圖，將△ADF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ABG，使得AD與AB重合.∵旋轉(zhuǎn)，∴△ADF≌△ABG，∴∠FAG＝∠BAD，AF＝AG，DF＝GB，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠EAG，又∵AE＝AE，∴△EAG≌△EAF，∴GE＝EF，∵GE＝GB＋BE＝DF＋BE，∴EF＝BE＋FD.3. 如圖，△ABC是邊長為3的等邊三角形，△BDC是等腰三角形，∠BDC＝120o，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60o的角，使其兩邊分別交AB于M，交AC于N，連接MN，則△AMN的周長是多少？【解答】6【解析】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120o，∴∠BCD＝∠DBC＝30o，∵△ABC是邊長為3的等邊三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60o，∠DBA＝∠DCA＝90o，如圖，延長AB至點(diǎn)F，使BF＝CN.連接DF，在△BDF與△CND中，，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60o，∴∠BDM＋∠CDN＝60o，∴∠BDM＋∠BDF＝60o，在△DMN與△DMF中，，∴MN＝MF，∴△AMN的周長是：AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋BF＋AN＝AB＋AC＝6.4. 如圖，在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在線段AB、BC上，連接EO、FO，滿足∠EOF＝60o，連接EF.（1）①求證：OB＝OC；②求∠BOC的度數(shù)；（2）求證：CF＝BE＋EF.【解答】（1）①見解析；②120o；（2）見解析.【解析】（1）①∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60o，∵OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC＝∠OCB＝30o，∴OB＝OC；②∵∠OBC＝∠OCB＝30o，∴∠BOC＝180o－∠OBC－∠OCB＝120o.（2）如圖，以點(diǎn)O為頂點(diǎn)，OF為一邊，作∠FOG＝60o交BC于點(diǎn)G.∵∠BOC＝120o，∴∠BOF＋∠COG＝60o，∵∠EOF＝60o，∴∠EOB＋∠BOF＝60o，∴∠COG＝∠EOB，∵∠ABO＝∠ABC＝30o，∴∠EBO＝∠OCG，∴△BOE≌△COG，∴OG＝OE，BE＝CG，又∵△OEF≌△OGF，∴EF＝FG，∴CF＝FG＋CG，∴CF＝EF＋BE.5. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，且.（1）求證：△ABC是等邊三角形；（2）如圖2，A、B兩點(diǎn)在軸上、軸上的位置不變，在線段AB上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N，滿足∠MON＝45o，試猜想線段BM、AN、MN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【解答】（1）見解析；（2）【解析】（1），且，∴，，∴OA＝OB＝OC＝4，∵∠AOB＝∠BOC＝90o，∴∠BCA＝∠CBO＝∠OBA＝∠BAC＝45o，∴BA＝BC且∠CBA＝90o，即△ABC是等腰直角三角形；（2）猜想：.∵OA＝OB＝4，∴∠AOB＝90o，如圖，將△BOM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90o得到△AOD，∴AD＝BM，DO＝MO，∠OAD＝∠OBM＝45o，且∠DOM＝∠AOB＝90o，∴∠AOD＝∠BOM，∵∠MON＝45o，∠AOB＝90o，∴∠BOM＋∠AON＝45o，∴∠AOD＋∠AON＝45o，即∠DON＝∠MON＝45o，∴△DON≌△MON，∴DN＝MN，∵∠OAD＝∠OBM＝∠BAO＝45o，即∠NAD＝90o，.6. 在四邊形ABDC中，AC＝AB，DC＝DB，∠CAB＝60o，∠CDB＝120o，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長線上一點(diǎn)，且CE＝BF.（1）試說明：DE＝DF；（2）在圖1中，若G在AB上且∠EDG＝60o，試猜想CE、EG、BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）若題中條件“∠CAB＝60o，∠CDB＝120o”改為“∠CAB＝，∠CDB＝，G在AB上，那么∠EDG滿足什么條件時(shí)，（2）中的結(jié)論仍然成立？”（直接寫結(jié)果，不需證明）.【解答】（1）見解析；（2）CE＋BG＝EG；（3）當(dāng)∠EDG＝時(shí)，CE＋BG＝EC仍然成立.【解析】（1）在四邊形ADBC中，有∠C＋∠CAB＋∠ABD＋∠CDB＝360o，∵∠CAB＝60o，∠CDB＝120o，∴∠C＋∠ABD＝180o，又∵∠ABD＋∠DBF＝180o，∴∠C＝∠BDF，在△CDE與△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（SAS），∴DE＝DF；（2）如圖，連接AD.在△ABD與△ACD中，，∴∠BDA＝∠CDA＝∠CDB＝60o，∵∠EDG＝60o，∴∠CDE＝∠ADG，∠ADE＝∠BDG，由（1）可知△CDE≌△BDF，∴∠C