2025高考數學壓軸專項題型專題9利用函數思想求圓錐曲線中的最值與范圍問題含答案及解析

專題9利用函數思想求圓錐曲線中的最值與范圍問題一、考情分析與圓錐曲線有關的范圍、最值問題,在高考中常以解答題形式考查,且難度較大,它能綜合應用函數、三角、不等式等有關知識,因而備受命題者青睞.解題時要緊緊抓住圓錐曲線的定義與性質進行轉化,充分展現數形結合、函數與方程、化歸轉化等數學思想在解題中的應用,其中把問題轉化為函數求最值與值域是最常用的方法之一．二、解題秘籍(一)利用函數思想最值與范圍問題求解方法與策略1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系,從而確定參數的取值范圍；(2)利用已知參數的范圍,求新參數的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系；(3)利用隱含的不等關系建立不等式,從而求出參數的取值范圍；(4)利用已知的不等關系構造不等式,從而求出參數的取值范圍；(5)利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數,求其值域,從而確定參數的取值范圍．2.利用函數思想求圓錐曲線中的最值或范圍,首先要把待求量用某個（些）量來表示,然后把待求量看作關于這個量的函數,再結合函數性質求最值與范圍,其中利用二次函數配方求最值是最常用的方法,有時也可利用導數研究函數單調性求最值.【例1】（2023屆四川省成都市高三上學期10月月考）已知點是拋物線與橢圓的公共焦點,橢圓上的點到點的最大距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)過點作的兩條切線,記切點分別為,求面積的最大值.【解析】（1）拋物線的焦點為,即,橢圓上的點到點的最大距離為,所以,,所以橢圓方程為.（2）拋物線的方程為,即,對該函數求導得,設點,,,直線的方程為,即,即,同理可知,直線的方程為,由于點為這兩條直線的公共點,則,所以點,的坐標滿足方程,所以直線的方程為,聯立,可得,由韋達定理可得,,所以,點到直線的距離為,所以,因為,由已知可得,所以當時,面積的最大值為.【例2】（2023屆新高考高中畢業(yè)班“啟航”適應性練習）在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線M：．P,Q,R為M上相異的三點,且,與負半軸交于點A,RQ,PQ分別與正半軸交于點B,C,記點．(1)證明：；(2)若B為M的焦點,當最大時,求的值．【解析】（1）證明：因為,所以直線OP和OQ斜率之積為－1,設PQ：,且,,聯立,得,且恒成立,所以,,記直線OP、OQ的斜率分別為,,所以,即,所以,設：,且,聯立,得,且恒成立,得,同理設：,得,所以,即；（2）因為B為M的焦點,所以,且,,,又,不妨設,,則,記,,則,,令,則,且在上單調遞增,在上單調遞減,且在上單調遞增,所以當,即時,最大,最大．(二)利用距離公式把距離問題轉化為二次函數求最值與距離或線段長度有關的最值與范圍問題通常是把相關距離或線段長度利用距離公式表示成一個變量的函數,若被開放式為二次函數類型,可通過配方求最值與范圍.【例3】（2023屆湖北省騰云聯盟高三上學期10月聯考）已知橢圓經過點,且離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設過點的直線與橢圓交于,兩點,設坐標原點為,線段的中點為,求的最大值.【解析】（1）橢圓經過點,其離心率為．,,,,故橢圓的方程為：；（2）當直線斜率不存在時,M與O重合,不合題意,當直線斜率存在時,設,,,則有,,直線的斜率為,,兩點在橢圓上,有,,兩式相減,,即,得,化簡得,,∴當時,的最大值為(三)把面積問題轉化為二次函數最值問題該類問題求解的基本思路通常是把面積用另一個量（如點的橫坐標、縱坐標,直線的斜率等）,把求面積最值與范圍問題轉化為求函數最值或值域,若函數式可轉化為二次函數類型,可利用二次函數性質求最值.【例4】已知橢圓經過點,其右焦點為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點在橢圓上,右頂點為,且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.【解析】（1）依題可得,,解得,所以橢圓的方程為.所以離心率.（2）易知直線與的斜率同號,所以直線不垂直于軸,故可設,由可得,,所以,,而,即,化簡可得,,化簡得,所以或,所以直線或,因為直線不經過點,所以直線經過定點.設定點,因為,所以,設,所以,當且僅當即時取等號,即面積的最大值為.(四)與斜率有關的最值與范圍問題與斜率有關的最值與范圍問題的思路一是設出動點.是利用斜率定義表示出斜率,然后利用函數知識求解,二是設出直線的點斜式或斜截式方程,利用根與系數之間的關系或題中條件整理關于斜率的等式,再利用函數思想求解.【例5】已知橢圓,過點作橢圓的兩條切線,且兩切線垂直.(1)求；(2)已知點,若存在過點的直線與橢圓交于,且以為直徑的圓過點（不與重合）,求直線斜率的取值范圍.【解析】（1）由題可知,切線斜率存在,則設切線,聯立得,即,相切得：,即,所以由兩切線垂直得：（2）由（1）得,橢圓方程為由題可知,直線的斜率存在,設,聯立得設,由韋達定理得：由題意為直徑的圓過點,①又代入①式得：或（舍去）,所以過定點,,隨的增大而增大,,即直線斜率范圍(五)通過換元把問題轉化為二次函數問題該類問題通常是所得結果比較復雜,通過換元把問題轉化為二次函數求解.【例6】已知橢圓C：的離心率為,,分別為橢圓C的左、右焦點,過且與x軸垂直的直線與橢圓C交于點A,B,且的面積為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線l與橢圓C交于不同于右頂點P的M,N兩點,且,求的最大值．【解析】（1）因為橢圓C的離心率為,所以①．將代入,得,所以,則,即②．由①②及,得,,故橢圓C的標準方程為．（2）由題意知,直線l的斜率不為0,則不妨設直線l的方程為．聯立得消去x得,,化簡整理,得．設,,則,．因為,所以．因為,所以,,得,將,代入上式,得,得,解得或（舍去）,所以直線l的方程為,則直線l恒過點,所以．設,則,,易知在上單調遞增,所以當時,取得最大值,為．又,所以．(六)把問題轉化為函數問題后再借助導數求最值或范圍該類問題通常是所得函數為分式函數或高次函數,又不具備使用均值不等式的條件,只能借助導數求最值或范圍.【例7】（2023屆云南省昆明市第一中學高三上學期第二次檢測）已知橢圓四個頂點的四邊形為菱形,它的邊長為,面積為,過橢圓左焦點與橢圓C相交于M,N兩點（M,N兩點不在x軸上）,直線l的方程為：,過點M作垂直于直線l交于點E．(1)求橢圓C的標準方程；(2)點O為坐標原點,求面積的最大值．【解析】（1）由題意可得：,解得橢圓C的標準方程為（2）由（1）可得：,即由題意可設直線,則聯立方程,消去x可得：∴,則∴直線的斜率,則直線的方程為令,則可得即直線過定點∴面積為令,則令,則當時恒成立∴在單調遞減,則,即∴面積的最大值為(七)利用橢圓的參數方程把把問題轉化為三角函數求最值與范圍此類問題通常是把橢圓上的動點設為,再利用輔助角公式及弦函數的有界性或單調性求最值與范圍.【例8】已知橢圓過點．(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C的第四象限的圖象上有一個動點M,連接動點M與橢圓C的左頂點A與y的負半軸交于點E,連接動點M與橢圓的上頂點B,與x的正半軸交于點F,記四邊形的面積為,的面積為,,求的取值范圍．【解析】（1）依題意,得,故C的方程為．（2）依題意,,設,則,所以直線,令,則．直線,令．則,又易知,所以四邊形的面積．由題意可知的直線方程為,再設橢圓的參數方程為為參數,則動點M到直線的距離,,化簡得．∵,∴,的面積,∴．∵,∴,即．三、跟蹤檢測1.（2023屆重慶市第八中學校高三上學期月考）已知雙曲線E：（,）一個頂點為,直線l過點交雙曲線右支于M,N兩點,記,,的面積分別為S,,.當l與x軸垂直時,的值為.(1)求雙曲線E的標準方程；(2)若l交y軸于點P,,,求證：為定值；(3)在（2）的條件下,若,當時,求實數m的取值范圍.2．（2023屆陜西省咸陽市武功縣高三上學期質量檢測）已知橢圓：的左、右焦點分別為、,是橢圓上一動點,的最大面積為,.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點,、為橢圓上兩點,且,求的最大值.3．已知橢圓的離心率為,其左焦點到點的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點,求的面積關于的函數關系式,并求面積最大時直線的方程．4．如圖所示,、分別為橢圓的左、右頂點,離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線,與橢圓交于,兩點,求面積的最大值.5．已知橢圓的離心率為,橢圓上一動點與左?右焦點構成的三角形面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)設橢圓的左?右頂點分別為,直線交橢圓于兩點,記直線的斜率為,直線的斜率為,已知.①求證：直線恒過定點；②設和的面積分別為,求的最大值.6．（2023屆北京市第四中學高三上學期測試）已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓過點,離心率為,點為其右頂點.過點作直線與橢圓相交于、兩點,直線、與直線分別交于點、.(1)求橢圓的方程；(2)求的取值范圍.7．（2022屆上海市行知中學高三上學期考試）已知曲線上一動點到兩定點,的距離之和為,過點的直線與曲線相交于點,．(1)求曲線的方程；(2)動弦滿足：,求點的軌跡方程；(3)求的取值范圍．8．（2023屆河南省名校聯盟高三上學期9月聯考）已知橢圓的離心率為,左?右焦點分別為是橢圓上關于原點對稱的兩點,.(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓左頂點為A,上頂點為B,直線且交橢圓于P,Q,求的面積最大時,l的方程.9．已知一條動直線,直線l過動直線的定點P,且直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,O為坐標原點．(1)是否存在直線l滿足下列條件：①△AOB的周長為12；②△AOB的面積為6．若存在,求出直線l的方程；若不存在,請說明理由．(2)當取得最小值時,求直線l的方程．10．如圖,已知點為拋物線的焦點．過點F的直線交拋物線于A,B兩點,點A在第一象限,點C在拋物線上,使得的重心G在x軸上,直線交x軸于點Q,且Q在點F的右側,記,的面積分別為,．(1)求p的值及拋物線的準線方程；(2)設A點縱坐標為,求關于t的函數關系式；(3)求的最小值及此時點G的坐標．11.（2022屆河南省中原頂級名校高三上學期1月聯考）已知橢圓的左、右焦點分別為,,過點的直線交橢圓于,兩點.當直線的斜率為1時,點是線段的中點.（1）求橢圓的標準方程；（2）如圖,若過點的直線交橢圓于,兩點,且,求四邊形的面積的最大值.12.（2022屆浙江省紹興市高三上學期12月月考）已知拋物線的焦點是,如圖,過點作拋物線的兩條切線,切點分別是和,線段的中點為．（1）求拋物線的標準方程；（2）求證：直線軸；（3）以線段為直徑作圓,交直線于,求的取值范圍．13．（2022屆廣東省華南師范大學附屬中學高三上學期綜合測試）已知橢圓經過點,離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓相交于兩點,求的最大值.14．（2022屆貴州省遵義市高三上學期聯考）已知橢圓的左?右焦點分別為和,且,,,四點中恰有三點在橢圓C上.（1）求橢圓C的標準方程；（2）點P是橢圓C上位于x軸上方的動點,直線和與直線分別交于G和H兩點,設直線和的斜率分別為和,若線段GH的長度小于,求的最大值.

專題9利用函數思想求圓錐曲線中的最值與范圍問題一、考情分析與圓錐曲線有關的范圍、最值問題,在高考中常以解答題形式考查,且難度較大,它能綜合應用函數、三角、不等式等有關知識,因而備受命題者青睞.解題時要緊緊抓住圓錐曲線的定義與性質進行轉化,充分展現數形結合、函數與方程、化歸轉化等數學思想在解題中的應用,其中把問題轉化為函數求最值與值域是最常用的方法之一．二、解題秘籍(一)利用函數思想最值與范圍問題求解方法與策略1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系,從而確定參數的取值范圍；(2)利用已知參數的范圍,求新參數的范圍,解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系；(3)利用隱含的不等關系建立不等式,從而求出參數的取值范圍；(4)利用已知的不等關系構造不等式,從而求出參數的取值范圍；(5)利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數,求其值域,從而確定參數的取值范圍．2.利用函數思想求圓錐曲線中的最值或范圍,首先要把待求量用某個（些）量來表示,然后把待求量看作關于這個量的函數,再結合函數性質求最值與范圍,其中利用二次函數配方求最值是最常用的方法,有時也可利用導數研究函數單調性求最值.【例1】（2023屆四川省成都市高三上學期10月月考）已知點是拋物線與橢圓的公共焦點,橢圓上的點到點的最大距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)過點作的兩條切線,記切點分別為,求面積的最大值.【解析】（1）拋物線的焦點為,即,橢圓上的點到點的最大距離為,所以,,所以橢圓方程為.（2）拋物線的方程為,即,對該函數求導得,設點,,,直線的方程為,即,即,同理可知,直線的方程為,由于點為這兩條直線的公共點,則,所以點,的坐標滿足方程,所以直線的方程為,聯立,可得,由韋達定理可得,,所以,點到直線的距離為,所以,因為,由已知可得,所以當時,面積的最大值為.【例2】（2023屆新高考高中畢業(yè)班“啟航”適應性練習）在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線M：．P,Q,R為M上相異的三點,且,與負半軸交于點A,RQ,PQ分別與正半軸交于點B,C,記點．(1)證明：；(2)若B為M的焦點,當最大時,求的值．【解析】（1）證明：因為,所以直線OP和OQ斜率之積為－1,設PQ：,且,,聯立,得,且恒成立,所以,,記直線OP、OQ的斜率分別為,,所以,即,所以,設：,且,聯立,得,且恒成立,得,同理設：,得,所以,即；（2）因為B為M的焦點,所以,且,,,又,不妨設,,則,記,,則,,令,則,且在上單調遞增,在上單調遞減,且在上單調遞增,所以當,即時,最大,最大．(二)利用距離公式把距離問題轉化為二次函數求最值與距離或線段長度有關的最值與范圍問題通常是把相關距離或線段長度利用距離公式表示成一個變量的函數,若被開放式為二次函數類型,可通過配方求最值與范圍.【例3】（2023屆湖北省騰云聯盟高三上學期10月聯考）已知橢圓經過點,且離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)設過點的直線與橢圓交于,兩點,設坐標原點為,線段的中點為,求的最大值.【解析】（1）橢圓經過點,其離心率為．,,,,故橢圓的方程為：；（2）當直線斜率不存在時,M與O重合,不合題意,當直線斜率存在時,設,,,則有,,直線的斜率為,,兩點在橢圓上,有,,兩式相減,,即,得,化簡得,,∴當時,的最大值為(三)把面積問題轉化為二次函數最值問題該類問題求解的基本思路通常是把面積用另一個量（如點的橫坐標、縱坐標,直線的斜率等）,把求面積最值與范圍問題轉化為求函數最值或值域,若函數式可轉化為二次函數類型,可利用二次函數性質求最值.【例4】已知橢圓經過點,其右焦點為.(1)求橢圓的離心率；(2)若點在橢圓上,右頂點為,且滿足直線與的斜率之積為.求面積的最大值.【解析】（1）依題可得,,解得,所以橢圓的方程為.所以離心率.（2）易知直線與的斜率同號,所以直線不垂直于軸,故可設,由可得,,所以,,而,即,化簡可得,,化簡得,所以或,所以直線或,因為直線不經過點,所以直線經過定點.設定點,因為,所以,設,所以,當且僅當即時取等號,即面積的最大值為.(四)與斜率有關的最值與范圍問題與斜率有關的最值與范圍問題的思路一是設出動點.是利用斜率定義表示出斜率,然后利用函數知識求解,二是設出直線的點斜式或斜截式方程,利用根與系數之間的關系或題中條件整理關于斜率的等式,再利用函數思想求解.【例5】已知橢圓,過點作橢圓的兩條切線,且兩切線垂直.(1)求；(2)已知點,若存在過點的直線與橢圓交于,且以為直徑的圓過點（不與重合）,求直線斜率的取值范圍.【解析】（1）由題可知,切線斜率存在,則設切線,聯立得,即,相切得：,即,所以由兩切線垂直得：（2）由（1）得,橢圓方程為由題可知,直線的斜率存在,設,聯立得設,由韋達定理得：由題意為直徑的圓過點,①又代入①式得：或（舍去）,所以過定點,,隨的增大而增大,,即直線斜率范圍(五)通過換元把問題轉化為二次函數問題該類問題通常是所得結果比較復雜,通過換元把問題轉化為二次函數求解.【例6】已知橢圓C：的離心率為,,分別為橢圓C的左、右焦點,過且與x軸垂直的直線與橢圓C交于點A,B,且的面積為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設直線l與橢圓C交于不同于右頂點P的M,N兩點,且,求的最大值．【解析】（1）因為橢圓C的離心率為,所以①．將代入,得,所以,則,即②．由①②及,得,,故橢圓C的標準方程為．（2）由題意知,直線l的斜率不為0,則不妨設直線l的方程為．聯立得消去x得,,化簡整理,得．設,,則,．因為,所以．因為,所以,,得,將,代入上式,得,得,解得或（舍去）,所以直線l的方程為,則直線l恒過點,所以．設,則,,易知在上單調遞增,所以當時,取得最大值,為．又,所以．(六)把問題轉化為函數問題后再借助導數求最值或范圍該類問題通常是所得函數為分式函數或高次函數,又不具備使用均值不等式的條件,只能借助導數求最值或范圍.【例7】（2023屆云南省昆明市第一中學高三上學期第二次檢測）已知橢圓四個頂點的四邊形為菱形,它的邊長為,面積為,過橢圓左焦點與橢圓C相交于M,N兩點（M,N兩點不在x軸上）,直線l的方程為：,過點M作垂直于直線l交于點E．(1)求橢圓C的標準方程；(2)點O為坐標原點,求面積的最大值．【解析】（1）由題意可得：,解得橢圓C的標準方程為（2）由（1）可得：,即由題意可設直線,則聯立方程,消去x可得：∴,則∴直線的斜率,則直線的方程為令,則可得即直線過定點∴面積為令,則令,則當時恒成立∴在單調遞減,則,即∴面積的最大值為(七)利用橢圓的參數方程把把問題轉化為三角函數求最值與范圍此類問題通常是把橢圓上的動點設為,再利用輔助角公式及弦函數的有界性或單調性求最值與范圍.【例8】已知橢圓過點．(1)求橢圓C的方程；(2)在橢圓C的第四象限的圖象上有一個動點M,連接動點M與橢圓C的左頂點A與y的負半軸交于點E,連接動點M與橢圓的上頂點B,與x的正半軸交于點F,記四邊形的面積為,的面積為,,求的取值范圍．【解析】（1）依題意,得,故C的方程為．（2）依題意,,設,則,所以直線,令,則．直線,令．則,又易知,所以四邊形的面積．由題意可知的直線方程為,再設橢圓的參數方程為為參數,則動點M到直線的距離,,化簡得．∵,∴,的面積,∴．∵,∴,即．三、跟蹤檢測1.（2023屆重慶市第八中學校高三上學期月考）已知雙曲線E：（,）一個頂點為,直線l過點交雙曲線右支于M,N兩點,記,,的面積分別為S,,.當l與x軸垂直時,的值為.(1)求雙曲線E的標準方程；(2)若l交y軸于點P,,,求證：為定值；(3)在（2）的條件下,若,當時,求實數m的取值范圍.【解析】（1）由題意得,,則當l與x軸垂直時,不妨設,由,得,將代入方程,得,解得,所以雙曲線E的方程為．（2）設,,,由與,得,即,,將代入E的方程得：,整理得：①,同理由可得②．由①②知,,是方程的兩個不等實根．由韋達定理知,所以為定值．（3）又,即,整理得：,又,不妨設,則,整理得,又,故,而由（2）知,,故,代入,令,得,由雙勾函數在上單調遞增,得,所以m的取值范圍為．.2．（2023屆陜西省咸陽市武功縣高三上學期質量檢測）已知橢圓：的左、右焦點分別為、,是橢圓上一動點,的最大面積為,.(1)求橢圓的方程；(2)若直線與橢圓交于、兩點,、為橢圓上兩點,且,求的最大值.【解析】（1）設橢圓的半焦距為,,,的最大面積為,,,,橢圓的方程為；（2）由題知,設直線的方程為,,,聯立,消去并整理得：,∴,得,,,∴,設,,由復合函數的單調性知：在上單調遞增,在單調遞減,∴當時,,故.3．已知橢圓的離心率為,其左焦點到點的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓相交于兩點,求的面積關于的函數關系式,并求面積最大時直線的方程．【解析】（1）由題意得：,且,解得：,所以,所以橢圓方程為；（2）聯立與橢圓方程可得：,由,解得：；設,則,,由弦長公式可得：,點到直線的距離為,則的面積為,其中,令,,則,由于,所以,,令得：,令得：,即在上單調遞增,在上單調遞減,所以在處取得極大值,也是最大值,,所以當時,面積取得最大值,此時直線的方程為．4．如圖所示,、分別為橢圓的左、右頂點,離心率為.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線,與橢圓交于,兩點,求面積的最大值.【解析】（1）由已知可得：,解得：,,∴橢圓的方程為：.（2）∵,設的直線方程為：,,,聯立方程：,整理得：,∴,,∵,,,即,,,,整理得,解得或（舍去）,∴,,∴,令,則,由對勾函數單調性知,,所以,當且僅當時,即時等號成立,此時最大值為.5．已知橢圓的離心率為,橢圓上一動點與左?右焦點構成的三角形面積最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)設橢圓的左?右頂點分別為,直線交橢圓于兩點,記直線的斜率為,直線的斜率為,已知.①求證：直線恒過定點；②設和的面積分別為,求的最大值.【解析】（1）由題意,解得,所以橢圓C的方程為．（2）①依題意,設,若直線的斜率為0則P,Q關于y軸對稱,必有,不合題意．所以直線斜率必不為0,設其方程為,與橢圓C聯立,整理得：,所以,且因為是橢圓上一點,即,所以,則,即因為,所以,此時,故直線恒過x軸上一定點．②由①得：,所以,而,當時的最大值為．6．（2023屆北京市第四中學高三上學期測試）已知中心在原點,焦點在軸上的橢圓過點,離心率為,點為其右頂點.過點作直線與橢圓相交于、兩點,直線、與直線分別交于點、.(1)求橢圓的方程；(2)求的取值范圍.【解析】（1）由題意設橢圓的標準方程為（）,由題意,得,解得,,即橢圓的標準方程為.（2）由（1）得,設,,,聯立,得,即,則,,直線,的方程分別為,,令,則,,則,,所以因為,所以,,即的取值范圍為.7．（2022屆上海市行知中學高三上學期考試）已知曲線上一動點到兩定點,的距離之和為,過點的直線與曲線相交于點,．(1)求曲線的方程；(2)動弦滿足：,求點的軌跡方程；(3)求的取值范圍．【解析】（1）因為動點到兩定點,的距離之和為,所以曲線是以,為焦點的橢圓,,,所以,,所以曲線的方程為；（2）因為,所以為中點,設,當的斜率存在且不為0時,將,代入橢圓方程中得：兩式相減得,故故得,所以,所以,整理得；當的斜率不存在或為0時,或,出滿足；所以點的軌跡方程是；（3）,其中,,分別為點到直線：的距離,因為點的軌跡方程為,設,,則可設,所以,其中,所以．8．（2023屆河南省名校聯盟高三上學期9月聯考）已知橢圓的離心率為,左?右焦點分別為是橢圓上關于原點對稱的兩點,.(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓左頂點為A,上頂點為B,直線且交橢圓于P,Q,求的面積最大時,l的方程.【解析】（1）由題意得,化簡得,則.根據對稱性得,故,即,所以,故橢圓C的方程為.（2）由（1）得,設,l的方程為,代入橢圓方程,整理得,則,,解得且.故,點到直線l的距離為,則.令,則.當t變化時,的變化情況如下表：t+-+-比較與知,當時,面積取最大,此時,l的方程為.9．已知一條動直線,直線l過動直線的定點P,且直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,O為坐標原點．(1)是否存在直線l滿足下列條件：①△AOB的周長為12；②△AOB的面積為6．若存在,求出直線l的方程；若不存在,請說明理由．(2)當取得最小值時,求直線l的方程．【解析】（1）,即,由,解得,故動直線過定點．設直線l的方程為,將代入得．①由A（a,0）,B（0,b）,△AOB的周長為12,面積為6,得,令a＋b＝t,則,所以,即,化簡得24t＝168,解得t＝7,所以有,解得或．其中不滿足①,滿足①．所以存在直線l的方程為,即3x＋4y－12＝0滿足條件．（2）由（1）可知直線l過定點,直線l與x軸、y軸的正半軸分別交于A,B兩點,所以直線l的傾斜角,所以,,所以,②令,因為,所以,所以,所以．則,因為在上為減函數,所以在上為增函數,故當,即時,取得最小值．此時直線l的方程為,即3x＋3y－10＝0．10．如圖,已知點為拋物線的焦點．過點F的直線交拋物線于A,B兩點,點A在第一象限,點C在拋物線上,使得的重心G在x軸上,直線交x軸于點Q,且Q在點F的右側,記,的面積分別為,．(1)求p的值及拋物線的準線方程；(2)設A點縱坐標為,求關于t的函數關系式；(3)求的最小值及此時點G的坐標．【解析】（1）因為點為拋物線的焦點,所以,即,準線方程.