2025高考數學壓軸專項題型專題07圓錐曲線中的定值問題含答案及解析

專題7圓錐曲線中的定值問題一、考情分析求定值是圓錐曲線中頗有難度的一類問題,也是備受高考關注的一類問題,由于它在解題之前不知道定值的結果,因而更增添了題目的神秘色彩.解決這類問題時,要善于運用辯證的觀點去思考分析,在動點的“變”中尋求定值的“不變”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值,揭開神秘的面紗,這樣可將盲目的探索問題轉化為有方向有目標的一般性證明題,從而找到解決問題的突破口.同時有許多定值問題,通過特殊探索法不但能夠確定出定值,還可以為我們提供解題的線索.二、解題秘籍(一)定值問題解題思路與策略定值問題肯定含有參數,若要證明一個式子是定值,則意味著參數是不影響結果的,也就是說參數在解式子的過程中都可以消掉,因此解決定值問題的關鍵是設參數：

(1)在解析幾何中參數可能是點（注意如果設點是兩個參數時,注意橫坐標要滿足圓錐曲線方程）

(2)可能是角（這里的角常常是將圓錐曲線上的點設為三角函數角的形式）,

(3)也可能是斜率（這個是最常用的,但是既然設斜率了,就要考慮斜率是否存在的情況）

常用的參數就是以上三種,但是注意我們設參數時要遵循一個原則：參數越少越好.

因此定值問題的解題思路是：

(1)設參數；

(2)用參數來表示要求定值的式子；

(3)消參數.

2.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數式為定值．依題意設條件,得出與代數式參數有關的等式,代入代數式、化簡即可得出定值；(2)求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式,再依據條件對解析式進行化簡、變形即可求得．【例1】（2023屆湖湘名校教育聯合體高三上學期9月大聯考）已知橢圓為右焦點，直線與橢圓C相交于A，B兩點，取A點關于x軸的對稱點S，設線段與線段的中垂線交于點Q．(1)當時，求；(2)當時，求是否為定值？若為定值，則求出定值；若不為定值，則說明理由．【解析】（1）設，線段的中點M坐標為，聯立得消去y可得：，所以所以，代入直線方程，求得，因為Q為三條中垂線的交點，所以，有，直線方程為.令，所以.由橢圓可得右焦點，故．（2）設，中點M坐標為．相減得，.又Q為的外心，故，所以，直線方程為，令，所以而,所以，，同理，，，所以當t變化時，為定值．【例2】（2023屆河南省濮陽市高三上學期測試）已知橢圓：的右焦點為，圓：，過且垂直于軸的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為和.(1)求的方程；(2)過圓上一點（不在坐標軸上）作的兩條切線，，記，的斜率分別為，，直線的斜率為，證明：為定值.【解析】（1）設橢圓的半焦距為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的弦長分別為，則；過且垂直于軸的直線被圓所截得的弦長分別為，則，又，解得，所以的方程為.（2）設，則.①設過點與橢圓相切的直線方程為，聯立得，則，整理得.②由題意知，為方程②的兩根，由根與系數的關系及①可得.又因為，所以，所以為定值．(二)與線段長度有關的定值問題與線段長度有關的定值問題通常是先引入參數,利用距離公式或弦長公式得到長度解析式,再對解析式化簡,得出結果為定值【例3】（2023屆遼寧省朝陽市高三上學期9月月考）已知雙曲線的離心率為，點在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)點，在雙曲線上，直線，與軸分別相交于兩點，點在直線上，若坐標原點為線段的中點，，證明：存在定點，使得為定值.【解析】（1）由題意，雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，可得，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由題意知，直線的的斜率存在，設直線的方程為，聯立方程組，整理得，則且，設，則，直線的方程為，令，可得，即,同理可得，因為為的中點，所以，即，可得，即，所以或，若，則直線方程為，即，此時直線過點，不合題意；若時，則直線方程為，恒過定點，所以為定值，又由為直角三角形，且為斜邊，所以當為的中點時，.(三)與面積有關的定值問題與面積有關的定值問題通常是利用面積公式把面積表示成某些變量的表達式,再利用題中條件化簡.【例4】（2023屆河南省部分學校高三上學期9月聯考）已知橢圓：的左焦點為，上、下頂點分別為，，．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上有三點，，滿足，證明：四邊形的面積為定值．【解析】（1）依題意，又，所以，所以，所以橢圓方程為.（2）證明：設，，，因為，所以四邊形為平行四邊形，且，所以，即，又，，所以，若直線的斜率不存在，與左頂點或右頂點重合，則，所以，所以，若直線的斜率存在，設直線的方程為，代入橢圓方程整理得，所以，，，所以所以，整理得，又，又原點到的距離，所以，將代入得，所以，綜上可得，四邊形的面積為定值.(四)與斜率有關的定值問題與斜率有關的定值問題常見類型是斜率之積商或斜率之和差為定值,求解時一般先利用斜率公式寫出表達式,再利用題中條件或韋達定理化簡.【例5】（2023屆江蘇省南通市高三上學期第一次質量監(jiān)測）已知分別是橢圓的左?右頂點，分別是的上頂點和左焦點.點在上，滿足.(1)求的方程；(2)過點作直線（與軸不重合）交于兩點，設直線的斜率分別為，求證：為定值.【解析】（1）因為，故可設，因為，故，即，解得.又在橢圓上，故，解得，故.又，故，故，.故的方程為.（2）因為橢圓方程為，故，當斜率為0時或重合，不滿足題意，故可設：.聯立可得，設，則.故故定值為(五)與向量有關的定值問題與向量有關的定值問題常見類型一是求數量積有關的定值問題，二是根據向量共線,寫出向量系數的表達式,再通過計算得出與向量系數有關的定值結論.【例6】（2023屆湖南省部分校高三上學期9月月考）已知雙曲線的離心率為，點在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設過點的直線與雙曲線交于兩點，問在軸上是否存在定點，使得為常數？若存在，求出點的坐標以及該常數的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為雙曲線的離心率為，所以，化簡得.將點的坐標代入，可得，解得，所以的方程為.（2）設，直線的方程為，聯立方程組消去得（1-，由題可知且，即且，所以.設存在符合條件的定點，則，所以.所以，化簡得.因為為常數，所以，解得.此時該常數的值為，所以，在軸上存在點，使得為常數，該常數為.【例7】（2022屆上海市金山區(qū)高三上學期一模）已知為橢圓C：內一定點,Q為直線l：上一動點,直線PQ與橢圓C交于A?B兩點（點B位于P?Q兩點之間）,O為坐標原點.（1）當直線PQ的傾斜角為時,求直線OQ的斜率；（2）當AOB的面積為時,求點Q的橫坐標；（3）設,,試問是否為定值？若是,請求出該定值；若不是,請說明理由.【解析】（1）因為直線PQ的傾斜角為,且,所以直線PQ的方程為：,由,得,所以直線OQ的斜率是；（2）易知直線PQ的斜率存在,設直線PQ的方程為,由,得,設,則,所以,所以,解得,即,所以直線PQ的方程為或,由,得；由,得；（3）易知直線PQ的斜率存在,設直線PQ的方程為,由,得,設,則,所以,因為,,所以,所以,.(六)與代數式有關的定值問題與代數式有關的定值問題．一般是依題意設條件,得出與代數式參數有關的等式,代入代數式、化簡即可得出定值【例8】在平面直角坐標系中，橢圓的右準線為直線，動直線交橢圓于兩點，線段的中點為，射線分別交橢圓及直線于點，如圖，當兩點分別是橢圓的右頂點及上頂點時，點的縱坐標為（其中為橢圓的離心率），且．(1)求橢圓的標準方程；(2)如果是的等比中項，那么是否為常數？若是，求出該常數；若不是，請說明理由．【解析】（1）橢圓的右準線為直線，動直線交橢圓于兩點，當零點分別是橢圓的有頂點和上頂點時，則，因為線段的中點為，射線分別角橢圓及直線與兩點，所以，由三點共線，可得，解得，因為，所以，可得，又由，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）解：把代入橢圓，可得，可得，則，所以，即,所以直線的方程為，由，可得，因為是的等比中項，所以，可得，又由，解得，所以，此時滿足，所以為常數.(六)與定值有關的結論1.若點A,B是橢圓C：上關于原點對稱的兩點,點P是橢圓C上與A,B不重合的點,則；2.若點A,B是雙曲線C：上關于原點對稱的兩點,點P是雙曲線C上與A,B不重合的點,則.3.設點是橢圓C：上一定點,點A,B是橢圓C上不同于P的兩點,若,則直線AB斜率為定值；4.設點是雙曲線C：一定點,點A,B是雙曲線C上不同于P的兩點,若,直線AB斜率為定值；5.設點是拋物線C：一定點,點A,B是拋物線C上不同于P的兩點,若,直線AB斜率為定值.6.設是橢圓上不同3點,B,C關于x軸對稱,直線AC,BC與x軸分別交于點,則.7.點A,B是橢圓C：上動點,O為坐標原點,若,則=（即點O到直線AB為定值）8.經過橢圓（a＞b＞0）的長軸的兩端點A1和A2的切線,與橢圓上任一點的切線相交于P1和P2,則.9.過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點,弦MN的垂直平分線交x軸于P,則.10.點為橢圓(包括圓在內)在第一象限的弧上任意一點,過引軸、軸的平行線,交軸、軸于,交直線于,記與的面積為,則：.【例9】（2022屆上海市黃浦區(qū)高三一模）設常數且,橢圓：,點是上的動點．（1）若點的坐標為,求的焦點坐標；（2）設,若定點的坐標為,求的最大值與最小值；（3）設,若上的另一動點滿足（為坐標原點）,求證：到直線PQ的距離是定值．【解析】（1）∵橢圓：,點的坐標為,∴,,∴的焦點坐標為；（2）設,又,由題知,即,∴,又,∴當時,取得最大值為25；當時,取得最小值為；∴的最大值為5,最小值為.（3）當時,橢圓：,設,當直線PQ斜率存在時設其方程為,則由,得,∴,由可知,即,∴,即,∴,可得,滿足,∴到直線PQ的距離為為定值；當直線PQ斜率不存在時,,可得直線方程為,到直線PQ的距離為.綜上,到直線PQ的距離是定值．三、跟蹤檢測1．（2023屆江蘇省南通市海安市高三上學期質量監(jiān)測）已知橢圓：的離心率為，短軸長為2.(1)求的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與自左向右依次交于點，，點在線段上，且，為線段的中點，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值.2．（2023屆湖北省“宜荊荊恩”高三上學期考試）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)已知是雙曲線上不同于的兩點，且于，證明：存在定點，使為定值.3．（2023屆江蘇省南京市高三上學期9月學情調研）已知拋物線C：的焦點為F，過點P(0，2)的動直線l與拋物線相交于A，B兩點．當l經過點F時，點A恰好為線段PF中點．(1)求p的值；(2)是否存在定點T，使得為常數？若存在，求出點T的坐標及該常數；若不存在，說明理由．4．（2023屆重慶市2023屆高三上學期質量檢測）已知拋物線的焦點為F，斜率不為0的直線l與拋物線C相切，切點為A，當l的斜率為2時，.(1)求p的值；(2)平行于l的直線交拋物線C于B，D兩點，且，點F到直線BD與到直線l的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；否則，請說明理由.5．（2023屆江蘇省百校聯考高三上學期考試）設為橢圓：的右焦點，過點且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點.(1)當時，求；(2)在軸上是否存在異于的定點，使為定值（其中，分別為直線，的斜率）？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由.6．（2022屆湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高三下學期5月模擬）已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，橢圓的長軸長為.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，交拋物線于兩點，請問是否存在實常數，使為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.7．（2023屆江蘇省南京市高三上學期數學大練）已知點B是圓C:上的任意一點，點F（，0），線段BF的垂直平分線交BC于點P.(1)求動點Р的軌跡E的方程;(2)設曲線E與x軸的兩個交點分別為A1，A2，Q為直線x=4上的動點，且Q不在x軸上，QA1與E的另一個交點為M，QA2與E的另一個交點為N，證明:△FMN的周長為定值.8．（2023屆安徽省皖南八校高三上學期考試）已知橢圓的左?右焦點為，，且左焦點坐標為，為橢圓上的一個動點，的最大值為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若過點的直線與橢圓交于兩點，點，記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：.9．（2023屆北京市房山區(qū)高三上學期考試）已知橢圓的長軸的兩個端點分別為離心率為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)M為橢圓C上除A，B外任意一點，直線交直線于點N，點O為坐標原點，過點O且與直線垂直的直線記為l，直線交y軸于點P，交直線l于點Q，求證：為定值．10．（2023屆湖南師范大學附屬中學高三上學期月考）已知，直線的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程;(2)直線與曲線交于兩點，為坐標原點，若直線的斜率之積為，證明:的面積為定值.11．（2023屆貴州省遵義市新高考協(xié)作體高三上學期質量監(jiān)測）已知點是橢圓的左焦點，是橢圓上的任意一點，．(1)求的最大值；(2)過點的直線與橢圓相交于兩點，與軸相交于點．若，，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．12．（2023屆江蘇省鹽城市響水中學高三上學期測試）已知橢圓：，，過點的動直線與橢圓交于、兩點.(1)求線段的中點的軌跡方程；(2)是否存在常數，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.13．（2023屆云南省下關第一中學高三上學期考試）已知橢圓過點，離心率為，直線與橢圓交于兩點，過點作，垂足為C點，直線AC與橢圓的另一個交點為．(1)求橢圓的方程；(2)試問是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．14．如圖,點M是圓上任意點,點,線段的垂直平分線交半徑于點P,當點M在圓A上運動時,

（1）求點P的軌跡E的方程；（2）軸,交軌跡于點（點在軸的右側）,直線與交于（不過點）兩點,且直線與直線關于直線對稱,則直線具備以下哪個性質？證明你的結論？①直線恒過定點；②m為定值；③n為定值．15．（2022屆云南省紅河州高三檢測）在平面直角坐標系Oxy中,點M是以原點O為圓心,半徑為a的圓上的一個動點.以原點O為圓心,半徑為的圓與線段OM交于點N,作軸于點D,作于點Q.（1）令,若,,,求點Q的坐標；（2）若點Q的軌跡為曲線C,求曲線C的方程；（3）設（2）中的曲線C與x軸的正半軸交于點A,與y軸的正負半軸分別交于點,,若點E?F分別滿足,,設直線和的交點為K,設直線：及點,（其中）,證明：點K到點H的距離與點K到直線l的距離之比為定值.

專題7圓錐曲線中的定值問題一、考情分析求定值是圓錐曲線中頗有難度的一類問題,也是備受高考關注的一類問題,由于它在解題之前不知道定值的結果,因而更增添了題目的神秘色彩.解決這類問題時,要善于運用辯證的觀點去思考分析,在動點的“變”中尋求定值的“不變”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊圖形等）先確定出定值,揭開神秘的面紗,這樣可將盲目的探索問題轉化為有方向有目標的一般性證明題,從而找到解決問題的突破口.同時有許多定值問題,通過特殊探索法不但能夠確定出定值,還可以為我們提供解題的線索.二、解題秘籍(一)定值問題解題思路與策略定值問題肯定含有參數,若要證明一個式子是定值,則意味著參數是不影響結果的,也就是說參數在解式子的過程中都可以消掉,因此解決定值問題的關鍵是設參數：

(1)在解析幾何中參數可能是點（注意如果設點是兩個參數時,注意橫坐標要滿足圓錐曲線方程）

(2)可能是角（這里的角常常是將圓錐曲線上的點設為三角函數角的形式）,

(3)也可能是斜率（這個是最常用的,但是既然設斜率了,就要考慮斜率是否存在的情況）

常用的參數就是以上三種,但是注意我們設參數時要遵循一個原則：參數越少越好.

因此定值問題的解題思路是：

(1)設參數；

(2)用參數來表示要求定值的式子；

(3)消參數.

2.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數式為定值．依題意設條件,得出與代數式參數有關的等式,代入代數式、化簡即可得出定值；(2)求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設條件化簡、變形求得；(3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式,再依據條件對解析式進行化簡、變形即可求得．【例1】（2023屆湖湘名校教育聯合體高三上學期9月大聯考）已知橢圓為右焦點，直線與橢圓C相交于A，B兩點，取A點關于x軸的對稱點S，設線段與線段的中垂線交于點Q．(1)當時，求；(2)當時，求是否為定值？若為定值，則求出定值；若不為定值，則說明理由．【解析】（1）設，線段的中點M坐標為，聯立得消去y可得：，所以所以，代入直線方程，求得，因為Q為三條中垂線的交點，所以，有，直線方程為.令，所以.由橢圓可得右焦點，故．（2）設，中點M坐標為．相減得，.又Q為的外心，故，所以，直線方程為，令，所以而,所以，，同理，，，所以當t變化時，為定值．【例2】（2023屆河南省濮陽市高三上學期測試）已知橢圓：的右焦點為，圓：，過且垂直于軸的直線被橢圓和圓所截得的弦長分別為和.(1)求的方程；(2)過圓上一點（不在坐標軸上）作的兩條切線，，記，的斜率分別為，，直線的斜率為，證明：為定值.【解析】（1）設橢圓的半焦距為，過且垂直于軸的直線被橢圓所截得的弦長分別為，則；過且垂直于軸的直線被圓所截得的弦長分別為，則，又，解得，所以的方程為.（2）設，則.①設過點與橢圓相切的直線方程為，聯立得，則，整理得.②由題意知，為方程②的兩根，由根與系數的關系及①可得.又因為，所以，所以為定值．(二)與線段長度有關的定值問題與線段長度有關的定值問題通常是先引入參數,利用距離公式或弦長公式得到長度解析式,再對解析式化簡,得出結果為定值【例3】（2023屆遼寧省朝陽市高三上學期9月月考）已知雙曲線的離心率為，點在雙曲線上.(1)求雙曲線的方程；(2)點，在雙曲線上，直線，與軸分別相交于兩點，點在直線上，若坐標原點為線段的中點，，證明：存在定點，使得為定值.【解析】（1）由題意，雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，可得，解得，所以雙曲線的方程為.（2）由題意知，直線的的斜率存在，設直線的方程為，聯立方程組，整理得，則且，設，則，直線的方程為，令，可得，即,同理可得，因為為的中點，所以，即，可得，即，所以或，若，則直線方程為，即，此時直線過點，不合題意；若時，則直線方程為，恒過定點，所以為定值，又由為直角三角形，且為斜邊，所以當為的中點時，.(三)與面積有關的定值問題與面積有關的定值問題通常是利用面積公式把面積表示成某些變量的表達式,再利用題中條件化簡.【例4】（2023屆河南省部分學校高三上學期9月聯考）已知橢圓：的左焦點為，上、下頂點分別為，，．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓上有三點，，滿足，證明：四邊形的面積為定值．【解析】（1）依題意，又，所以，所以，所以橢圓方程為.（2）證明：設，，，因為，所以四邊形為平行四邊形，且，所以，即，又，，所以，若直線的斜率不存在，與左頂點或右頂點重合，則，所以，所以，若直線的斜率存在，設直線的方程為，代入橢圓方程整理得，所以，，，所以所以，整理得，又，又原點到的距離，所以，將代入得，所以，綜上可得，四邊形的面積為定值.(四)與斜率有關的定值問題與斜率有關的定值問題常見類型是斜率之積商或斜率之和差為定值,求解時一般先利用斜率公式寫出表達式,再利用題中條件或韋達定理化簡.【例5】（2023屆江蘇省南通市高三上學期第一次質量監(jiān)測）已知分別是橢圓的左?右頂點，分別是的上頂點和左焦點.點在上，滿足.(1)求的方程；(2)過點作直線（與軸不重合）交于兩點，設直線的斜率分別為，求證：為定值.【解析】（1）因為，故可設，因為，故，即，解得.又在橢圓上，故，解得，故.又，故，故，.故的方程為.（2）因為橢圓方程為，故，當斜率為0時或重合，不滿足題意，故可設：.聯立可得，設，則.故故定值為(五)與向量有關的定值問題與向量有關的定值問題常見類型一是求數量積有關的定值問題，二是根據向量共線,寫出向量系數的表達式,再通過計算得出與向量系數有關的定值結論.【例6】（2023屆湖南省部分校高三上學期9月月考）已知雙曲線的離心率為，點在上.(1)求雙曲線的方程.(2)設過點的直線與雙曲線交于兩點，問在軸上是否存在定點，使得為常數？若存在，求出點的坐標以及該常數的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為雙曲線的離心率為，所以，化簡得.將點的坐標代入，可得，解得，所以的方程為.（2）設，直線的方程為，聯立方程組消去得（1-，由題可知且，即且，所以.設存在符合條件的定點，則，所以.所以，化簡得.因為為常數，所以，解得.此時該常數的值為，所以，在軸上存在點，使得為常數，該常數為.【例7】（2022屆上海市金山區(qū)高三上學期一模）已知為橢圓C：內一定點,Q為直線l：上一動點,直線PQ與橢圓C交于A?B兩點（點B位于P?Q兩點之間）,O為坐標原點.（1）當直線PQ的傾斜角為時,求直線OQ的斜率；（2）當AOB的面積為時,求點Q的橫坐標；（3）設,,試問是否為定值？若是,請求出該定值；若不是,請說明理由.【解析】（1）因為直線PQ的傾斜角為,且,所以直線PQ的方程為：,由,得,所以直線OQ的斜率是；（2）易知直線PQ的斜率存在,設直線PQ的方程為,由,得,設,則,所以,所以,解得,即,所以直線PQ的方程為或,由,得；由,得；（3）易知直線PQ的斜率存在,設直線PQ的方程為,由,得,設,則,所以,因為,,所以,所以,.(六)與代數式有關的定值問題與代數式有關的定值問題．一般是依題意設條件,得出與代數式參數有關的等式,代入代數式、化簡即可得出定值【例8】在平面直角坐標系中，橢圓的右準線為直線，動直線交橢圓于兩點，線段的中點為，射線分別交橢圓及直線于點，如圖，當兩點分別是橢圓的右頂點及上頂點時，點的縱坐標為（其中為橢圓的離心率），且．(1)求橢圓的標準方程；(2)如果是的等比中項，那么是否為常數？若是，求出該常數；若不是，請說明理由．【解析】（1）橢圓的右準線為直線，動直線交橢圓于兩點，當零點分別是橢圓的有頂點和上頂點時，則，因為線段的中點為，射線分別角橢圓及直線與兩點，所以，由三點共線，可得，解得，因為，所以，可得，又由，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）解：把代入橢圓，可得，可得，則，所以，即,所以直線的方程為，由，可得，因為是的等比中項，所以，可得，又由，解得，所以，此時滿足，所以為常數.(六)與定值有關的結論1.若點A,B是橢圓C：上關于原點對稱的兩點,點P是橢圓C上與A,B不重合的點,則；2.若點A,B是雙曲線C：上關于原點對稱的兩點,點P是雙曲線C上與A,B不重合的點,則.3.設點是橢圓C：上一定點,點A,B是橢圓C上不同于P的兩點,若,則直線AB斜率為定值；4.設點是雙曲線C：一定點,點A,B是雙曲線C上不同于P的兩點,若,直線AB斜率為定值；5.設點是拋物線C：一定點,點A,B是拋物線C上不同于P的兩點,若,直線AB斜率為定值.6.設是橢圓上不同3點,B,C關于x軸對稱,直線AC,BC與x軸分別交于點,則.7.點A,B是橢圓C：上動點,O為坐標原點,若,則=（即點O到直線AB為定值）8.經過橢圓（a＞b＞0）的長軸的兩端點A1和A2的切線,與橢圓上任一點的切線相交于P1和P2,則.9.過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點,弦MN的垂直平分線交x軸于P,則.10.點為橢圓(包括圓在內)在第一象限的弧上任意一點,過引軸、軸的平行線,交軸、軸于,交直線于,記與的面積為,則：.【例9】（2022屆上海市黃浦區(qū)高三一模）設常數且,橢圓：,點是上的動點．（1）若點的坐標為,求的焦點坐標；（2）設,若定點的坐標為,求的最大值與最小值；（3）設,若上的另一動點滿足（為坐標原點）,求證：到直線PQ的距離是定值．【解析】（1）∵橢圓：,點的坐標為,∴,,∴的焦點坐標為；（2）設,又,由題知,即,∴,又,∴當時,取得最大值為25；當時,取得最小值為；∴的最大值為5,最小值為.（3）當時,橢圓：,設,當直線PQ斜率存在時設其方程為,則由,得,∴,由可知,即,∴,即,∴,可得,滿足,∴到直線PQ的距離為為定值；當直線PQ斜率不存在時,,可得直線方程為,到直線PQ的距離為.綜上,到直線PQ的距離是定值．三、跟蹤檢測1．（2023屆江蘇省南通市海安市高三上學期質量監(jiān)測）已知橢圓：的離心率為，短軸長為2.(1)求的方程；(2)過點且斜率不為0的直線與自左向右依次交于點，，點在線段上，且，為線段的中點，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值.【解析】（1）由橢圓：的離心率為，短軸長為2，可知，則，故的方程為；（2）證明：由題意可知直線的斜率一定存在，故設直線的方程為，設，聯立，可得，，則，所以，又，所以，解得，從而，故，即為定值.2．（2023屆湖北省“宜荊荊恩”高三上學期考試）已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線，且過點.(1)求雙曲線的標準方程；(2)已知是雙曲線上不同于的兩點，且于，證明：存在定點，使為定值.【解析】（1）因為雙曲線C與已知雙曲線有相同的漸近線，設雙曲線的標準方程為代入點坐標，解得所以雙曲線的標準方程為（2）（i）當直線斜率存在時，設，設，聯立與雙曲線，化簡得，，即，則有，又，因為，所以，所以，化簡，得，即，所以，且均滿足，當時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾，當時，直線的方程為，過定點（ii）當直線斜率不存在時，由對稱性不妨設直線DE：，與雙曲線方程聯立解得，此時也過點，綜上，直線過定點.由于，所以點在以為直徑的圓上，為該圓圓心，為該圓半徑，所以存在定點，使為定值.3．（2023屆江蘇省南京市高三上學期9月學情調研）已知拋物線C：的焦點為F，過點P(0，2)的動直線l與拋物線相交于A，B兩點．當l經過點F時，點A恰好為線段PF中點．(1)求p的值；(2)是否存在定點T，使得為常數？若存在，求出點T的坐標及該常數；若不存在，說明理由．【解析】（1）因為，且點A恰好為線段PF中點，所以，又因為A在拋物線上，所以，即，解得（2）設，可知直線l斜率存在；設l：，聯立方程得：，所以，所以，又：，令，解之得：，即，此時4．（2023屆重慶市2023屆高三上學期質量檢測）已知拋物線的焦點為F，斜率不為0的直線l與拋物線C相切，切點為A，當l的斜率為2時，.(1)求p的值；(2)平行于l的直線交拋物線C于B，D兩點，且，點F到直線BD與到直線l的距離之比是否為定值？若是，求出此定值；否則，請說明理由.【解析】（1）由，得，則，令，則，即點的橫坐標為，所以其縱坐標也為，故，所以；（2）由（1）得，設直線的方程為，，由得，即，即，由（1）知，聯立，消得，則，所以，所以，，設到直線和直線的距離分別為，則由得，，所以點F到直線BD與到直線l的距離之比是定值，為定值3.5．（2023屆江蘇省百校聯考高三上學期考試）設為橢圓：的右焦點，過點且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點.(1)當時，求；(2)在軸上是否存在異于的定點，使為定值（其中，分別為直線，的斜率）？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設直線的方程為，，，聯立，得，又因為，所以，解得，，所以，即.（2）假設在軸上存在異于點的定點，使得為定值.設直線的方程為，聯立，得，則，，所以.所以.要使為定值，則，解得或（舍去），此時.故在軸上存在異于的定點，使得為定值.6．（2022屆湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高三下學期5月模擬）已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，橢圓的長軸長為.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率為的直線交橢圓于兩點，交拋物線于兩點，請問是否存在實常數，使為定值？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解析】（1）因為拋物線的焦點為，所以，又，則，故橢圓的方程為：；（2）設???，設直線的方程為，與橢圓的方程聯立，得，∴，，∴，設直線的方程，與拋物線G的方程聯立，得，∴，，∴，∴，要使為常數，則，解得，故存在，使得為定值．7．（2023屆江蘇省南京市高三上學期數學大練）已知點B是圓C:上的任意一點，點F（，0），線段BF的垂直平分線交BC于點P.(1)求動點Р的軌跡E的方程;(2)設曲線E與x軸的兩個交點分別為A1，A2，Q為直線x=4上的動點，且Q不在x軸上，QA1與E的另一個交點為M，QA2與E的另一個交點為N，證明:△FMN的周長為定值.【解析】（1）因為點P在BF垂直平分線上，所以有，所以：，即PF+PC為定值4，所以軌跡E為橢圓，且，所以，所以軌跡E的方程為：.（2）由題知：，設則，，所以QA1方程為：，QA2方程為：，聯立方程：，可以得出M：同理可以計算出點N坐標：，當存在，即，即時，所以直線MN的方程為：即：，所以直線過定點，即過橢圓的右焦點，所以△FMN的周長為4a=8.當不存在，即，即時，可以計算出，周長也等于8.所以△FMN的周長為定值8.8．（2023屆安徽省皖南八校高三上學期考試）已知橢圓的左?右焦點為，，且左焦點坐標為，為橢圓上的一個動點，的最大值為.(1)求橢圓的標準方程；(2)若過點的直線與橢圓交于兩點，點，記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：.【解析】（1）因為左焦點坐標為，所以，當點在上?下頂點時，最大，又的最大值為.所以，由得，所以橢圓的標準方程為；（2）當直線的斜率為0時，直線的方程為，直線與橢圓沒有交點，與條件矛盾，故可設直線的方程為，聯立直線的方程與橢圓方程可得，，化簡可得，所以，由已知方程的判別式，又直線過點，所以，所以，所以，設，則，，因為所以，所以方法二：設直線的方程為，由橢圓的方程，得.聯立直線的方程與橢圓方程，得，即，，所以.因為直線過定點，所以，代入，得.9．（2023屆北京市房山區(qū)高三上學期考試）已知橢圓的長軸的兩個端點分別為離心率為．(1)求橢圓C的標準方程；(2)M為橢圓C上除A，B外任意一點，直線交直線于點N，點O為坐標原點，過點O且與直線垂直的直線記為l，直線交y軸于點P，交直線l于點Q，求證：為定值．【解析】（1）由已知，又，，所以，橢圓標準方程為；（2）設，，則，，直線的方程為，令得，即，,,，直線的方程是，直線的方程為，令得，即，由，因為，故解得，即，所以10．（2023屆湖南師范大學附屬中學高三上學期月考）已知，直線的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程;(2)直線與曲線交于兩點，為坐標原點，若直線的斜率之積為，證明:的面積為定值.【解析】（1）設，則直線的斜率，直線的斜率，由題意，化簡得；（2）直線的斜率存在時，可設其方程為，聯立化簡