銳角三角函數(shù)2024-2025學年九年級數(shù)學上學期復習講義（下冊）（人教版）

20242025學年九年級數(shù)學上學期同步復習講義（下冊）（人教版）銳角三角函數(shù)教學目標1．理解銳角三角函數(shù)的定義，掌握特殊角的三角函數(shù)值，會運用銳角三角函數(shù)解直角三角形；2．通過觀察圖象，進一步培養(yǎng)學生類比的教學思想；3．通過銳角三角函數(shù)的學習，感受圖形和語言的和諧美，讓學生積極參與到數(shù)學學習活動中，增強他們對數(shù)學學習的好奇心與求知欲。教學重難點重點：特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形；難點：通過做高線構(gòu)造直角三角形。教學內(nèi)容銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)知識點一：銳角三角函數(shù)相關(guān)概念1、正弦、余弦的定義在Rt△ABC中，銳角∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA。即sinA=∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA。即cosA=2、正切的定義在Rt△ABC中，銳角∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即3、銳角三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函數(shù)，在Rt△ABC中，∠C為直角，則∠A（∠A可換成∠B）的銳角三角函數(shù)為：定義表達式正弦余弦正切知識點二：特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30°45°60°1知識點三：解直角三角形已知條件圖形解法已知一直角邊和一個銳角已知斜邊和一個銳角已知兩直角邊已知斜邊和一條直角邊考點一：根據(jù)定義求銳角三角函數(shù)值【例1】如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比值中不等于cosB的是（）A．CDAC B．BDCB C．CDCB【答案】C【分析】根據(jù)已知可得∠B=∠ACD，然后利用銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．【詳解】A．∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠ADB=90°，∴∠B+∠BCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠B=∠ACD，在Rt△ACD中，cos∠ACD=CDAC∴cosB=CDAC故A不符合題意；B．在Rt△DBC中，cosB=BDCB，故BC．在Rt△DBC中，cos∠BCD=CDCB∵∠A≠45°，∴∠B≠45°，∴∠B≠∠BCD，∴cosB≠CDCB故C符合題意；D．在Rt△ABC中，cosB=CBAB【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，熟練掌握銳角三角函數(shù)只與角度大小有關(guān)與角度位置無關(guān)是解題的關(guān)鍵．【變式訓練1】如圖，在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝3，∠C＝90°，則cosB的值為（）A．34 B．35 C．45【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)余弦的定義計算，得到答案．【解析】在Rt△ABC中，BC＝4，AC＝3，由勾股定理得，AB=A∴cosB=BC故選：C．【變式訓練2】在Rt△ABC中，∠B＝90°，已知AB＝3，BC＝4，則tanA的值為（）A．45 B．35 C．43【解析】如圖所示：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，∴tanA=BC故選：C．【變式訓練3】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cos∠B=45，則A．6 B．8 C．9 D．15【分析】在Rt△ABC中根據(jù)cos∠B的意義，得出BCAB=45，再根據(jù)【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵cos∠B=4∴BCAB又∵AB＝10，∴BC=45×故選：B．【變式訓練4】直角三角形紙片ABC，兩直角邊BC=4，AC=8，現(xiàn)將△ABC紙片按如圖那樣折疊，使A與電B重合，折痕為DE，則tan∠CBE的值是（

A．12 B．34 C．1 【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出BE=AE，設CE=x，則BE=AE=8?x，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得出BC2【詳解】解：∵△ADE沿DE折疊得到△BDE，∴BE=AE，設CE=x，則BE=AE=8?x，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理可得：B即42+x∴tan∠CBE=故選：B．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，正切的定義，解題的關(guān)鍵是掌握折疊前后對應邊相等．【變式訓練5】如圖，AB是⊙O的直徑，點C和點D分別位于AB的兩側(cè)，若BC＝2AC，則cos∠BDC＝（）A． B．2 C． D．【答案】D【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，BC＝2AC，可設AC＝a，則BC＝2a，AB＝＝a，∴cos∠BDC＝cos∠BAC＝＝，故選：D．考點二：特殊角的三角函數(shù)【例21】若為銳角，且，則的值為A． B． C． D．【答案】C解：，，則．故選：．【變式訓練1】已知是銳角，且，則的值是A． B． C． D．【答案】D解：由是銳角，且，得．則，故選：D．【變式訓練2】計算sin230°+cos260°的結(jié)果為（）A．12 B．32 C．1 【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案．【解析】sin230°+cos260°＝（12）2+（12=1=1故選：A．【變式訓練3】在銳角△ABC中，(tanC?3)2A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】直接利用偶次方的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值得出∠C＝60°，∠B＝45°，進而得出答案．【解析】∵(tanC?3∴tanC=3，sinB=∴∠C＝60°，∠B＝45°，∴∠A＝75°．故選：D．【例22】計算：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0．【解答】解：|﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0＝3﹣2×1+1﹣1＝3﹣2+1﹣1＝1．【變式訓練1】計算：（﹣2022）0﹣2tan45°+|﹣2|+．【解答】解：原式＝1﹣2×1+2+3＝1﹣2+2+3＝4．【變式訓練2】計算：．【解答】解：原式＝2+3﹣2×+﹣1＝2+3﹣+﹣1＝4．【變式訓練3】計算：．【解答】解：＝＝＝3．【變式訓練4】計算：?32【答案】2【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的性質(zhì)、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值和絕對值運算及負整數(shù)指數(shù)冪分別求解，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【詳解】解：原式=3+1?=4?=4?2+=【變式訓練5】計算：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式考點三：作高法構(gòu)造直角三角形求角的正弦、余弦、正切值【例3】如圖，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tanB=32，則

A．2+23 B．3+3 C．4【答案】D作CD⊥AB于D，根據(jù)∠A=30°，AC=23，算出CD和AD，再根據(jù)tanB=CDBD=【詳解】如下圖，作CD⊥AB于D，

在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2∴CD=12AC=在Rt△BCD中，tan∴3∴BD=2，∴AB=AD+BD=3+2=5，故選：D．【點睛】本題考查了用銳角三角函數(shù)解非直角三角形，作垂直構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．【變式訓練1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于點D，將△ACD沿直線CD折疊，點A在AB邊上的點E處，已知AC=5,DE=3，則sin∠BCE

A．725 B．35 C．45【答案】A【分析】作EF⊥BC于點F，先這么∠ACD=∠B，再根據(jù)折疊的性質(zhì)、勾股定理得到∠DCE=∠B,CD=4，由余弦定義得到CDCE=BFBE=45，由正弦定義得到sin∠B=AC【詳解】解：如圖，作EF⊥BC于點F，

在Rt△ABC∵AC⊥BC∴AC∴∠A=∠BEF∵CD⊥AB,∠A+∠ACD=∠BEF+∠B=90°∴∠ACD=∠B∵折疊∴AC=CE=5,DE=AD=3,∠ACD=∠DCE∴∠DCE=∠B,CD=∴∴設BF=4x,BE=5x∴EF=3x∴∴∴x=∴EF=3x=sin故選：A．【點睛】本題考查正弦、余弦、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)等知識，是重要考點，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．【變式訓練2】在△ABC中，若AB=58，tanB=37，AC=3【答案】1或13過點A作AD⊥BC于點D，分高AD在三角形內(nèi)部和三角形外部兩種情況進行討論求解．【詳解】解：過點A作AD⊥BC于點D，分兩種情況討論：①當AD在△ABC的外部時，如圖：

∵tanB=∴設AD=3x,BD=7x，則：AB=A∴x=1，∴AD=3,BD=7，∴CD=A∴BC=BD?CD=1；②當AD在△ABC的內(nèi)部時，如圖：

同法可得：BD=7,CD=6，∴BC=BD+CD=13；綜上：BC=1或13；故答案為：1或13．【點睛】本題考查解非直角三角形，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想，進行求解．【變式訓練3】如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是邊AB上一點，且tan∠BCD=1（1）試求sinB（2）試求△BCD的面積.【答案】（1）sinB=35（1）作AH⊥BC，則△ABH中，根據(jù)勾股定理即可求得AH的長，即可求得sinB；（2）作DE⊥BC，則根據(jù)勾股定理可以求得BE的長，求得BC=BE+EC，即4k+6k=8，求得k的值即可求△BCD的面積．【詳解】（1）作AH⊥BC，垂足為H，∵AB=AC=5，∴BH=1在△ABH中，AH=A∴sinB=（2）作DE⊥BC，垂足為E，在△BDE中，sinB=35，令DE=3k則BE=B又在△CDE中，tan∠BCD=則CE=DE于是BC=BE+EC，即4k+6k=10k，解得k=4∴S△BCD【點睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了直角三角形中三角函數(shù)值的計算，本題中正確求三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．考點四：解直角三角形【例41】如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，AB的長為12米，AB與AC的夾角為α，則高BC是（）A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米【答案】A【解答】解：Rt△ABC中，sinα＝，∵AB＝12，∴BC＝12sinα．故選：A．【變式訓練1】如圖，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tanC＝2，則邊AB的長為（）A．3 B．3 C．6 D．3【答案】C【解答】解：∵BD＝2CD＝6，∴CD＝3，BD＝6，∵tanC＝＝2，∴AD＝6，∴AB＝AD＝6故選：C．【變式訓練2】如圖，在△ABC中，AC＝BC＝6，，則邊AB的長是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：過C作CD⊥AB于D，則∠ADC＝90°，∵sin∠A＝＝，AC＝6，∴CD＝2，由勾股定理得：BD＝＝＝2，∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD＝2，∴AB＝AD+BD＝4，故選：B．【例42】如圖，點A、B、O都在格點上，則∠AOB的正弦值是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：過點B作BC⊥AO于點C，∵AB＝2，∴由勾股定理可知：AO＝2，BO＝2，設CO＝x，∴（2）2﹣x2＝22﹣（2﹣x）2，∴8﹣x2＝4﹣（20﹣4x+x2），解得：x＝，∴cos∠AOB＝＝，∴sin∠AOB＝，故選：D．【變式訓練1】如圖所示，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在交點處，則∠ABC的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：如圖，取BC的中點D，連接AD，由網(wǎng)格可得，AC＝AB＝＝2，∴AD⊥BC，Rt△ABD中，∵AD＝＝3，∴sin∠ABC＝＝＝．故選：D．【變式訓練2】如圖，已知點P（4，3），OP與x軸正半軸的夾角為α，則cosα＝（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：過P作PN⊥x軸于N，PM⊥y軸于M，則∠PMO＝∠PNO＝90°，∵x軸⊥y軸，∴∠MON＝∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四邊形MONP是矩形，∴PM＝ON，PN＝OM，∵P（4，3），∴ON＝PM＝4，PN＝3，在Rt△PON中，由勾股定理得OP＝，∴，故選：B．【例43】如圖，在△ABC中，AB＝6，sinB＝，tanC＝，求△ABC的面積．【解答】解：過點A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，AB＝6，sinB＝，∴AD＝AB?sinB＝6×＝3，∴BD＝＝＝3，在Rt△ADC中，tanC＝，∴CD＝＝＝9，∴BC＝BD+CD＝3+9，∴△ABC的面積＝BC?AD＝×（3+9）×3＝，∴△ABC的面積為．【變式訓練1】在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C為銳角且tanC＝1．（1）求△ABC的面積；（2）求AB的值；（3）求cos∠ABC的值．【解答】解：（1）過點A作AD⊥BC，垂足為D．∴∠ADC＝∠ADB＝90°．∵∠C為銳角且tanC＝1，∴∠C＝45°＝∠DAC．∴AD＝DC．∵sinC＝，AC＝4，∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，∴BD＝BC﹣DC＝2．在Rt△ABD中，AB＝＝＝2．（3）在Rt△ABD中，cos∠ABC＝＝＝．【變式訓練2】如圖，在△ABC中，CD是邊AB上的高，AE是BC邊上的中線，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC＝．（1）求高CD的長；（2）求tan∠EAB的值．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC＝，∴，∴BC＝5，∴CD＝＝3；（2）過點E作EF⊥AB，垂足為F，如圖，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E為BC的中點，∴EF是△BCD的中位線，∴EF＝＝＝，DF＝＝＝2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB＝＝＝．【變式訓練3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，若AC＝15，cosA＝．求BC長．【解答】解：在Rt△ABD中，∵AB＝AC＝15，cosA＝，∴AD＝AB?cosA＝15×＝12，∴BD＝＝＝9．∴CD＝AC﹣AD＝3．在Rt△CBD中，∴BC＝．答：BC的長為．【例44】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，OD⊥AB交AC于點E，DE＝DC．（1）求證：DC是⊙O的切線；（2）若OA＝4，OE＝2，求cosD．【解答】（1）證明：連接OC，∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∵∠DEC＝∠AEO，∴∠DCE＝∠AEO，∵DO⊥AB，∴∠AOD＝90°，∴∠EAO+∠AEO＝∠EAO+∠DCE＝90°，∵OA＝OC，∴∠EAO＝∠OCA，∴∠OCA+∠DCE＝∠DCO＝90°，∴DC是⊙O的切線．（2）解：設CD＝x，則DE＝x，DO＝DE+OE＝x+2，在Rt△OCD中，OD2＝OC2+CD2，即（x+2）2＝42+x2，解得x＝3，∴CD＝3，OD＝5，∴cosD＝．【變式訓練1】如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的圓O與AD，AC分別交于點E，F(xiàn)，且∠ACB＝∠DCE.（1）判斷直線CE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若tan∠ACB＝eq\f(\r(2),2)，BC＝2，求⊙O的半徑．【答案】（1）直線CE與⊙O相切.理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，連接OE，有OA＝OE，則∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.又OE是⊙O的半徑，∴直線CE與⊙O相切（2）∵tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(\r(2),2)，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝eq\r(2)，∴AC＝eq\r(6).又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝eq\f(\r(2),2)，∴DE＝DC·tan∠DCE＝1.在Rt△CDE中，CE＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\r(3)，設⊙O的半徑為r，則在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即（eq\r(6)－r）2＝r2＋3，解得r＝eq\f(\r(6),4)【變式訓練2】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC為⊙O的直徑，過點C作AC的垂線交AD的延長線于點E，點F為CE的中點，連接DB，DC，DF.（1）求∠CDE的度數(shù)；（2）求證：DF是⊙O的切線；（3）若AC＝2eq\r(5)DE，求tan∠ABD的值．【答案】（1）∵對角線AC為⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°（2）連接DO，∵∠EDC＝90°，F(xiàn)是EC的中點，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF是⊙O的切線（3）∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴eq\f(DC,AD)＝eq\f(DE,DC)，∴DC2＝AD·DE.設DE＝x，則AC＝2eq\r(5)x，AC2－AD2＝DC2＝AD·DE，即（2eq\r(5)x）2－AD2＝AD·x，整理得AD2＋AD·x－20x2＝0，解得AD＝4x或AD＝－5x（舍去），則DC＝eq\r(（2\r(5)x）2－（4x）2)＝2x，故tan∠ABD＝tan∠ACD＝eq\f(AD,DC)＝eq\f(4x,2x)＝2【變式訓練3】如圖，AB為⊙O直徑，C、D為⊙O上不同于A、B的兩點，∠ABD=2∠BAC，連接CD.過點C作CE⊥DB，垂足為E，直線AB與CE相交于F點.（1）求證：CF為⊙O的切線；（2）當BF=5，時，求BD的長.【答案】（1）證明見解析；（2）9.【詳解】（1）如圖，連接.∵，∴又∵∠3=∠1+∠2∴又∵，∴∴OC∥DB.∵CE⊥DB，∴.又∵為⊙的半徑，∴為⊙O的切線.（2）如圖，連接.在Rt△BEF中，∠BEF=90°，BF=5，，∴.∵OC∥BE，∴∽.∴設⊙的半徑為r，∴∴.∵AB為⊙O直徑，∴.∴.∵，∴.∴∴∴．【題型1：銳角三角函數(shù)的定義】1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中正確的是（）A．sinA＝ B．tanA＝ C．tanB＝ D．cosB＝【答案】C【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，∵AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝，∴sinA＝＝，tanA＝＝，tanB＝＝，cosB＝＝，故選：C．2．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，tanA的值是（）A． B．1 C． D．無法確定【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，∴tanA＝＝＝，故選：C．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，BC＝3，則cosB等于（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝＝5，所以cosB＝＝，故選：B．【題型2：特殊角的三角函數(shù)值】1．計算：（﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°；【解答】解：原式＝1+（2﹣）＝1+9+＝12；2．計算：?+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1．【解答】解：?+4|1﹣|sin60°﹣（）﹣1＝2+4×（﹣1）×﹣2＝2+2（﹣1）﹣2＝2+6﹣2﹣2＝4．3．計算：（1）；（2）2tan60°+tan45°﹣4cos30°．【解答】解：（1）＝＝＝3+；（2）2tan60°+tan45°﹣4cos30°＝2×+1﹣4×＝2+1﹣2＝1．【題型3：解直角三角形】1．如圖，在平面直角坐標系中，第一象限內(nèi)的點P在射線OA上，OP＝13，cosα＝，則點P的坐標為（）A．（5，13） B．（5，12） C．（13，5） D．（12，5）【答案】B【解答】解：如圖，過點P作PE⊥x軸于點E．設點P的坐標為（x，y），則OE＝x，