湖南省婁底市漣源市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期選科考試（12月）數(shù)學(xué)試題

2024年下學(xué)期湖南省漣源市部分學(xué)校高一選科考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)集合的定義求解即可.【詳解】，故.故選：D2.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理求得正確答案.【詳解】在上單調(diào)遞增，，所以的零點(diǎn)在區(qū)間.故選：B3.若函數(shù)，則f(f(10)=A.lg101 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)椋?所以,故選B.【點(diǎn)評】對于分段函數(shù)結(jié)合復(fù)合函數(shù)的求值問題，一定要先求內(nèi)層函數(shù)的值，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)的函數(shù)值就是外層函數(shù)的自變量的值.另外，要注意自變量的取值對應(yīng)著哪一段區(qū)間，就使用哪一段解析式，體現(xiàn)考綱中要求了解簡單的分段函數(shù)并能應(yīng)用，來年需要注意分段函數(shù)的分段區(qū)間及其對應(yīng)區(qū)間上的解析式，千萬別代錯(cuò)解析式.4.在單位圓中，已知角是第二象限角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)單位圓及正弦函數(shù)的定義得解.【詳解】由題意，，解得，所以，故選：D5.函數(shù)圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求函數(shù)定義域，排除A，再根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B，再通過特殊值排除D得答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榍?，排除A項(xiàng)；∵，∴是奇函數(shù)，排除C項(xiàng)；再取特殊值當(dāng)時(shí)，，排除D項(xiàng).故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)解析式選函數(shù)圖象問題，考查函數(shù)的定義域，奇偶性，函數(shù)值等性質(zhì)，是中檔題.6.生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評價(jià)指標(biāo)，其中，分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由2提高到3，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把已知代入豐富度指數(shù)公式，然后兩式消去后，由對數(shù)運(yùn)算可得結(jié)論．【詳解】由已知，，所以，即，∴，故選：D．7.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)取值范圍是（）A. B.或C. D.或【答案】D【解析】【分析】首先將原問題轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式的知識求出的最小值即可.【詳解】不等式有解，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立，，，，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．8.已知函數(shù)若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個(gè)交點(diǎn)，再數(shù)形結(jié)合即可解答.【詳解】依題意，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，即有四個(gè)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與圖象由四個(gè)交點(diǎn)，由函數(shù)函數(shù)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，；結(jié)合圖象，可知實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.下列說法正確的是（）A.小于的角是銳角B.與終邊相同的角可表達(dá)為，C.鈍角是第二象限角D.經(jīng)過4小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了【答案】BCD【解析】【分析】對A，根據(jù)任意角與銳角的定義判斷即可；對B，根據(jù)弧度與角的關(guān)系判斷即可；對C，根據(jù)鈍角的定義判斷即可；對D，根據(jù)4小時(shí)時(shí)鐘的旋轉(zhuǎn)角度占時(shí)鐘一周角的比例，結(jié)合角度的定義判斷即可.【詳解】對A，小于的角還包括和負(fù)角度的角，故A錯(cuò)誤；對B，，其終邊與角相同，又，也為終邊與角相同的角，故B正確；對C，鈍角是第二象限角，故C正確；對D，時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)為順時(shí)針，故經(jīng)過4小時(shí)，時(shí)針轉(zhuǎn)了，故D正確.故選：BCD10.下列說法正確的是（）A.命題“”的否定是“”B.是的必要不充分條件C.的單調(diào)減區(qū)間為D.函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn).【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)命題否定形式可得A正確，再由充分、必要條件定義可得B正確，由冪函數(shù)性質(zhì)可得C錯(cuò)誤，根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷D正確.【詳解】對于A，易知命題“”的否定是“”，故A正確；對于B，不能推出，充分性不成立，能推出，必要性成立，故是的必要不充分條件，故B正確；對于C，fx=1x的單調(diào)減區(qū)間為對于D，由且可令，解得，又，故函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，故D正確.故選：ABD11.已知，，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】由基本不等式判斷AB選項(xiàng)，由不等式的基本性質(zhì)判斷C選項(xiàng)，運(yùn)用“1”的代換結(jié)合基本不等式判斷D.【詳解】因?yàn)?，，對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故A選項(xiàng)正確；對于B，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C，∵，∴，∴在R上單調(diào)遞增，∵，∴，即，故C選項(xiàng)正確；對于D，由得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知的圓心角所對的弧長為，則這個(gè)扇形的面積為_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)弧度值的定義，結(jié)合扇形面積公式求解即可.【詳解】由題意，，故這個(gè)扇形的半徑，面積為.故答案：13.已知函數(shù)為，在R上單調(diào)遞增，則取值范圍_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)閒x在上單調(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，則取值的范圍為.故答案為：.14.若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____.【答案】【解析】【分析】由的范圍求得的范圍，用換元法結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求得的最小值即可得的范圍．【詳解】時(shí)，，設(shè)，則，，∴時(shí)，所以，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.化簡求值：（1）（2）．【答案】（1）4（2）8【解析】【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】原式．【小問2詳解】原式．16.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足對任意，都有．（1）求證：是偶函數(shù)；（2）設(shè)時(shí)，①求證：在上是減函數(shù)；②求不等式的解集．【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析；②或或x>1【解析】【分析】（1）函數(shù)性質(zhì)先計(jì)算，令即可證明；（2）①設(shè)，則,由通過性質(zhì)可得出即可證明；②由是偶函數(shù)原不等式可得，再利用函數(shù)在上是減函數(shù)求解即可.【小問1詳解】取得，即，取得，即，取，得，即是偶函數(shù)；【小問2詳解】①設(shè)，則，由時(shí)，得，則，即在上為減函數(shù)，②由是偶函數(shù)且在上是減函數(shù)，則不等式等價(jià)為，即得，得得，即或或，即不等式的解集為或或x>1..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在②中解題關(guān)鍵點(diǎn)利用的單調(diào)性解不等式，本題考查了學(xué)生的思維能力、運(yùn)算能力.17.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減.（1）求的解析式；（2）若正數(shù)滿足，求的最小值.【答案】（1）（2）24【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)求解；（2）根據(jù)“1”的變形技巧，利用基本不等式求解.【小問1詳解】冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞減.，解得，.【小問2詳解】，正數(shù)滿足，，都是正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取等號，的最小值為24.18.“大禹門前樹，千年苔子茶.”11月21日18時(shí)許，中央廣播電視總臺綜合頻道推出系列紀(jì)錄片《農(nóng)耕探文明》，本期正好關(guān)注到《四川北川苔子茶復(fù)合栽培系統(tǒng)》.北川苔子茶的“毛峰綠茶”以其外形勻整、挺秀，湯色碧綠，香氣濃烈等優(yōu)異品質(zhì)聞名遐邇，深受廣大消費(fèi)者青睞.經(jīng)驗(yàn)表明，在室溫下，該茶用的水泡制，湯色青綠明亮，入口滋味較薄有熟栗子香，無苦澀感，再等到茶水溫度降至50°C時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳飲用口感.經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，設(shè)茶水溫度從開始，經(jīng)過分鐘后的溫度為且滿足.（1）求常數(shù)的值；（2）經(jīng)過測試可知，求在室溫下，剛泡好的該茶大約需要放置多長時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）9.5分鐘【解析】【分析】（1）代入求解即可；（2）根據(jù)題意列式求解方程即可.【小問1詳解】茶水溫度從開始當(dāng)時(shí)，，【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，剛泡好的茶水大約需要放置9.5分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感19.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式；（2）解不等式；（3）設(shè)函數(shù)，若，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)性質(zhì)利用可得，經(jīng)檢驗(yàn)可知符合題意；（2）根據(jù)（1）中解析式判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)解不等式可得結(jié)果；（3）依據(jù)題意可得只需滿足，結(jié)合指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求得可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)槎x域是上的奇函數(shù)，所以，即解得.經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，是奇函數(shù).【小問2詳解】設(shè)，則，因?yàn)樵谏线f增，且在上遞減，所