浙教版（2024新版）七年級上冊數(shù)學(xué)各章節(jié)必會考點知識梳理匯編

第第頁浙教版（2024新版）七年級上冊數(shù)學(xué)各章節(jié)必會考點知識梳理匯編第一章有理數(shù)1.1正數(shù)和負數(shù)知識1正數(shù)和負數(shù)的概念1、正數(shù)和負數(shù)的定義定義示例補充正數(shù)大于的數(shù)叫作正數(shù).有時為了明確表達意義，在正數(shù)的前面也加上符號“+”(讀作“正”)3，1.5%，3.5，34正數(shù)前的“+”可以省略不寫負數(shù)在正數(shù)前加上符號“—”的數(shù)叫作負數(shù)-3，-1.5%，-3.5，-34負數(shù)前的“-”不可以省略不寫注意：1）、“+”“-”號的雙重意義：①作為運算符號是加、減號;②作為數(shù)的性質(zhì)符號是正、負號。2）、帶“+”號的數(shù)不一定是正數(shù),帶“-”號的數(shù)也不一定是負數(shù).3）、一個數(shù)前面的“+”“-”號叫作它的符號.正數(shù)前面的“+”號可以省略不寫.2、0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)。3、0的意義(1)0是正負數(shù)的分界；(2)0可以表示“沒有”；(3)0可以用來表示基準(zhǔn)，一般地，高于基準(zhǔn)的量用正數(shù)表示，低于基準(zhǔn)的量用負數(shù)表示。知識2具有相反意義的量1、在日常生活中,人們常用正數(shù)、負數(shù)來表示一對具有相反意義的量。2、一般地，對于具有相反意義的量，我們可以把其中一種意義的量規(guī)定為正的，并用正數(shù)來表示，把與它意義相反的量規(guī)定為負的，并用負數(shù)來表示。例如:若規(guī)定海平面的海拔高度為0m，珠穆朗瑪峰高于海平面8848.86m，記作+8848.86m。注意：具有相反意義的量應(yīng)滿足的條件:①必須是同類量，而且是成對出現(xiàn)的；②只要求意義相反,不要求數(shù)量一定相等。1.2有理數(shù)知識1有理數(shù)1、正整數(shù)、0和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；正分?jǐn)?shù)和負分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；整數(shù)可以寫成分?jǐn)?shù)的形式；可以寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)稱為有理數(shù)。2、有理數(shù)的分類按有理數(shù)的定義分類按有理數(shù)的性質(zhì)符號分類有理數(shù)有理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)0正整數(shù)負整數(shù)正分?jǐn)?shù)負分?jǐn)?shù)有理數(shù)有理數(shù)正有理數(shù)負有理數(shù)0正整數(shù)正分?jǐn)?shù)負整數(shù)負分?jǐn)?shù)可以寫成正分?jǐn)?shù)形式的數(shù)可以寫成負分?jǐn)?shù)形式的數(shù)拓展：小數(shù)的分類注意：(1)0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，但它是整數(shù)。(2)因為有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都可以化為分?jǐn)?shù)，所以有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是分?jǐn)?shù)。(3)在對有理數(shù)進行分類時，分類標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的形式也不同，分類時要弄清分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏不混淆。3、常見分類標(biāo)準(zhǔn)非負數(shù)：正數(shù)和零；非正數(shù)：負數(shù)和零；非負整數(shù)：正整數(shù)和零；非正整數(shù)：負整數(shù)和零；非負有理數(shù)：正有理數(shù)和零；非正有理數(shù)：負有理數(shù)和零．知識2數(shù)軸定義:規(guī)定了原點、單位長度和正方向的直線叫作數(shù)軸，它滿足以下條件:(1)在直線上任取一個點表示數(shù)0，這個點叫作原點。(2)通常規(guī)定直線上從原點向右（或向上）為正方向，從原點向左（或向下）為負方向；(3)選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度直線上從原點向右，每隔一個單位長度取一個點，依次表示1，2，3，…；從原點向左，用類似的方法依次表示-1，-2，-3，…；注意：(1)數(shù)軸是一條直線,可以向兩端無限延伸，不能畫成射線和線段。(2)數(shù)軸的三要素:原點、正方向、單位長度,三者缺一不可。(3)原點位置的選取,單位長度的大小都是根據(jù)實際而定的。(4)同一數(shù)軸中的單位長度一定要統(tǒng)一。(5)數(shù)軸上有無數(shù)個點,每一個點都表示一個數(shù),不同的點表示的數(shù)不同。知識點3數(shù)軸上的點與有理數(shù)之間的關(guān)系1、每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一點來表示，也可以說，每個有理數(shù)都對應(yīng)數(shù)軸上的一點2、一般地，設(shè)a是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)a的點在數(shù)軸的正半軸與原點的距離是a個單位長度；表示數(shù)-a的點在數(shù)軸的負半軸上，與原點的距離是a個單位長度。3、在數(shù)軸上表示有理數(shù)的方法：注意：(1)數(shù)軸上的點表示的數(shù)不一定是有理數(shù).(2)表示數(shù)的點一定要畫在數(shù)軸上，在相應(yīng)的位置加上實心圓點,知識點4相反數(shù)1.相反數(shù)的定義:像3和-3，12和?12這樣只有符號不同的兩個數(shù)，拓展若a和b互為相反數(shù),則a+b=0.2.相反數(shù)的表示方法:一般地，a和-a互為相反數(shù)。這里a表示任意一個數(shù)，可以是正數(shù)、負數(shù)，也可以是0。例如:當(dāng)a=1時，-a=-1，1的相反數(shù)是-1，同時，-1的相反數(shù)是1。特別地，0的相反數(shù)是0。注意：(1)因為a可以表示任意有理數(shù),所以-a不一定是負數(shù),應(yīng)分類討論。例如:當(dāng)a=-2時,-a=-(-2)=2,此時-a是正數(shù)而不是負數(shù)。(2)一個數(shù)的相反數(shù)等于它本身,這個數(shù)是0。(3)只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù).(4)相反數(shù)是成對出現(xiàn)的,不能單獨存在.3、相反數(shù)的幾何意義:到數(shù)軸原點距離相等的兩個點表示的兩個數(shù)互為相反數(shù).4、求一個數(shù)的相反數(shù)：在任意一個數(shù)前面添上“-”表示原數(shù)的相反數(shù)。5、多重符號的化簡：與“+”號個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“-”號，結(jié)果為負，有偶數(shù)個“-”號，結(jié)果為正。6、倒數(shù)：乘積為的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)．例如：2與，與，與．7、負倒數(shù)：乘積為的兩個有理數(shù)互為負倒數(shù)．例如：2與，與，與．注意：=1\*GB3①0沒有倒數(shù)，也沒有負倒數(shù)；=2\*GB3②倒數(shù)是它的本身的數(shù)1或-1．知識點5絕對值1、定義:一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫作數(shù)a的絕對值，記作|a|。2、絕對值的判斷:一個正數(shù)的絕對值是它本身，一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0。即如果a>0，那么|a|=a；如果a=0，那么|a|=0；如果a<0,那么|a|=-a；3、絕對值非負性的應(yīng)用:根據(jù)絕對值的非負性“若幾個非負數(shù)的和為0，則每一個非負數(shù)必為“0”，即若|a|+|b|=0，則|a|=0且|b|=0。4．絕對值的拓展（1）非負性：；（2）雙解性：若，則或．（3）若，則；若，則．（4）．（5）．注意：(1)表示一個數(shù)的點與原點的距離越遠,這個數(shù)的絕對值越大;與原點的距離越近，這個數(shù)的絕對值越小。(2)距離不可能是負數(shù),所以任何數(shù)的絕對值都是非負數(shù)。(3)絕對值是某個正數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)。知識點6有理數(shù)的大小比較1、利用數(shù)軸比較大小：在水平的數(shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數(shù)大于右邊的數(shù)。2、利用有理數(shù)的分類比較大?。阂话愕?，正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小。3、作差法:若兩數(shù)分別為a，b，a-b>0，則a>b；若a-b<0，則a<b；若a-b=0，則a=b。注意：對于兩個負數(shù)的大小比較,一定要先比較它們的絕對值,并且明確兩個負數(shù)的大小關(guān)系與它們絕對值的大小關(guān)系正好相反;異號兩數(shù)比較大小,正數(shù)總大于負數(shù)。2.1有理數(shù)的加法與減法知識點1有理數(shù)的加法法則同號兩數(shù)相加和取相同的符號，然后加數(shù)的絕對值相加異號兩數(shù)相加絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，和取絕對值較大的加數(shù)的符號,且和的絕對值等于加數(shù)的絕對值中較大者與較小者的差互為相反數(shù)兩數(shù)相加，和為0。a、b是互為相反數(shù)，則a+b=0一個數(shù)與0相加仍得這個數(shù)a+0=a方法：一觀察、二確定、三求和第一步：觀察兩個數(shù)是同號還是異號，有沒有0;第二步：選擇用哪一條加法法則;第三步：先確定和的符號,后計算絕對值注意：(1)在進行有理數(shù)加法運算時,要牢記“先定符號,后算絕對值”,寫的時候不要忘記符號(2)有理數(shù)加法可分為四種情況:①同號加;②異號加;③“相反"加;④與0加.每種情況都要注意符號和絕對值的確定。知識點2有理數(shù)的加法運算律1、有理數(shù)的加法中，兩個數(shù)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變；加法交換律：a+b=b+a2、在有理數(shù)的加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變；加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c).注意：運用加法運算律的規(guī)律(1)互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合;(2)和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合；(3)把同分母分?jǐn)?shù)或便于通分的分?jǐn)?shù)相結(jié)合;(4)符號相同的數(shù)相結(jié)合。知識點3有理數(shù)減法法則1、減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)，即a-b=a+(-b)。2、有理數(shù)的減法是有理數(shù)的加法的逆運算。3、減法轉(zhuǎn)化為加法時，減數(shù)一定要改變符號。方法：(1)在進行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號。(2)將減法轉(zhuǎn)化為加法時,要同時改變兩個符號:一是運算符號(減號變加號);二是減數(shù)的性質(zhì)符號(減數(shù)變?yōu)槠湎喾磾?shù))。(3)在有理數(shù)減法運算時,被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換，因為減法沒有交換律.(4)減法法則不能與加法法則類比,0加任何數(shù)都不變,0減任何數(shù)應(yīng)依運算法則進行計算。知識點4有理數(shù)加減混合運算1、有理數(shù)加減混合運算（1）先將加減法統(tǒng)一成加法，再運用加法的交換律和結(jié)合律簡化運算。（2）運用加法交換律交換加數(shù)的位置時，要連同前面的符號一起交換。2.省略加號的和式及讀法:統(tǒng)一成加法運算的算式，可以改寫成省略加號和括號的形式，這種形式的算式一般有兩種讀法。例如:-2-3+27-24,可讀作負2、負3、正27、負24的和,也可以讀作負2減3加27減24.3、有理數(shù)加減混合運算的一般步驟方法一：減法轉(zhuǎn)化成加法方法二：省略括號法（1）減法變加法：a+b-c=a+b+(-c)（1）省略括號（2）運用加法交換律和結(jié)合律將同號的數(shù)分別相加（2）同號的數(shù)相結(jié)合（3）按有理數(shù)的加法法則計算（3）進行加減運算方法：有理數(shù)加減混合運算中的技巧對于既含有小數(shù)又含有分?jǐn)?shù)的加減混合運算，可先將小數(shù)統(tǒng)一化成分?jǐn)?shù)或?qū)⒎謹(jǐn)?shù)統(tǒng)一化成小數(shù)再相加減，也可以將小數(shù)與分?jǐn)?shù)分別結(jié)合相加減，在計算時要靈活選用方法，以計算最簡為原則。2.2有理數(shù)的乘法與除法知識點1有理數(shù)乘法法則1.正數(shù)乘正數(shù)，積為正數(shù)；正數(shù)乘負數(shù)，積為負數(shù)；負數(shù)乘正數(shù)，積為負數(shù)；負數(shù)乘負數(shù)，積為正數(shù)，積的絕對值等于各乘數(shù)的絕對值的積。2.兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，且積的絕對值等于乘數(shù)的絕對值的積；任何數(shù)與0相乘，都得0。3.有理數(shù)乘法法則也可以表示如下:設(shè)a，b為正有理數(shù)，c為任意有理數(shù)，則(+a)×(+b)=a×b，(-a)×(-b)=a×b；(-a)×(+b)=-（a×b），(+a)×(-b)=-(a×b)；c×0=0，0×c=0。注意：(1)當(dāng)乘數(shù)中有負號時，必須用括號括起來。(2)兩數(shù)相乘,根據(jù)有理數(shù)乘法法則,先確定積的符號,再把絕對值相乘。(3)遇到含帶分?jǐn)?shù)的乘法運算時,要先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再計算。(4)乘法運算的最后結(jié)果一定是最簡分?jǐn)?shù)或整數(shù)。知識點2倒數(shù)的概念與求法1.倒數(shù)的概念:乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù).即若a與b互為倒數(shù),則a×b=1。2.互為負倒數(shù):乘積是-1的兩個數(shù)互為負倒數(shù).即若a與b互為負倒數(shù),則a×b=-1。如：2與-1注意：(1)0沒有倒數(shù),正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù),負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。(2)倒數(shù)是相互的,即若ab=1,則a是b的倒數(shù),b也是a的倒數(shù),a與b互為倒數(shù)。(3)倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1。(4)互為倒數(shù)的兩個數(shù)一定同號。2.倒數(shù)的求法:類型方法示例真、假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)將分子分母交換位置非0整數(shù)的倒數(shù)整數(shù)作分母，1作分子2的倒數(shù)是1小數(shù)的倒數(shù)對于可以除盡的數(shù)的倒數(shù)，可以用1除以這個數(shù)求倒數(shù)0.4的倒數(shù)：1÷0.4=2.5對于除不盡的數(shù)，轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)，再按照真、假分?jǐn)?shù)求倒數(shù)的方法來進行0.3的倒數(shù)：0.3=310，倒數(shù)帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)先把帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，然后將分子分母調(diào)換位置245知識點3有理數(shù)的乘法運算律運算律文字?jǐn)⑹鲇米帜副硎境朔ń粨Q律兩個數(shù)相乘，交換乘數(shù)的位置，積不變ab=ba乘法結(jié)合律三個數(shù)相乘，先把前兩個相乘，或者先把后兩個相乘，積不變(ab)c=a(bc)乘法分配律一個數(shù)與兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別與這兩個數(shù)相乘，再把積相加a(b+c)=ab+ac注意：運用乘法分配律時，要注意括號前面的符號，當(dāng)括號前面有負號時，應(yīng)該把負號帶上一起與括號內(nèi)每一項相乘再求和。例如:-2(-a+b)=(-2)×(-a)+(-2)×b=2a-2b；-2(-a-b)=(-2)×(-a)+(-2)×(-b)=2a+2b.知識點4多個有理數(shù)相乘的符號法則1.幾個不為0的數(shù)相乘,負的乘數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)2.幾個數(shù)相乘,如果其中有乘數(shù)為0,那么積為0注意：(1)幾個不為0的有理數(shù)相乘,先根據(jù)負乘數(shù)的個數(shù)確定積的符號,然后把絕對值相乘。(2)如果幾個數(shù)相乘積為0,那么至少有一個乘數(shù)為0.知識點5有理數(shù)除法法則1.有理數(shù)除法法則(1)除以一個不等于0的數(shù),等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。即a÷b=a(2)兩數(shù)相除,同號得正,異號得負，且商的絕對值等于被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值的商。若ab>0，則ab>0；若ab<0，則ab(3)0除以任何一個不等于0的數(shù),都得0。注意：(1)分?jǐn)?shù)可以理解為分子除以分母，分?jǐn)?shù)線代表除號。(2)兩個數(shù)相除,若商是1，則這兩個數(shù)相等；若商是-1，則這兩個數(shù)互為相反數(shù)。(3)在有理數(shù)的除法運算中應(yīng)特別注意：除數(shù)不能為0。(4)有理數(shù)除法沒有交換律、結(jié)合律，更沒有分配律。2.有理數(shù)除法的兩個法則要根據(jù)具體情況靈活選用(1)對于除法的兩個法則,在計算時可根據(jù)具體情況選用,一般在不能整除的情況下選用法則(1)比較簡便,在能整除的情況下,選用法則(2)比較簡便.(2)如果被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù),且不能整除,或者如果被除數(shù)和除數(shù)中有小數(shù)或分?jǐn)?shù),一般選用法則(1)進行計算.知識點6有理數(shù)的乘除混合運算有理數(shù)的乘除混合運算通常是先將除法轉(zhuǎn)化為乘法然后按照乘法法則，確定積的符號,最后求出結(jié)果。注意：(1)乘除混合運算中，積的符號由負乘數(shù)的個數(shù)確定。(2)結(jié)果能化簡的要化簡。(3)兩個原則:①變除為乘;②從左到右。知識點7有理數(shù)的四則運算1.有理數(shù)的四則運算:先算乘除,后算加減,有括號先算括號里面的(先小括號，再中括號，最后大括號)，同級運算，按照從左往右順序進行計算。注意：在混合運算中，分配律的應(yīng)用一般有兩種形式：一是把乘積形式a(b+c)化成和的形式ab+ac；二是把和的形式ab+ac化成乘積的形式a(b+c),注意靈活應(yīng)用。2.3有理數(shù)的乘方知識點1有理數(shù)的乘方1.一般地,n個相同的乘數(shù)a相乘，即a·a·…·a,記作an。求n個相同乘數(shù)的積的運算，叫作乘方，乘方的結(jié)果叫作冪。注意：(1)一個數(shù)或一個字母可以看作它本身的一次方，指數(shù)1通常省略不寫。（如a的次數(shù)為一次）(2)當(dāng)?shù)讛?shù)是負數(shù)或分?jǐn)?shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在其右上角寫上指數(shù)，指數(shù)要寫得小一些。（如:-2的5次方，應(yīng)寫作(-2)5）(3)指數(shù)n是正整數(shù),底數(shù)a可以是任何有理數(shù)。2.an中，a叫作底數(shù)，n叫作指數(shù)，an讀作a的n次方（或a的n次冪）3.乘方運算的結(jié)果及符號的規(guī)律正數(shù):正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)拓展：-1的奇次冪是它本身，而-1的偶次冪是它的相反數(shù)，即：(?1)知識點2有理數(shù)的混合運算順序1.先乘方，再乘除，最后加減。2.同級運算,從左往右進行；3.如有括號，先做括號內(nèi)的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行。有理數(shù)運算分三級，加減是第一級運算，乘除是第二級運算，乘方是第三級運算。運算順序是先算高級，再算低級；同級運算按從左到右的順序進行；對于含有多重括號的運算，一般先算小括號內(nèi)的，再算中括號內(nèi)的，最后算大括號內(nèi)的。注意：(1)“同級運算"是指加和減同級，乘和除同級。(2)進行有理數(shù)的混合運算時，一要注意運算順序，二要注意符號問題。(3)靈活地運用運算律可以使運算快捷、簡便。知識點3科學(xué)記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成a×10n的形式(其中1≤a<10，注意：(1)一個大于10的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法ax10n的形式表示時，a一定要滿足1≤a<10。確定n的值時,把原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1即可。(2)用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值較大的負數(shù)時，不要漏掉“-”。(3)用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)時，只改變數(shù)的形式，而不改變數(shù)的大小。知識點4近似數(shù)1.接近實際數(shù)值的數(shù)，叫作近似數(shù)。2.近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度，我們用精確度來表示。注意：近似數(shù)的精確度的三種表示方法:(1)用數(shù)位表示，如精確到千位或千分位；在用四舍五入法取近似數(shù)時，不要隨便將末尾的0去掉。例如：5.4和5.40的精確度不同，5.4精確到十分位，5.40精確到百分位。(2)用小數(shù)點表示，如精確到0.1或0.01；在用四舍五入法取近似數(shù)時，不要隨便將末尾的0去掉。例如：5.4和5.40的精確度不同，5.4精確到十分位，5.40精確到百分位。(3)對帶有單位的數(shù)用單位表示，如精確到千克、米等。3.一般地，一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就說這個數(shù)精確到哪-位。例如π≈3.14(精確到0.01，或叫作精確到百分位)。注意：一個數(shù)精確到哪一位，就看這個數(shù)的最后一位數(shù)字，最后一位數(shù)字落在什么位，它就精確到什么位。（如：2.54×105，還原后是254000，“4”在千位上，故精確到了千位。）第三章實數(shù)3.1平方根知識點1平方根1.概念：一般地，如果一個數(shù)x的平方等于a，那么這個數(shù)叫作a的平方根，也叫作a的二次方根。例如，因為1.22=1.44，所以1.2是1.44的一個平方根。說明：例如:3和-3的平方都等于9，那么3和-3都是9的平方根，它們互為相反數(shù)。平方根是它本身的數(shù)只有0。2.性質(zhì)：一個正數(shù)有正、負兩個平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是0；負數(shù)沒有平方根。注意：因為正數(shù)、0、負數(shù)的平方都不是負數(shù)，所以負數(shù)沒有平方根。一個正數(shù)a的正平方根用a表示(讀作“根號a”)；a的負平方根用“-a”表示(讀作“負根號a”），因此，一個正數(shù)a的平方根就用“±a”表示（讀作“正、負根號a”），其中a叫作被開方數(shù)。知識點2開平方1.概念：求一個數(shù)a的平方根的運算，叫作開平方。2.開平方是平方運算的逆運算，因此，可以運用平方運算求一個數(shù)的平方根。注意：(1)開平方用符號“±a”表示，“”是一個運算符號，讀作“二次根號”，這里根指數(shù)2被省略了。(2)“數(shù)a的平方根是m，n”與“m，n是數(shù)a的平方根”含義不完全相同，前者m，n是互為相反數(shù)，后者m，n是相等或互為相反數(shù)。知識點3算術(shù)平方根的概念及性質(zhì)1.正數(shù)的正平方根稱為算術(shù)平方根。一個數(shù)a(a≥0)的算術(shù)平方根記作“a”。例如，9的算術(shù)平方根是3，即9=3；14的算術(shù)平方根是12，2.一個正數(shù)的算術(shù)平方根是正數(shù)，負數(shù)沒有算術(shù)平方數(shù)，0的算術(shù)平方根是0。3.算術(shù)平方根的雙重非負性：(1)被開方數(shù)a≥0；(2)算術(shù)平方根a≥0。注意：a2與((1)意義不同：前者是a的平方的算術(shù)平方根，后者是a的算術(shù)平方根的平方。(2)被開方數(shù)的取值范圍不同，前者a為任意數(shù)，后者a為非負數(shù)。(3)結(jié)果不同：a2=a=a(a≥0)?a(a<0)；(只有當(dāng)a≥0時，即a為非負數(shù)時，這兩個式子的結(jié)果才相同。3.2從有理數(shù)到實數(shù)知識點1無理數(shù)1.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)叫作無理數(shù)。例如：2.2是有限小數(shù)，2.2是無限循環(huán)小數(shù)，它們都是有理數(shù)；2.236078954…是無限不循環(huán)小數(shù)，2.小數(shù)的分類有理數(shù)小數(shù)有限小數(shù)有理數(shù)3.常見的無理數(shù)的形式(1)開方開不盡的數(shù)，如2，3；(2)化簡后含有π的數(shù)，如π，2π；(3)有規(guī)律但不循環(huán)的無限小數(shù)，如1.010010001…(兩個1之間依次多一個0)。注意：(1)無理數(shù)的小數(shù)部分位數(shù)無限。(2)無理數(shù)的小數(shù)部分不循環(huán)，不能表示成分?jǐn)?shù)的形式。(3)判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)，不能只看形式，要看化簡結(jié)果，如16是有理數(shù)，而不是無理數(shù)。(4)π2不是分?jǐn)?shù)，也不是有理數(shù)，是無理數(shù)。形如ab(b≠0，a，知識點2實數(shù)的概念及分類有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。（1）按概念分類實數(shù)實數(shù)有理數(shù)無理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正無理數(shù)負無理數(shù)正分?jǐn)?shù)負分?jǐn)?shù)正整數(shù)零負整數(shù)有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)（2）按正實數(shù)、零、負實數(shù)的關(guān)系分類實數(shù)實數(shù)正實數(shù)零負實數(shù)正有理數(shù)正無理數(shù)負無理數(shù)負有理數(shù)負整數(shù)負分?jǐn)?shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)知識點3實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系在實數(shù)范圍內(nèi)，每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)。我們說實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。拓展：(1)實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，而與有理數(shù)就不是一一對應(yīng)的，實數(shù)包括有理數(shù)。(2)數(shù)軸上的任意一點表示的數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù).知識點4實數(shù)的相關(guān)概念在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)倒數(shù)、絕對值的意義相同。(1)相反數(shù)：①a的相反數(shù)是-a。如2與-2互為相反數(shù)。②a與b互為相反數(shù)?a+b=0。(2)絕對值：①一個正實數(shù)的絕對值是它本身；②一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；③0的絕對值是0。(3)倒數(shù):①a的倒數(shù)是1a。如2與12②兩個非零數(shù)a與b互為倒數(shù)?ab=1。③正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，零沒有倒數(shù)。說明:(1)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，即a=?a。(2)實數(shù)a滿a≤a。知識點5利用估算法確定無理數(shù)的大小對于帶根號的無理數(shù)的大小的估算，可以通過平方運算或立方運算，采用兩邊逐漸逼近的方法，首先確定其整數(shù)部分，再確定十分位、百分位等小數(shù)部分。經(jīng)常取與被開方數(shù)最近的兩個完全平方數(shù)的算術(shù)平方根進行比較。例如：估算2的大小，可以取和2最近的兩個完全平方數(shù)1和4，因為1<2<4，所以1<2<4，即1<2<2。知識點6實數(shù)的大小比較1.利用數(shù)軸比較實數(shù)的大小與有理數(shù)的大小比較法則一樣，在數(shù)軸上表示的兩個實數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。2.利用實數(shù)的分類比較大小(1)正實數(shù)大于零，負實數(shù)小于零，正實數(shù)大于負實數(shù)。(2)兩個正實數(shù)，絕對值大的數(shù)較大。(3)兩個負實數(shù)，絕對值大的數(shù)反而小。3.無理數(shù)大小的比較(1)作差法：若a-b>0，則a>b；若a-b<0，則a<b。(2)平方法：把含根號的兩個無理數(shù)同時平方，比較平方后數(shù)的大小，同時要考慮符號。如：比較3，4，34的大小，利用32<42<(34)2即可得到3<4<34。拓展：當(dāng)兩個帶根號的無理數(shù)比較大小時，可應(yīng)用a>b≥0?a>b。3.3立方根知識點1立方根1.概念及表示一般地，一個數(shù)的立方等于a，這個數(shù)就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根，記作3a。其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù)，符號“3”讀作三次根號。如：因為2.性質(zhì)（1）每個數(shù)a有且只有一個立方根，其中a可正可負可為0。（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)；負數(shù)的立方根是負數(shù)；0的立方根是0。注意：3a中的根指數(shù)3方法：判斷一個數(shù)x是否為a的立方根，只需檢驗x3是否等于a即可。知識點2平方根和立方根分區(qū)別被開方數(shù)平方根立方根正數(shù)有兩個，互為相反數(shù)有一個，是正數(shù)負數(shù)無平方根有一個，是負數(shù)000注意：(1)平方根的被開方數(shù)必須為非負數(shù)，立方根的被開方數(shù)為任意數(shù)。(2)立方根是它本身的數(shù)有1，-1，0平方根是它本身的數(shù)只有0。知識點3開立方求一個數(shù)的立方根的運算，叫作開立方。開立方與立方是互逆運算，正如開平方與平方互為逆運算一樣，在開立方時，往往通過立方運算去完成。注意：(3a)3=a，33.4實數(shù)的運算知識點1實數(shù)的運算1.實數(shù)運算的順序：先算乘方和開方,再算乘除,最后算加減；同級運算按照從左到右的順序進行；如果遇到括號，則先進行括號里的運算。2.數(shù)從有理數(shù)擴展到實數(shù)后，有理數(shù)的運算律和運算法則在實數(shù)范圍內(nèi)同樣適用。注意：含根號的無理數(shù)的運算，只有被開方數(shù)相同且開相同次方的數(shù)才能相加減。拓展：正數(shù)a的算術(shù)平方根a與被開方數(shù)a的變化規(guī)律當(dāng)被開方數(shù)a的小數(shù)點向左或向右移動兩位時，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點相應(yīng)地向左或向右移動一位。當(dāng)a擴大到原來的100倍(或縮小到原來的1100)時，a的算術(shù)平方根相應(yīng)地擴大到原來的10倍(或縮小到原來的1第四章代數(shù)式4.1代數(shù)式知識1用含字母的式子表示數(shù)用字母或含有字母的式子表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系,為我們今后的學(xué)習(xí)和研究帶來了極大的方便.用含字母的式子表示數(shù)的書寫規(guī)則:類型書寫要求字母與字母相乘“×”號通常省略不寫或?qū)懗伞啊ぁ保蝗纾簒×y寫作xy或x·y數(shù)與字母相乘數(shù)字通常寫在字母的前面；（不只要寫作字母前面，有括號時還要寫在括號前面。）如a?58可寫作58a，（a+b）?2可寫作2帶分?jǐn)?shù)與字母相乘通?；瘞Х?jǐn)?shù)為假分?jǐn)?shù)；如212除式中含有字母要寫成分?jǐn)?shù)的形式。如x÷12應(yīng)寫作x12，12÷代數(shù)式帶有單位當(dāng)式子為幾個數(shù)的和或差的形式,且結(jié)果帶單位時,結(jié)果帶單位時,式子整體加括號。如：（3+a）米，[4+2（m-1）]cm等注意：(1)同一問題中，相同的字母必須表示相同的量，不同的量必須用不同的字母表示。(2)用字母表示實際問題中的某個量時，字母的取值必須使式子有意義且符合實際情況。(3)“平方的和(差)"要先平方再相加(減)；“和(差)的平方"要先相加(減)再平方，和(差)要加括號。(4)代數(shù)式中不能含有“=”“>(≥)”“<(≤)”“≠”等符號。例如：x=2,-1>-2,5x+2≠3等都不是代數(shù)式。知識點2代數(shù)式的概念像10a+2b，a+b+c+d4，2a2，l+180l這樣，由數(shù)、表示數(shù)的字母和運算符號組成的數(shù)學(xué)表達式注意：代數(shù)式中不能含有“=”“>(≥)”“<(≤)”“≠”等符號。例如：x=2,-1>-2,5x+2≠3等都不是代數(shù)式。知識點3代數(shù)式的意義根據(jù)生活實際將給定的代數(shù)式的意義用語言敘述出來,就是將代數(shù)式的字母及運算符號賦予具體的含義。注意：(1)要注意實際問題中的數(shù)量關(guān)系必須與代數(shù)式所表示的相一致。(2)問題的結(jié)論往往具有開放性，只要說法合乎情理即可。知識點4列代數(shù)式把簡單的與數(shù)量有關(guān)的詞語用代數(shù)式表示出來叫作列代數(shù)式。例如:用代數(shù)式表示:a與a減去b的差的商，其中運算詞“差”表示的數(shù)量關(guān)系是a減去b，列成式子為a-b；運算詞“商”表是a除以“差”,即aa?b注意：按照順序逐步列式(1)審題，認(rèn)真分析問題中有關(guān)術(shù)語的含義。如:和、差、積、商、多、少、幾倍、幾分之一、增加、增加到、減少、減少到、擴大、縮小等；(2)注意問題中的語言敘述所表示的運算順序；(3)弄清問題中的層次關(guān)系,抓住“”字的作用；(4)注意運算的逆向思維。如某數(shù)與ab的積為5,則該數(shù)為5ab4.2代數(shù)式的值知識點1代數(shù)式的值的概念用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母按照代數(shù)式中的運算關(guān)系計算得出的結(jié)果，叫作代數(shù)式的值。這個過程叫作求代數(shù)式的值。例如：當(dāng)x=-5時，代數(shù)式(x+2)2=(-5+2)2=(-3)2=9，那么9就是當(dāng)x=-5時,代數(shù)式(x+2)2的值。知識點2求代數(shù)式的值的步驟求代數(shù)式的值有代入和計算兩步。第一步：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，簡稱代入。代入時，將相應(yīng)的字母換成已給定的或已算出來的數(shù)值，其他的運算符號、原來的數(shù)字及運算順序都不改變。第二步：按照代數(shù)式中給出的運算，計算出結(jié)果，簡稱“計算”。代入的值不同，最后計算出的結(jié)果也可能不同。注意：對概念的理解要注意以下幾點(1)代數(shù)式的值是隨著代數(shù)式中字母取值的變化而變化的。(2)代數(shù)式中字母的取值必須使代數(shù)式有意義。(3)字母的取值要確保它本身所表示的數(shù)量有意義。例如:用1x中的x不能等于0，當(dāng)x=0時1(4)代入數(shù)值是將相應(yīng)的字母變成數(shù)，其他的符號和數(shù)字不能改變。知識點3書寫格式“當(dāng)……時,原式=……”,不能漏寫“當(dāng)……時”的條件。4.3整式知識點1單項式1.單項式的概念:由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫作單項式。單獨一個數(shù)或一個字母也叫單項式，如0，-1，a。方法：判斷一個代數(shù)式是不是單項式，關(guān)鍵是看該代數(shù)式是不是數(shù)與字母或字母與字母的乘積。式子中含有加、減運算或分母中含有字母的均不是單項式。2.單項式的系數(shù):單項式中的數(shù)字因數(shù)叫作這個單項式的系數(shù)。例如，-3x的系數(shù)是-3，ab的系數(shù)是1。注意：在確定單項式的系數(shù)時，要注意其符號，其中形如a，-a這樣的式子的系數(shù)分別是1，-1，不能誤以為沒有系數(shù)。3.單項式的次數(shù):一個單項式中,所有字母的指數(shù)的和叫作這個單項式的次數(shù)。例如，-3x的次數(shù)是1，ab的次數(shù)是1+1=2。注意：(1)單項式的次數(shù)與數(shù)字因數(shù)無關(guān)，只與字母有關(guān)，是單項式中所有字母的指數(shù)的和。如單項式b的次數(shù)是1，而不是0；常數(shù)-5的次數(shù)是0；9x103a2b3c的次數(shù)是6，與103無關(guān)。(2)要正確區(qū)分單項式的次數(shù)與單項式中字母的次數(shù)，如6p2q的次數(shù)是3，其中字母p的次數(shù)是2。知識點2多項式1.定義：由幾個單項式相加組成的代數(shù)式叫作多項式。2.多項式的項：在多項式中，每個單項式叫作多項式的項，不含字母的項叫作常數(shù)項。一個多項式含有幾項，就叫幾項式。例如：a2+3a-2的項有a2，3a，-2，三項，叫三項式；其中常數(shù)項是-2。3.多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)就是這個多項式的次數(shù)。例如：a2+3a-2次數(shù)最高的項a2的次數(shù)是2，a2+3a-2的次數(shù)為2。注意：(1)確定多項式的項時，要帶前面的符號。(2)確定多項式的次數(shù)時，先計算出多項式中每一個單項式的次數(shù)，再確定多項式的次數(shù)。(3)一個多項式是幾次幾項，就叫幾次幾項式，如2x2+3x-3有三項，次數(shù)最高項的次數(shù)為2，所以2x2+3x-3是二次三項式。知識點3整式1.概念:單項式和多項式統(tǒng)稱為整式。2.判斷整式、單項式及多項式的方法(1)單項式不含加減運算，多項式必含加減運算；(2)多項式是幾個單項式的和；(3)單項式和多項式都是整式，分母中含有字母的都不是整式。方法：凡分母中含有字母的代數(shù)式都不屬于整式，在整式范圍內(nèi)用“+”或“-”將單項式連接起來的就是多項式，而單項式注重一個“積”字。4.4合并同類項知識點1同類項的概念所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項叫作同類項，幾何常數(shù)項也是同類項。注意：(1)兩個單項式是不是同類項有兩個"相同”，缺一不可：①所含字母相同；②相同字母的指數(shù)相同。如5a2bc與-2ab2c，滿足第①條，但不滿足第②條。故不是同類項。(2)兩個單項式是不是同類項有兩個"無關(guān)”：①與該項系數(shù)無關(guān)。如-m2n與3m2n是同類項；②與該項中字母排列順序無關(guān)。如2ab與-ba是同類項。(3)同類項的前提條件是這些式子必須是單項式。(4)同類項最少是兩項，也可以是三項、四項等。知識點2合并同類項1.把多項式中的同類項合并成一項，叫作合并同類項。2.合并同類項的法則：把同類項的系數(shù)相加所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。3.合并同類項的一般步驟：注意：合并同類項是逆用分配律，運用時應(yīng)注意：(1)不是同類項的不能合并；(2)同類項的系數(shù)相加，字母部分不變；(3)注意確定好每一項系數(shù)的符號。4.5整式的加減知識點1去括號1.去括號方法：一般地，一個數(shù)與一個多項式相乘，需要去括號，去括號就是用括號外的數(shù)乘括號內(nèi)的每一項,再把所得的積相加。如果括號外的乘數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的乘數(shù)是負數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反。巧記：去括號,看符號是“+”號，不變(號)；是“-”號，全變(號)。注意：(1)當(dāng)括號前有數(shù)字乘數(shù)，應(yīng)用乘法分配律時，切勿漏乘。(2)去括號時，要將括號連同它前面的符號一起去掉。(3)“相同”或“相反”是指括號內(nèi)的每一項的符號。2.依據(jù)：分配律a(b+c)=ab+ac。3.多層括號的去法:一般由內(nèi)向外，先去小括號，再去中括號，最后去大括號。知識點2整式的加減整式加減的運算法則:幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后在合并同類項。應(yīng)用整式加減的運算法則化簡求值時，一般先去括號、合并同類項，再代入字母的值進行計算，簡記為“一化、二代、三計算”。在具體運算中，也可以先將同類項合并，再去括號，但是要按運算順序去做。例如，-2(x-3x+5x-7x+6)=-2(-4x+6)=8x-12。注意：整式加減的結(jié)果要最簡(1)不能有同類項(2)含字母的項的系數(shù)不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)，如果有帶分?jǐn)?shù)，必須將其化成假分?jǐn)?shù)；(3)一般不含括號。注意：(1)幾個多項式相減，減式一定要先用括號括起來。(2)去括號時要格外注意符號問題，尤其是有多重括號時。第五章一元一次方程5.1認(rèn)識方程知識點1方程及方程的解含有未知數(shù)的等式叫作方程。例如：x=0,2x=5，y+3=-4，a2+3a=7，x-2y=10，1x+x=2等都是方程注意：判斷方程的方法（1）化簡后含有未知數(shù)；（2）式子是等式；（3）方程中的未知數(shù)可以用x表示，也可以用其他字母表示；（4）方程中的未知數(shù)的個數(shù)不一定是一個，也可以是兩個或兩個以上。知識點2方程的解與解方程1.一般地，使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫作方程的解。例如：x=2是方程2x+1=5的解。2.求方程的解的過程，叫作解方程。注意：若要檢驗一個數(shù)是否為某個方程的解，只需把這個數(shù)分別代入方程的左、右兩邊，看左、右兩邊的值是否相等，若相等，則這個數(shù)是該方程的解，否則不是。5.2等式的基本性質(zhì)知識點1等式的性質(zhì)1.等式的性質(zhì)1：等式的兩邊都加上（或都減去）同一個數(shù)或式，所得結(jié)果仍是等式。用字母可以表示為如果a=b，那么a±c=b±c。2.等式的性質(zhì)2：等式的兩邊都乘或除以同一個數(shù)或式（除數(shù)不能為0），所得結(jié)果仍是等式。用字母可以表示為如果a=b，那么ac=bc，或ac=bc（c3.等式的其他性質(zhì)(1)對稱性：若a=b，則b=a。如解方程時，若得到5=x，則根據(jù)等式的對稱性，可以得到x=5。(2)傳遞性：若a=b,b=c，則a=c。5.3一元一次方程和它的解知識點1一元一次方程的概念1.一元一次方程：方程80%x=72，350+110x=500，2x+123=14中，兩邊都是整式，只含有2.一元一次方程的最簡形式為x=ba注意：一元一次方程必須滿足的三個條件(1)整理化簡后只含“一個未知數(shù)"；(2)整理化簡后未知數(shù)的最高次為“一次”；(3)整理前兩邊均為整式。若已知等式ax+b=0為關(guān)于x的一元一次方程,則默認(rèn)a≠0。知識點2一元一次方程的解和解方程1.解方程：求方程的解的過程叫作解方程。2.一元一次方程的解：使一元一次方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫作一元一次方程的解，也叫作方程的根。注意：要檢驗一個數(shù)是不是某個方程的解，只需把這個數(shù)分別代入方程的左右兩邊，看左右兩邊的值是否相等,若相等,則這個數(shù)是該方程的解，否則不是.知識點3列簡單一元一次方程列方程就是把實際問題中的相等關(guān)系用方程的形式表示出來.列方程的一般步驟如下：(1)審題：分析實際問題中的相等關(guān)系,找出已知量和未知量。(2)設(shè)：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)出未知數(shù)x,并把涉及相等關(guān)系的量用x表示出來；(3)列：利用等量關(guān)系列出方程。說明：(1)設(shè)未知數(shù)時，有單位的要帶單位。(2)設(shè)未知數(shù)可以直接設(shè)，也可以間接設(shè),根據(jù)具體情況分析，本著易列、易解的原則設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)。（3）審題時建議逐字逐句讀題，并圈出關(guān)鍵信息。5.4一元一次方程的解法知識點1合并同類項與系數(shù)化為11.合并同類項將一元一次方程中含有未知數(shù)的項與常數(shù)項分別合并，使方程轉(zhuǎn)化為ax=b(a≠0)的形式，變形依據(jù)是合并同類項法則。注意：(1)合并同類項時,把同類項的系數(shù)相加,字母和字母的指數(shù)不變。(2)利用合并同類項解一元一次方程時,要明確這類方程的特點:等號一邊只有含未知數(shù)的項，另一邊只有常數(shù)項。2.系數(shù)化為1方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)，使一元一次方程ax=b(a≠0)變形為x=ba(a≠0)的形式，變形的依據(jù)是等式的性質(zhì)2。例如，解方程x+2x=6-3，合并同類項，的3x注意：(1)系數(shù)化為1時,若結(jié)果是分?jǐn)?shù),注意能約分的要約分,切勿顛倒分子與分母的位置。(2)在系數(shù)化為1時,特別注意當(dāng)系數(shù)是負數(shù)時,符號不要出錯。知識點2解方程求方程的解的過程，叫作解方程。解一個以x為未知數(shù)的方程，就是把方程轉(zhuǎn)化為x=c（c為常數(shù)）的形式。知識點3移項法解一元一次方程1.移項(1)一般地,把方程中的項改變符號后,從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫作移項。(2)移項的目的：使含有未知數(shù)的項與常數(shù)項分別位于等號左右兩邊，以便為下一步合并同類項創(chuàng)造條件，移項的依據(jù)是等式的性質(zhì)1。(3)移項的方法：通常把方程右邊的含未知數(shù)的項改變符號后移到方程左邊，把方程左邊的常數(shù)項改變符號后移到方程右邊。但也不盡然,比如為使未知數(shù)的系數(shù)不出現(xiàn)負數(shù)，也可以把含未知數(shù)的項放在右邊，常數(shù)項放在左邊。例如:-x+1=5，移項，得1-5=x，所以-4=x，即方程的解為x=-4。2.移項法解一元一次方程的步驟（1）移項；（2）合并同類項；（3）系數(shù)化為1。例如：解方程：10-4y=6y+5，移項，得：-4y-6y=5-10。合并同類項，得：-10y=-5。系數(shù)化為1，得：y=0.5。知識點4去括號與去分母1.去括號(1)解含有括號的一元一次方程時，利用前面學(xué)習(xí)的去括號法則去掉括號。(2)去括號是為了下一步能用移項法解方程，實質(zhì)是乘法對加法的分配律。(3)去括號各項的變化：①如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來符號相同，例如：+(a-b)=a-b；②如果括號外的因數(shù)是負數(shù)，去括號后要改變原括號內(nèi)各項的符號，例如：-(a-b)=-a+b；③當(dāng)括號前不是“+1”或“-1”時，去括號時，將括號外的因數(shù)連同前面的符號看成一個整體，按乘法對加法的分配律乘括號內(nèi)的每一項，再把積相加。(4)去括號解一元一次方程的步驟：①去括號；②移項；③合并同類項；④系數(shù)化為1。注意：若方程中有多層括號，通常由內(nèi)向外逐層去括號，也可以由外向內(nèi)逐層去括號，可根據(jù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)特點，靈活決定。例如-[-(a-b)+c]=(a-b)-c=a-b-c；-[-(a-b)+c]=-(-a+b+c)=a-b-c。2.去分母(1)在含有分?jǐn)?shù)系數(shù)的方程兩邊都乘同一個數(shù)(該數(shù)為各分母的最小公倍數(shù))，使方程中不含分母，這樣的變化過程叫作去分母。(2)去分母的目的是將方程中的分?jǐn)?shù)系數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)系數(shù)再利用去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1解方程。去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)2。(3)對于含小數(shù)的一元一次方程，先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再利用去分母去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1解方程。知識點5解一元一次方程的一般步驟步驟具體做法變形根據(jù)易錯點示例3x+1去分母方程兩邊同乘各分母的最小公倍數(shù)等式的性質(zhì)2（1）易漏乘不含分母的項；（2）分子是和、差的形式時，分子容易漏加括號兩邊同乘12，3(3x+1)+4(x-2)=6x+60去括號可按“小、中、大”的順序去括號，也可靈活決定（1）乘法分配律；（2）去括號法則（1）容易漏乘括號里面的項；（2）容易出現(xiàn)符號錯誤9x+3+4x-8=6x+60移項把含有未知數(shù)的項移到方程的一邊，常數(shù)項移到方程的另一邊等式的性質(zhì)1移項容易忘記變號9x+4x-6x=60-3+8合并同類項把方程化為ax=b(a≠0)的形式合并同類項法則系數(shù)相加時易算錯7x=65系數(shù)化為1方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù)等式的性質(zhì)2（1）系數(shù)含字母時，容易不先判斷系數(shù)是否為0而直接兩邊同時除以系數(shù)；（2）容易把分子、分母顛倒x=注意：方程的移項必須:(1)跨過等號;(2)改變符號。若某一項只在方程一邊改變位置，不跨過等號，則屬于多項式的移項，不改變符號。知識點6解含有絕對值的方程根據(jù)“|x|=a，則x=±a”，將絕對值符號去掉，化為兩個一元一次方程，再解這兩個方程。例如，解方程：|2x+1|=|3-5x|，去絕對值符號，得2x+1=±(3-5x)，即2x+1=3-5x或2x+1=-3+5x，解得x=27或x=注意：無論方程是一邊含絕對值符號還是兩邊都含絕對值符號，在去掉絕對值符號后，一邊不變，另一邊整體加“±”號。5.5一元一次方程的應(yīng)用知識點1列方程解決實際問題的步驟(1)審題：分析題意，找出題中的數(shù)量及其關(guān)系(2)設(shè)元：選擇一個適當(dāng)?shù)奈粗坑米帜副硎?例如x)(3)列方程：根據(jù)相等關(guān)系列出方程。(4)解方程：求出未知數(shù)的值.(5)檢驗：檢查求得的值是否正確和符合實際情形并寫出答案。拓展：設(shè)未知數(shù)有直接設(shè)和間接設(shè)兩種，間接設(shè)未知數(shù)的幾種情況如下:(1)設(shè)問題的局部(或部分)為x。如多位數(shù)問題設(shè)其中的一位或幾位上的數(shù)為x。(2)若題中所求幾個未知量的比例關(guān)系已知，則可用x表示其中“每份”的數(shù)量。(3)有些應(yīng)用題，盡管解答時可問什么設(shè)什么，但當(dāng)題目中還包含其他未知量時，這些未知量雖非題目所求，但缺了它就不易建立相等關(guān)系，這時可設(shè)輔助未知數(shù)。知識點2分析問題中的相等關(guān)系1.逐步列式法：例如，x+2的2倍比3x-6大5，首先寫出“x+2的2倍”，即2(x+2)，它比3x-6大5，那么“大-小=5”，即2(x+2)-(3x-6)=5。2.列表分析法：用行(或列)表示不同的項目或種類，用列(或行)表示相應(yīng)的數(shù)量。3.畫圖分析法：用圖形表示題目中的相等關(guān)系。例如，行程問題中常用線段示意圖幫助分析相等關(guān)系。知識點3常見問題中的等量關(guān)系1.配套問題相等關(guān)系：加工總量成比例，若一件產(chǎn)品需要A，B兩種配件配成，A，B兩種配件的數(shù)量比是a:b，則A種配件總數(shù)量×b=B種配件總數(shù)量×a。例如，一個眼鏡由1個鏡架和2個鏡片配成，這里：鏡架總數(shù)×2=鏡片總數(shù)×1。注意：可歸為配套問題的還有比例問題、勞力調(diào)配問題等,解法略有差異,本質(zhì)相同。比例問題直接設(shè)未知數(shù)，勞力調(diào)配問題關(guān)鍵是確定“調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系”。2.工程問題（1）基本相等關(guān)系：工作量=工作效率×工作時間，工作時間=工作量工作效率，工作效率=工作量工作時間（2）當(dāng)問題中總工作量未知而又不求總工作量時，要把總工作量看作整體1；（3）常見的相等關(guān)系為總工作量=各部分工作量之和。方法：(1)找相等關(guān)系的規(guī)律:在工作量、工作效率、工作時間這三個量中，如果甲量已知，從乙量設(shè)元，那么就從丙量找相等關(guān)系列方程。(2)工程類應(yīng)用題的工作量并不是具體數(shù)量時，往往把工作總量看作“1”。(3)工作總量看作“1”時，工作效率=1工作時間，3.營銷問題（1）相等關(guān)系：①利潤=售價-進價；②利潤率=利潤進價（2）打折：n折即標(biāo)價的n10，如7折即標(biāo)價的710（或70%），其中n叫折數(shù)。實際售價=標(biāo)價×注意：(1)銷售問題包括打折問題，且多數(shù)銷售問題就是打折問題。(2)增長率問題與打折問題本質(zhì)相同，都必須搞清“基礎(chǔ)量”是什么，即在打折前(或增長前、下降前)原量是什么。(3)解題時要認(rèn)真審題，清楚不打折時“售價=標(biāo)價”；打折時“售價=標(biāo)價×折數(shù)104.分段計費問題常見類型:我國公民個人所得稅按分段累進稅制計算；社會醫(yī)療保險實行分段累進按比例報銷制度；為鼓勵節(jié)約用水、用電、用氣、水費、電費、煤氣費實行分段價格收費標(biāo)準(zhǔn)；某些運營商的話費、出租車費實行分段計費；商家為促銷商品，實行分段優(yōu)惠銷售等。解決這些分段討論問題的關(guān)鍵是理順部分與整體的關(guān)系：①各段費用之和=總費用；②每一段的計費標(biāo)準(zhǔn)不同。5.球賽積分問題相等關(guān)系：（1）比賽總場數(shù)=勝場數(shù)+平場數(shù)+負場數(shù)；（2）比賽總得分=勝場總得分+平場總得分+負場總得分。注意：競賽答題問題也可歸到球賽積分問題中，因為有些競賽中規(guī)定答對一題得幾分，答錯一題扣幾分，不答不得分也不扣分等，這與球賽積分規(guī)則類似。6.行程問題基本相等關(guān)系：路程=速度×?xí)r間；速度=路程÷時間；時間=路程÷速度；（1）直線形相遇問題：甲走的路程+乙走的路程=兩地之間的路程。（2）直線形追及問題：快者走的路程=慢者走的路程+兩人初始路程差；快者走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程。（3）環(huán)形相遇問題：同起點、同時間、背向出發(fā)，首次相遇時，等量關(guān)系二者合走了1圈；從出發(fā)到相遇所用時間=環(huán)形周長二者速度和；第n次相遇時，二者合走了n環(huán)形追及問題：同起點、同時間、同向出發(fā)，首次相遇時，等量關(guān)系是快者比慢者多走1圈；追及所用時間=環(huán)形周長二者速度差；第n次相遇時，快者比慢者多走n拓展：其他行程問題(1)航行問題：順?biāo)俣?靜水速度+水速；逆水速度=靜水速度-水速。(2)火車過橋問題：①從車頭剛上橋到車尾離開橋；過橋速度×過橋時間=橋長+車長；②火車過橋全路程-橋長=車長。7.利息問題(1)本金×利率×期數(shù)=利息(若未特別說明，銀行定期存款的利率是指年利率，期數(shù)是年數(shù))。(2)本金+利息=本息和；本息和=本金×(1+利率×期數(shù))。8.年齡問題“年齡問題”的基本規(guī)律是不管時間如何變化，兩人的年齡差總是不變的，抓住“年齡差”是解答年齡問題的關(guān)鍵。注意：分析時，可借助線段圖分析，結(jié)合和倍、差倍、和差等問題分析方法，靈活解題。9.方案決策問題方案決策問題是實際生活中常見的問題，用一元一次方程解最佳方案問題的一般步驟：(1)列代數(shù)式；(2)列方程；(3)取特殊值試解；(4)決策。第六章圖形的初步認(rèn)識6.1幾何圖形知識點1幾何圖形的概念及分類1.幾何圖形的概念：對于各種物體，如果不考慮它們的顏色、材質(zhì)和質(zhì)量等，而只注意它們的形狀、大小和位置關(guān)系，就得到了幾何圖形。換種說法：點、線、面、體或若干個點、線、面、體組合在一起所構(gòu)成的圖形叫作幾何圖形。2.幾何圖形的分類：幾何圖形分立體圖形和平面圖形兩大類。(1)立體圖形：立方體、長方體、圓柱體、圓錐體、球體等幾何圖形所表示的各個部分不在同一平面內(nèi)，這樣的圖形稱為立體圖形。如：正方體、三棱錐、圓柱、圓錐、球等。(2)平面圖形：直線、射線、角、三角形、平行四邊形、梯形和圓都是幾何圖形，這些圖形所表示的各個部分都在同一平面內(nèi)，稱為平面圖形。如：三角形、長方形、圓等。注意：(1)圓柱和棱柱的區(qū)別：圓柱的底面是圓，棱柱的底面是多邊形；圓柱的側(cè)面是曲面，棱柱的側(cè)面是平行四邊形。(2)圓錐和棱錐的區(qū)別：圓錐的底面是圓，側(cè)面是曲面；棱錐的底面是多邊形，側(cè)面是三角形。(3)球與圓的區(qū)別：球是立體圖形，而圓是平面圖形。知識點2立體圖形球立方體長方體圓柱體圓錐三棱柱知識點4點、線、面、體的關(guān)系1.圖形的基本要素：點、線、面是圖形的基本要素。2.點、線、面、體之間的關(guān)系：包圍著幾何體的是面，面與面相交行成線，線與線相交形成點。點動成線，線動乘面，面動成體。說明：幾何體的形成(1)面圍成體：如正方體由六個平的面圍成，圓柱由一個曲的面和兩個平的面圍成，圓錐由一個曲的面和一個平的面圍成，球由一個曲的面圍成。(2)面動成體：這里的“動”指平移或旋轉(zhuǎn)。如將一個長方形繞著它的任意一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，就形成一個圓柱；將一個直角三角形繞著它的斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，可形成兩個底面重合的圓錐。6.2線段、射線和直線知識點1線段1.線段的表示：線段可以用表示端點的兩個大寫字母表示，也可以用一個小寫字母來表示。下圖中的線段可以表示為“線段AB”、“線段BA”或“線段a”。注意：不能用一個大寫字母或兩個小寫字母或一大寫一小寫的兩個字母來表示線段。知識點2直線1.直線的表示：直線可以用它上面任意兩個點的大寫字母表示，也可以用一個小寫字母表示，但不能用兩個小寫字母或一個大寫字母或一大寫一小寫的兩個字母來表示。圖示：直線l或直線AB2.直線的基本事實：經(jīng)過兩點有一條而且只有一條直線?？梢院唵蔚卣f成：兩點確定一條直線。3.直線沒有端點，沒有長度，不可度量?！把娱L直線”的說法是錯誤的。4.當(dāng)兩條不同的直線有一個公共點時，就稱這兩條直線相交，這個公共點叫作它們的交點。圖示：直線a，b交于點O拓展：同時過不在同一條直線上的三點畫不出直線。過沒有任何三點共線的n個點中的兩點共能畫出n(n?1)2條直線。如果兩條直線只有一個公共點,就說這兩條直線相交,該公共點叫作這兩條直線的交點。若平面內(nèi)有n條直線，則最多有n(n?1)2知識點3射線1.射線的表示：射線用表示它的端點和射線上另外任意一點的兩個字母表示，表示端點的字母要寫在前面。比較兩條線段的長短，可用刻度尺分別測量出它們的長度來比較，或者把其中的一條線段移到另一條線段上作比較。2.射線只有一個端點，沒有長度，不可度量。如下圖，“延長射線AB”的說法是錯誤的，但可以說“反向延長射線AB”。注意：端點不同，所表示的射線不同；端點相同，延伸方向不同，表示的射線也不同；只有端點和延伸方向都相同時，才是同一條射線。2.線段、射線、直線的區(qū)別與聯(lián)系線段射線直線圖形表示線段EF或FE或線段l射線CD直線AB或直線BA或直線l區(qū)別端點有兩個端點有一個端點無端點延伸不可延伸一端可以無限延伸可以無限延伸度量可以度量不可以度量不可以度量聯(lián)系都屬于“線”，都是直的；線段和射線是直線的一部分基本事實兩點直線，線段最短兩點確定一條直線6.3線段的長度比較知識點1線段的長短比較1.線段的長短比較：一般地，如果兩條線段長度相等，那么我們就說這兩條線段相等。如果兩條線段的長度不相等，那么我們就說長度較大的線段大于長度較小的線段。2.線段的基本事實：在所有連結(jié)兩點的線中，線段最短。簡單地說，兩點之間線段最短。注意：只有線段才能比較長短，直線和射線不能比較長短。在用“<”“>”或“=”連接兩條線段時,字母前的“線段”二字可省略不寫.3.兩點間的距離：連接兩點的線段的長度，叫作這兩點間的距離。注意：線段與兩點間的距離含義不同，線段是圖形，距離是數(shù)量，不是一回事。但二者又有緊密聯(lián)系：兩點間的距離是連接這兩點的線段的長度，不是隨便一條線段的長度。知識點2用尺規(guī)作圖1.作一條線段等于已知線段作法：第一步，作射線AC。第二步，以A為圓心，線段a的長為半徑畫弧，交射線AC于點B。則線段AB就是所求作的線段。6.4線段的和差知識點1線段的和差1.線段的和差：一般地，如果一條線段的長度是另兩條線段的長度的和，那么這條線段就叫作另兩條線段的和；如果一條線段的長度是另兩條線段的長度的差，那么這條線段就叫作另兩條線段的差；兩條線段的和或差仍是一條線段。注意：兩條線段的和差仍是線段，而不是指兩條線段的長度差。兩條線段的和差是圖形，兩條線段的長度差是數(shù)量，二者不要混淆。2.作線段的和、差在直線上作