2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第三章

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

［學(xué)習(xí)要求］1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.通過(guò)函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.

能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=C（C為常數(shù)），y=x,y=x2,y=x3,y=~,y=G的導(dǎo)數(shù).4.

能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5.了解復(fù)合函

數(shù)的求導(dǎo)法則，能求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)（僅限于形如/（ax+6）的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù).

，必備知識(shí)■差鎏意

［知鋰梳理］

知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)y=/（x）在x=xo處的導(dǎo)數(shù)

如果當(dāng)心-0時(shí)，平均變化率?無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值,即穿有極限，則稱(chēng)尸;■

定義（X）在X=Xo處可導(dǎo)，并把這個(gè)確定的值叫做v=f（X）在X=Xo處的導(dǎo)數(shù)（也稱(chēng)為瞬

時(shí)變化率）

Avf(x0+△%)-/(%)

記法記作了(必)或門(mén)，即/(刖)=lim△=limA

?%=%oA%#%A%T0故

幾何函數(shù)y=/（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)了（劭）就是過(guò)該點(diǎn)切線的斜率后o，即％o=lim

f（Xo+△%）-/（%o）

意義AX須L

知識(shí)點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的物理意義

函數(shù)S=S（t）在點(diǎn)電處的導(dǎo)數(shù)s'（而）是物體在to時(shí)刻的瞬時(shí)速度V，即"=S'（電）;v=v

⑺在點(diǎn)電處的導(dǎo)數(shù)V'（擊）是物體在勿時(shí)刻的瞬時(shí)加速度。，即°="5）.

知識(shí)點(diǎn)三基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

f(x)=C(C為常數(shù))f(x)=Q

f(x)=￥(a￡R,且aWO)f(x)=此一1

f(x)=sinxf(x)=cosx

f(x)—cosXf(x)=—sinx

f(x)=8f(x)=鏟

f(x)=ax(。>0,且aWl)f(x)=6/4na

1

f(x)=lnxf(X)=-

f(x)=焉

f(x)=log/(Q>0,且QWI)

知識(shí)點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

1.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若，(X),g,(X)存在，則有

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則：[f(x)±g(x)]—/(x)±g'(x)；

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則：g(x)y=f(x)g(x)+/(x)g，(x)；

(X)1

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(x)WO,則—9(—%).'=

/'(%)9(x)-f(%)g'O)

[90)]2

2.復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)

(1)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)＞=/(K)和"=g(X),如果通過(guò)中間變量小》可以表示成

X的函數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)(〃)與〃=g(X)的復(fù)合函數(shù)，記作歹=/(g

(X)).

學(xué)生用書(shū)1第53頁(yè)

(2)復(fù)合函數(shù)y=/(g(x))的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)》=/(〃)，u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為四

=即歹對(duì)X的導(dǎo)數(shù)等于〉對(duì)M的導(dǎo)數(shù)與〃對(duì)X的導(dǎo)數(shù)的乘積.

［小瓢馀斷］

1.（2024?河北邯鄲模擬）下列求導(dǎo)運(yùn)算中正確的是（）

A.（4）'=2B.（3"）'=X-3XT

C.（lnx）r=^^D.（X5）'=5X4

答案：D

解析：對(duì)于A,（4）,=0,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,（3"），=3叼113,故B錯(cuò)誤；

1

對(duì)于C,（Inx）r=-,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,（/），=5x4,故D正確.

2.（2024?河南鄭州模擬）已知/COue^+sinx,則/（0）=（）

A.lB.-1

C.2D.0

答案：C

解析：因?yàn)樗?（0）=eO+cos0=2.

3.（2024?江蘇連云港模擬）曲線y=x3+l在點(diǎn)（42）處的切線方程為（）

A.y=3x+3B.y=3x~l

C.y=_3x—1D.y=-3x—3

答案：B

解析：因?yàn)椤?i=2,所以Q=I,即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,由/（%）=3N,所以/（1）=3,所

以y=R+l在點(diǎn)（1,2）處的切線方程為y—2=3（%_1）,即

2x

4.（2024?安徽合肥模擬）設(shè)函數(shù)大幻=七，若/（。）=1，則。=.

答案：1

2e2x(x+a)-e2x2a-l

解析:由題意可知/(X)=—;-3—,且/(O)=l,則1,

(x+a)a

整理可得02—20+1=0,解得a=l.

力關(guān)鍵能力■:最I(lǐng)建窿

考點(diǎn)一變化率問(wèn)題

[例1]（1）（2024?云南楚雄模擬）已知某容器的高度為20cm,現(xiàn)在向容器內(nèi)注入液

1

體，且容器內(nèi)液體的高度〃（單位：cm）與時(shí)間，（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為〃

當(dāng)/=訪時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為3cm/s,則當(dāng)/=電+1時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)

變化率為（）

A.5cm/sB.6cm/s

C.8cm/sD.10cm/s

/(%o+臥%)-f(%o)

(2)已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)是7(x),若/(劭)=2,則lim---------晟-----

AITO

()

1

A，2B.l

C.2D.4

［答案］(1)C(2)B

1

［解析］(1)由〃=§戶(hù)+盧，得〃=祥+2才.

-==

當(dāng)/=電時(shí)，hCQ-I2?o3,解得t()=1(fg—3舍去).

故當(dāng)t=fo+l=2時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為22+2X2=8cm/s.

(2)因?yàn)?(x0)=2,

1/(%+/%)—/100)1

f［xo+^x)-f(/)

所以史°~m—2lim--------i-----------=寸(汽)=1.

△%->o那％

1.求平均變化率的步驟

物體的運(yùn)動(dòng)方程為y=f(久)，求在區(qū)間的平均變化率的步驟：

(1)求時(shí)間的改變量=x

(2)求函數(shù)值的變化量Ay=/(x)-/(%).

Ay

(3)求平均變化率菽?

2.求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟

(1)求時(shí)間改變量△/和位移改變量Av=s(Zo+Af)-s&o)-

—As

(2)求平均速度萬(wàn)=瓦.

As

(3)求瞬時(shí)速度，當(dāng)加無(wú)限趨近于0時(shí)，而無(wú)限趨近于常數(shù)v,即為瞬時(shí)速度.

3.求黑(當(dāng)Ax無(wú)限趨近于0時(shí))的極限的方法

(1)在極限表達(dá)式中，可把AH乍為一個(gè)數(shù)來(lái)參與運(yùn)算.

(2)求出賓的表達(dá)式后，Ax無(wú)限趨近于0,可令A(yù)x=0,求出結(jié)果即可.

。跟蹤訓(xùn)練

1.已知函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，函數(shù)＞=/(無(wú))的導(dǎo)數(shù)為＞=1(X),則(

Af(2)<f(3)<f(3)~f(2)

B.f(3)</(2)<f(3)-/(2)

C.f(2)<f(3)~f(2)<f(3)

D/(3)<f(3)~f(2)<f(2)

答案：D

f(3)-f(2)

解析：由/(X)圖象可知/(3)<—匚^—</(2),

即，(3)<f(3)~f(2)<f(2).

學(xué)生用書(shū)1第54頁(yè)

考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

［例2］求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)/(x)=(―2x+l)2；(2)/(x)=舊+4；

In(2x+1)

(3)fG)=23x+2；(4)歹=——-——；

(5)y=x(6)y=xsin(2%+亦OS(2%+2).

［解］(1)因?yàn)?(%)=(—2x+l)2=4N—4x+l,所以/(x)=8x—4.

,有

(2)因?yàn)?(x)=75---7---+--T4,所以/(x)=51*聲5言=扉5一?

(3)因?yàn)?(x)=23工+2,所以，(x)=3X2fe+2ln2.

產(chǎn)［r~ln(2x+1)

(4)

［in(2x+1)］'x-x'ln(2x+1)

(2x+iy

2x+i，x-1”(2x+1)

2%+1-E(2%+l)2x—(2x+1)In(2x+1)

%2(2x+1)x2

ex(ex-l)-(ex+l)ex_2e"

(5)y,=-2="2?

(e—1)(e—1)

(6)因?yàn)?gt;=xsin(2%+5)cos(2%+2)=尹sin(4X+K)=—^xsin4x,

所以,=(一；

y9)'sin4x+(—%)(sin4x)'=

111

—'sin4x—4cos4x=—,sin4x_2xcos4x.

I方法總結(jié)I

導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的6種形式及技巧

連乘積形式先展開(kāi)化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)

分式形式觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)

對(duì)數(shù)形式先化為和、差的形式，再求導(dǎo)

根式形式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的形式，再求導(dǎo)

三角形式先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)

復(fù)合形式先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可換元

門(mén)跟蹤訓(xùn)練

2.（多選）（2024?山東濟(jì)南質(zhì)檢）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A，(in%)xln2x

B.(NeD'=2%+k

'n

C【cos(:2%~3

1,1

D^X_-y=l+-

答案：AD

/1\11

解析：（啟）'=一贏,（lnx）'=一記，故A正確;

（x2^）'=（N+2x）e\故B錯(cuò)誤；

[cos僅％_g?=—2sin僅％_g）,故C錯(cuò)誤；

（尤-：）'=1+（,故D正確.

3.（2024?陜西西安模擬）已知函數(shù)人幻=1鼠》+丹1/2—3,則，（1）=.

答案：一1

1

解析：因?yàn)槿司?=lnx+/(l)N—3,所以，(x)=1+?tL)x,故1(1)=1+4(1)，解得，(1)

=一1.

考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的幾何意義

⑥角度(一)求切線方程

［例3］(1)(2023?全國(guó)甲卷)曲線在點(diǎn)(1,3處的切線方程為()

ee

A.yBy

eee3e

C.y=/+aD.y=/+］

(2)已知函數(shù)/G)=xlnx.若直線/過(guò)點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=/G)相切，則直

線/的方程為.

［答案］(1)C(2)x—y—l=Q

x

［解析］(1)由〉=普e%，可得產(chǎn)x:e12,

(X十1)

則yrIx=i=z，

.,.曲線在點(diǎn)(1,，處的切線方程為5=4(x_1),即_^=卒+不

(2)因?yàn)辄c(diǎn)(0,-1)不在曲線/(x)=xlnx上，所以設(shè)切點(diǎn)為(劭，泗).又因?yàn)?

(x)=l+lnx,所以直線/的方程為y+1=(1+lnxo)x.

fyn=xAnxn

所以由,0+］=(l+lnx0)%0>解得M=l，N)=0,

所以直線/的方程為y=x~l,

即x—y—l=0.

I方法總結(jié)I

求曲線y=/(x)的切線方程

若已知曲線y=f（%）和點(diǎn)P（xo,y（）），求過(guò)點(diǎn)P的切線方程，

i,當(dāng)點(diǎn)P0o,y0）是切點(diǎn)時(shí)，切線方程為y—九=（。（））（久—/）?

2?當(dāng)點(diǎn)00o,%）不是切點(diǎn)口?，可分以下幾步完成：

第一步：設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P'QI,f（%））；

第二步：寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)P'QI,f（］i））的切線方程y—f0i）=f（x1）（%-%1）；

第三步：將點(diǎn)P的坐標(biāo)（%,%）代入切線方程求出，;

第四步：將乙的值代入方程y—/01）=f（x1）（x-x1）可得過(guò)點(diǎn)P00,y0）的切線方程?

⑥角度（二）求切點(diǎn)坐標(biāo)

［例4］過(guò)點(diǎn)（0,-1）作曲線/（G）=lnx（x>0）的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為.

［答案］（乖，1）

［解析］由/'（口）=lnx（x>0）,得/（x）=lnx2=21nx,

2

則，（%）=>設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（配，21nxo）,顯然（0,-1）不在曲線上，

21n%0+12I-I-

則------,得XQ=&,則切點(diǎn)坐標(biāo)為（加,1）.

xo

學(xué)生用書(shū)1第55頁(yè)

I方法總結(jié)I

求切點(diǎn)坐標(biāo)，其思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后讓導(dǎo)婺值等于切線的斜率，從而得出切

線方程或求出切點(diǎn)坐標(biāo)?

⑥角度（三）求與切線有關(guān)的參數(shù)值（范圍）

［例5］（1）（2024?山東濟(jì)寧模擬）若曲線y=（ax+l）H在點(diǎn)（0,1）處的切線方程是2x

—y+l=0,則q=（）

A.3B.2

C.lD.O

（2）（2022?新高考/卷）若曲線>=（x+a）鏟有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則。的取值范

圍是.

［答案］（1）C（2）（一功，-4）U（0,+功）

［解析］（1）由題意，

在y=（ax+l）e^中，y'=a^-\-（ax+1）^=（ax+a+l）e\

在點(diǎn)（0,1）處，V=Q+1,

???在點(diǎn)（0,1）處的切線方程是2%一）+1=0,

???在點(diǎn)（0,1）處的斜率為2,

???a+l=2,解得Q=l.

（2）設(shè)/（x）=y=（x+a）e\則/（x）=（X+Q+1）ex,設(shè)切點(diǎn)為（劭，（xo+〃）e°

）,

???切線方程為y—（x（）+a）e°=（%o+a+l）e°（%—%（））.

%n%n?

又??,切線過(guò)原點(diǎn)（0,0）,（%O+Q）e=（xo+a+1）e（—%（））,整理得％O+QX（）—a

=0,又切線有兩條，.??關(guān)于劭的方程％o+Qx（）—a=O有兩不相等的實(shí)根，故/=a2+4a>

0,解得〃>0或q<—4.

I方法總結(jié)I

1?利用點(diǎn)與曲線的位置關(guān)系可建立不等關(guān)系，確定過(guò)點(diǎn)作曲線的條數(shù)?

2，一般已知曲線上一點(diǎn)P（久0,y0）的切線與已知直線的關(guān)系（平行或垂直），先確定該切線的

斜率勺再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到卜=/（K0）=tana,其中傾斜

角a￡[0,豆），根據(jù)范圍進(jìn)一步求得角度a或有關(guān)參數(shù)的取值范圍,

許跟蹤訓(xùn)練

4.（2024?安徽合肥模擬）已知函數(shù)/（x）=xlnx,若直線/過(guò)點(diǎn)（0,—e）,且與曲線>=

/（%）相切，則直線/的斜率為（）

A,-2B.2

C.—eD.e

答案：B

解析：函數(shù)/（%）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為/（x）=lnx+l,

設(shè)切點(diǎn)為（機(jī)，〃）,可得切線的斜率左=l+ln冽，

九+emlnm+e

則l+ln%=f=--—,

解得m=Q,故k=1+lnQ=2.

5.若曲線〉=e2。、在點(diǎn)（0,1）處的切線與直線x+2y+l=0垂直，則a=（）

A.-2B.-1

C.lD.2

答案：C

解析：直線x+2y+l=0的斜率為左=一^,

由題設(shè)知＞=e2"在（0,1）處的切線的斜率為2,而V=2we2%

??少，Ix=0=2a=2,可得Q=1.

6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)/在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)4處的切線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一

e,—1）,則點(diǎn)/的坐標(biāo)是.

答案：（e,1）

解析：設(shè)4（m,n）,則曲線y=lnx在點(diǎn)4處的切線方程為y—〃=方（%—m）.

又切線過(guò)點(diǎn)（一e,—1）,

一1

所以有n~\~1=~（m+e）.

再由〃=ln冽，解得加=e,n=\,

故點(diǎn)4的坐標(biāo)為（e,1）.

,1

［例］（1）（2024?云南保山模擬）若函數(shù)/（x）=41nx+l與函數(shù)g（x）=^-2x（a＞

0）的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

（11ri\

（2）（2024?河北邯鄲模擬）若曲線y=e＞與圓（x—a）2+儼=2有三條公切線，則°的取

值范圍是

［答案］(1)A(2)(1)+8)

［解析］（1）由函數(shù)/（x）=41nx+l,可得

4

f（X）=?

4

設(shè)切點(diǎn)為"41nz+l）,則/⑺=~,

,4

公切線方程為y—41nt—1=~（x—t）,

4

即y=pr+41nL3,

與y=12—2x聯(lián)立可得|x2—卜+；卜一41n/+3=0,

4\l211（?+1）

H2+2］-4X-X（3-41nO=0,整理可得

fa>0-

又由1>0’可得3—41n/>0,解得OV/VeL

（5I

令〃⑺=口而，其中0<t<e\可得

4/2\t+41nt-1

it+1）--1

hr（/）=---------1，

（3_41nt）

3.

令9⑺=f+41nt~\,可得（t）=1+；>0,函數(shù)夕（?）在（0,e4）上單調(diào)遞增，且夕

（1）=0,

當(dāng)0<f<l時(shí)，（p（?）<0,即〃（/）<0,此時(shí)函數(shù)〃G）單調(diào)遞減，

3

當(dāng)1<7</時(shí)，（p（力>0,即〃（%）>0,此時(shí)函數(shù)〃（力單調(diào)遞增，

所以〃（/）min=〃（1）—3,且當(dāng)，一0+時(shí)，h（力一+8,所以函數(shù)〃（1）的值域?yàn)椋?,

+8）,所以且a>0,解得即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0,1］.

（2）曲線>=廿在點(diǎn)（xo,則）處的切線方程為y—（X—x0）,

I，/、側(cè)

xx\(。-%o)+，|

0

由直線y—e°=e(x—x0)與圓(x—6z)2+儼=2相切，得----/?x-----=”.(*)

Jl+e°

因?yàn)榍€〉=廿與圓(工一口)2+/=2有三條公切線，故(*)式有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

2%n?

即方程e((x0_a_l)-2)=2有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

令g(x)=e*((x—6Z—1)2—2),則曲線y=g(x)與直線>=2有三個(gè)不同的交點(diǎn).

顯然，gr(x)=2e1V(x—q—2)(%—。+1).

r

當(dāng)(—8,a—1)時(shí)，g'(x)>0,當(dāng)(?—1,Q+2)時(shí)，g(x)<0,當(dāng)(a

+2,+8)時(shí)，gf(x)>0,

所以，g(x)在(一8,a—1)上單調(diào)遞增，在(a—1,Q+2)上單調(diào)遞減，在(Q+2,

+8)上單調(diào)遞增；

2

(%_a_1)_2

且當(dāng)X——8時(shí)，g(x)=------------0,當(dāng)X—+8時(shí)，g(x)=0^((%—4Z—1)2-

e

2)—>+8,

2

(g(a_l>>2e>1

因此，只需[g(a+2)<2：即'e2(a+2)<；

，一,

解得a>\.

I方法總結(jié)I

1.兩曲線y=/(x),y=g(%)在公共點(diǎn)(％好處有相同的切線，則滿(mǎn)足方程組

f/⑼=9(a),

[r(a)=g'(a)，解此方程組可得a,進(jìn)而得后得出切線方程?

2.求與曲線y=f0),y=g(%)切點(diǎn)不同的公切線，分別設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)(％,f(，))，

f(%)-g(%2)

。2,902))，滿(mǎn)足方程組/(叼)=。'。2)=一一,據(jù)此解得，或者叼，即可求得

公切線方程?

許跟蹤訓(xùn)練

InV7

L若直線>=履+6是曲線y=丁的切線，也是曲線》=呈的切線，則左=.

答案：一J

2e

In%1—In%

解析：由〉=刀可得，y,=一「

人x

=km+b,

Inm

設(shè)直線尸丘+b與曲線產(chǎn)竽相切于點(diǎn)（加，n）,則有?n-——m，

1_Inm

k=

.m2'

1_Inm1_Inm1_21nm

所以切線方程可表示為y—〃=---（%—加）,即歹=---^~x-------.

mm"

22

由可得，y~一-2.

（t=ks+b

2￡'

設(shè)直線y=Ax+6與曲線相切于點(diǎn)（s,t）,則有?t=s,所以切線方程可表示為歹

,口一泰

224

-t=--2（工一5）,即/=--環(huán)+1

SS3

/I—Inm2

.................-_—3

所以?2tmi:'消去s,整理得：41n*2m—121n加+9=0,解得：In加=子所以加=/,

、m=s,

3

1_Ine'

1

所以斜率k=一YT~

T2e-3-

2.若直線y=Ax+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切線，貝！J6

答案：1—ln2

解析：對(duì)函數(shù)歹=lnx+2求導(dǎo)，得_/=］對(duì)函數(shù)y=ln（x+1）求導(dǎo)，得?設(shè)直線》

=Ax+b與曲線＞=lnx+2相切于點(diǎn)Pi（xi,為）,與曲線y=ln（x+1）相切于點(diǎn)巳

（必，歹2），則歹i=lnxi+2,j2=ln（必+1）.由點(diǎn)Pi（%i,為）在切線上，得》一（lnxi+

2）=—（%—%i）,由點(diǎn)尸2（M,絲）在切線上，得歹一In（x2+l）=*+彳（x—%2）.因?yàn)檫@

11

%1一々+L,11

兩條直線表示同一條直線，所以I%2解得修=2，所以左=兀=

In(%2+1)=1口％1+々+1+1,

2,Z?=lnxi+2—1=1—In2.

學(xué)生用書(shū)I第301頁(yè)

：1課時(shí)作業(yè)修

[A組基礎(chǔ)保分練]

1.（多選）（2024?河南安陽(yáng)模擬）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A6+W

B.(e2x)'=e級(jí)

仁(1吟)'=焉

xsinx+cosx

Dfcosx\r

-(—)2

X

答案：AC

解析：對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)?+9'=1—故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)椋?）=e2x?（2x）r=2e2\故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)椋╨og2%）'=五⑦故c正確；

fcosx\%（—sin%）-cosxxsinx+cosx

對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)槎?=-----2-------=--------2—，故D錯(cuò)誤.

'K）XX

2.（2024?深圳檢測(cè)）曲線》=（x3-3x）-lnx在點(diǎn)（1,0）處的切線方程為（）

A.2x+y~2=0B.x+2y~l=0

C.x+y-1=0D.4x+y—4=0

答案：A

1

解析：由j/=(3x2—3),lnx+--(x3—3x),得所求切線斜率左=j/|%=i=—2,故所求切

線方程為〉=-2(x—1),即2x+y—2=0.

3.(2024?河北保定模擬)已知函數(shù)/(x)=e2X+/(1)N,則，(1)=()

A.-2e2B.2e2

C.e2D.-e2

答案：A

解析：由/(x)=e2X+/(1)x2,

得，(x)=2e2X+2f(1)尤，

令x=l,得，(1)=2e2+2f(1),

所以，(1)=-2e2.

4.(2024?河北衡水模擬)曲線y=x—/在橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線為/,則點(diǎn)"(1,2)

到直線I的距離為()

A等

24

C.yD.g

答案：A

解析：y=i—3N,則切線/的斜率左=/I%=1=-2.又易知切點(diǎn)為(1,0),所以切線/的

22-J5

方程為2x+y—2=0,則點(diǎn)M(l,2)到直線/的距離為寶=〒.

5.函數(shù)f(x)=lnx+ax的圖象上存在與直線2x—y=0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.(―8,2]B.(—8,2)

C.(2,+8)D.(0,+8)

答案：B

1

解析：函數(shù)/（x）=lnx+ax的圖象上存在與直線2x—y=0平行的切線，即/（x）=7+。

=2在（0,+8）上有解，即。=2-].

因?yàn)閤>0,所以2—：V2,所以q的取值范圍是（一8，2）.

6.（2024?陜西咸陽(yáng)模擬）已知函數(shù)/（%）=lnx+x,過(guò)原點(diǎn)作曲線歹=/G）的切線/,則切點(diǎn)

。的坐標(biāo)為（）

A&1）B.（e,e+1）

C。11）D.,e2+2）

答案：B

1

解析：由題意可知/<%）=或+1,

設(shè)切點(diǎn)為尸（%。，ln%0+,）,則切線方程為>=（；+1j（x_%0）+InXQ+XQ.

因?yàn)榍芯€過(guò)原點(diǎn)，所以0=（，+l）（_%o）+lnxo+xo=lnx（）—l,

解得M=e,則P（e,e+1）.

3

7.（多選）（2024?遼寧沈陽(yáng)模擬）已知函數(shù)次幻=/n_1）4+1,/（幻為人久）的導(dǎo)函數(shù)，

則（）

A/（-l）=l

B/⑴=—5

C4x）在（0,+8）上單調(diào)遞減

D/（l）=3

答案：BCD

3

解析：因?yàn)?（%）=^+^（-

x

所以=

解得，(—1)=—1,

33

則/(%)=：—N+1,/(%)=--2—2x,

xX

易知人x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，/(1)=-5,/(1)=3,故A錯(cuò)誤，B,C,D正確.

1

8.(多選)已知點(diǎn)M是曲線y=/3—2x2+3x+l上任意一點(diǎn)，曲線在M處的切線為/,則

下列結(jié)論正確的是()

B./斜率最小時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)為伍|)

C.切線/的傾斜角a的取值范圍為［。，即與，IT)

D./斜率的取值范圍為《W1

答案：BC

解析：,.y=N—4x+3=(%—2)2—1,

5

???當(dāng)X=2時(shí)，y'min=-1,此時(shí)>=

???斜率最小時(shí)的切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,|),最小斜率左=一1,

???A錯(cuò)誤，B正確.

由k>—1,得tan

又［0,兀)，，。金］。，,U［彳，IT),

故a的取值范圍為［。，即腎，n),：.C正確，D錯(cuò)誤.

1_x

9.(2024?江西景德鎮(zhèn)模擬)函數(shù)火%)=\+lnx在％=1處的切線方程為.

—一11

合案：y=2x~2

解析：由題意知，/(1)=0,則切點(diǎn)為(1,0),

-21%2+1

…)=不于+”即產(chǎn)G>°),

所以切線的斜率為/（1）=;,

111

故函數(shù)在x=l處的切線方程為＞一0=5（%_1）,即y=^x~2-

10.（2024?浙江紹興模擬）過(guò)點(diǎn)。）作曲線＞=爐的切線，寫(xiě)出一條切線方

程：?

答案：＞=0或歹=3x+2（寫(xiě)出一條即可）

解析：由歹=%3可得J/=3N,

設(shè)過(guò)點(diǎn)（―I,0）作曲線的切線的切點(diǎn)為（汽，澗），則必=說(shuō)，

所以切線方程為y—Po=3%j（%一劭），

將代入得一無(wú)：=34（一|_%o）,解得x（）=0或必=一1,

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）或（一1,-1）,

故切線方程為y=0或y=3x+2.

1

11.（2024?遼寧大連期末）已知曲線》=、+刖、在點(diǎn)（1,1）處的切線與直線x+2y=0垂

直，貝1」左=.

答案：1

解析：易知點(diǎn)（1,1）在曲線＞=x+%nx上.

令/（%）=x+}nx,則/（x）=1+2，

所以7（1）=1+］又該切線與直線x+2y=0垂直，所以1+1=2,解得左=1.

學(xué)生用書(shū)I第302頁(yè)

12.已知函數(shù)/（%）為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，/（x）=x3_inx,則曲線》=/（、）在點(diǎn)（一1,

-1）處的切線的斜率為

答案：2

解析：因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，/(x)=x3~lnx,所以當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,/(—%)=~x3—In

(—x).因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為奇函數(shù)，所以/(%)=-/(-%)=x3+ln(―x),?]f(%)

1

=3x2+~,所以/(―1)=2,所以曲線歹=/(%)在點(diǎn)(—1,—1)處的切線的斜率為2.

[B組能力提升練]

13.已知函數(shù)/G)=工3—X和點(diǎn)。(1,-1),則過(guò)點(diǎn)P且與該函數(shù)圖象相切的直線的條

數(shù)為()

A.lB.2

C.3D.4

答案:B

解析：因?yàn)?(I)=F—1=0,所以點(diǎn)尸(1,—1)沒(méi)有在函數(shù)/(X)的圖象上.設(shè)切點(diǎn)坐

標(biāo)為(x0,yo),則乂)=%：一%o,f(%。)=34一1.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率為左

3

+1

2y0y0=x0-x0)

=3x—1,大k=x一7，所以fo+12化簡(jiǎn)可得％n(2x—3)=0,解得劉=0或

unxo-1----=?丫1u0

Xo_l"o—,

3

=2,所以切點(diǎn)有兩個(gè)，因而有兩條切線.

14.(2024?廣東揭陽(yáng)模擬)已知曲線y=x3+2aN+x+6在點(diǎn)(1,0)處的切線的傾斜角為?

,則Q+6=()

35

A.-4B.-4

11

C-2D-T

答案:A

3ir

解析：1(%)=3%2+4辦+1,由題意可知，切線的斜率左=tan彳=—1,則

ff(1)=2+2a+b=0,__51

仍(1)=3+4a+l=_l,解仔a——4,b-2,

3

所以〃+6=—不

15.已知函數(shù)/（%）=辦3+bN+cx+d,且滿(mǎn)足/（2%_=一2%）,41）=2,/（0）=-2,

則4-2）=（）

A.28B.-28

2020

C.-^-D.—

答案：B

解析：由/（2%-1）=一/（1一2%）,知函數(shù)/（%）為奇函數(shù)，

又/（%）的定義域?yàn)镽,所以火0）=0,得d=0.

由/（_1）=一/（1）得6=0,所以/（%）=辦3+cx,/（%）=3aN+c,

（a-i-c=2（a=4

由/（l）=2,/（0）=—2,得［c——2得［c__2所以火%）=43—2x,

于是7（_2）=4X（_2）3—2X（_2）=—28.

16.（2024?四川成都模擬）若點(diǎn)P是曲線y=lnx—N上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線/：x+y—

4=0距離的最小值為（）

C.2避D,4A/2

答案：C

解析：過(guò)點(diǎn)P作曲線歹=lnx—x2的切線（圖略），當(dāng)切線與直線/：x+y—4=0平行時(shí),

點(diǎn)P到直線/:x+y—4=0距離的最小.

、1

,=

設(shè)切點(diǎn)為P（劭，yo）（%o>O）,y~—2xf

所以，切線斜率為左=j—2x（）.

xo

由題知2x（）=-1得%o=1或％o=-5（舍），

xo4

|1-1-4|

所以，尸（1,-1）,此時(shí)點(diǎn)尸到直線/:'+>—4=0距離d=——后—=2娘.

17.（多選）已知函數(shù)/（%）=x3+x—16,則錯(cuò)誤的結(jié)論是（)

A.曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線方程為13x—y—19=0

B.直線/為曲線y=/(x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則直線/的方程為x—y=0

C.直線/為曲線y=/(x)的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則直線/的方程為x—y=0或13x-y=0

D.如果曲線y=/G)的某一切線與直線y=—%+3垂直，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為±1

答案：ABC

解析：因?yàn)?(x)=(工3+工一16)'=3N+1,又點(diǎn)(2,—6)在曲線＞=/(%)上，

所以/G)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的斜率為/(2)=13,

所以切線方程為y+6=13(x—2),即y=13x—32,所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,C,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,%)，則直線/的斜率為/(汽)=3%o+l,

所以直線/的方程為y=(3%Q+1)(x—Xo)+%：+xo—16.

因?yàn)橹本€/過(guò)原點(diǎn)，所以0=(3XQ+1)(0—%o)+XQ+%O—16,

整理得，％()=—8,所以配=—2,所以次=(—2)3+(—2)—16=-26,

f(x0)=3X(-2)2+1=13,所以直線/的方程為y=13x,所以B,C錯(cuò)誤.

1

對(duì)于D,因?yàn)榍芯€與直線＞=一/+3垂直，所以切線