2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：第十章 計(jì)算原理、概率、隨機(jī)變量及其分布

第十章

計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布

第一節(jié)兩個基本計(jì)數(shù)原理

［學(xué)習(xí)要求］L理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.會用分類計(jì)數(shù)原理和分步

計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡單的實(shí)際問題.

1必備知識自主梳理

［知識梳理］

知識點(diǎn)兩個基本計(jì)數(shù)原理

1.分類加法計(jì)數(shù)原理

完成一件事有兩類不同的方案，在第1類方案中有加種不同的方法，在第2類方案中有〃種不同

的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法.

2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

完成一件事需要兩個步驟，做第1步有加種不同的方法，做第2步有"種不同的方法，那么完成

這件事共有N=mXn種不同的方法.

［小題診斷］

1.中國人民解放軍東部戰(zhàn)區(qū)領(lǐng)導(dǎo)和指揮江蘇、浙江、上海、安徽、福建、江西的武裝力量.某日東

部戰(zhàn)區(qū)下達(dá)命令，要求從江西或福建派出一架偵察機(jī)對臺海空域進(jìn)行偵查，已知江西有加架偵察

機(jī)，福建有〃架偵察機(jī)，則不同的分派方案共有（）

A.+71）種B.mn種

C.m種D."種

答案：A

解析：根據(jù)題意，由分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的分派方案共有（%+"）種.

2.由于用具簡單、趣味性強(qiáng)，象棋成為流行極為廣泛的棋藝活動.某棋局的一部分如圖所示，若不

考慮這部分以外棋子的影響，且“馬”和“炮”不動，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走

一格，從“兵”吃掉“馬”的最短路線中隨機(jī)選擇一條路線，其中也能把“炮”吃掉的可能路線

有（）

A.10條B.8條C.6條D.4條

答案：C

解析：由題意可知，“兵”吃掉“馬”的最短路線需橫走三步，豎走兩步；

其中也能把‘‘炮''吃掉的路線可分為兩步：第一步，橫走兩步，豎走一步，有3種走法；第二步,

橫走一步，豎走一步，有2種走法.

所以所求路線共有3X2=6（條）.

3.（易錯題）如圖，從A城到B城有3條路；從B城到D城有4條路；從A城到C城有4條路，

從C城到D城有5條路，則某旅客從A城到D城共有一條不同的路線.

答案：32

■關(guān)鍵能力重點(diǎn)探究。

考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理

［例1］（2024?江蘇揚(yáng)州模擬）某人從一層上到二層需跨10級臺階，他一步可能跨1級臺階，稱

為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步，從一層上到二層他

總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階，則他從一層到二層可能的不同走法共有（）

A.10種B.9種

C.8種D.12種

［答案］A

［解析］按題意要求，不難驗(yàn)證這6步中不可能沒有三階步，也不可能有多于1個的三階步.

因此，只能是1個三階步，2個二階步，3個一階步.

為形象起見，以白、黑、紅三種顏色的球來記錄從一層到二層跨越10級臺階的過程：

白球表示一階步，黑球表示二階步，紅球表示三階步，

每一過程可表為3個白球、2個黑球、1個紅球的一種同色球不相鄰的排列.

下面分三種情形討論.

(1)第1、第6球均為白球，則兩黑球必分別位于中間白球的兩側(cè)，

此時，共有4個黑白球之間的空位放置紅球，所以此種情況共有4種可能的不同排列；

(2)第1球不是白球.

(i)第1球?yàn)榧t球，則余下5球只有一種可能的排列；

(ii)若第1球?yàn)楹谇?，則余下5球因紅、黑球的位置不同有兩種不同的排列，此種情形共有3種

不同排列；

(3)第6球不是白球，同(2),共有3種不同排列.

總之，按題意要求從一層到二層共有4+3+3=10種可能的不同過程.

學(xué)生用書［第218頁

|方法總結(jié)|

運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理的兩個注意點(diǎn)

1.根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏.

2.分類時，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù).

聲跟蹤訓(xùn)練

1.如圖，某貨場有兩堆集裝箱，一堆2個，一堆3個，現(xiàn)需要全部裝運(yùn)，每次只能取其中一堆最上

面的一個集裝箱，則在裝運(yùn)的過程中不同取法的種數(shù)是()

A.6B.10

C.12D.24

答案：B

解析：將題圖中左邊的集裝箱從上往下分別記為1,2,3,右邊的集裝箱從上往下分別記為4,5.

分兩種情況討論：若先取1,則有12345,12453,12435,14523,14235,14253,共6種取法；若

先取4,則有45123,41235,41523,41253,共4種取法，故共有6+4=10種取法.

考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理

［例2］（2024?江蘇鎮(zhèn)江模擬）某公園有如圖所示/至〃共8個座位，現(xiàn)有2個男孩2個女孩要坐

下休息，要求相同性別的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，則不同的坐法總數(shù)為（）

ABCD

EFGH

A.168B.336

C.338D.84

［答案］B

［解析］第一步：排男生，第一個男生在第一行選一個位置有四個位置可選，第二個男生在第二行

有三個位置可選，由于兩名男生可以互換，故男生的排法有4X3X2=24（種），

第二步：排女生，若男生選/尸，則女生有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG共7種選擇，由于

女生可以互換，故女生的排法有2X7=14（種）,

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有24X14=336（種）.

|方法總結(jié)|

運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的三個注意點(diǎn)

1.要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的.

2.各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.

3.對完成每一步的不同方法數(shù)要根據(jù)條件準(zhǔn)確確定.

員跟蹤訓(xùn)練

2.（2024?河北石家莊模擬）教學(xué)大樓共有五層，每層均有兩個樓梯，由一層到五層的走法有

（）

A.10種B.25種

C.52種D.24種

答案：D

解析：每相鄰的兩層之間各有2種走法，共分4步.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有24種不同的走法.

考點(diǎn)三兩個基本計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用

［例3］如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形

有個.（用數(shù)字作答）

［答案］40

［解析］把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：

第一類，有一條公共邊的三角形共有8X4=32（個）.

第二類，有兩條公共邊的三角形共有8個.

由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有32+8=40（個）.

|方法總結(jié)|

應(yīng)用兩個計(jì)數(shù)原理的難點(diǎn)在于明確分類和分步.分類要做到“不重不漏”，正確把握分類標(biāo)準(zhǔn)

是關(guān)鍵;分步要做到“步驟完整”，步步相連能將事件完成，較復(fù)雜的問題可借助圖表完成.

內(nèi)跟蹤訓(xùn)練

3.如圖，用6種不同的顏色分別給圖中A,B,C,D四塊區(qū)域涂色.若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏

色，則不同的涂法共有（）

B\D

A.400種B.460種

C.480種D.496種

答案：C

解析：完成此事可能使用4種顏色，也可能使用3種顏色.當(dāng)使用4種顏色時：從A開始，有6種

方法，B有5種，C有4種，D有3種，完成此事共有6X5X4X3=360種方法；當(dāng)使用3種顏色

時：A,D使用同一種顏色，從A,D開始，有6種方法，B有5種，C有4種，完成此事共有

6X5X4=120種方法油分類加法計(jì)數(shù)原理可知不同的涂法有360+120=480（種）.

學(xué)生用書［第417頁

|課時作業(yè)

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［A組基礎(chǔ)保分練］

1.某同學(xué)有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友一本，

則不同的贈送方法共有（）

A.4種B.10種

C.18種D.20種

答案：B

解析：贈送1本畫冊，3本集郵冊，需從4人中選取1人贈送畫冊，其余贈送集郵冊，有4種方法.

贈送2本畫冊，2本集郵冊，只需從4人中選出2人贈送畫冊，其余2人贈送集郵冊，有6種方法.

由分類計(jì)數(shù)原理可知，不同的贈送方法共有4+6=10（種）.

2.（2024?廣東汕頭模擬）電腦調(diào)色板有紅、綠、藍(lán)二種基本顏色，每種顏色的色號均為0?255.在

電腦上繪畫可以分別從三種顏色的色號中各選一個配成一種顏色，那么在電腦上可配成的顏色種

數(shù)為（)

A.2563B.27

C.2553D.6

答案：A

解析：分3步取色，第一、第二、第三次都有256種取法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共可配成

256X256X256=2563種顏色.

3.（2024?山西太原模擬）現(xiàn)有拾圓、貳拾圓、伍拾圓的人民幣各一張，一共可以組成的幣值有

（）

A.3種B.6種

C.7種D.8種

答案：C

解析：由題意得，

三種幣值取一■張，共有3種取法，幣值分別為拾圓、貳拾圓、伍拾圓；

三種幣值取兩張，共有3種取法，幣值分別為叁拾圓、陸拾圓、柒拾圓；

三種幣值全取，共有1種取法，幣值為捌拾圓.

一共可以組成的幣值有3+3+1=7（種）.

4.數(shù)獨(dú)是源自18世紀(jì)瑞士的一種數(shù)學(xué)游戲.如圖是數(shù)獨(dú)的一個簡化版，由3行3列9個單元格構(gòu)成.

玩該游戲時，需要將數(shù)字1,2,3（各3個）全部填入單元格，每個單元格填一個數(shù)字，要求每一

行、每一列均有1,2,3這三個數(shù)字，則不同的填法有（）

第一列第二列第三列

第一行

第二行

第三行

A.12種B.24種

C.72種D.216種

答案：A

解析：先填第一行，有3X2X1=6種不同填法，再填第二行第一列，有2種不同填法，當(dāng)該單元

格填好后，其他單元格唯一確定.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，共有6X2=12種不同的填法.

5.（多選）現(xiàn)安排高二年級A,B,C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每名同

學(xué)只能選擇一個工廠，且允許多人選擇同一個工廠，則下列說法正確的是（）

A.共有43種不同的安排方法

B.若甲工廠必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有37種

C.若A同學(xué)必須去甲工廠，則不同的安排方法有12種

D.若三名同學(xué)所選工廠各不相同，則不同的安排方法有24種

答案：ABD

解析：對于A,A,B,C三名同學(xué)到甲、乙、丙、丁四個工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每個學(xué)生有4種選

法，則三個學(xué)生有4X4X4=43種選法，故A正確；

對于B,三人到4個工廠，有43=64種情況，其中甲工廠沒有人去，即三人全部到乙、丙、丁三

個工廠的情況有33=27（種）,

則甲工廠必須有同學(xué)去的安排方法有64-27=37（種），故B正確；

對于C,若同學(xué)A必須去甲工廠，剩下2名同學(xué)安排到4個工廠即可，有42=16種安排方法，故

C錯誤；

對于D,若三名同學(xué)所選工廠各不相同，有4X3X2=24種安排方法，故D正確.

6.如圖，。省分別與6,c,d,e四省交界，且6,c,?互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，

要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案種數(shù)為（）

A.480B.600

C.720D.840

答案：C

解析：依題意，按c與d涂的顏色相同和不同分成兩類：

若c與d涂同色，先涂d有5種方法，再涂a有4種方法，涂c有1種方法，涂e有3種方法，最

后涂6有3種方法，由分步計(jì)數(shù)原理得到不同的涂色方案有5X4X1X3X3=180（種），

若c與d涂不同色，先涂d有5種方法，再涂a有4種方法，涂c有3種方法，涂e,6也各有3種

方法，

由分步計(jì)數(shù)原理得到不同的涂色方案有5X4X3X3X3=540（種）,

所以，由分類計(jì)數(shù)原理得不同的涂色方案共有180+540=720（種）.

7.（2024?安徽宿州模擬）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線

面對”.在一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的

個數(shù)為（）

A.12B.24

C.36D.48

答案：C

解析：第1類，對于每一條棱，都可以與兩個側(cè)面構(gòu)成“正交線面對”，這樣的“正交線面對”

有2X12=24（個）；第2類，對于每一條面對角線，都可以與一個對角面構(gòu)成“正交線面對”，

這樣的“正交線面對”有12個.

所以正方體中“正交線面對”共有24+12=36（個）.

8.（2024?福建南平質(zhì)檢）甲與其他四位同事各有一輛私家車，車牌尾數(shù)分別是9,0,2,1,5,為

遵守當(dāng)?shù)啬吃?日至9日5天的限行規(guī)定（奇數(shù)日車牌尾數(shù)為奇數(shù)的車通行，偶數(shù)日車牌尾數(shù)為偶

數(shù)的車通行），五人商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車最多只能用一天，則

不同的用車方案種數(shù)為.

答案：80

解析：某月5日至9日，日期尾數(shù)分別為5,6,7,8,9,有3天是奇數(shù)日，2天是偶數(shù)日.第一

步，安排偶數(shù)日出行，每天都有2種選擇，共有2X2=4種用車方案；第二步，安排奇數(shù)日出行，

分兩類，第一類，選1天安排甲的車，另外2天安排其他車，有3X2X2=12種用車方案，第二

類，不安排甲的車，每天都有2種選擇，共有23=8種用車方案，共計(jì)12+8=20種用車方案.根據(jù)

分步計(jì)數(shù)原理可知，不同的用車方案種數(shù)為4X20=80.

[B組能力提升練]

9.（多選）（2024?山東濰坊模擬）現(xiàn)有4個興趣小組，第一、二、三、四組分別有6人、7人、8

人、9人，則下列說法正確的是（）

A.選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)為30

B.每組選1名組長的選法種數(shù)為3024

C.若推選2人發(fā)言，這2人需來自不同的小組，則不同的選法種數(shù)為335

D.若另有3名學(xué)生加入這4個小組，可自由選擇小組，且第一組必有人選，則不同的選法有35種

答案：ABC

解析：對于A,選1人為負(fù)責(zé)人的選法種數(shù)：6+7+8+9=30,故A正確；

對于B,每組選1名組長的選法：6X7X8X9=3024,故B正確；

對于C,2人需來自不同的小組的選法：6X7+6X8+6X9+7X8+7X9+8X9=335,故C正

確；

對于D,依題意：若不考慮限制，每個人有4種選擇，共有43種選擇，若第一組沒有人選，每個

人有3種選擇，共有33種選擇，

所以不同的選法有：43—33=37,故D錯誤.

學(xué)生用書［第418頁

10.如圖是在“趙爽弦圖”的基礎(chǔ)上創(chuàng)作出的一個“數(shù)學(xué)風(fēng)車”平面模型，圖中正方形N2CD內(nèi)部

為“趙爽弦圖”（由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成），LABE,△BCF,4CDG,

△D48這4個三角形和“趙爽弦圖涂色，且相鄰區(qū)域（即圖中有公共點(diǎn)的區(qū)域）不同

色，已知有4種不同的顏色可供選擇，則不同的涂色方法種數(shù)是（）

A.48B.54

C.72D.108

答案:C

解析：設(shè)“趙爽弦圖"ABCD為①區(qū),△ABE,△2CF,△CDG,這4個三角形分別為②,

③，④，⑤區(qū).

第一步給①區(qū)涂色，有4種涂色方法.

第二步給②區(qū)涂色，有3種涂色方法.

第三步給③區(qū)涂色，有2種涂色方法.

第四步給④區(qū)涂色，若④區(qū)與②區(qū)同色，⑤區(qū)有2種涂色方法.

若④區(qū)與②區(qū)不同色，則④區(qū)有1種涂色方法，⑤區(qū)有1種涂色方法.

所以共有4X3X2X(2+1X1)=72種涂色方法.

11.幾只猴子在一棵枯樹上玩耍，假設(shè)它們均不慎失足下落，已知：(1)甲在下落的過程中依次撞

擊到樹枝B,C；(2)乙在下落的過程中依次撞擊到樹枝。，E,F；(3)丙在下落的過程中

依次撞擊到樹枝G,A,C；(4)丁在下落的過程中依次撞擊到樹枝8,D,H；(5)戊在下落的

過程中依次撞擊到樹枝/,C,E,則這九根樹枝從高到低不同的順序共有()

A.23種B.24種

C.32種D,33種

答案：D

解析：不妨設(shè)4B,C,D,E,F,G,H,/代表樹枝的高度，九根樹枝從上至下共九個位置，

根據(jù)甲依次撞擊到樹枝N,B,C;乙依次撞擊到樹枝。，E,F-,丙依次撞擊到樹枝G,A,C-,丁

依次撞擊到樹枝2,D,H-,戊依次撞擊到樹枝/,C,E,可得G>/>8,且G,A,3在前四個位

置，C>E>F,D>E>F,且E,尸一定排在后四個位置，

(1)若/排在前四個位置中的一個位置，前四個位置有4種排法，若第五個位置排C,則第六個

位置一定排D,后三個位置共有3種排法，若第五個位置排。，則后四個位置共有4種排法，所以

/排在前四個位置中的一個位置時，共有4X(3+4)=28種排法；

(2)若/不排在前四個位置中的一個位置，則G,A,B,。按順序排在前四個位置，由于/>C>

E>F,所以后五個位置的排法就是X的不同排法，共5種排法，即若/不排在前四個位置中的一

個位置共有5種排法，

由分類計(jì)數(shù)原理可得，這九根樹枝從高到低不同的順序有28+5=33(種).

12.(2024?河北保定模擬)算籌是一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍子，是中國古代用來記數(shù)、列式和

進(jìn)行各種數(shù)與式演算的一種工具，是中國古代的一項(xiàng)偉大、重要的發(fā)明.在算籌計(jì)數(shù)法中，以“縱

式”和“橫式”兩種方式來表示數(shù)字，如表所示：

fc

7方三、字123456789

縱式1IIIII1111muTTT￥

橫式—===室±111

用算籌計(jì)數(shù)法表示多位數(shù)時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，

遇零則置空，知“T=I”表示的三位數(shù)為；如果把5根算籌以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅?/p>

的表格中，那么可以表示能被5整除的三位數(shù)的個數(shù)為.

答案：62114

解析：由題意，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)和圖形，知“T=I”表示的三位數(shù)為621;

共有5根算籌，要能被5整除，則個位數(shù)必須為0或5,

①當(dāng)個位數(shù)為5時，不符合題意；

②當(dāng)個位數(shù)為0時，則5根算籌全部放在十位和百位,

若百位有1根，十位有4根，則共有1義2=2個三位數(shù);

若百位有2根,十位有3根，則共有2X2=4個三位數(shù);

若百位有3根，十位有2根,則共有2X2=4個三位數(shù);

若百位有4根,十位有1根，則共有2X1=2個三位數(shù);

若百位有5根，十位有0根,則共有2個三位數(shù).

所以共有2+4+4+2+2=14個三位數(shù).

13.（2024?湖南懷化模擬）世界杯參賽球隊(duì)共32支，現(xiàn)分成8個小組進(jìn)行單循環(huán)賽，決出16強(qiáng)

（各組的前2名小組出線），這16支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，決出8強(qiáng)，再決出4強(qiáng)，

直到?jīng)Q出冠、亞軍和第三名、第四名，則比賽進(jìn)行的總場數(shù)為.

答案：64

解析：因?yàn)?個小組進(jìn)行單循環(huán)賽，每小組進(jìn)行6場小組賽，所以小組賽的場數(shù)為8X6=48.因?yàn)?/p>

16支隊(duì)伍按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽，所以淘汰賽的場數(shù)為8+4+2+2=16,因此比賽進(jìn)行的總

場數(shù)為48+16=64.

14.若加，〃均為非負(fù)整數(shù)，在做%十〃的加法時，各位均不進(jìn)位（例如：134+3802=3936）,貝（j

稱（m,n）為"簡單的”有序數(shù)對，為有序數(shù)對（”,〃）的值，那么值為1942的“簡單

的”有序數(shù)對的個數(shù)是.

答案：300

解析：第1步，1=1+0,1=0+1,共2種組合方式；

第2步，9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…，9=9+0,共10種組合方式；

第3步，4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5種組合方式；

第4步，2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3種組合方式.

根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知，值為1942的“簡單的”有序數(shù)對的個數(shù)為2X10X5X3=300.

學(xué)生用書［第219頁

第二節(jié)排列與組合

［學(xué)習(xí)要求］1.理解排列、組合的概念2能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利用排

列、組合解決簡單的實(shí)際問題.

，必備知識自主梳理

［知識梳理］

知識點(diǎn)一排列與排列數(shù)

1.排列與排列數(shù)

（1）排歹U：從"個不同元素中取出機(jī)個不同的元素，按照一定的順序排成一列，叫

做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.

（2）排列數(shù)：從〃個不同元素中取出加（"W"）個不同的元素，所有不同排列的個數(shù)叫做從

n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，記作4：.

2.排列數(shù)公式及性質(zhì)

(1)排列數(shù)公式

(n-1)(n—2)…(n—m+1)

n!

〃且加.

(n—m)!(m,￡N*,

(2)性質(zhì)：①父=加；

(2)0!=1.

知識點(diǎn)二組合與組合數(shù)

1.組合與組合數(shù)

(1)組合：從〃個不同元素中取出(mWn)個元素作為一組，叫做從"個不同元素中取出m個

元素的一個組合.

(2)組合數(shù)：從〃個不同元素中取出加(mWn)個元素的所有不同組合的個數(shù)，所有不同組合

的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，記作C：.

2.組合數(shù)的公式及性質(zhì)

(1)組合數(shù)公式

A：n(n_l)(n_2)...(n_m+1)

—_—__________________

^n~Am~——m!——

n!*口、

=

-m!(n.m)!-(小”GN,且僅4).

(2)組合數(shù)性質(zhì)

①優(yōu)=L；

wn_m

②M=Cn;

rn1

③甯1=Cn+C

［小題診斷］

1&+C；等于()

A.35B.47

C.45D.57

答案：B

一2q7x6x5

解析：^+d=4X3+3x2xl=47.

2.從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項(xiàng)活動，則男、女生都有的選法種數(shù)是()

A.18B.24

C.30D.36

答案：C

解析：選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有［C；=18（種），選出的3人中有1名男同

學(xué)2名女同學(xué)的方法有=（種），故3名學(xué)生中男、女生都有的選法有C："+C：C；=30

（種）.

3.從6臺原裝計(jì)算機(jī)和5臺組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5臺，其中至少有原裝計(jì)算機(jī)和組裝計(jì)算機(jī)各2

臺，則不同的取法有種.

答案:350

4.將4名學(xué)生分別安排到甲、乙、丙三地參加社會實(shí)踐活動，每個地方至少安排一名學(xué)生參加，則

不同的安排方案共有種.

答案：36

解析：第一步，先從4名學(xué)生中任取兩人組成一組，與剩下2人分成三組，有C：=6種不同的方

法；第二步，將分成的三組安排到甲、乙、丙三地，則有4；=6種不同的方法.故共有6X6=36種

不同的安排方案.

1關(guān)鍵能力重息探個------------------

考點(diǎn)一排列問題

［例1］（1）（2024?江蘇南通模擬）某人將斐波那契數(shù)列的前6項(xiàng)“1,1,2,3,5,8”進(jìn)行排

列設(shè)置數(shù)字密碼，其中兩個“1”必須相鄰，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有（）

A.120種B.240種

C.360種D.480種

（2）（2024?江蘇揚(yáng)州模擬）為了強(qiáng)化學(xué)校的體育教育教學(xué)工作，提高學(xué)生身體素質(zhì)，加強(qiáng)學(xué)生之

間的溝通，凝聚班級集體的力量，激發(fā)學(xué)生熱愛體育的熱情.某中學(xué)舉辦田徑運(yùn)動會，某班從甲、

乙等6名學(xué)生中選4名學(xué)生代表班級參加學(xué)校4X100米接力賽，其中甲只能跑第1棒或第2棒，

乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都參加的不同棒次安排方案總數(shù)為（）

A.48B.36C.24D.12

［答案］(1)A(2)B

［解析］（1）將兩個1捆綁在一起，則可以設(shè)置的不同數(shù)字密碼有布=120（種）.

（2）當(dāng)甲排第1棒時，乙可排第2棒或第4棒，共有考《=24（種）：

當(dāng)甲排第2棒時，乙只能排第4棒，共有4：=12（種）.

故甲、乙都參加的不同棒次安排方案總數(shù)為24+12=36（種）.

學(xué)生用書［第220頁

|方法總結(jié)|

解決排列問題的主要方法

直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算

相鄰問題捆綁處理，即把相鄰元素看作一個

捆綁法整體參與其他元素排列，同時注意捆綁元素

的內(nèi)部排列

不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的

插空法元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元

素排列的空中

定序問題消序（除法）處理的方法，可先不考

消序法慮順序限制，排列后再除以定序元素的全

排列

由跟蹤訓(xùn)練

1.4個男生，3個女生站成一排.

（1）3個女生必須排在一起，有多少種不同的排法？

（2）任何兩個女生彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

（3）甲、乙二人之間恰好有三個人，有多少種不同的排法？

解：（1）先排3個女生作為一個元素與其余的4個元素做全排列有力；嫉=720（種）.

（2）男生排好后，5個空再插女生有=1440（種）.

（3）甲、乙先排好后，再從其余的5人中選出3人排在甲、乙之間，把排好的5個元素與最后的

2個元素全排列，分步有4；4"=720（種）.

考點(diǎn)二組合問題

［例2］(1)(2024?江蘇南通模擬)如圖，湖面上有4個小島4,B,C,D,現(xiàn)要建3座橋梁,

將這4個小島聯(lián)通起來，則所有不同的建橋方案種數(shù)為()

A.6B.16

C.18D.20

(2)(2024?江蘇揚(yáng)州模擬)某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可

以一步上兩級，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步走完，則第二步走兩級臺階的概率為()

12

A.yB.y

34

C.yD.y

［答案］(1)B(2)C

［解析］(1)由題意可知，四個小島兩兩相連，共有AB,AC,AD,BC,BD,CD6座橋梁，從

中任選3座橋梁共有C；=20種，

其中選擇｛/8,AC,AD｝.｛AB,BC,BD｝、｛AC,BC,CD｝、｛AD,BD,CD｝四種不行，

因此，共有20—4=16種不同的方案.

(2)10級臺階要用7步走完，則4步是上一級，三步是上兩級，

共3X2=35種走法，

若第二步走兩級臺階，則其余6步中有兩步是上兩級，

共。=亨=15種走法，

153

所以第二步走兩級臺階的概率為方=,.

|方法總結(jié)|

組合問題常有以下兩類題型

1.“含有”或“不含有”問題:“含、則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足;“不含”，則先

將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取.

2.“至少”或“最多響題:用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時，考慮

逆向思維，用間接法處理.

由跟蹤訓(xùn)練

2.某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨.現(xiàn)從35種商品中選取3種.

(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？

(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？

(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？

(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？

(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？

解：(1)從余下的34種商品中，

選取2種有。。=561種取法，

所以某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種.

(2)從34種可選商品中，選取3種，有嫌種或者嫌一以=嫌=5984種取法.

所以某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種.

(3)從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種有。/。卷=？100種取法.

所以恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種.

(4)選取2種假貨有制種，選取3種假貨有種，共有選取方式。2力盛+以=2100+455=

2555(種).

所以至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種.

(5)法一(間接法)：選取3種的總數(shù)為C1，因此共有選取方式碇一*=6545—455=6090

(種).

所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種.

法二(直接法)：共有選取方式(種).

所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種.

學(xué)生用書1第221頁

考點(diǎn)三排列與組合的綜合問題

⑥角度（一）相鄰、相間問題

［例3］（2024?江蘇淮安模擬）3名女生和2名男生站成一排照相，若每名男生至少與1名女生相

鄰，則共有種站法.

［答案］96

［解析］由題意排除兩名男生相鄰且排在兩端即得結(jié)果，排法數(shù)為4卜2A；《=96.

|方法總結(jié)|

1.把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列；

2.對于不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中.

⑥角度（二）定序問題

［例4］有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，將7名學(xué)生排成一行，要求從左到

右，女生從矮到高排列（不一定相鄰），不同的排法共有種.

［答案］840

［解析］7名學(xué)生的排列共有4種，其中女生的排列共有尺種，按照從左到右，女生從矮到高的排

列只是其中的一種，故有T=4：=840種不同的排法.

&

|方法總結(jié)|

對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列.

⑥角度（三）分組、分配問題

［例5］（2024?江蘇徐州模擬）六名教師隨機(jī)分配到三所學(xué)校任教，每個學(xué)校分配兩名教師，則

甲、乙被分配到同一所學(xué)校的概率為（）

1111

［答案］A

c2c2c2

［解析］六名教師隨機(jī)分配到三所學(xué)校任教，每個學(xué)校分配兩名教師有三畜乂力;=川種分配方

uL

甲、乙被分配到同一所學(xué)校有—4'2><*Q=18種分配方法,

則甲、乙被分配到同一所學(xué)校的概率為得=：

［方法總結(jié)］

分組分配問題的三種類型及求解策略

類型求解策略

解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，

整體

都是一種情況，所以分組后一定要除以A；；（?

均分

為均分的組數(shù)），避免重復(fù)計(jì)數(shù)

解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，

部分即若有"，組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以

均分"?!.一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組

就要除以幾個這樣的全排列數(shù)

不等只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素

分的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)

3.（多選）有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，正確的是（）

A.全體站成一排，女生必須站在一起有144種排法

B.全體站成一排，男生互不相鄰有1440種排法

C.任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種

D.全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種排法

答案：BCD

解析：對于A,將女生看成一個整體，考慮女生之間的順序，有4：種排法,

再將女生的整體與3名男生在一起進(jìn)行全排列，有力:種排法，

故共有4：2：=576種排法,故A錯誤；

對于B,先排女生，將4名女生全排列，有4：種排法，

再安排男生，由于男生互不相鄰，可以在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生，

有4；種排法,

故共有4：?尺=1440種排法，故B正確；

對于C,任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有《義2義1=70

（種），故C正確；

對于D,若甲站在排尾，則有那種排法，若甲不站在排尾，則有種排法，

故共有=3720種排法，故D正確.

4.（多選）己知N,B,C,D,E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有（）

A.若N,8不相鄰，共有72種排法

B.若/不站在最左邊，2不站在最右邊，有72種排法

C.若/在3右邊有60種排法

D.若a2兩人站在一起有48種排法

答案：ACD

解析：對于A,若4,3不相鄰，共有4H=72（種）排法，故A正確；

對于B,若/不站在最左邊，8不站在最右邊，利用間接法有成一24：+4；=78種排法，故B錯

、口

7天；

對于C,若/在2右邊有質(zhì)=60種排法，故C正確；

對于D,若4,8兩人站在一起有屈4：=48種排法，故D正確.

5.（2024?江蘇南京模擬）某學(xué)校有6個數(shù)學(xué)興趣小組，每個小組都配備1位指導(dǎo)老師，現(xiàn)根據(jù)工作

需要，學(xué)校準(zhǔn)備將其中4位指導(dǎo)老師由原來的小組均相應(yīng)的調(diào)整到其他興趣小組，其余的2位指導(dǎo)

老師仍在原來的興趣小組（不作調(diào)整），如果調(diào)整后每個興趣小組仍配備1位指導(dǎo)老師，則不同的

調(diào)整方案為（）

A.135種B.360種

C.90種D.270種

答案：A

解析：根據(jù)題意，6個數(shù)學(xué)興趣小組有位指導(dǎo)老師仍在原來的興趣小組，則不做調(diào)整的兩個小組有

0=15種情況，

其余的4個小組的指導(dǎo)老師由原來的小組均相應(yīng)地調(diào)整到其他數(shù)學(xué)興趣小組，

假設(shè)4個小組為1,2,3,4,對應(yīng)的4位指導(dǎo)老師依次為/,B,C,D,

/不能在第1小組，有3種情況，假設(shè)/分到第2小組，則2有3種情況，剩下的兩人有1種情

況，

則其余的4個小組有3X3=9種調(diào)整方案，

故有15X9=135種調(diào)整方案.

學(xué)生用書［第419頁

■課時作業(yè)

[A組基礎(chǔ)保分練]

1.(2024?山西晉中模擬)(%—2)(X—3)(X—4)…(%—15)(%￡N，%>15)可表示為

()

仙區(qū)B.&*

Da：%

答案：B

解析：(%-2)(%_3)(%_4)---(%-15)

(X_2)(X_3)(X_4)...(X-15)(X-16)...21

(%_16)..,21

(%-2)!(%_2)!14

一(X-16)!-[(x_2)_14]!-4_2?

2.若則加等于()

A.9B.8

C.7D.6

答案：C

w.m（m—l）（m—2）（m—3）

解析：因?yàn)?n=6。巾，所以冽（m—1）（m—2）=6X43x2x1，

HLIIL?人x。人4人J.

m_3

即1=T，解得機(jī)=7.

3.（2024?福建廈門模擬）將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、上海交通大學(xué)、浙江大學(xué)三

所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送的方法有（）

A.240種B.180種

C.150種D.540種

答案：C

解析：5名學(xué)生可分成2,2,1和3,1,1兩種形式，當(dāng)5名學(xué)生分成2,2,1時，共有七

=90種方法，當(dāng)5名學(xué)生分成3,1,1時，共有C）；=60種方法，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有

90+60=150種保送方法.

4.（2024?江蘇鹽城一模）用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大

的偶數(shù)共有（）

A.144個B.120個

C.96個D.72個

答案：B

解析：根據(jù)題意，符合條件的五位數(shù)首位數(shù)字必須是4,5其中1個，末位數(shù)字為0,2,4中其中

1個；

分兩種情況討論：

①首位數(shù)字為5時，末位數(shù)字有3種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個位置上，

有4：=24種情況，此時有3X24=72（個），

②首位數(shù)字為4時，末位數(shù)字有2種情況，在剩余的4個數(shù)中任取3個，放在剩余的3個位置上，

有4：=24種情況，此時有2X24=48（個），

共有72+48=120(個).

5.(2024?浙江寧波模擬)某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負(fù)責(zé)人座談，其中甲企業(yè)有2人到會，其余

5家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為

()

A.15B.30

C.35D.42

答案：B

解析：由于甲有兩個人參加會議需要分兩類：含有甲的選法有段《種，不含有甲的選法有《種，

共有《《十嬉=30種.

6.(多選)(2024?江蘇南京模擬)下列關(guān)于排列組合數(shù)的等式或說法正確的有()

+----卜*=330

rm4-1

B.已知〃>〃?，則等式詈對任意正整數(shù)"，〃?都成立

C.設(shè)》=端*仁+*\+攝)，則x的個位數(shù)字是6

D.等式C)2+C)2+C)2+…+(C：)2=c￡對任意正整數(shù)"都成立

答案：ABD

解析：對A:由。：+。小丁=%：1可知，

C/C：+0+…+或=4