2024年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納講練 19 相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型 教師與學(xué)生版

專題19相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應(yīng)用難點在于過分割點(將線段分割的點)作平行線構(gòu)造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點在?？贾袩o論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應(yīng)角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，點E，F(xiàn)，G，H分別是，，，上的點，且，若菱形的面積等于24，，則．

【答案】6【分析】連接，交于點O，由題意易得，，，，則有，然后可得，設(shè)，則有，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：連接，交于點O，如圖所示：

∵四邊形是菱形，，∴，，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，設(shè)，則有，∵，∴，∴，即，∴，同理可得，即，∴，∴；故答案為6．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定及菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·安徽·九年級期末）如圖，在三角形中，點D、E分別在邊、上，，，，．(1)求證：；(2)若的平分線交于點F，交于點G，求．

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明，，可得，結(jié)合，從而可得結(jié)論；（2）由（1）可得，可得，證明，可得，再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：∵，，，，∴，．∴，，∴，又∵，∴，∴．（2）由（1）可得，∴，又∵平分，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查的是角平分線的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定方法是解本題關(guān)鍵．例3．（2022·山東東營·中考真題）如圖，在中，點F、G在上，點E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長為____________．【答案】##4.8【分析】通過四邊形EFGH為矩形推出，因此△AEH與△ABC兩個三角形相似，將AM視為△AEH的高，可得出，再將數(shù)據(jù)代入即可得出答案．【詳解】∵四邊形EFGH是矩形，∴，∴，∵AM和AD分別是△AEH和△ABC的高，∴，∴，∵，代入可得：，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，靈活運用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．例4．（2022·浙江寧波·中考真題）(1)如圖1，在中，D，E，F(xiàn)分別為上的點，交于點G，求證：．(2)如圖2，在（1）的條件下，連接．若，求的值．(3)如圖3，在中，與交于點O，E為上一點，交于點G，交于點F．若平分，求的長．【答案】(1)證明見詳解(2)(3)【分析】（1）利用，證明，利用相似比即可證明此問；（2）由（1）得，，得出是等腰三角形，利用三角形相似即可求出的值；（3）遵循第（1）、（2）小問的思路，延長交于點M，連接，作，垂足為N．構(gòu)造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出、的值，即可得出的長．(1)解：∵，∴，∴，∴．∵，∴．(2)解：由（1）得，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．(3)解：如圖，延長交于點M，連接，作，垂足為N．在中，．∵，∴由（1）得，∵，∴，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴，∴．∴．在中，．∵，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及判定、等腰三角形的性質(zhì)及判定、解特殊的直角三角形等知識，遵循構(gòu)第（1）、（2）小問的思路，構(gòu)造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．例5.（2023?安慶一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點D是邊BC的中點，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．【分析】（1）根據(jù)中點和平行兩個條件可得中點，從而可得DE是△ABC的中位線，進(jìn)而可得DE＝FC，同理可得DF＝BE，即可解答；（2）根據(jù)已知易證四邊形AEDF是平行四邊形，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得∠BAD＝∠CAD，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠EDA＝∠CAD，從而可得∠BAD＝∠EDA，進(jìn)而可得EA＝ED，即可解答；（3）根據(jù)A字模型相似三角形可知△BED∽△BAC，△CDF∽△CBA，從而可得＝，＝，然后把兩個式子相加進(jìn)行計算，即可解答．【解答】（1）證明：∵點D是邊BC的中點，DE∥CA，∴點E是AB的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AC，∵點D是邊BC的中點，DF∥AB，∴點F是AC的中點，∴FC＝AC，∴DE＝FC，同理可得：DF＝BE，∵BE＝FC，∴DE＝DF；（2）證明：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的垂直平分線，∴AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠EDA，∴EA＝ED，∴四邊形AEDF是菱形；（3）∵DE∥CA，∴∠EDB＝∠C，∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴＝，∵DF∥AB，∴∠B＝∠FDC，∵∠C＝∠C，∴△CDF∽△CBA，∴＝，∴+＝+＝＝1，∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴DE＝AF，DF＝AE，∵AE＝AF＝1，∴DE＝DF＝1，∴+＝1，∴+的值為1．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，分式的化簡求值，菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，以及A字模型相似三角形的關(guān)鍵．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·遼寧·中考真題）如圖，在正方形中，E為的中點，連接交于點F．若，則的面積為___________．【答案】3【分析】由正方形的性質(zhì)可知，，則有，然后可得，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：∵四邊形是正方形，，∴，，∴，∴，∵E為的中點，∴，∴，，∴，∴；故答案為3．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·黑龍江·哈爾濱九年級階段練習(xí)）如圖，，，分別交于點G，H，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD∴，∴A選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴，∴，∵AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴B選項正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF∴，∴；∴C選項正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴，∵AB＞FA，∴∴D選項不正確，符合題目要求．故選D．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．例3．（2021·上海·中考真題）如圖，在梯形中，是對角線的中點，聯(lián)結(jié)并延長交邊或邊于E．（1）當(dāng)點E在邊上時，①求證：；②若，求的值；（2）若，求的長．【答案】（1）①見解析；②；（2）或【分析】（1）①根據(jù)已知條件、平行線性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可推導(dǎo)，，由此可得；②若，那么在中，由．可得，作于H．設(shè)，那么．根據(jù)所對直角邊是斜邊的一半可知，由此可得的值．（2）①當(dāng)點E在上時，可得四邊形是矩形，設(shè)，在和中，根據(jù)，列方程求解即可．②當(dāng)點E在上時，設(shè)，由，得，所以，所以；由得，所以，解出x的值即可．【詳解】（1）①由，得．由，得．因為是斜邊上的中線，所以．所以．所以．所以．②若，那么在中，由．可得．作于H．設(shè)，那么．在中，，所以．所以．所以．（2）①如圖5，當(dāng)點E在上時，由是的中點，可得，所以四邊形是平行四邊形．又因為，所以四邊形是矩形，設(shè)，已知，所以．已知，所以．在和中，根據(jù)，列方程．解得，或（舍去負(fù)值）．②如圖6，當(dāng)點E在上時，設(shè)，已知，所以．設(shè)，已知，那么．一方面，由，得，所以，所以，另一方面，由是公共角，得．所以，所以．等量代換，得．由，得．將代入，整理，得．解得，或（舍去負(fù)值）．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，斜邊上的中線，勾股定理等，能夠運用相似三角形邊的關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵．例4．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在四邊形中，對角線與相交于點O，記的面積為，的面積為．（1）問題解決：如圖①，若AB//CD，求證：（2）探索推廣：如圖②，若與不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在上取一點E，使，過點E作交于點F，點H為的中點，交于點G，且，若，求值．【答案】（1）見解析；（2）（1）中的結(jié)論成立，理由見解析：（3）【分析】（1）如圖所示，過點D作AE⊥AC于E，過點B作BF⊥AC于F，求出，然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；（2）同（1）求解即可；（3）如圖所示，過點A作交OB于M，取BM中點N，連接HN，先證明△OEF≌△OCD，得到OD=OF，證明△OEF∽△OAM，得到，設(shè)，則，證明△OGF∽△OHN，推出，，則，由（2）結(jié)論求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，過點D作AE⊥AC于E，過點B作BF⊥AC于F，∴，∴，，∵∠DOE=∠BOF，∴；∴；（2）（1）中的結(jié)論成立，理由如下：如圖所示，過點D作AE⊥AC于E，過點B作BF⊥AC于F，∴，∴，，∵∠DOE=∠BOF，∴；∴；（3）如圖所示，過點A作交OB于M，取BM中點N，連接HN，∵，∴∠ODC=∠OFE，∠OCD=∠OEF，又∵OE=OC，∴△OEF≌△OCD（AAS），∴OD=OF，∵，∴△OEF∽△OAM，∴，設(shè)，則，∵H是AB的中點，N是BM的中點，∴HN是△ABM的中位線，∴，∴△OGF∽△OHN，∴，∵OG=2GH，∴，∴，∴，，∴，由（2）可知．【點睛】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結(jié)論：AF=AG例1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點D為邊上任一點，交于點E，連接相交于點F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷A，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷B、C、D．【詳解】解：∵，∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合題意；∴，，故B不符合題意，C符合題意；∴，故D不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，與交于點O，，E為延長線上一點，過點E作，交的延長線于點F．（1）求證；（2）若，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）直接利用“AAS”判定兩三角形全等即可；（2）先分別求出BE和DC的長，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：（1）∵，又∵，∴；（2）∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴的長為．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例的推論、相似三角形的判定與性質(zhì)等，解決本題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與公式，能結(jié)合圖形建立線段之間的關(guān)聯(lián)等，本題較基礎(chǔ)，考查了學(xué)生的幾何語言表達(dá)和對基礎(chǔ)知識的掌握與應(yīng)用等．例3.（2022·重慶九年級期中）如圖，AD與BC相交于點E，點F在BD上，且AB∥EF∥CD，求證：eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).證明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB，∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(DF,DB).又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴eq\f(EF,CD)＝eq\f(BF,BD).∴eq\f(EF,AB)＋eq\f(EF,CD)＝eq\f(DF,DB)＋eq\f(BF,BD)＝eq\f(BD,BD)＝1.∴eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點O作EF∥AB分別交BC、AD于點E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點，DE交OC于點M，作MN∥OB交OA于一點N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．【分析】（1）由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB＝OD，可得結(jié)論；（2）由△DFO∽△DAB，得，同理，，，利用等式的性質(zhì)將比例式相加，從而得出結(jié)論；（3）作DF∥OB交OC于點F，連接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO＝DF＝8，由△DMF∽△EMO，可得EM＝，由△DMN∽△DOE，得，從而得出答案．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴O是AC中點，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中點，∴OE＝；（2）證明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴，同理，，，∴＝，∴，即；（3）解：作DF∥OB交OC于點F，連接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO＝∠BOC＝∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO＝DF＝8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴，∴EM＝，∴，∵M(jìn)N∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴，∴，∴MN＝．【點評】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，對比例式進(jìn)行恒等變形是解題的關(guān)鍵．課后專項訓(xùn)練1.（2021·山東淄博·中考真題）如圖，相交于點，且，點在同一條直線上．已知，則之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意易得，，則有，，然后可得，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴，∵，∴，即；故選C．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，對角線與相交于點E，，，，，則對角線與的長分別是（

）

A．，B．，C．，D．，【答案】D【分析】過點B作交于點O，證明，可求得，，根據(jù)勾股定理求出的長，進(jìn)而可求出的長，再根據(jù)勾股定理求出的長，進(jìn)而求出的長．【詳解】過點B作交于點O，如圖所示：

∵，，∴．∵，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．∵，，∵，∴，∴．在中，，即，解得：，∴．∵，，∴，∴，∴．故選D．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出BE的長度．3．（2023·福建福州·?？级＃┰跀?shù)學(xué)綜合實踐課上，某學(xué)習(xí)小組計劃制作一個款式如圖所示的風(fēng)箏．在骨架設(shè)計中，兩條側(cè)翼的長度設(shè)計，風(fēng)箏頂角的度數(shù)為，在上取D，E兩處，使得，并作一條骨架．在制作風(fēng)箏面時，需覆蓋整個骨架，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，B，C兩點間的距離大約是（）（參考數(shù)據(jù)：）

A．41 B．57 C．82 D．143【答案】C【分析】設(shè)與交于點，連接，交于點，根據(jù)已知易證，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得，從而可得，進(jìn)而可得，再利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，，最后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，即可解答．【詳解】解：設(shè)與交于點，連接，交于點，

，，，，，，，，，，，，，在中，，，，，兩點間的距離大約是，故選：C．【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．4．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式計算求出AB，再根據(jù)外徑的長度解答．【詳解】解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，∴AB：CD=3，∴AB：3=3，∴AB=9（cm），∵外徑為10cm，∴19+2x=10，∴x=0.5（cm）．故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求出AB的長．5．（2022·湖南懷化·中考真題）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝2，則S△ABC＝_____．【答案】8【分析】根據(jù)三角形中位線定理求得DE∥BC，，從而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵D、E分別是AB、AC的中點，則DE為中位線，所以DE∥BC，所以△ADE∽△ABC∴∵S△ADE=2，∴S△ABC=8故答案為：8．【點睛】本題考查中位線及平行線性質(zhì)，本題難度較低，主要考查學(xué)生對三角形中位線及平行線性質(zhì)等知識點的掌握．6．（2023·廣東梅州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點在上，點分別在、上，四邊形是矩形，，是的高，，，那么的長為．

【答案】6【分析】通過四邊形為矩形推出，因此與兩個三角形相似，將視為的高，可得出，再將數(shù)據(jù)代入即可得出答案．【詳解】解：設(shè)與交于點M．

∵四邊形是矩形，∴，∴，∵和分別是和的高，∴，∴，∵，代入可得：，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，靈活運用相似三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．7.（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝．【答案】2【分析】過D作垂直于H點，過D作交BC于G點，先利用解直角三角形求出的長，其次利用，求出的長，得出的長，最后利用求出的長，最后得出答案．【詳解】解：如圖：過D作垂直于H點，過D作交于G點，∵在中，，∴，又∵，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴，在中，，∵，∴，，∴，

又∵，∴，∴，∴，即，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，又，∴，∴，故答案為：2．【點睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例求出答案．8．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，中，點E、F分別在邊AB、AC上，．若，，，則______．【答案】【分析】易證△AEF∽△ABC，得即即可求解．【詳解】解：∵∠1=∠2，∠A=∠A，∴△AEF∽△ABC，∴，即∵，，，∴，∴EF=，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．（2022·遼寧阜新·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點，且，與相交于點，若的面積是，則的面積是______．【答案】27【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，很容易證明∽，相似三角形之比等于對應(yīng)邊比的平方，即可求出的面積．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，∽，，，：：，：：，即：：，．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，學(xué)生要靈活應(yīng)用．掌握相似三角形的面積比是相似比的平方是解題的關(guān)鍵．10．（2022·湖北荊門·中考真題）如圖，點G為△ABC的重心，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB的中點，具有性質(zhì)：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為_____．【答案】18【分析】根據(jù)線段比及三角形中線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵CG：GF＝2：1，△AFG的面積為3，∴△ACG的面積為6，∴△ACF的面積為3+6＝9，∵點F為AB的中點，∴△ACF的面積＝△BCF的面積，∴△ABC的面積為9+9＝18，故答案為：18．【點睛】題目主要考查線段比及線段中點的性質(zhì)，熟練掌握線段中點的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料，回答問題任務(wù)：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測量長度略小于）和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達(dá)的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點處，對其視線可及的，兩點，可測得的大小，如圖3．

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度，其測量及求解過程如下：測量過程：（?。┰谛∷赝膺x點，如圖4，測得，；（ⅱ）分別在，，上測得，；測得．求解過程：由測量知，，，，，∴，又∵①___________，∴，∴．又∵，∴②___________．故小水池的最大寬度為___________．(1)補(bǔ)全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；(2)小明求得用到的幾何知識是___________；(3)小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得．請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度，寫出你的測量及求解過程．要求：測量得到的長度用字母，，表示，角度用，，表示；測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求出，且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）．【答案】(1)①；②(2)相似三角形的判定與性質(zhì)(3)最大寬度為，見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行回答即可；（3）測量過程：在小水池外選點，用測角儀在點處測得，在點處測得；用皮尺測得；求解過程：過點作，垂足為，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義推得，，，根據(jù)，即可求得．【詳解】（1）∵，，，，∴，又∵，∴，∴．又∵，∴．故小水池的最大寬度為．（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求得，故答案為：相似三角形的判定與性質(zhì)．（3）測量過程：（ⅰ）在小水池外選點，如圖，用測角儀在點處測得，在點處測得；

（ⅱ）用皮尺測得．求解過程：由測量知，在中，，，．過點作，垂足為．在中，，即，所以．同理，．在中，，即，所以．所以．故小水池的最大寬度為．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實際應(yīng)用，根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·山西運城·九年級統(tǒng)考期末）綜合與實踐問題情境：如圖1，在中，，，，點是上一點，將沿直線折疊，點落在上的點，連接．獨立思考(1)如圖，求的值；問題拓展如圖，點是圖1中AB上一動點，連接，交于點．(2)當(dāng)點是的中點時，求證：；(3)當(dāng)點是的中點時，請你直接寫出的值．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）【分析】（1）由折疊性質(zhì)可知，利用等面積求出長即可；（2）添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形，利用性質(zhì)即可證明；（3）作平行線構(gòu)造全等三角形和相似三角形，利用性質(zhì)即可求解．【詳解】解：（1）方法一：在中，，，由折疊可知：，∵，∴，∴，∴，在中，，，方法二：在中，，，由折疊可知：，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，方法三：在中，，，由折疊可知：，．，∴，在中，，，在中，，，∴，∴∴，∴，在中，，∴，

（2）方法一：延長到點，使，連接，

∵，，∴．∴，，∴，∴，∴，∴，∴，方法二：過點作交的延長線于點，∴，，，又∵，∴，∴，，∴，∴，∴．方法三：作于點，∴，∴∴∵，．∴，∴，在中，，，∴設(shè)，在中，，．∴，在中，，．∴．∴(3)如圖，過作，交延長線于點，∴，，∵為中點，∴，∵，∴，∴，由得：，∴．【點睛】此題考查了全等三角形和相似三角形，解題的關(guān)鍵是如何添加輔助線，熟練掌握以上知識的性質(zhì)及其應(yīng)用．13．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）已知是等邊三角形，點是射線上的一個動點，延長至點，使，連接交射線于點．

(1)如圖1，當(dāng)點在線段上時，猜測線段與的數(shù)量關(guān)系并說明理由；(2)如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，①線段與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；②如圖3，連接．設(shè)，若，求四邊形的面積．【答案】(1)，理由見解析(2)①成立，理由見解析②【分析】（1）過點作，交于點，易得，證明，得到，即可得出結(jié)論．（2）①過點作，交的延長線于點，易得，證明，得到，即可得出結(jié)論；②過點作，交的延長線于點，過點作，交于點，交于點，根據(jù)已知條件推出，得到，證明，得到，求出的長，利用四邊形的面積為進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：，理由如下：∵是等邊三角形，∴，過點作，交于點，

∴，，∴為等邊三角形，∴，∵，，∴，，又，∴，∴，∴；（2）①成立，理由如下：∵是等邊三角形，∴，過點作，交的延長線于點，

∴，，∴為等邊三角形，∴，∵，，∴，，又，∴，∴，∴；②過點作，交的延長線于點，過點作，交于點，交于點，則：，由①知：為等邊三角形，，，∵為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，設(shè)，則：，，∴，∵，∴，∴，即：②，聯(lián)立①②可得：（負(fù)值已舍去），經(jīng)檢驗是原方程的根，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形的面積為．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形．本題的綜合性強(qiáng)，難度大，屬于中考壓軸題，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形，全等和相似三角形．14．（2023·浙江·九年級專題練習(xí)）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE＝AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)得AB=CD，AB∥CD，再證明四邊形BECD為平行四邊形得到BD∥CE，根據(jù)相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判斷△BND∽△CNM；（2）先利用AD2=AB?AF可證明△ADB∽△AFD，則∠1=∠F，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠F=∠4，∠2=∠3，所以∠3=∠4，加上∠NMC=∠CMD，于是可判斷△MNC∽△MCD，所以MC：MD=CN：CD，然后利用CD=AB和比例的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，而BE=AB，∴BE=CD，而BE∥CD，∴四邊形BECD為平行四邊形，∴BD∥CE，∵CM∥DB，∴△BND∽△CNM；（2）∵AD2=AB?AF，∴AD：AB=AF：AD，而∠DAB=∠FAD，∴△ADB∽△AFD，∴∠1=∠F，∵CD∥AF，BD∥CE，∴∠F=∠4，∠2=∠3，∴∠3=∠4，而∠NMC=∠CMD，∴△MNC∽△MCD，∴MC：MD=CN：CD，∴MC?CD=MD?CN，而CD=AB，∴CM?AB=DM?CN．【點睛】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．在運用相似三角形的性質(zhì)時主要利用相似比計算線段的長．也考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)．15．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）問題背景：如圖1，在四邊形中，點F，E，G分別在上，，，求證：嘗試應(yīng)用：如圖2，是的中線，點E在上，直線交于點G，直線交于點F，若，求的值．遷移拓展：如圖3，在等邊中，點D在上，點E在上，若，，直接寫出的值．（用含m的式子表示）

【答案】問題背景：見解析；嘗試應(yīng)用：；遷移拓展：【分析】問題背景：根據(jù)，，推出，根據(jù)對應(yīng)邊成比例即可得到結(jié)論；嘗試應(yīng)用：延長至D，使得，連接，證得四邊形是平行四邊形，得到，由圖（1）得，，即可得到，利用，得到；遷移拓展：過點E作，交于點M，交于點N，得到也是等邊三角形，推出，證明，得到，即，由圖（1）可得，設(shè)，則，求出，即可得到．【詳解】問題背景：如圖（1），證明：∵，，∴，∴，∴；嘗試應(yīng)用：如圖（2），解：延長至D，使得，連接，

∵是的中線，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，由圖（1）得，，∴，∴，∵，∴；遷移拓展：如圖（3），過點E作，交于點M，交于點N，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴也是等邊三角形，∴∴，又∵∴∴，即，∴由圖（1）可得，設(shè)，則，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，應(yīng)用類比的方法解決問題，正確掌握相似三角形的判定和性質(zhì)及類比方法是解題的關(guān)鍵．16．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）在邊長為的正方形中，點在邊上（不與點，重合），射線與射線交于點．(1)若，求的長．(2)求證：．(3)以點為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點．若，求的長．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）證明，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解；（2）證明，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例證明；（3）設(shè)，則，，在中，利用勾股定理求解．【詳解】（1）解：由題知，，若，則．四邊形是正方形，，又，，，即，．（2）證明：四邊形是正方形，，，，，，．（3）解：設(shè)，則，．在中，，即，解得．．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．17．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點M、N分別在AB、AD上，且MN⊥MC，點E為CD的中點，連接BE交MC于點F．(1)當(dāng)F為BE的中點時，求證：AM＝CE；(2)若＝2，求的值；(3)若MN∥BE，求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明△BMF≌△ECF，得BM＝CE，再利用點E為CD的中點，即可證明結(jié)論；(2)利用△BMF∽△ECF，得，從而求出BM的長，再利用△ANM∽△BMC，得，求出AN的長，可得答案；(3)首先利用同角的余角相等得∠CBF＝∠CMB，則tan∠CBF＝tan∠CMB，得，可得BM的長，由（2）同理可得答案．(1)證明：∵F為BE的中點，∴BF＝EF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD∴∠BMF＝∠ECF，∵∠BFM＝∠EFC，∴△BMF≌△ECF（AAS），∴BM＝CE，∵點E為CD的中點，∴CE＝CD，∵AB＝CD，∴，∴，∴AM＝CE；(2)∵∠BMF＝∠ECF，∠BFM＝∠EFC，∴△BMF∽△ECF，∴，∵CE＝3，∴BM＝，∴AM＝，∵CM⊥MN，∴∠CMN＝90°，∴∠AMN+∠BMC＝90°，∵∠AMN+∠ANM＝90°，∴∠ANM＝∠BMC，∵∠A＝∠MBC，∴△ANM∽△BMC，∴，∴，∴，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴；(3)∵M(jìn)N∥BE，∴∠BFC＝∠CMN，∴∠FBC+∠BCM＝90°，∵∠BCM+∠BMC＝90°，∴∠CBF＝∠CMB，∴tan∠CBF＝tan∠CMB，∴，∴，∴，∴，由（2）同理得，，∴，解得：AN＝，∴DN＝AD﹣AN＝4﹣＝，∴．【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，求出BM的長是解決（2）和（3）的關(guān)鍵．18．（2023?重慶中考模擬）問題提出：如圖1，D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，連接DE，已知線段AD＝a，DB＝b，AE＝c，EC＝d，則S△ADE，S△ABC和a，b，c，d之間會有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？問題解決：探究一：（1）看到這個問題后，我們可以考慮先從特例入手，找出其中的規(guī)律．如圖2，若DE∥BC，則∠ADE＝∠B，且∠A＝∠A，所以△ADE∽△ABC，可得比例式：而根據(jù)相似三角形面積之比等于相似比的平方．可得．根據(jù)上述這兩個式子，可以推出：．（2）如圖3，若∠ADE＝∠C，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請寫出證明過程；著不成立，請說明理由．探究二：回到最初的問題，若圖1中沒有相似的條件，是否仍存在結(jié)論：？方法回顧：兩個三角形面積之比，不僅可以在相似的條件下求得，當(dāng)兩個三角形的底成高具有一定的關(guān)系時，也可以解決．如圖4，D在△ABC的邊上，做AH⊥BC于H，可得：．借用這個結(jié)論，請你解決最初的問題．延伸探究：（1）如圖5，D、E分別在△ABC的邊AB、AC反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，則．（2）如圖6，E在△ABC的邊AC上，D在AB反向延長線上，連接DE，已知線段AD＝a，AB＝b，AE＝c，AC＝d，．結(jié)論應(yīng)用：如圖7，在平行四邊形ABCD中，G是BC邊上的中點，延長GA到E，連接DE交BA的延長線于F，若AB＝5，AG＝4，AE＝2，?ABCD的面積為30，則△AEF的面積是．【答案】探究一：（2）見解析；延伸探究：（1）;（2）；結(jié)論應(yīng)用：【分析】問題解決：探究一（2）：參照（1）中證明方法解答即可；探究二，過D、B點分別作,垂足分別為M、N，然后按照探究一中方法證明即可；延伸探究：（1）過D、B點分別作,垂足分別為M、N，然后按照探究一中方法證明即可；（2）過D、B點分別作,垂足分別為M、N，然后按照探究一中方法證明即可；結(jié)論應(yīng)用：取AD的中點M，連接GM并延長交DE于點N，連接DG，可得,根據(jù)題意，進(jìn)而得出,根據(jù)AM=DM,,可得FN=DN，根據(jù)AE=2，AG=4，，可得FN=2EF，進(jìn)而可得ED=5EF，即可得出．【詳解】解：問題解決：探究一：（2）成立，理由如下：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，∴,∴，∴；探究二：過D、B點分別作,垂足分別為M、N，∵，∴,∴,；延伸探究：（1）過D、B點分別作,垂足分別為M、N，∵，∴,∴,；（2）過D、B點分別作,垂足分別為M、N，∵，∴,∴,;結(jié)論應(yīng)用：取AD的中點M，連接GM并延長交DE于點N，連接DG，∴AM=DM，，∵AE=2，AG=4，∴,∵AM=DM,,∴FN=DN，∵AE=2，AG=4，,∴,即：FN=2EF,∴ED=5EF，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例等知識點，熟練運用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2023·河南鄭州·?？既＃締栴}發(fā)現(xiàn)】小明在一次利用三角板作圖的過程中發(fā)現(xiàn)了一件有趣的事情：如圖，在中，，點和點分別是斜邊上的動點，并且滿足，分別過點和點作邊的垂線，垂足分別為點和點，那么的值是一個定值．問題：若時，值為___________；【操作探究】如圖，在中，；愛動腦筋的小明立即拿出另一個三角板進(jìn)行了驗證，發(fā)現(xiàn)果然和之前發(fā)現(xiàn)的結(jié)論一樣，于是他猜想，對于任意一個直角三角形，當(dāng)時，的值都是固定的，小明的猜想對嗎？如果對，請利用圖進(jìn)行證明，并用含和的式子表示的值．【解決問題】如圖，在菱形中，若、分別是邊、上的動點，且，作，垂足分別為、，則的值為__________．

【答案】【問題發(fā)現(xiàn)】3；【操作探究】；【解決問題】．【問題發(fā)現(xiàn)】由，，得，，而，則，于是得到問題的答案．【操作探究】由，，可證明，，得，，因為，則，于是可推導(dǎo)出，所以；【解決問題】連交于點，在上截取，作于點，由菱形的性質(zhì)得，，，可求得，再由，，證明，再證明，得，，則，由，，，得，則．【詳解】解：【問題發(fā)現(xiàn)】于點，于點，，，，，，，，，，故答案為：3．解：【操作探究】對，證明：于點，于點，，，，，，，，，，，，，，，，，的值為定值，．解：【解決問題】如圖3，連交于點，在上截取，作于點，

四邊形是菱形，，，，，，，，，，，，，，于點，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】此題重點考查直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)等知識，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．20．（2022·湖北武漢·中考真題）問題提出：如圖（1），中，，是的中點，延長至點，使，延長交于點，探究的值．(1)先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)時，直接寫出的值；(2)再探究一般情形．如圖（1），證明（1）中的結(jié)論仍然成立．問題拓展：如圖（3），在中，，是的中點，是邊上一點，，延長至點，使，延長交于點．直接寫出的值（用含的式子表示）．【答案】(1)[問題提出]（1）；（2）見解析(2)[問題拓展]【分析】[問題探究]（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合已知條件，求得，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，可得，即可求解；（2）取的中點，連接．證明，可得，根據(jù)，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得；[問題拓展]方法同（2）證明，得出，，證明，得到，進(jìn)而可得．(1)[問題探究]：（1）如圖，中，，是的中點，，是等邊三角形，，，，，，，，，，．（2）證明：取的中點，連接．∵是的中點，∴，．∵，∴，∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．(2)[問題拓展]如圖，取的中點，連接．∵是的中點，∴，．∵，∴，∴．∵，∴．∴．∴．∴．，∴．∵，∴．∴．∴．∴．．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，等邊對等角，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．21．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知矩形，點E在延長線上，點F在延長線上，過點F作交的延長線于點H，連結(jié)交于點G，．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等邊對等角得出，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，即可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解；（2）根據(jù)，得出，設(shè)，則，，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出等式，解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴．∵四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∴，即．（2）∵，∴，∴．∵，∴．設(shè)，∵，∴，，∴，解得，∴．

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．

專題19相似三角形重要模型之（雙）A字型與（雙）8字型相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的常考題型。本專題重點講解相似三角形的（雙）A字模型和（雙）8（X）字模型．A字型和8(X)字型的應(yīng)用難點在于過分割點(將線段分割的點)作平行線構(gòu)造模型，有的是直接作平行線，有的是間接作平行線(倍長中線就可以理解為一種間接作平行線)，這一點在?？贾袩o論小題還是大題都是屢見不鮮的。模型1.“A”字模型【模型解讀與圖示】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應(yīng)角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?例1．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，點E，F(xiàn)，G，H分別是，，，上的點，且，若菱形的面積等于24，，則．

例2．（2023·安徽·九年級期末）如圖，在三角形中，點D、E分別在邊、上，，，，．(1)求證：；(2)若的平分線交于點F，交于點G，求．

例3．（2022·山東東營·中考真題）如圖，在中，點F、G在上，點E、H分別在、上，四邊形是矩形，是的高．，那么的長為____________．例4．（2022·浙江寧波·中考真題）(1)如圖1，在中，D，E，F(xiàn)分別為上的點，交于點G，求證：．(2)如圖2，在（1）的條件下，連接．若，求的值．(3)如圖3，在中，與交于點O，E為上一點，交于點G，交于點F．若平分，求的長．例5.（2023?安慶一模）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥AB．（1）若點D是邊BC的中點，且BE＝CF，求證：DE＝DF；（2）若AD⊥BC于D，且BD＝CD，求證：四邊形AEDF是菱形；（3）若AE＝AF＝1，求+的值．模型2.“X”字模型（“8”模型）【模型解讀與圖示】“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖3圖41）“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).2）反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).3）平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：4）斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4.例1．（2022·遼寧·中考真題）如圖，在正方形中，E為的中點，連接交于點F．若，則的面積為___________．例2．（2023·黑龍江·哈爾濱九年級階段練習(xí)）如圖，，，分別交于點G，H，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A． B． C． D．例3．（2021·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，在梯形中，是對角線的中點，聯(lián)結(jié)并延長交邊或邊于E．（1）當(dāng)點E在邊上時，①求證：；②若，求的值；（2）若，求的長．例4．（2022·貴州銅仁·中考真題）如圖，在四邊形中，對角線與相交于點O，記的面積為，的面積為．（1）問題解決：如圖①，若AB//CD，求證：（2）探索推廣：如圖②，若與不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在上取一點E，使，過點E作交于點F，點H為的中點，交于點G，且，若，求值．模型3.“AX”字模型（“A8”模型）【模型解讀與圖示】圖1圖2圖31）一“A”一“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF?2）兩“A”一“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：.3）四“A”一“8”模型條件：如圖3，DE∥AF∥BC,；結(jié)論：AF=AG例1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點D為邊上任一點，交于點E，連接相交于點F，則下列等式中不成立的是（

）A． B． C． D．例2．（2021·江蘇南京·中考真題）如圖，與交于點O，，E為延長線上一點，過點E作，交的延長線于點F．（1）求證；（2）若，求的長．例3.（2022·重慶九年級期中）如圖，AD與BC相交于點E，點F在BD上，且AB∥EF∥CD，求證：eq\f(1,AB)＋eq\f(1,CD)＝eq\f(1,EF).例4．（2022?安慶模擬）在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O．（1）如圖①，若四邊形ABCD為矩形，過點O作OE⊥BC，求證：OE＝CD．（2）如圖②，若AB∥CD，過點O作EF∥AB分別交BC、AD于點E、F．求證：＝2．（3）如圖③，若OC平分∠AOB，D、E分別為OA、OB上的點，DE交OC于點M，作MN∥OB交OA于一點N，若OD＝8，OE＝6，直接寫出線段MN長度．課后專項訓(xùn)練1.（2021·山東淄博·中考真題）如圖，相交于點，且，點在同一條直線上．已知，則之間滿足的數(shù)量關(guān)系式是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·山西陽泉·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，對角線與相交于點E，，，，，則對角線與的長分別是（

）

A．，B．，C．，D．，3．（2023·福建福州·?？级＃┰跀?shù)學(xué)綜合實踐課上，某學(xué)習(xí)小組計劃制作一個款式如圖所示的風(fēng)箏．在骨架設(shè)計中，兩條側(cè)翼的長度設(shè)計，風(fēng)箏頂角的度數(shù)為，在上取D，E兩處，使得，并作一條骨架．在制作風(fēng)箏面時，需覆蓋整個骨架，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，B，C兩點間的距離大約是（）（參考數(shù)據(jù)：）

A．41 B．57 C．82 D．1434．（2022·湖北十堰·中考真題）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（

）A． B． C． D．5．（2022·湖南懷化·中考真題）如圖，△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若S△ADE＝2，則S△ABC＝_____．6．（2023·廣東梅州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，點在上，點分別在、上，四邊形是矩形，，是的高，，，那么的長為．

7.（2023·廣東深圳·校考三模）如圖，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝．8．（2022·四川宜賓·中考真題）如圖，中，點E、F分別在邊AB、AC上，．若，，，則______．9．（2022·遼寧阜新·中考真題）如圖，在矩形中，是邊上一點，且，與相交于點，若的面積是，則的面積是______．10．（2022·湖北荊門·中考真題）如圖，點G為△ABC的重心，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB的中點，具有性質(zhì)：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面積為3，則△ABC的面積為_____．11．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料，回答問題任務(wù)：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測量長度略小于）和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達(dá)的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）；測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點處，對其視線可及的，兩點，可測得的大小，如圖3．

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度，其測量及求解過程如下：測量過程：（?。┰谛∷赝膺x點，如圖4，測得，；（ⅱ）分別在，，上測得，；測得．求解