2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：阿基米德三角形（解析版）

2025高考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)阿基米德三角形（解析版）

阿基來德三角影

知識與方法

阿基米德三角形:過拋物線（橢圓或雙曲線）外一點P作拋物線（橢圓或雙曲線）的兩條切線,切點分別為A

和B,一般將APAB稱之為阿基米德三角形.真題中以阿基米德三角形（尤其是拋物線中的阿基米德三角

形）為載體的考題比較常見,所以熟悉拋物線阿基米德三角形相關(guān)性質(zhì)是有必要的.

性質(zhì)1：如圖1所示，不妨設(shè)拋物線為/=2p?/（p>0）,拋物線上兩點處的切線交于點P.貝U：

（1）設(shè)AB中點為“，則平行于（或重合）拋物線的對稱軸；

⑵的中點S在拋物線上，且拋物線在S處的切線平行于弦AB

性質(zhì)2：如圖2所示，不妨設(shè)拋物線為22=2p?/（p>0）,拋物線上A、B兩點處的切線交于點P.貝h

（1）若弦AB過拋物線內(nèi)的定點Q,則點P的軌跡是直線;特別地，若弦4B過定點（0,機）（館>0）,則點「

的軌跡是直線y=—m；

（2）若弦AB過拋物線內(nèi)的定點Q,則以Q為中點的弦與（1）中點P的軌跡平行.

性質(zhì)3：如圖3所示，不妨設(shè)拋物線為/=2pg（p>0）,拋物線上兩點處的切線交于點P.貝h

若AB過焦點F,則P點的軌跡為拋物線準(zhǔn)線，PA，PB,PF，,且APAB面積的最小值為

性質(zhì)4：如圖4所示,不妨設(shè)拋物線為/=2py[p>0），拋物線上A、B兩點處的切線交于點P.則：

（1）/PFA=/PFB；

（2）\AF\-\BF\=\PF\2.

提醒:上面的性質(zhì)較多,可以自行嘗試證明這些性質(zhì)，在理解的基礎(chǔ)上進行記憶.當(dāng)然，大題中不能直接用這

些性質(zhì)，必須嚴(yán)格給出證明過程.

011(★★★)

已知P、Q為拋物線d=2y上兩點，點P、Q的橫坐標(biāo)分別為4、一2,過P、Q分別作拋物線的切線，兩切

線交于點4則點A的縱坐標(biāo)為.

012(★★★)

已知點4(—2,3)在拋物線。:婿=2召工的準(zhǔn)線上，過點A的直線與。在第一象限相切于點B,記。的焦點

為F,則直線BF的斜率為()

A.—B.—C.—D.—

2343

網(wǎng)］3(★★★)

已知拋物線。:才=8,與點河(—2,2)，過。的焦點,且斜率為k的直線與。交于4B兩點，若就?礪=

0,則k=()

AXB近

A，262C.V2D.2

網(wǎng)］4(★★★)

已知點和拋物線C:y2=47,過。的焦點F且斜率為k的直線與。交于A、B兩點，若2AMB=

90°,則k=.

015(★★★★)

已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F(0,c)(c>0)到直線l-.x-y-2^0的距離為竽.設(shè)P為直線I

上的點，過點P作拋物線。的兩條切線P4、PB,其中A、B為切點.

(1)求拋物線。的方程；

(2)當(dāng)點P(a,*)為直線，上的定點時，求直線AB的方程；

(3)當(dāng)點P在直線Z上移動時，求\AF\■\BF\的最小值.

廁6(★★★★)

2

如下圖所示,拋物線G：/=旬,C2:x=-2py(p>0),點M(x0,y0)在拋物線&上，過河作G的切線，切點

為力、為原點時，4B重合于原點O),當(dāng)g=1—蓼時，切線AM的斜率為—。

⑴求P的值；

(2)當(dāng)初在G上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程(力、B重合于。時，中點為O).

7(★★★★★)

已知曲線。：夕=手，。為直線夕=—■上的動點，過。作。的兩條切線，切點分別為A、B.

(1)證明:直線AB過定點；

⑵若以夙。3)為圓心的圓與直線相切,且切點為線段的中點，求四邊形AOBE的面積.

?M

018(2021?新課標(biāo)I卷?理?21?*****)

22

已知拋物線C:x=2py(p>0)的焦點為F,且F與圓河:/+Q+4)=1上的點的距離的最小值為4.

⑴求P；

(2)若點P在加上，P4、PB是拋物線。的兩條切線，A、B是切點，求△PAB面積的最大值.

〔題目|「(★★★)

已知F為拋物線C：d=4g的焦點,過點F的直線I與拋物線。交于不同的兩點A和B,拋物線。在A、B

兩點處的切線交于點P,設(shè)|AB|=m，則\PF\的值為.(結(jié)果用m表示)

［題目［2］(★★★★)

拋物線G：^=2py(p>0)與雙曲線C2:x-3y2=A有一個公共焦點F,過G上一點P(3西⑷向G作兩條

切線，切點分別為A、B,則\AF\-|BF|=.

［題目1］(★★★★)

已知F為拋物線C:x2=4y的焦點，過點F的直線I與拋物線。交于不同的兩點A和B,拋物線。在A、B

兩點處的切線交于點P,則\PF\+瑞的最小值為.

［題目|4］(★★★★)

已知拋物線州的焦點為點P是直線Z：v=c—2上的動點，過P作拋物線的兩條切線，切點分別

為人和B.

(1)當(dāng)點P為直線，與沙軸交點時，求cos/4PB；

(2)證明:直線AB過定點，并求出定點的坐標(biāo).

?M

麴基來德王魯彬

知識與方法

阿基米德三角形:過拋物線（橢圓或雙曲線）外一點P作拋物線（橢圓或雙曲線）的兩條切線,切點分別為A

和B,一般將APAB稱之為阿基米德三角形.真題中以阿基米德三角形（尤其是拋物線中的阿基米德三角

形）為載體的考題比較常見,所以熟悉拋物線阿基米德三角形相關(guān)性質(zhì)是有必要的.

性質(zhì)L如圖1所示,不妨設(shè)拋物線為/=2py（p>0），拋物線上A、B兩點處的切線交于點P,則：

（1）設(shè)AB中點為“，則平行于（或重合）拋物線的對稱軸；

⑵池的中點S在拋物線上，且拋物線在S處的切線平行于弦AB

性質(zhì)2:如圖2所示，不妨設(shè)拋物線為/=2py（p>0）,拋物線上A、B兩點處的切線交于點P.則：

（1）若弦AB過拋物線內(nèi)的定點Q,則點P的軌跡是直線;特別地，若弦4B過定點（0,機）（館>0）,則點。

的軌跡是直線y=—m；

（2）若弦AB過拋物線內(nèi)的定點Q,則以Q為中點的弦與（1）中點P的軌跡平行.

性質(zhì)3:如圖3所示，不妨設(shè)拋物線為/=2py（p>0）,拋物線上A、B兩點處的切線交于點P.則：

若AB過焦點F,則P點的軌跡為拋物線準(zhǔn)線，PA，PB,PF，,且APAB面積的最小值為

性質(zhì)4:如圖4所示,不妨設(shè)拋物線為x2=2py[p>0）,拋物線上A、B兩點處的切線交于點P.則：

（1）/PFA=/PFB；

（2）\AF\-\BF\=\PF\2.

提醒:上面的性質(zhì)較多,可以自行嘗試證明這些性質(zhì)，在理解的基礎(chǔ)上進行記憶.當(dāng)然，大題中不能直接用這

1

些性質(zhì)，必須嚴(yán)格給出證明過程.

011(★★★)

已知P、Q為拋物線/=2y上兩點，點P、Q的橫坐標(biāo)分別為4、一2,過P、Q分別作拋物線的切線，兩切

線交于點4則點A的縱坐標(biāo)為.

葭“

【解析】解法1:ny=8=>P(4,8),^y=2Q(-2,2)

2=x*2=2y=>y—x

所以切線P4的方程為y—8=4(rc—4),即g=42一8;切線QA的方程為y—2=—2(2+2),即g=

—24—2,聯(lián)立［"=4；—8得：尸一生所以點A的縱坐標(biāo)為一4.

(y=—2x—2

解法2：｛；21jn"=8nP(4,8),=2Q(-2,2)

易求得直線PQ的方程為y=x+4,

由題意，AAPQ為阿基米德三角形，且直線PQ與g軸的交點為(0,4),由阿基米德三角形性質(zhì)，點A

的縱坐標(biāo)為一4.

【答案】一4

d2(★★★)

已知點4(—2,3)在拋物線。:婿=2p/的準(zhǔn)線上，過點人的直線與。在第一象限相切于點B,記。的焦點

為F,則直線的斜率為()

【解析】解法1:點4(—2,3)在拋物線C的準(zhǔn)線上=>-y=-23p=4,所以R(2,0),

設(shè)切線AB的方程為rr+2=?n(g—3),聯(lián)立［彳］：皿""消去必整理得：娟-+24m+16

vy=

=0①，判別式A=(―8m)2—4(24m+16)=0,解得：館=2或一手，因為點石在第一象限，所以m=

2

2,代入式①可解得：0=8,從而6=曰~=8,即B(8,8),所以直線BF的斜率沖尸一^=言.

oo—26

解法2:延長BF交拋物線。于點D,則△4BD是阿基米德三角形，由阿基米德三角形性質(zhì)，AF±

BF,因為點4(—2,3)在拋物線。的準(zhǔn)線上,所以9(2,0),?M

初3(★★★「

已知拋物線8,與點M(-2,2),過。的焦點，且斜率為k的直線與。交于A、B兩點，若蘇?加=

0,則％=()

A.yB.卓C.V2D.2

【解析】解法1:由題意，拋物線的焦點為尸(2,0),設(shè)直線AB的方程為x=my+2(m^=0),則k=

二"+*2消去/整理得：2設(shè)/(如協(xié)),(電

聯(lián)立42y-8my-16=0,B，m)

y—

22

2

則yi+y2=8m,%%=-16,所以①i+g=m(%+02)+4=8m+4,xxx2=-----=4：,

MA=(x1+2,y1-2),MB=(g+2,統(tǒng)-2),

所以

MA-MB=3+2)(工2+2)+(%—2)(統(tǒng)一2)=重述2+2(電+電)+幼紡一2(功+紡)+8=4(2m-1)2=0

解得=■，從而k=2.

解法2:如圖，拋物線。的焦點為F(2,0),顯然點河在準(zhǔn)線工=—2上，

MA-MB=0=^>MA±MB,

2-0

從而LMAB是阿基米德三角形，故再，AB,直線砂的斜率為■，所以直線AB的斜

-2-2

率為2.

3

【答案】。

謝4（★★★）

已知點M（-l,l）和拋物線C:y2=如,過。的焦點F且斜率為k的直線與。交于A、B兩點，若AAMB=

90°,則k=.

t—一...........................................................................................

【解析】解法1:易得F（l,0）,設(shè)直線AB的方程為/=1,則k=」"，設(shè)4刈,珀,8（劣2,仍），聯(lián)立

m

1消去力整理得：才一4小。-4=0,所以％+m=4M，W2=-4,

22

2

從而xr+x2=館（陰+42）+2=4m+2,力逆2=亍,亍=1

而AM=（g+1,%—1）,MB=（力2+1,統(tǒng)一1）

因為Z.AMB=90°,所以7VL4,MB=Cig+ah+g+g?—（%+紡）+2=（2m—1）2=0

解得:771=/故k=2

解法2:因為NAMB=90°,所以△4W為阿基米德三角形，根據(jù)阿基米德三角形的性質(zhì)，有皿斤_1

43,易得尸（1,0），因為直線的斜率kMF=：0,=一白，所以直線AB的斜率為2.

【答案】2

阿5（★★★★）

已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F（0,c）（c>0）到直線l:x_y_2=Q的距離為竽.設(shè)P為直線I

上的點，過點P作拋物線。的兩條切線PA、PB,其中A、B為切點.

（1）求拋物線。的方程；

（2）當(dāng)點「（g,泱）為直線/上的定點時，求直線AB的方程；

（3）當(dāng)點P在直線，上移動時，求的最小值.

卜一................................................................................................一

【解析】（1）由題意，點F到直線Z的距離d=-一C2-=3f，解得:c=l或-5,又c>0,所以c=

V22

1,即F（0,1）,故拋物線。的方程為62=4g.

（2）解法1:顯然直線AB的斜率存在，故可設(shè)其方程為g=for+小，設(shè)力（2g,冠）,B（2g,舄）由/=

4g可得y=個，所以切線P4的方程為y—赤=x^x—2g），即g=力避一力；,???

同理，切線P8的方程為0=電力一曷，聯(lián)立卜=◎”一力解得：卜=刈+電即PO+g,C巡2）,

ly=x2x-gly=電曲

又點P的坐標(biāo)為（g,%）,所以『1+?=/°

1力巡2—no

將^=far+Tn代入a?=4g消去g整理得：/—-4m=0,由韋達定理，2g+2g=4k,2g?2x2=

—4m,所以61+電=2fc,c巡2=一小，從而力0=2fc,y0=—m,即k二號，m=—y0,

故直線AB的方程為y=-ya;-%,即xox-2y-2yo=0.

解法2:設(shè)/（如納），B（x2,y2）,由/=4"可得y'=5,故切線尸A的方程為4一%=3（4一的），結(jié)合

Xi=4%化簡得：HR—2y—2nl=0,同理，切線PB的方程為x2x—2y—2%=0

又點P?,￡o）同時在PA和上，所以卜,

（x2x0-2y0-2y2=0

故直線AB的方程為xox-2y「2y=0,即xox—2y—2yo=0

（3）（以下解答過程沿用的第2問解法2的設(shè)法）由題意，|4尸|=%+1,田川=%+1,

聯(lián)立°消去立整理得：92+（2伙）一+琉=0

所以%+紡=就一2"），yg=若，故M尸卜\BF\=陰%+%+紡+1=*+謚-2%+1①，

2

又點P在直線［上，故g=譏+2,代入式①整理得：加?田尸匚2（y0+y）+-|>y,

當(dāng)yo=-g時取等號，所以1^1'\BF\的最小值為y.

【反思】第2問的解法2是不是像變魔術(shù)？

謝6（★★★★）

2

如下圖所示,拋物線G：/=4y,C2:x=-2py（p>0）,點M（x0,%）在拋物線4上，過河作G的切線，切點

為4B（M為原點時，4B重合于原點O）,當(dāng)g=1—方時，切線的斜率為—。

⑴求p的值；

（2）當(dāng)初在G上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程（力、B重合于。時，中點為O）.

?M

【解析】⑴設(shè)42g，就),B(2x2fX2),gW力2,由/=4g可得n'=^,

221

所以AM的方程為y—喟=(x—2/J，即g=x^x—xi

2

3-2V2

因為點M在G上，所以xl=-2py，將g=1-2代入可得y-

Q02P

此時切線M4的斜率為一；，所以為=―/，即切線M4的方程為y_11

一一萬i一牙

又點A/在切線MA上，所以yo=—:，即—3-2V2=-y(l-V2)-十，解得:0=2

2P

⑵當(dāng)7W■不與原點重合時，由⑴知切線AM的方程為g=—冠

—《解得:fx=Xi+x2(xo=%1+22

同理，切線MB的方程為g=g—曷，聯(lián)立\y=力便2，即\yo=gg

y=x2x-x2

27I+2/2Ti+rc|(劣1+22)2—22112XQ—2y0

設(shè)AB中點NQ,g),則x---=21+g=羯g=—L=----------o------------=—o—

N=g①

即.與因為點河在。2上，所以就=-4%,故為=一年,代入式②可得y=-|-TO③，將式①

代入式③消去g可得O=%④,

由題意，當(dāng)州為原點時，4、8重合于原點。，此時4B中點也為O,顯然原點。也滿足方程④，綜上

所述，AB中點N的軌跡方程為夕=jx2

【反思】拋物線中的阿基米德三角形問題，一艇先設(shè)兩個切點的坐標(biāo)，寫出切線的方程，用切點的坐標(biāo)

參與后續(xù)的計算.

阿7(★★★★★)

已知曲線。:夕=手，。為直線夕=—^?上的動點，過。作。的兩條切線，切點分別為A、B.

(1)證明：直線AB過定點；

⑵若以E(0,—)為圓心的圓與直線AB相切,且切點為線段的中點，求四邊形ADBE的面積.

【解析】(1)解法1：顯然直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為0=卜+恒,設(shè)A

,

至

2

解

同理，切線BD的方程為沙=22/一號，聯(lián)立潴

2???

由題意，點。在直線夕=一。上，所以號^=—},故①任2=-1

U—KX-HTXXt

"2c消去。整理得：x2—2kx—2m=Q,由韋達定理，gg=-2m,所以-2m=-1,故m

{x=2y

=即直線的方程為"=%2+/,所以直線4B過定點（0,4）

解法2:設(shè)4g，珀,B（a?2,y2）,，由y=:得:J=a:,

故切線AD的方程為y—yi=x^x—g）,即2x1x—2y-Xi=0,又曷=2yl,

所以2劣便—2y—2y、=0,同理，切線BD的方程為2x2x—2y—2y2=0

因為點。同時在直線AD和直線BD上，所以:；二”二:，從而直線的方程為2kr+1—

2y=0,即"=如+},所以直線48過定點（0,；）

（2）由⑴知力1+必2=2k,所以%+紡=k（x]+x^）+1=2fc2+l

設(shè)AB中點為Q,則Q（k,肥+方），由題意，％，

當(dāng)k=0時,0（0,一：）,滿足題意，此時|48|

四邊形4DBE的面積S=9|ABHDE|=0X2X3=3,

廿一2

當(dāng)kWO時，k-kEQ=k=-1,解得：k=±l,

故\AB\=%+紡+1—2fc2+2=4

而\^Q\—,川+（*+^---1_）=V2，所以SAABE=-1-|AB|-\EQ\=2V2,

I*—（+—I

由（1）知。（k,—。點到直線AB的距離d=J'2）,21=方，

zVI+fc

故s△,=/入叫4=22，

所以四邊形ADBE的面積S=SLABE+S^ABD=2A/2+2A/2=4V5,

綜上所述，四邊形ADBE的面積為3或42.

題8（2021.新課標(biāo)I卷?理弓]*****）

已知拋物線。:62=2pn（p>a）的焦點為F,且F與圓河4+3+4）2=1上的點的距離的最小值為4.

⑴求0;

（2）若點P在河上，P4、P石是拋物線。的兩條切線，4、B是切點，求△山石面積的最大值.

1_________________________________________________________________________________________________

【解析】⑴由題意，,尸與圓河上的點的距離的最小值為/+3,所以￡■+3=4解得：p=2

⑵解法1:設(shè)P（g,g。）,則就+（*+4）2=1

設(shè)過點P與拋物線。相切的直線為g—yo=k（N一四）），即g=far+隊一小電）①，

聯(lián)立kX（}消去9整理得：力2—或力一4（?一左g）=0②，

判別式A=16*—4X[―4（隊一kg）]=0,化簡得：k2—xk+y0=0③,

0???

k1+卜2=%0

設(shè)P_A、PB的斜率分別為ki、腸，則自、后是方程③的兩個解，所以④,

卜1卜2=期0

|自一自|=J（卜1+卜2）2—4卜曲2=J5-4%,

方程②有唯一的實數(shù)解，則該解為c=2k,所以4（2瓦就），8（2口,雙）

ki-k?自+注

故直線AB的斜率,直線AB的方程為v—好=Q-2自），即y

2kl—2k22

亙羅■?一k#2,將④代入得直線的方程為y=-x—y0,即g①一2y—2%=0,所以點P到直線

AB的距離d=4調(diào)，顯然點p在拋物線C的下方，所以就一4%＞0,故d="廠啰,

J就+4J就+4

22

而\AB\=（2fcx—2fe2）+（A：i—A：2）=\ki_ki\■J4+肉+卷產(chǎn)=J就一4%?J4+就

所以S5或=y|AB|?d=J式-4如?J4+①彳,:3

由就+（%+4）2=1可得：就=1一（%+4）2

22

所以就一4%=1—（?/o+4）—4y0=—J/Q—12y0—15=—（y0+6）+21,—5^y0^—3,

故當(dāng)防=—5時，君一4%取得最大值20,從而的最大值為-1-x（V20）3=20V5.

解法2:由⑴知拋物線的方程為22=49，故可設(shè)4（0號），_B,號）

由x2=4,得"=今，所以"=￡■,故切線P/的方程為,一號=詈（/一工1）,即■工一號

力2舄

同理可得切線PB的方程為yTx~Ty

g+電

y=-^x-^x力1+622何2

聯(lián)立＜；：解得：＜

2'4

3=詈/一詈3

如圖，作PQ，7軸交于點Q,則點Q的橫坐標(biāo)為生舞

/1+勿2^1+^2

所以Q為中點，即QI

28

冠+晟力142_(61一22)2

從而\PQ\,所以S"AB=-ylPQl-|TI-?2|=+

848

61+/2

力逆2n,則Xi+x=2m,XiX=4"，且，代入圓Af的方程得小之+⑺+4）

不妨設(shè)T~=m,"422

2=1,

所以

同一—J(g+12)2—4/便2—V4m2—16n=2Vm2—4n=2^/1—(n+4)2—4n=2y/—(n+6)2+21,

—54TIV—3,

故當(dāng)點=—5時，取得最大值4V5，此時SAPAB也取得最大值Mx(4渥)3=20遍.

10

【反思】本題第2問解法1利用的是雙切線問題的處理方法，下一個小節(jié)會歸納相關(guān)的考題;解法2采

用的是設(shè)切點，求導(dǎo)寫切線，聯(lián)立切線求交點的求解模式，這是阿基米德三角形問題常用的處理方

法.

【題目〔1〕(★★★)

已知F為拋物線C:x2=49的焦點，過點F的直線I與拋物線。交于不同的兩點A和B,拋物線。在A、B

兩點處的切線交于點P,設(shè)，則|PF|的值為.(結(jié)果用m表示)

【解析】解法1：由題意，F(xiàn)(O,1)，可設(shè)直線hy=kx+L設(shè)4(力i,%),BQ2,紡)，

聯(lián)立(,2.1消去"整理得：x2—4kx—4=0,故力1+劣2=4k，

所以%+統(tǒng)=k(刈+/2)+2=4*+2,即\AB\=%+3+2=4k2+4=???,,故興+1二號1'

由阿基米德三角形性質(zhì)知P(2k,—1),所以\PF\=V4fc2+(-l-l)2=2VA?+1=2J苧=向.

解法2：/=旬np=2n+金p=￡=1n\AF\+\BF\=\AF\-\BF\n\AB\=\AF\-\BF\

由阿基米德三角形性質(zhì)，|PF『=MFHBFI，所以=^\AF\■\BF\=4\AB\=4^i.

【答案】4m

【反思】①上述解法1用的是阿基米德三角形的哪條性質(zhì)？②在拋物線中，過焦點F的直線與拋物線交于

A、B兩點，則

、題目區(qū)(★★★★)

2

拋物線G：/=2py(p>0)與雙曲線C2-.X-3y=A有一個公共焦點F,過。2上一點P(3，^4)向G作兩條

切線，切點分別為A、B,則\AF\-\BF\=.

2

【解析】解法1：將P(3V5,4)代入3靖=；可得A=—3，從而C2-.y-^-=1

O???

所以G與G的公共焦點為F(0,2),

故拋物線G的方程為/=叼,設(shè)瑜，8(2岳2,曷)，由/=的可得"=J,

所以切線PA的方程為y-，仁冬電(，-2岳J，整理得：y=岑,像-冠

/2_

同理，切線PB的方程為y=警好一冠，聯(lián)立"一~lX1X—"：解得：f=2(0+"2)

2[y=^x2x-xl[y=X!X2

因為R4、PB的交點為P(3JK,4),所以=電)=&娓,

[6162—4

\AF\?\BF\=(冠+2)(舄+2)=—+2(冠+忌)+4=(6I]2)2+2(%I+①2>—4gg+4=16+45-16+4=49

2

解法2：將F(3V5,4)代入x2-3y2=%可得A=—3，從而G：娟—告=L所以G與G的公共焦點為F(0,2),

O

由題意可得饃4萬為阿基米德三角形，

所以|A?HB斤I=|BF|2=(3V5-0)2+(4-2)2=49

【答案】49

【反思】在阿基米德△PAB中,\AF\■\BF\=\BF\2.

[題目|—★★★★)

已知F為拋物線。：/=4"的焦點，過點F的直線，與拋物線。交于不同的兩點A和B,拋物線。在

兩點處的切線交于點P,則\PF\+瑞的最小值為.

【解析】解法1：由題意，F(xiàn)(O,1)，可設(shè)直線l:y=kx+L設(shè)4(力1,m),_8(力2,紡)，

聯(lián)立｛：2_^+1消去g整理得：/—4/5—4=0,故g+/2=4k,方的二一4,

22

所以必+納=上(%+立2)+2=4%?+2,幼統(tǒng)=9,三=("^)2=1'

故\AB\=%+紡+2=4fc2+4,

由阿基米德三角形性質(zhì)，|PFf=\FA\-\FB\

2

所以\PF\=y/\FA\-\FB\=V(7/i+l)(y2+l)=/幼紡+(%+%)+1=2Vfc+l,

故|PF|+=2j*+l+=JkUl+'優(yōu)+1+93?J%2+1?=6

\AB\k2+lk2+lV儲+i

當(dāng)且僅當(dāng)Ji西I=即k=±V3時等號成立,即\PF\+Ey的最小值為6.

青+1\AB\

解法2：由題意,F(0,l),可設(shè)直線l:y—kx+L設(shè)4g，幼),8(力2,紡)，

2

聯(lián)立卜2乎+1消去g整理得：x—4：kx—4=0,故xr-\-x2—4k,力便2=—4,

I力=4。

22

所以陰+佻=%(為+工2)+2=4*+2,%的=???=1,

故\AB\=%+納+2=4r+4,

由阿基米德三角形性質(zhì)，_?(曰要,—1),即F(2fc,-1)，所以\PF\=J