(16)無(wú)窮小的“階”及應(yīng)用

微積分還有一個(gè)名稱，叫“無(wú)窮小分析”。兩個(gè)無(wú)窮小的商求極限，既是典型的未定式計(jì)算，又有深刻的理論意義。即“無(wú)窮小的比較”。如果商的極限為1，則分子分母為等價(jià)無(wú)窮小。極限為0

，分子是較分母高階的無(wú)窮小。極限為其它實(shí)數(shù)，分子分母為同階無(wú)窮小。為了考試，要盡可能記住一些常用的等價(jià)無(wú)窮小。利用

Δy

～

dy

（數(shù)學(xué)一，二用T公式）生成等價(jià)無(wú)窮小

——當(dāng)f

′（x0）≠0時(shí)

，Δy

～

dy

，在原點(diǎn)計(jì)算Δy和dy

，得到常用的4個(gè)等價(jià)無(wú)窮小sin

x

～

x

；

ln（1+x）～

xexp（x）－1

～

x

；√（1+x）－1～

x∕2最好再記住

1－cos

x

～

x2∕2

（exp（x）記以e為底的指數(shù)函數(shù)）等價(jià)無(wú)窮小的復(fù)合拓展

——x→0時(shí)，α(x)是無(wú)窮小，則

sinα(x)

～α(x)

；

ln（1+α(x)）～α(x)，……

標(biāo)準(zhǔn)階無(wú)窮小與無(wú)窮小的階

——高等微積分中，把x→0（或0+）時(shí)，冪函數(shù)

y=

（x的μ次方）

稱為μ階無(wú)窮小。與它同階的無(wú)窮小，都是μ階無(wú)窮小。于是，常用的1階無(wú)窮小有，

x

，sin

x

，tgx

，arcsinx

，arctgx

，exp（x）－1常用的2階無(wú)窮小有

1－cos

x等價(jià)無(wú)窮小的差為高階無(wú)窮小

——值得記一記的有（常見(jiàn)的三階無(wú)窮?。?/p>

x?sinx

~

x3/6

x?lnx（1+x）~

x2/2

，

exp（x）－（1

+

x）

～

x2/2！

，……不同階的有限個(gè)無(wú)窮小的線性組合是無(wú)窮小。（“多項(xiàng)式型無(wú)窮小”。）它與其中最低階的那個(gè)無(wú)窮小同階。比如

y=ln（1+x）+1－cos

x

是1階無(wú)窮小再?gòu)?fù)雜一點(diǎn)，5x?sinx－cosx

+1=4x+

（1－cosx）

+（x?sinx），是1

階無(wú)窮小由于“等價(jià)無(wú)窮小的差”也可以說(shuō)成是“無(wú)窮小的和”，或“無(wú)窮小的線性組合”，所以，“無(wú)窮小的和”，或“無(wú)窮小的線性組合”，其階數(shù)都是未定式。

無(wú)窮小的積是高階無(wú)窮小。無(wú)窮?。ㄔ趨^(qū)間背景下）也是有界變量。所以，“無(wú)窮小與有界變量的積”是無(wú)窮小，但階數(shù)是未定式。比如，x→0時(shí)，x2+3x

與x

同為１階。實(shí)際上，x2+3x=x（x+3），后因子極限非0但xsin（1/x）的階數(shù)不能確定。在階的意識(shí)下對(duì)0/0型未定式作結(jié)構(gòu)分析與調(diào)整

——例1

x→∞，

求

limxsin（2x/（x2+1））分析

x→∞

時(shí)，2x/（x2+1）是無(wú)窮小，sin（2x/（x2+1））～（2x/（x2+1），可替換。例2

x→0時(shí)，

求

lim(5x?sinx－cosx

+1)/(3x-lnx)分析

原極限

=

lim(4x+

1－cosx

+x?sinx)/(2x+x

-lnx)分子分母都是“多項(xiàng)式型無(wú)窮小”。用“化0項(xiàng)法”，

分子分母同除以（商式中的）最低階的無(wú)窮小。

原極限

=2例3

x→0時(shí)，

求

lim（1/x2）ln（sin

x/

x）分析（數(shù)三學(xué)過(guò)冪級(jí)數(shù)）

sin

x=x

－x3/6+

……ln（sin

x/

x）=ln（1—x2

/

6+

……）～

—x2

/

6

，可替換。無(wú)窮小怪例

——不能確定階數(shù)的無(wú)窮小怪例1

α=xsin（1/x）和β=x

都是無(wú)窮小，但是它們的商是震蕩因子sin（1/x），沒(méi)有極限。兩個(gè)無(wú)窮小不能比較。更有意思的是，若γ=

x的k次方，則無(wú)論

k=0.9,還是k=0.99,k=0.999,……，α總是比γ高階的無(wú)窮小。怪例2

x

→

+∞時(shí)，

lim

（x的n次方）∕exp（x）=0即

lim

（x的n次方）exp（－x）=0這表明：“x趨于

+∞時(shí)，指數(shù)函數(shù)exp（x）是比任意高次方的冪函數(shù)都還要高階的無(wú)窮大。”或說(shuō)，x

→

+∞時(shí)，

exp（－x）是“任意大階的”無(wú)窮小。它能“吞吸”任一有限階的無(wú)窮大。

怪例3

x

→

+∞時(shí)，

lim

lnx∕（x的δ次方）=0

其中，δ是任意取定的一個(gè)很小的正數(shù)。這表明：x

→

+∞時(shí)，“對(duì)數(shù)函數(shù)lnx總是比x的δ次方都還要低階的無(wú)窮大?！被蛘f(shuō)，1/lnx是“階數(shù)任意小”

的無(wú)窮小。

無(wú)窮小的階與級(jí)數(shù)，廣義積分收斂性

——判斷級(jí)數(shù)，廣義積分收斂性，首先判斷絕對(duì)收斂性。如果用“無(wú)窮小量”的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，則，“級(jí)數(shù)收斂的必要條件是，n

→

+∞時(shí)，級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是無(wú)窮小量?！边@個(gè)條件不是充分條件。如果我們已經(jīng)判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)的無(wú)窮小階數(shù)為p

，

則p

>1時(shí)級(jí)數(shù)收斂，p≤1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散?！耙呀?jīng)判定”是重要前提。請(qǐng)看（并記?。┕掷M管1/nlnn是較1/n高階的無(wú)窮小，但是，通項(xiàng)為

1/nlnn的級(jí)數(shù)也發(fā)散．然而，通項(xiàng)為

1/n(lnn)2的級(jí)數(shù)收斂．你卻不能確定其無(wú)窮小階．＊若n

→

+∞時(shí)，兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和的通項(xiàng)是同階無(wú)窮小，則這兩個(gè)級(jí)數(shù)或者都收斂，或者都發(fā)散。（這是極限形式的比較法的實(shí)質(zhì)。）例

∑Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是______（A）若n

→

+∞時(shí)，limnUn=0

，則∑Un收斂。

（B）若∑Un收斂，則n

→

+∞時(shí)，lim

n2Un=0（C）若存在非零常數(shù)λ，使得n

→

+∞時(shí)，limnUn=λ，則級(jí)數(shù)

∑Un發(fā)散。（D）若級(jí)數(shù)∑Un發(fā)散，則存在非零常數(shù)λ，使得limnUn=λ分析

（A）錯(cuò)，條件雖然說(shuō)明n

→

+∞時(shí)，Un是比1/n高階的無(wú)窮小，但我們不能確定其階數(shù)。答案為（C），它說(shuō)明n

→

+∞時(shí)，Un是與1/n同階的無(wú)窮小。對(duì)于廣義積分．有判斷定理——

若ｘ→

+∞時(shí)，ｆ（ｘ）