2025高考數學一輪復習-7.7-利用空間向量求空間距離-專項訓練【含答案】

2025高考數學一輪復習-7.7-利用空間向量求空間距離-專項訓練INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1.如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=6,點E是棱PB的中點.求直線AD與平面PBC的距離.2.如圖,已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2,E是線段AB的中點.(1)證明:BD⊥平面AA1C1C;(2)若P是線段BC上的動點,求點P到平面B1DE的距離的取值范圍.3.如圖,已知長方體ABCDA1B1C1D1的體積為4,點A到平面BC1D的距離為63.(1)求△BC1D的面積;(2)若AB=BC=2,動點E在線段DD1上移動,求△AEC1面積的取值范圍.4.如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形,PA=2,G為CD的中點,E,F是棱PD上兩點(F在E的上方),且EF=2.(1)若DE=22(2)當點F到平面AEC的距離取得最大值時,求DE的長.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF"INET【C級應用創(chuàng)新練】5.如圖,在四棱錐PABCD中,AC∩BD=O,底面ABCD為菱形,邊長為2,PC⊥BD,PA=PC,且∠ABC=60°,異面直線PB與CD所成的角為60°.(1)求證:PO⊥平面ABCD;(2)若E是線段OC的中點,求點E到直線BP的距離.6.如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,四邊形AA1C1C是邊長為4的正方形,四邊形AA1B1B為矩形,AB=3,BC=5.問:在線段BC上是否存在點P,使得點P到平面A1C1B的距離為2?若存在,求BP的值;若不存在,請說明理由.參考答案INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1.解:如圖,以A為坐標原點,射線AB,AD,AP分別為x軸,y軸,z軸正半軸,建立空間直角坐標系.設D(0,a,0),則B(6,0,0),C(6,a,0),P(0,0,6),E(3,0,3).因此,AE→=(3,0,3),BC→=(0,a,0),則AE→·BC→=0,AE→所以AE⊥BC,AE⊥PC,又BC∩PC=C,BC,PC?平面PBC,所以AE⊥平面PBC.由AD∥BC,AD?平面PBC,BC?平面PBC,得AD∥平面PBC.故直線AD與平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離,即|AE→|=322.(1)證明:因為四邊形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,因為AA1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以AA1⊥BD,因為AC∩AA1=A,AC,AA1?平面AA1C1C,所以BD⊥平面AA1C1C.(2)解:以D為坐標原點,分別以DA,DC,DD1所在直線為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則D(0,0,0),E(2,1,0),B1(2,2,2),設P(a,2,0)(0≤a≤2),則DP→=(a,2,0),DE→=(2,1,0),設平面B1DE的法向量為n=(x,y,z),由DE→·令x=1,則y=-2,z=1,則n=(1,-2,1).設點P到平面B1DE的距離為h,所以h=|DP→·n||n|=|a-4|63.解:(1)由題知VA?BC1D=VC設點A到平面BC1D的距離為h,則h=63因為VA?BC1D所以S△BC1D即△BC1D的面積為6.(2)由題知AB=BC=2,AA1=1,以D為坐標原點,直線DA,DC,DD1分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),C1(0,2,1),設E(0,0,t)(0≤t≤1),則EA→=(2,0,-t),A則直線AC1的單位方向向量為u=AC1→|AC1則點E到直線AC1的距離為d=EA→2-(EA→·u)所以△AEC1的面積S△AEC1=12AC1·d=3所以△AEC1面積的取值范圍為[322,4.(1)證明:連接BD交AG于H,連接HE,因為G為CD的中點,四邊形ABCD是正方形,所以GD∥AB,GD=12AB,所以DHHB=GDAB因為DE=22,EF=2,所以DEEF=DHHB所以BF∥EH,因為BF?平面AEG,EH?平面AEG,所以BF∥平面AEG.(2)解:在四棱錐PABCD中,因為EF=2,所以△EFC的面積為定值,又點A到平面EFC的距離為定值,所以三棱錐AEFC的體積為定值,即三棱錐FAEC的體積為定值.要使點F到平面AEC的距離最大,則需△AEC的面積最小,即E到AC的距離最小.由題知,以A為坐標原點,AB,AD,AP為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),C(2,2,0),由于PA⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,故PA⊥AD,而PA=AD=2,故△PAD為等腰直角三角形,即∠PDA=π4設E到AD的距離為t,t∈[0,1],則E(0,2-t,t),AE→=(0,2-t,t),AC故E到AC的距離為AE→2-32對于二次函數y=32t2-2t+2,其圖象對稱軸為直線t=23,當t=32t2此時點F到平面AEC的距離最大,所以DE=2t=22INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF"INET【C級應用創(chuàng)新練】5.(1)證明:因為四邊形ABCD為菱形,所以O為AC中點,AC⊥BD,因為PC⊥BD,AC,PC?平面PAC,AC∩PC=C,所以BD⊥平面PAC,又PO?平面PAC,所以PO⊥BD,因為PA=PC,所以PO⊥AC;因為AC∩BD=O,AC,BD?平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.(2)解:因為AC,BD,PO兩兩互相垂直,所以以O為坐標原點,OB→,OCOP→因為∠ABC=60°,AB=BC,所以△ABC為等邊三角形,所以OA=1,OB=3,不妨設OP=a,則AP2=a2+1,BP2=3+a2,因為異面直線PB與CD所成的角為60°,AB∥CD,所以∠PBA=60°,所以PA2=PB2+AB2-2BP·ABcos∠PBA,即a2+1=3+a2+4-2a2解得a=6,所以B(3,0,0),P(0,0,6),E(0,12所以BE→=(-3,12,0),BP→=(-3所以|BE→|=132,|所以點E到直線BP的距離為d=|BE→|2-6.解:因為四邊形AA1C1C是正方形,四邊形AA1B1B為矩形,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC,且AB,AC?平面ABC,AB∩AC=A,所以AA1⊥平面ABC,又因為AB=3,AC=4,BC=5,所以AB⊥AC,因此AB,AC,AA1兩兩垂直,所以建系如圖,則有B(0,3,0),C(4,0,0),A1(0,0,4),C1(4,0,4),所以BC→=(4,