【八年級(jí)上冊數(shù)學(xué)華師大版】專題10 閱讀理解、拓展探究（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁10華師版數(shù)學(xué)八上閱讀理解、拓展探究1．探究如圖①，邊長為的大正方形中有一個(gè)邊長為的小正方形，把圖①中的陰影部分拼成一個(gè)長方形（如圖②所示），通過觀察比較圖②與圖①中的陰影部分面積，可以得到乘法公式___________，（用含，的等式表示）應(yīng)用請應(yīng)用這個(gè)公式完成下列各題：(1)已知，，則的值為___________．(2)計(jì)算：．拓展(3)計(jì)算：．【答案】(1)；；(2)；(3)【詳解】（1）根據(jù)題意得到，由得，，∵，∴，故答案為：；（2）；（3）．2．問題提出在學(xué)完乘法公式后，王老師向同學(xué)們提出了這樣一個(gè)問題：你能求代數(shù)式的最大值嗎？初步思考同學(xué)們經(jīng)過交流、討論，總結(jié)出如下方法：解：因?yàn)椋裕援?dāng)時(shí)，的值最大，最大值是0．所以當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值是4．所以的最大值是4．嘗試應(yīng)用(1)求代數(shù)式的最大值，并寫出相應(yīng)的x的值．拓展提高(2)將一根長的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個(gè)正方形，那么這兩個(gè)正方形面積之和有最小值嗎？若有，求此時(shí)這根鐵絲剪成兩段后的長度及這兩個(gè)正方形面積的和；若沒有，請說明理由．【答案】(1)59，7；(2)有，12cm，12cm，18cm2．【詳解】（1）=-(x2-14x)+10=-(x2-14x+49-49)+10=-(x2-14x+49)+49+10因?yàn)?，所以，∴?dāng)時(shí)，的值最大，最大值為59，解方程得x=7，所以的最大值為59，此時(shí)x的值是7．（2）設(shè)其中一段鐵絲的長度為x(cm)，則另一段鐵絲的長度為24-x(cm)，所以這兩段鐵絲做成的正方形邊長分別為和，所以這兩個(gè)正方形的面積之和為：，∵時(shí)，最小，最小值是18，解方程得x=12，則24-x=12，所以，這兩個(gè)正方形面積之和有最小值，此時(shí)兩段鐵絲長度分別為12cm，12cm，面積之和為18cm23．閱讀下面的文字，解答問題：大家知道是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，但通過估算可以得出的整數(shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分，也就是用來表示的小數(shù)部分，又例如：，即，的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．（1）的整數(shù)部分是________，小數(shù)部分是________；（2）應(yīng)用：若的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，請仿照上述推理過程求的值；（3）拓展：若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則的相反數(shù)是________．【答案】（1）3；；（2）1；（3）【詳解】解：（1）∵，即，∴的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是；故答案為：3，；

（2）即，的整數(shù)部分為4，小數(shù)部分為，即；

，即，的整數(shù)部分為5，即，；（3）∵的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，∴，∴的相反數(shù)是，故答案為：．4．【閱讀理解】對于二次三項(xiàng)式，能直接用公式法進(jìn)行因式分解，得到，但對于二次三項(xiàng)式，就不能直接用公式法了．我們可以采用這樣的方法：在二次三項(xiàng)式中先加上一項(xiàng)，使其成為完全平方式，再減去這項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，于是：像這樣把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做添（拆）項(xiàng)法．(1)【問題解決】請用上述方法將二次三項(xiàng)式分解因式．(2)【拓展應(yīng)用】二次三項(xiàng)式有最小值或最大值嗎？如果有，請你求出來并說明理由．(3)運(yùn)用材料中的添（拆）項(xiàng)法分解因式：．【答案】(1)；(2)二次三項(xiàng)式有最小值3，理由見解析；(3)【詳解】（1）解：；（2）解：，∵，∴，∴二次三項(xiàng)式有最小值3；（3）解：．5．利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識(shí)能解決方程或代數(shù)式的一些問題，請閱讀下列材料：閱讀材料：若，求m、n的值．解：∵，∴，∴，∴，，∴，．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知，求a、b的值；(2)已知的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足，求c的值；(3)若，，試比較A與B的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)，；(2)；(3)，詳見解析【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，，∴，．（2）解：∵，∴∴，∴，，解得，，∵a、b、c是的三邊長，∴，∵c是正整數(shù)，∴；（3）解：，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴．6．配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．例如，把二次三項(xiàng)式x2-2x+3進(jìn)行配方．解：x2-2x+3=x2-2x+1+2=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2(a，b是整數(shù))的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?=22+12．再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x，y是整數(shù))，所以M也是“完美數(shù)”．(1)解決問題：①請你再寫一個(gè)小于10的“完美數(shù)”_____；并判斷40是否為“完美數(shù)”_____；②若二次三項(xiàng)式x2-4x+5(x是整數(shù))是“完美數(shù)”，可配方成(x-m)2+n(m，n為常數(shù))，則mn的值為_____；(2)探究問題：①已知“完美數(shù)”x2+y2-2x+4y+5(x，y是整數(shù))的值為0，則x+y的值為____；②已知S=x2+4y2+4x-12y+k(x，y是整數(shù)，k是常數(shù))，要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值．(3)拓展結(jié)論：已知實(shí)數(shù)x，y滿足-x2+3x+y-5=0，求x+y的最小值．【答案】(1)①4；是；②2；(2)①-1；②k=13；(3)4【詳解】（1）解：①4是“完美數(shù)”，理由：4=22+02；40是“完美數(shù)”，理由：40=62+22；故答案為：4，是；②∵x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+12，∴m=2，n=1，∴mn=2，故答案為：2；（2）解：①∵x2+y2-2x+4y+5=(x-1)2+(y+2)2=0，∴x=1，y=-2，∴x+y=-1；故答案為：-1；②S=x2+4y2+4x-12y+k=(x+2)2+(2y-3)2+k-13，由題意得：k-13=0，∴k=13；（3）解：∵-x2+3x+y-5=0，∴x+y=x2-2x+5=(x-1)2+4≥4；∴當(dāng)x=1時(shí)，x+y最小，最小值為4．7．先閱讀以下材料，然后解答問題，分解因式．；也可以．以上分解因式的方法稱為分組分解法，(1)請用分組分解法分解下列因式：①②(2)拓展延伸①若求x，y的值；②求當(dāng)x、y分別為多少時(shí)？代數(shù)式有最小的值，最小的值是多少？【答案】(1)①；②；(2)①，；②，，最小值：【詳解】（1）解：①；②；（2）解：①，，，，，，；②，，，，時(shí)，有最小值，最小值是-10，，，，即當(dāng)，時(shí)，代數(shù)式有最小值，最小值是-10．8．閱讀與思考：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法．例如：．(1)【解決問題】補(bǔ)全下列完全平方式：①_________；②_______．(2)【變式訓(xùn)練】試說明無論x取何值，代數(shù)式是正數(shù)；(3)【深入研究】若，，比較M、N的大??；(4)【拓展應(yīng)用】關(guān)于x、y的二元一次方程組和的解相同，求的值．【答案】(1)①1；②4y2；(2)見解析；(3)M≥N；(4)2【詳解】（1）解：①1；②4y2＋4y＋1.（2）x2﹣12x＋37＝x2﹣12x＋36＋37﹣36

＝（x﹣6）2＋1

∵（x﹣6）2≥0

∴（x﹣6）2＋1＞0

∴無論x取何值，代數(shù)式x2﹣12x＋37是正數(shù)（3）M﹣N＝（2x2＋4x＋5＋y2）﹣（x2＋6x＋4）＝2x2＋4x＋5＋y2﹣x2﹣6x﹣4＝x2﹣2x＋1＋y2＝（x﹣1）2＋y2

∵（x﹣1）2≥0

y2≥0∴（x﹣1）2＋y2≥0

∴M≥N（4）解二元一次方程組得

把代入中得①＋②得：2m2＋2mn＋n2＋4m＋4＝0∴m2＋2mn＋n2＋m2＋4m＋4＝0∴（m＋n）2＋（m＋2）2＝0

∴∴

∴m＋2n＝﹣2＋2×2＝2∴m＋2n的值為29．閱讀材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m、n的值．解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴（m2－2mn＋n2）＋（n2－8n＋16）＝0，∴（m－n）2＋（n－4）2＝0，∴（m－n）2＝0，（n－4）2＝0，∴n＝4，m＝4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)已知x2－2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求、的值；(2)已知△АВС的三邊長分別為а，b，с都是正整數(shù)，且滿足a2＋b2－10a－12b＋61＝0，求△ABC的邊a、b的值；(3)已知a－b＝8，ab＋c2－16c＋80＝0，求a＋b＋c的值．【答案】(1)，．(2)，；(3)8【詳解】（1）解：，，，，，，．（2）解：，，，，，，．（3）解：，，，，，，，，，，即的值是8．10．（1）仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：(1－x)(1＋x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4(1－x)(1＋x＋x2＋x3＋x4)＝．(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn-1)＝．（2）類比探索，解決問題：(a－b)(a＋b)＝．①(a－b)(a2＋ab＋b2)＝．②(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝．（3）應(yīng)用規(guī)律，拓展延伸：①分解因式：（）．（直接寫出結(jié)果）②計(jì)算：1＋2＋22＋…＋22018＋22019＋22020【答案】（1）1－x5，1－xn；（2）①a3－b3，②a4－b4；（3）①；②22021－1【詳解】解：（1）由前四個(gè)運(yùn)算式的信息總結(jié)可得：(1－x)(1＋x＋x2＋x3＋x4)＝．(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn-1)＝．故答案為：1－x5，1－xn（2）①(a－b)(a2＋ab＋b2)＝．②(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝．故答案為：①，④a4－b4（3）①故答案為：

②1＋2＋22＋…＋22018＋22019＋22020＝－(1－2)(1＋2＋22＋…＋22018＋22019＋22020)＝22021－111．【背景知識(shí)】用兩種方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，就可以得到一個(gè)等式．例如：圖1是一個(gè)邊長為的正方形，從整體來看，它的面積可以表示為，從分塊來看，這個(gè)正方形有四塊，其中面積為的正方形有1塊，面積為的正方形有1塊，面積為ab的長方形有2塊，因此，該正方形的面積還可以表示為，這兩種方法都是求同一個(gè)正方形的面積，于是得到．(1)【能力提升】請你根據(jù)背景知識(shí)和圖2推導(dǎo)等式______；(2)【能力提升】請你根據(jù)背景知識(shí)和圖3推導(dǎo)等式______；(3)【拓展應(yīng)用】若，，利用（2）得到的結(jié)論，求圖3中陰影部分的面積．【答案】(1)；(2)；(3)25【詳解】（1）解：從整體來看，它的面積可以表示為，從分塊來看，這個(gè)正方形有九塊，其中面積為的正方形有2塊，面積為的正方形有2塊，面積為ab的長方形有5塊，∴該正方形的面積還可以表示為，∴；故答案為：；（2）解：從整體來看，它的面積可以表示為；從分塊來看，這個(gè)正方形有九塊，其中面積為的正方形有1塊，面積為的正方形有1塊，面積為的正方形有1塊，面積為ab的長方形有2塊，面積為ac的長方形有2塊，面積為bc的長方形有2塊，∴該正方形的面積還可以表示為；∴；故答案為：（3）解：根據(jù)題意得：，由（2）得：，當(dāng)，時(shí)，，解得：，即陰影部分的面積為25．12．【探究】若滿足，求的值．設(shè)，，則，，∴；(1)【應(yīng)用】請仿照上面的方法求解下面問題：若滿足，求的值；(2)【拓展】已知正方形的邊長為，，分別是、上的點(diǎn)，且，，長方形的面積是8，分別以、為邊作正方形．①_________，_________；（用含的式子表示）②求陰影部分的面積．【答案】(1)5；(2)①，，②12【詳解】（1）設(shè)，，則，，∴．（2）①∵四邊形是長方形，，四邊形是正方形，∴，，∴，，故答案為：，．②∵長方形的面積是8，∴，陰影部分的面積設(shè)，，則，，∴，∴，又∵，∴，∴．即陰影部分的面積是12．13．閱讀材料：若滿足（8-x）（x-6）=-3，求（8-x）2+（x-6）2的值．解：設(shè)8-x=a，x-6=b，則（8-x）（x-6）=ab=-3，a+b=8-x+x-6=2所以（8-x）2+（x-6）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=22-2×（-3）=10請仿照上例解決下面的問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足（3-x）（x-2）=-10，求（3-x）2+（x-2）2的值；(2)若（6-x）2+（x-4）2=8求（6-x）（x-4）的值；(3)類比探究：若x滿足（2022-x）2+（2021-x）2=2020；求（2022-x）（2021-x）的值；【答案】(1)21；(2)-2；(3)【詳解】（1）解：設(shè)3-x=a，x-2=b，則ab=（3-x）（x-2）=-10，a+b=（3-x）+（x-2）=1∵∴∴（2）解：設(shè)6-x=a，x-4=b，則a+b=（6-x）+（x-4）=2，∵即∴ab=-2（3）解：2022-x=a，2021-x=b，則a-b=（2022-x）-（2021-x）=1，∵∴∴14．已知，是一條角平分線．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，若是的角平分線．可得到結(jié)論：．小紅的解法如下：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，∵是的角平分線，且，∴______．∴______，又∵，∴______．【類比探究】如圖2，若是的外角平分線，與的延長線交于點(diǎn)D．求證：【拓展應(yīng)用】如圖3，在中，，分別是的角平分線且相交于點(diǎn)D，，直接寫出的值是______．【答案】（1）；；；（2）見解析；（3）【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，∵是的角平分線，且，∴∴，又∵，∴，故答案為：，；；類比探究：證明：過點(diǎn)D作于N，過點(diǎn)D作于M．過點(diǎn)A作于點(diǎn)P．∵平分，∴．∴，∴拓展應(yīng)用：在BC上取點(diǎn)G，使得，連接，∵分別是的角平分線且相交于點(diǎn)D，∴，∵，∴∴，∴∴是的角平分線由（1）知，，設(shè)，，，由（1）知，，．15．(1)閱讀理解：如圖1，在中，若，．求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點(diǎn)，使，再連接(或?qū)⒗@著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到)，把，，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線的取值范圍是______；(2)問題解決：如圖2，在中，是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，求證：；(3)問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，，以為頂點(diǎn)作一個(gè)角，角的兩邊分別交，于，兩點(diǎn)，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)；(2)見解析；(3)，證明見解析【詳解】（1）解：延長至，使，連接，如圖①所示：∵是邊上的中線，∴，在和中，∴，∴，在中，由三角形的三邊關(guān)系得：，∴，即，∴；故答案為：；（2）證明：延長至點(diǎn)，使，連接，，如圖所示同（1）得，，，，，在中，由三角形的三邊關(guān)系得，（3）證明如下：延長至點(diǎn)，使，連接，如圖所示，在和中，，，，，在和中，，．，16．【問題背景】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在中，，平分，試判斷和之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小明發(fā)現(xiàn)，將沿翻折，使點(diǎn)A落在邊上的E處，展開后連接，則得到一對全等的三角形，從而將問題解決（如圖2）（1）寫出圖2中全等的三角形____________________；（2）直接寫出和之間的數(shù)量關(guān)系__________________；【類比運(yùn)用】（3）如圖3，在中，，平分，求的周長．小明的思路：借鑒上述方法，將沿翻折，使點(diǎn)C落在邊上的E處，展開后連接，這樣可以將問題解決（如圖4）；請幫小明寫出解答過程：【實(shí)踐拓展】（4）如圖5，在一塊形狀為四邊形ABCD的空地上，養(yǎng)殖場丁師傅想把這塊地用柵欄圍成兩個(gè)小型的養(yǎng)殖場，即圖5中的和，若平分．請你幫丁師傅算一下需要買多長的柵欄．【答案】（1）；（2）；（3）的周長為5；（4）需要買長的柵欄【詳解】解：（1）如圖2，沿翻折得到；（2），理由：，，由翻折得，，，，，，；（3）如圖4，將沿翻折，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，展開后連接，由翻折得，，，，，，，，，的周長為5；（4）如下圖5，將沿翻折，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，連接，作于F，，，，，，設(shè)，則，，，解得：，，，，需要買長的柵欄．17．【探究】如圖，P是等邊三角形內(nèi)的一點(diǎn)，連接，以為邊作，且，連接．(1)直接寫出與之間的關(guān)系．(2)若，，，連接，判斷的形狀，并說明理由．(3)【應(yīng)用】如圖，P是等腰直角三角形內(nèi)的一點(diǎn)，，，且，，，求的大?。敬鸢浮?1)；(2)是直角三角形，理由見解析；(3)【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴；（2）解：是直角三角形，理由如下：如圖，連接，由（1）得：，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴是直角三角形；（3）解：如圖，把繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，∴是等腰直角三角形，∴，，在中，，∵，∴為直角三角形，即，∴．18．【問題背景】在中，，，三邊的邊長分別為，，，求這個(gè)三角形的面積．小明同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)，如圖所示．這樣不需求的高，借助網(wǎng)格就能計(jì)算三角形的面積．(1)直接寫出的面積，．(2)【思維拓展】若三邊的長分別為，，，請利用圖的正方形網(wǎng)格中畫出（每個(gè)小正方形的邊長為），并直接寫出的面積，．(3)【探索創(chuàng)新】若的三邊長分別為，，（，，且），請直接寫出的面積，．【答案】(1)；(2)；(3)【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）∵，∴如圖：即為所作：，故答案為：；（3）根據(jù)題意可得：，故答案為：．19．背景介紹：勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明精彩粉呈，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．小試牛刀：把兩個(gè)全等的直角三角形如圖1放置，其三邊長分別為a，b，c．顯然，，，請用a，b，c分別表示出梯形、四邊形、的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理：(1)________，__________，___________，則它們滿足的關(guān)系式為____________，經(jīng)化簡，可得到勾股定理．（提示：對角線互相垂直的四邊形面積等于對角線乘積的一半）知識(shí)運(yùn)用：(2)如圖2，鐵路上A，B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，C，D為兩個(gè)村莊（看作兩個(gè)點(diǎn)），，，垂足分別為A、B，千米，千米，則兩個(gè)村莊的距離為_________千米（直接填空）；(3)在（2）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得，請用尺規(guī)作圖在圖3中作出P點(diǎn)的位置并求出的距離．(4)知識(shí)遷移：借助上面的思考過程與幾何模型，求代數(shù)式+的最小值__________（0＜x＜16）．【答案】(1)，，，；(2)41；(3)P點(diǎn)的位置見解析，千米．(4)【詳解】（1）解：，，，．∴，∴，故答案為：，，，；（2）如圖2①，連接，作于點(diǎn)E，∵，，∴，，∴千米，∴千米，∴兩個(gè)村莊相距41千米．故答案為：41．（3）尺規(guī)作圖如圖2②所示：設(shè)千米，則千米，在中，，在中，，∵，∴，解得，即千米．（4）如圖3，作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)P，∴，∴的最小值，∵，，∴代數(shù)式的最小值為：．20．【閱讀理解】我們在分析解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常要比較兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式的大小，解決此類問題時(shí)一般要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依據(jù)是不等式（或等式）的性質(zhì)：若，則；若，則；若，則．例：已知，，其中．求證：．證明：．∵，∴．∴．【新知應(yīng)用】（1）比較大?。篲_____．（2）甲、乙兩個(gè)長方形的長和寬如圖所示（m為正整數(shù)），其面積分別為、．試比較、的大小關(guān)系．【實(shí)際應(yīng)用】（3）請用“作差法”解決下列問題：某游泳館在暑假期間對學(xué)生優(yōu)惠開放，有A、B兩種方案可供選擇，A方案：每次按原價(jià)打八五折；B方案：第一次按照原價(jià)，從第二次起每次打八折．請問游泳的同學(xué)選擇哪種方案更合算？【拓展提升】（4）已知x、y、z滿足，，比較代數(shù)式與的大?。敬鸢浮浚?）；（2）（3）當(dāng)時(shí)，A方案合算；當(dāng)時(shí)，此時(shí)兩個(gè)方案的總價(jià)相同；當(dāng)時(shí)，B方案合算；（4）【詳解】解：（1）根據(jù)材料得，∴故填；（2）由圖知：∴∵m是正整數(shù)∴∴∴（3）設(shè)原價(jià)為a（），去的次數(shù)為x（x為正整數(shù)），總價(jià)分別為根據(jù)題意可知：，∵，x為正整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)A方案合算；當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)兩個(gè)方案的總價(jià)相同；當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí)B方案合算；（4）由、得、，聯(lián)立方程組并解得∴==∴21．先閱讀理解下面例題，再按要求解答下列問題：例：解不等式．解：∵，∴原不等式可化為．由有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，異號(hào)得負(fù)，得：①

，或②．解不等式組①得，解不等式組②無解，∴原不等式的解集為．請你模仿例題的解法，解決下列問題：(1)不等式解集為；(2)不等式解集為；(3)拓展延伸：解不等式．【答案】(1)或；(2)；(3)．【詳解】（1）∵，∴原不等式可化為，由有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，得①②，解不等式組①得，解不等式組②得：∴原不等式的解集為或；（2）解：∵，∴原不等式可化為，由有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，異號(hào)得負(fù)，得①②解不等式組①無解，解不等式組②，得，∴原不等式的解集為；（3）由有理數(shù)除法法則：兩數(shù)相除，異號(hào)得負(fù)，且分?jǐn)?shù)的分母不為0，得①②解不等式組①無解，解不等式組②，得，∴原不等式的解集為．22．【閱讀材料】“數(shù)形結(jié)合”是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法．比如：在學(xué)習(xí)“整式的乘法”時(shí)，我們通過構(gòu)造幾何圖形，用“等積法”直觀地推導(dǎo)出了完全平方和公式：（如圖1）．利用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，可以從代數(shù)角度解決圖形問題，也可以用圖形關(guān)系解決代數(shù)問題．【方法應(yīng)用】根據(jù)以上材料提供的方法，完成下列問題：(1)由圖2可得等式：__________；由圖3可得等式：__________；(2)利用圖3得到的結(jié)論，解決問題：若，，則__________；(3)如圖4，若用其中張邊長為的正方形，張邊長為的正方形，張邊長分別為、的長方形紙片拼出一個(gè)面積為長方形（無空隙、無重疊地拼接），則______；(4)如圖4，若有3張邊長為的正方形紙片，4張邊長分別為的長方形紙片，5張邊長為的正方形紙片．從中取出若干張紙片，每種紙片至少取一張．把取出的這些紙片拼成一個(gè)正方形（無空隙、無重疊地拼接），則拼成的正方形的邊長最長可以為______．【方法拓展】(5)已知正數(shù)，，和，，，滿足．試通過構(gòu)造邊長為的正方形，利用圖形面積來說明．【答案】(1)（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；(2)150；(3)8；(4)a+2b；(5)見解析【詳解】（1）解：由圖2知，大長方形的面積=（2a+b）（a+b），大長方形的面積=3個(gè)小正方形的面積+3個(gè)小長方形的面積=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab，∴（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；由圖3知，大正方形的面積=（a+b+c）2，大正方形的面積=3個(gè)正方形的面積+2個(gè)小長方形的面積+2個(gè)小長方形的面積+2個(gè)小長方形的面積=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；故答案為：（2a+b）（a+b）=2a2+b2+3ab；=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）由圖3得（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴a2+b2+c2=（a+b+c）2-（2ab+2ac+2bc）=（a+b+c）2-2（ab+ac+bc），當(dāng)，時(shí)，a2+b2+c2=152-2×35=150；故答案為：150（3）解：∵（2a+b）（a+2b）=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，2，∴長方形可以看成2張邊長為a的正方形，2張邊長為b的正方形，5張邊長分別為a、b的長方形紙片拼成的大長方形，∴x=1，y=2，z=5，∴x+y+z=8；故答案為：8（4）解：3張邊長為a的正方形紙片的面積為3a2，4張邊長分別為ab的長方形紙片的面積為4ab，5張邊長為b的正方形紙片的面積為5b2，∵想從中取出若干張紙片拼成一個(gè)正方形（無空隙、無重疊地拼接），∴選取的紙片的面積和必須構(gòu)成完全平方式，∴可以選取1張邊長為a的正方形紙片、2張邊長分別為ab的長方形紙片、1張邊長為b的正方形紙片，此時(shí)圍成的正方形面積為a2+2ab+b2=（a+b）2，∴此時(shí)正方形的邊長=a+b；選取1張邊長為a的正方形紙片、4張邊長分別為ab的長方形紙片、4張邊長為b的正方形紙片，此時(shí)圍成的正方形面積為a2+4ab+4b2=（a+2b）2，∴此時(shí)正方形的邊長=a+2b，∵a+b＜a+2b，∴拼成的正方形的邊長最長為a+2b；故答案為：a+2b；（5）解：如圖，如圖，構(gòu)造了一個(gè)邊長為k的正方形，AC=CE=EG=AG=k，在正方形的4個(gè)邊上分別截取AB=a，CD=b，EF=HG=c，∵a+m=b+n=c+l=k，∴BC=m，DE=n，F(xiàn)G=l，AH=l，∴3個(gè)長方形的面積和為al+bm+cn，大正方形的面積為k2，∴．23．（1）【問題情境】如圖：在中，，點(diǎn)為邊上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．求證：．（2）【變化一下】①當(dāng)點(diǎn)在延長線上時(shí)，請畫圖探究，，三者之間的數(shù)量關(guān)系并給出證明；②如圖，滿足，點(diǎn)為內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，，，垂足分別為點(diǎn)，，，請直接寫出，，和之間的關(guān)系．（3）【深入探究】如圖，在中，點(diǎn)為內(nèi)任意一點(diǎn)，過點(diǎn)分別作，，，垂足分別為點(diǎn)，，，過點(diǎn)，，分別作，，，垂足分別為點(diǎn)，，，記，，分別為，，，請直接寫出，，和，，之間的關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2）①，理由見解析；②；（3）【詳解】證明：（1）如下圖中，連接．，，，．（2）①，理由如下：連接，如下圖：，，，．②，理由如下：連接，，，如下圖∵∴由題意可得：∴（3），連接，，，如下圖：由題意可得：∴，∵∴則則，即24．【問題提出】如圖1，在等邊三角形內(nèi)部有一點(diǎn)P，，，，求的度數(shù)．(1)【嘗試解決】將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則為等邊三角形．∵，，，∴∴為三角形∴的度數(shù)為．(2)【類比探究】如圖2，在等邊三角形ABC外部有一點(diǎn)P，若∠BPA＝30°，求證．(3)【聯(lián)想拓展】如圖3，在中，，．點(diǎn)P在直線上方且，，求的長．【答案】(1)直角；；(2)見詳解；(3)【詳解】（1）解：如圖1，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，則為等邊三角形．∵，，，∴，∴為直角三角形．∴的度數(shù)為．故答案為：直角；．（2）證明：如圖2中，將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．∵，，∴是等邊三角形，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，∴，，∴，∴，∵，，∴．（3）解：過點(diǎn)C作于T，連接，設(shè)交于O．∵，，∴，∵，，∴，，∵，∴∵，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得或（負(fù)值舍棄），∴，∴．25．（1）方法感悟：如圖①，在正方形中，點(diǎn)E、F分別為邊上的點(diǎn)，且滿足，連接．將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，易證，從而得到結(jié)論：，根據(jù)這個(gè)結(jié)論，若正方形的邊長為1，則的周長為______（2）方法遷移：如圖②，若在四邊形中，，，E、F分別是上的點(diǎn)，且，試猜想之間有何數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，B、F分別是邊延長線上的點(diǎn)，且，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出你的猜想（不必說明理由）【答案】（1）2，（2），證明見解析，（3）【詳解】解：（1）∵，∴，∴的周長．（2）證明如下：如圖，延長到G，使，連接，，在和中，∵，在和中，，，（3）結(jié)論：，證明：如圖所示，在上截取，使，連接．∵在和中，，．，，，，．26．綜合與實(shí)踐【背景介紹】勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．如圖1是著名的趙爽弦圖，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，用它可以證明勾股定理，思路是大正方形的面積有兩種求法，一種是等于，另一種是等于四個(gè)直角三角形與一個(gè)小正方形的面積之和，即，從而得到等式，化簡便得結(jié)論．這里用兩種求法來表示同一個(gè)量從而得到等式或方程的方法，我們稱之為“雙求法”．【方法運(yùn)用】千百年來，人們對勾股定理的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在2010年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法：把兩個(gè)全等的直角三角形和如圖2放置，其三邊長分別為，，，，顯然．(1)請用，，分別表示出四邊形，梯形，的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，證明勾股定理．(2)【方法遷移】請利用“雙求法”解決下面的問題：如圖3，小正方形邊長為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得，則邊上的高為___