山東專用2024新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)板塊1命題區(qū)間精講精講9空間幾何體的表面積與體積學(xué)案含解析

PAGE1-空間幾何體的表面積與體積命題點1空間幾何體的直觀圖和截面圖1．斜二測畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角變更，,與y軸平行的線段的長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形變更))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不變更，,與x，z軸平行的線段的長度不變更，,相對位置不變更))2．常見三類空間幾何體的截面圖軸截面、橫截面與斜截面：利用截面圖可將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決，確定截面的形態(tài)是解決此類問題的關(guān)鍵．[高考題型全通關(guān)]1．[教材改編]水平放置的△ABC的直觀圖如圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一個()A．等邊三角形B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形A[AO＝2A′O′＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，BC＝B′O′＋C′O′＝1＋1＝2，在Rt△AOB中，AB＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，同理AC＝2，所以△ABC是等邊三角形．]2．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為()A．eq\r(2)B．eq\f(9,8)C．eq\r(3)D．eq\f(\r(6),2)B[取C1D1，B1C1的中點分別為P，Q，連接PQ，PD，NP，QB，B1D1.易知MN∥B1D1∥BD，AD∥NP，AD＝NP，所以四邊形ANPD為平行四邊形，則AN∥DP.又BD和DP為平面BDPQ的兩條相交直線，所以平面BDPQ∥平面AMN，即平面α為平面BDPQ.由PQ∥DB，PQ＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)，得四邊形BDPQ為梯形，其高h＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))eq\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),4).所以平面α截該正方體所得截面的面積為eq\f(1,2)(PQ＋BD)·h＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋\f(\r(2),2)))×eq\f(3\r(2),4)＝eq\f(9,8).故選B．]3．已知表面積為12π的圓柱的上下底面的中心分別為O1，O2.若過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是正方形，則O1O2＝()A．2eq\r(3)B．2eq\r(2)C．eq\r(3)D．eq\r(2)B[因為圓柱的軸截面是正方形，設(shè)底面半徑為r，則母線長為2r，所以圓柱的表面積為2πr2＋2πr·2r＝12π，解得r＝eq\r(2)，所以O(shè)1O2＝2r＝2eq\r(2)，故選B．]4．[多選]如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點．則()A．直線D1D與直線AF垂直B．直線A1G與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為eq\f(9,8)D．點C與點G到平面AEF的距離相等BC[假設(shè)D1D⊥AF，因為DD1⊥AE，所以D1D⊥平面AEF，又D1D⊥平面ABCD，所以平面AEF∥平面ABCD，明顯不正確，故選項A不正確；連接AD1，D1F(圖略)，因為EF∥AD1，所以平面AEF即平面AEFD1，因為A1G∥D1F，所以A1G∥平面AEFD1，所以選項B正確；平面AEF截正方體的截面為梯形AEFD1，EF＝eq\f(\r(2),2)，AD1＝eq\r(2)，梯形的高為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))eq\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),4)，所以其面積為eq\f(\r(2)＋\f(\r(2),2),2)×eq\f(3\r(2),4)＝eq\f(9,8)，故選項C正確；連接CG交EF于點H(圖略)，明顯H不是EF的中點，所以C，G到平面AEF的距離不相等，選項D不正確．]5．(2024·四川五校聯(lián)考)在棱長為6的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點，過A，E，F(xiàn)三點作該正方體的截面，則截面的周長為________．6eq\r(13)＋3eq\r(2)[如圖，延長EF和A1B1相交于M，連接AM交BB1于H，延長FE和A1D1相交于N，連接AN交DD1于G，連接FH，EG，可得截面五邊形AHFEG.因為ABCD-A1B1C1D1是棱長為6的正方體，且E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點，所以EF＝3eq\r(2)，AG＝AH＝2eq\r(13)，EG＝FH＝eq\r(13)，截面的周長為AH＋HF＋EF＋EG＋AG＝6eq\r(13)＋3eq\r(2).]6．已知球O是正三棱錐A-BCD的外接球，BC＝3，AB＝2eq\r(3)，點E在線段BD上，且BD＝3BE，過點E作球O的截面，則所得截面中面積最小的截面圓的面積是________．2π[如圖，設(shè)△BCD的中心為點O1，球O的半徑為R，則A，O，O1三點共線．連接O1D，O1E，OD，OE，則O1D＝eq\r(3)，AO1＝eq\r(AD2－O1D2)＝3.在Rt△OO1D中，R2＝3＋(3－R)2，即R＝2，所以O(shè)O1＝1.在△O1DE中，DE＝eq\f(2,3)BD＝2，∠O1DE＝30°，所以由余弦定理得O1E＝eq\r(3＋4－2×\r(3)×2×cos30°)＝1.所以O(shè)E＝eq\r(2).過點E作圓O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面的面積最小，此時截面圓的半徑為eq\r(22－\r(2)2)＝eq\r(2)，所以截面圓的面積為2π.]命題點2空間幾何體的表面積、體積1．求幾何體的表面積的方法(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要動身點．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得所給幾何體的表面積．2．求空間幾何體體積的常用方法公式法干脆依據(jù)常見柱、錐、臺等規(guī)則幾何體的體積公式計算等積法依據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更簡單，或是求出一些體積比等割補法把不能干脆計算體積的空間幾何體進行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a形，轉(zhuǎn)化為可計算體積的幾何體[高考題型全通關(guān)]1．已知圓錐的高為3，底面半徑長為4.若一球的表面積與此圓錐的側(cè)面積相等，則該球的半徑長為()A．5B．eq\r(5)C．9D．3B[∵圓錐的底面半徑R＝4，高h＝3，∴圓錐的母線l＝5，∴圓錐的側(cè)面積S＝πRl＝20π.設(shè)球的半徑為r，則4πr2＝20π，∴r＝eq\r(5).故選B．]2．我國古代《九章算術(shù)》里，記載了一個“商功”的例子：今有芻童，下廣二丈，袤三丈，上廣三丈，袤四丈，高三丈．問積幾何？其意思是：今有上下底面皆為長方形的草垛(如圖所示)，下底寬2丈，長3丈，上底寬3丈，長4丈，高3丈．問它的體積是多少？該書供應(yīng)的算法是：上底長的2倍與下底長的和與上底寬相乘，同樣下底長的2倍與上底長的和與下底寬相乘，將兩次運算結(jié)果相加，再乘以高，最終除以6.則這個問題中的芻童的體積為()A．13.25立方丈 B．26.5立方丈C．53立方丈 D．106立方丈B[由題意知，芻童的體積為[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)，故選B．]3．如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，點E是棱BB1的中點，點F是棱CC1上靠近C1的三等分點，且三棱錐A1-AEF的體積為2，則四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為()A．12B．8C．20D．18A[設(shè)點F到平面ABB1A1的距離為h，由題意得Veq\s\do6(A1-AEF)＝Veq\s\do6(F-A1AE).又Veq\s\do6(F-A1AE)＝eq\f(1,3)Seq\s\do6(△A1AE)·h＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AA1·AB))·h＝eq\f(1,6)(AA1·AB)·h＝eq\f(1,6)S四邊形ABB1A1·h＝eq\f(1,6)Veq\s\do6(ABCD-A1B1C1D1)，所以Veq\s\do6(ABCD-A1B1C1D1)＝6Veq\s\do6(A1-AEF)＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為12.故選A．]4．已知等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，斜邊AB＝2，點D是斜邊AB上一點(不同于點A，B)．沿線段CD折起形成一個三棱錐A-CDB，則三棱錐A-CDB體積的最大值是()A．1B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,6)D[設(shè)AD＝x，將△ACD折起使得平面ACD⊥平面BCD．在△ACD中，由面積公式得eq\f(1,2)CD·h1＝eq\f(1,2)AD·1(h1為點A到CD的距離)，則h1＝eq\f(x,\r(1＋x－12)).由題易知h1為點A到平面BCD的距離，故三棱錐A-CDB體積為V＝eq\f(1,3)S△BCD·h1＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BD·1))·h1＝eq\f(1,6)·eq\f(2x－x2,\r(x2－2x＋2))，x∈(0，2)．令t＝eq\r(x2－2x＋2)，則t∈[1，eq\r(2))，故V＝eq\f(1,6)·eq\f(2－t2,t)＝eq\f(1,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,t)－t)).由于eq\f(2,t)－t是減函數(shù)，故當(dāng)t＝1時，V取得最大值為eq\f(1,6)×(2－1)＝eq\f(1,6).故選D．]5．2024年山東省某鎮(zhèn)重點打造運動休閑小鎮(zhèn)品牌，修建了運動休閑廣場，廣場內(nèi)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳可看成是由一個正方體截去8個相同的四面體得到的，如圖．若被截正方體的棱長是50cm，則石凳的表面積為()A．2500(3＋eq\r(3))cm2 B．17500cm2C．7500eq\r(3)cm2 D．5000(3＋eq\r(3))cm2A[由題意知石凳的表面由6個正方形和8個正三角形構(gòu)成，每個正方形的面積為(25eq\r(2))2cm2，每個正三角形的面積為eq\f(\r(3),4)×(25eq\r(2))2cm2，所以石凳的表面積為6×(25eq\r(2))2＋8×eq\f(\r(3),4)×(25eq\r(2))2＝2500(3＋eq\r(3))cm2.]6．(2024·江蘇高考)如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3.12eq\r(3)－eq\f(π,2)[正六棱柱的體積為6×eq\f(\r(3),4)×22×2＝12eq\r(3)(cm3)，圓柱的體積為π×0.52×2＝eq\f(π,2)(cm3)，則該六角螺帽毛坯的體積為(12eq\r(3)－eq\f(π,2))cm3.]7．(2024·浙江高考)已知圓錐的側(cè)面積(單位：cm2)