山東專用2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章解析幾何第七講拋物線學(xué)案含解析

PAGE13-第七講拋物線ZHISHISHULISHUANGJIZICE學(xué)問(wèn)梳理·雙基自測(cè)eq\x(知)eq\x(識(shí))eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一拋物線的定義拋物線須要滿意以下三個(gè)條件：(1)在平面內(nèi)；(2)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離__相等__；(3)定點(diǎn)F與定直線l的關(guān)系為_(kāi)_點(diǎn)F?l__．學(xué)問(wèn)點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)F(eq\f(p,2)，0)F(－eq\f(p,2)，0)F(0，eq\f(p,2))F(0，－eq\f(p,2))離心率e＝__1__準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結(jié))eq\x(論)拋物線焦點(diǎn)弦的處理規(guī)律直線AB過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，如圖．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)．(2)|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2eq\r(x1x2)＝p，即當(dāng)x1＝x2時(shí)，弦長(zhǎng)最短為2p．(3)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(2,p)．(4)弦長(zhǎng)AB＝eq\f(2p,sin2α)(α為AB的傾斜角)．(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．(6)焦點(diǎn)F對(duì)A，B在準(zhǔn)線上射影的張角為90°．(7)A、O、D三點(diǎn)共線；B、O、C三點(diǎn)共線．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測(cè))題組一走出誤區(qū)1．(多選題)下列結(jié)論正確的是(CD)A．平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡肯定是拋物線B．方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(eq\f(a,4)，0)，準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(a,4)C．AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)F(eq\f(p,2)，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋pD．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)與拋物線對(duì)稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線x2＝－2ay(a>0)的通徑長(zhǎng)為2a題組二走進(jìn)教材2．(必修2P69例4)(2024·甘肅張掖診斷)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，假如x1＋x2＝6，則|PQ|等于(B)A．9 B．8C．7 D．6[解析]拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.依據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．3．拋物線y＝4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是(B)A．eq\f(17,16) B．eq\f(15,16)C．eq\f(7,8) D．0[解析]y＝4x2?x2＝eq\f(1,4)y?拋物線準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(1,16).設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則由拋物線定義可知y0＋eq\f(1,16)＝1，∴y0＝eq\f(15,16).故選B．題組三考題再現(xiàn)4．(2024·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝(D)A．2 B．3C．4 D．8[解析]∵拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(p,2)，0)，∴橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(eq\f(p,2)，0)，∴3p－p＝eq\f(p2,4)，∴p＝8.故選D．5．(2024·廣東廣州天河綜合測(cè)試)已知拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)為F，直線y＝eq\r(3)(x－2)與C交于A，B(A在x軸上方)兩點(diǎn)，若eq\o(AF,\s\up6(→))＝meq\o(FB,\s\up6(→))，則實(shí)數(shù)m的值為(B)A．eq\r(3) B．3C．2 D．eq\f(3,2)[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝\r(3)x－2))得3x2－20x＋12＝0，∴xA＝6，xB＝eq\f(2,3)，又eq\o(AF,\s\up6(→))＝meq\o(FB,\s\up6(→))且F(2,0)，∴2－6＝m(eq\f(2,3)－2)，∴m＝3，故選B．KAODIANTUPOHUDONGTANJIU考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一拋物線的定義及應(yīng)用——多維探究角度1到焦點(diǎn)與到定點(diǎn)距離之和最小問(wèn)題例1(2024·江西贛州模擬)若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)是拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí)，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為(D)A．(0,0) B．(eq\f(1,2)，1)C．(1，eq\r(2)) D．(2,2)[解析]如圖，過(guò)M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足是N，則|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，所以當(dāng)A，M，N三點(diǎn)共線時(shí)，|MF|＋|MA|取得最小值，此時(shí)M(2,2)．角度2到準(zhǔn)線與到定點(diǎn)距離之和最小問(wèn)題例2已知圓C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線為l，設(shè)拋物線上隨意一點(diǎn)P到直線l的距離為d，則d＋|PC|的最小值為(A)A．eq\r(41) B．7C．6 D．9[解析]由題意得圓的方程為(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圓心C的坐標(biāo)為(－3，－4)．由拋物線定義知，當(dāng)d＋|PC|最小時(shí)為圓心與拋物線焦點(diǎn)間的距離，即d＋|PC|＝eq\r(－3－22＋－42)＝eq\r(41)．角度3到兩定直線的距離之和最小問(wèn)題例3(2024·湖南省三湘名校聯(lián)考)已知直線l1：x＝－1，l2：x－y＋1＝0，點(diǎn)P為拋物線y2＝4x上的任一點(diǎn)，則P到直線l1，l2的距離之和的最小值為(B)A．2 B．eq\r(2)C．1 D．eq\f(\r(2),2)[解析]拋物線y2＝4x，其焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1，0)，準(zhǔn)線為x＝－1也就是直線l1，故P到直線l1的距離就是P到F的距離，如圖所示，P到l1，l2的距離之和的最小值等于焦點(diǎn)F到直線l2的距離．設(shè)P到直線l2的距離為d，則d＋|PF|≥eq\f(|1－0＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)P，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，故選B．名師點(diǎn)撥?求解與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的兩大轉(zhuǎn)換方法(1)將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，構(gòu)造出“兩點(diǎn)之間線段最短”，使問(wèn)題得解．(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上全部點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(角度1)(2024·吉林省吉林市調(diào)研)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F，點(diǎn)A(4,3)，P為拋物線上一點(diǎn)，且P不在直線AF上，則△PAF周長(zhǎng)取最小值時(shí)，線段PF的長(zhǎng)為(B)A．1 B．eq\f(13,4)C．5 D．eq\f(21,4)(2)(角度3)(2024·上海虹口區(qū)二模)已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和l2的距離之和的最小值為(D)A．eq\f(37,16) B．eq\f(11,5)C．2 D．eq\f(7,4)[解析](1)求△PAF周長(zhǎng)的最小值，即求|PA|＋|PF|的最小值，設(shè)點(diǎn)P在準(zhǔn)線上的射影為D，依據(jù)拋物線的定義，可知|PF|＝|PD|，因此，|PA|＋|PF|的最小值，即|PA|＋|PD|的最小值．依據(jù)平面幾何學(xué)問(wèn)，可得當(dāng)D，P，A三點(diǎn)共線時(shí)|PA|＋|PD|最小，此時(shí)P(eq\f(9,4)，3)，且|PF|＝eq\f(9,4)＋1＝eq\f(13,4)，故選B．(2)直線l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，則點(diǎn)P到直線l2：x＝－1的距離等于PF，過(guò)點(diǎn)F作直線l1：4x－3y＋6＝0的垂線，和拋物線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，所以點(diǎn)P到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離和到直線l2：x＝－1的距離之和的最小值就是點(diǎn)F(1,0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值為eq\f(|4－0＋6|,\r(32＋42))＝2，故選C．考點(diǎn)二拋物線的方程及幾何性質(zhì)——自主練透例4(1)(2024·安徽蚌埠一中期中)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，其上的點(diǎn)P(m，－3)到焦點(diǎn)的距離為5，則拋物線方程為(D)A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝－4y D．x2＝－8y(2)(2024·江西省九校聯(lián)考)拋物線y＝ax2的焦點(diǎn)是直線x＋y－1＝0與坐標(biāo)軸交點(diǎn)，則拋物線的準(zhǔn)線方程為(D)A．x＝－eq\f(1,4) B．x＝－1C．y＝－eq\f(1,4) D．y＝－1(3)(2024·山東菏澤期末)已知等邊△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線Γ：y2＝2px(p>0)上，且△AOB的面積為9eq\r(3)，則p＝(C)A．eq\r(3) B．3C．eq\f(\r(3),2) D．2eq\r(3)(4)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F與雙曲線eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，直線y＝x－4與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|等于(B)A．28 B．32C．20 D．40(5)如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點(diǎn)A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則拋物線的方程為(B)A．y2＝eq\f(3,2)x B．y2＝3xC．y2＝eq\f(9,2)x D．y2＝9x[解析](1)由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，故設(shè)其方程為x2＝－2py(p>0)，所以3＋eq\f(p,2)＝5，即p＝4，所以所求拋物線方程為x2＝－8y，故選D．(2)拋物線焦點(diǎn)在y軸上，即直線x＋y－1＝0與y軸的交點(diǎn)F(0,1)，∴eq\f(p,2)＝1，∴拋物線方程為x2＝4y，準(zhǔn)線方程為y＝－1，故選D．(3)依據(jù)拋物線和等邊三角形的對(duì)稱性，可知A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，不妨設(shè)直線OB：y＝eq\f(\r(3),3)x，與y2＝2px聯(lián)立，解得B(6p，2eq\r(3)p)，故|AB|＝4eq\r(3)p.因?yàn)椤鰽OB的面積為9eq\r(3)，所以eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3)p)2＝9eq\r(3)，解得p＝eq\f(\r(3),2).故選C．(4)雙曲線eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±4,0)，故拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(4,0)．因此p＝8，故拋物線方程為y2＝16x，易知直線y＝x－4過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,y＝x－4，))可得x2－24x＋16＝0，故x1＋x2＝24．故|AB|＝x1＋x2＋p＝24＋8＝32．(5)如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°．在直角三角形ACE中，∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，∴3＋3a＝6，從而得a＝1．∵BD∥FG，∴eq\f(|BD|,|FG|)＝eq\f(|BC|,|FC|)，即eq\f(1,p)＝eq\f(2,3)，求得p＝eq\f(3,2)，因此拋物線的方程為y2＝3x．名師點(diǎn)撥?1．求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程常用待定系數(shù)法，因?yàn)槲粗獢?shù)只有p，所以只需一個(gè)條件確定p值即可．(2)因?yàn)閽佄锞€方程有四種標(biāo)準(zhǔn)形式，因此求拋物線方程時(shí)，需先定位，再定量．2．確定及應(yīng)用拋物線性質(zhì)的技巧(1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等性質(zhì)時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程．(拋物線焦點(diǎn)在其標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上)(2)要結(jié)合圖形分析，敏捷運(yùn)用平面幾何的性質(zhì)以圖助解．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(2024·福建漳州質(zhì)檢)已知拋物線y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離比點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離大eq\f(1,2)，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(B)A．y2＝x B．y2＝2xC．y2＝4x D．y2＝8x(2)(2024·吉林市五地六校適應(yīng)性考試)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的準(zhǔn)線l與圓M：(x－1)2＋(y－2)2＝16相切，則p＝(D)A．6 B．8C．3 D．4[解析](1)由拋物線的定義可知eq\f(p,2)＝eq\f(1,2)，∴p＝1，∴拋物線方程為y2＝2x，故選B．(2)因?yàn)閽佄锞€C：x2＝2py的準(zhǔn)線為y＝－eq\f(p,2)，又準(zhǔn)線l與圓M：(x－1)2＋(y－2)2＝16相切，所以eq\f(p,2)＋2＝4，則p＝4.故選D．考點(diǎn)三直線與拋物線的綜合問(wèn)題——師生共研例5(1)(2024·黑龍江省大慶市模擬)已知F是拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)R(2,1)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，R為線段AB的中點(diǎn)，若|FA|＋|FB|＝5，則直線l的斜率為(B)A．3 B．1C．2 D．eq\f(1,2)(2)(2024·陜西省漢中市模擬)已知拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝eq\r(2)|BF|，則|AB|等于(C)A．12 B．14C．16 D．28(3)(2024·金華模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)在第一象限內(nèi)的點(diǎn)P(2，t)到焦點(diǎn)F的距離為eq\f(5,2)．①若N(－eq\f(1,2)，0)，過(guò)點(diǎn)N，P的直線l1與拋物線相交于另一點(diǎn)Q，求eq\f(|QF|,|PF|)的值；②若直線l2與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，與圓M：(x－a)2＋y2＝1相交于D，E兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，試問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)a，使得|DE|為定值？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明由．[解析](1)由于R(2,1)為AB中點(diǎn)，依據(jù)拋物線的定義|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p＝2×2＋p＝5，解得p＝1，拋物線方程為y2＝2x.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝2x1，yeq\o\al(2,2)＝2x2，兩式相減并化簡(jiǎn)得eq\f(y2－y1,x2－x1)＝eq\f(2,y1＋y2)＝eq\f(2,2×1)＝1，即直線l的斜率為1，故選B．(2)拋物線y2＝8x，p＝4，分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，N，如下圖：則|BN|＝|BF|，∵|BC|＝eq\r(2)|BF|，∴|BC|＝eq\r(2)|BN|，∴∠NCB＝eq\f(π,4)，∴kAB＝1，∴直線AB的方程為y＝x－2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－2,y2＝8x))得x2－12x＋4＝0，∴xA＋xB＝12，∴|AB|＝xA＋xB＋p＝16.故選C．(3)①∵點(diǎn)P(2，t)到焦點(diǎn)F的距離為eq\f(5,2)，∴2＋eq\f(p,2)＝eq\f(5,2)，解得p＝1，故拋物線C的方程為y2＝2x，P(2,2)，∴l(xiāng)1的方程為y＝eq\f(4,5)x＋eq\f(2,5)，聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(4,5)x＋\f(2,5)，,y2＝2x，))可解得xQ＝eq\f(1,8)，又|QF|＝xQ＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,8)，|PF|＝eq\f(5,2)，∴eq\f(|QF|,|PF|)＝eq\f(\f(5,8),\f(5,2))＝eq\f(1,4)．②設(shè)直線l2的方程為x＝ny＋m(m≠0)，代入拋物線方程可得y2－2ny－2m＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2n，y1y2＝－2m，①由OA⊥OB得，(ny1＋m)(ny2＋m)＋y1y2＝0，整理得(n2＋1)y1y2＋nm(y1＋y2)＋m2＝0，②將①代入②解得m＝2或m＝0(舍去)，滿意Δ＝4n2＋8m>0，∴直線l2：x＝ny＋2，∵圓心M(a,0)到直線l2的距離d＝eq\f(|a－2|,\r(1＋n2))，∴|DE|＝2eq\r(12－\f(a－22,1＋n2))，明顯當(dāng)a＝2時(shí)，|DE|＝2，∴存在實(shí)數(shù)a＝2，使得|DE|為定值．名師點(diǎn)撥?(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要將兩方程聯(lián)立，消元，用到根與系數(shù)的關(guān)系．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要留意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)(設(shè)焦點(diǎn)在x軸的正半軸上)，可干脆運(yùn)用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必需用一般弦長(zhǎng)公式．(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采納“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．提示：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解．〔變式訓(xùn)練3〕(1)(2024·甘肅診斷)直線l過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，且交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于C點(diǎn)，已知|AF|＝4，eq\o(CB,\s\up6(→))＝3eq\o(BF,\s\up6(→))，則p＝(C)A．2 B．eq\f(4,3)C．eq\f(8,3) D．4(2)(2024·合肥模擬)已知拋物線C1：y2＝4x和C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P(－1，－1)，且F1F2⊥OP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))．①求拋物線C2的方程；②過(guò)點(diǎn)O的直線交C1的下半部分于點(diǎn)M，交C2的左半部分于點(diǎn)N，求△PMN面積的最小值．[解析](1)過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于E，D兩點(diǎn)，設(shè)|BF|＝a，依據(jù)拋物線的性質(zhì)可知，|BD|＝a，|AE|＝4，依據(jù)平行線段比例可知eq\f(|BD|,|AE|)＝eq\f(|CB|,|AC|)，即eq\f(a,4)＝eq\f(3a,3a＋a＋4)，解得a＝2，又eq\f(|BD|,|GF|)＝eq\f(|BC|,|CF|)，即eq\f(a,p)＝eq\f(3a,4a)，解得p＝eq\f(4,3)a＝eq\f(8,3)，故選C．(2)①F1(1,0)，F(xiàn)2(0，eq\f(p,2))，∴eq\o(F1F2,\s\up6(→))＝(－1，eq\f(p,2))．eq\o(F1F2,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝(－1，eq\f(p,2))·(－1，－1)＝1－eq\f(p,2)＝0，∴p＝2，∴C2的方程為x2＝4y．②設(shè)過(guò)點(diǎn)O的直線為y＝kx(k<0)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,y2＝4x，))得M(eq\f(4,k2)，eq\f(4,k))，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,x2＝4y))得N(4k,4k2)(k<0)，從而|MN|＝eq\r(1＋k2)|eq\f(4,k2)－4k|＝eq\r(1＋k2)(eq\f(4,k2)－4k)，點(diǎn)P到直線MN的距離d＝eq\f(|k－1|,\r(1＋k2))，進(jìn)而S△PMN＝eq\f(1,2)·eq\f(|k－1|,\r(1＋k2))·eq\r(1＋k2)(eq\f(4,k2)－4k)＝eq\f(21－k1－k3,k2)＝eq\f(21－k21＋k＋k2,k2)＝2(k＋eq\f(1,k)－2)(k＋eq\f(1,k)＋1)．令t＝k＋eq\f(1,k)(t≤－2)，有S△PMN＝2(t－2)(t＋1)，當(dāng)t＝－2時(shí)，S△PMN有最小值8，此時(shí)k＝－1．即當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線為y＝－x時(shí)，△PMN的面積取得最小值8．MINGSHIJIANGTANSUYANGTISHENG名師講壇·素養(yǎng)提升巧解拋物線的切線問(wèn)題例6拋物線C1：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：eq\f(x2,3)－y2＝1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)