2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之平面向量及其應(yīng)用（2024年7月）

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之平面向量及其應(yīng)用（2024年7月）一．選擇題（共10小題）1．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則EB→A．34AB→-14AC→ B．12．已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA→?（PBA．﹣2 B．-32 C．-433．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c=2，則CA．π12 B．π6 C．π4 4．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為a2+bA．π2 B．π3 C．π4 5．已知非零向量a→，b→滿足|a→|＝2|b→|，且（a→-bA．π6 B．π3 C．2π36．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知a=5，c＝2，cosA=23A．2 B．3 C．2 D．37．在△ABC中，cosC2=55，BC＝1，AC＝A．42 B．30 C．29 D．258．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=-14A．6 B．5 C．4 D．39．設(shè)非零向量a→，b→滿足|a→+b→A．a(chǎn)→⊥b→ B．|a→|＝|b→| C．a(chǎn)→∥b→ D．|10．已知向量a→=（1，m），b→=（3，﹣2），且（a→A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8二．填空題（共5小題）11．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，則△ABC的面積為．12．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC+ccosA，則B＝．13．已知向量a→，b→的夾角為60°，|a→|＝2，|b→|＝1，則|a→+2b14．已知向量a→=（1，2），b→=（2，﹣2），c→=（1，λ）．若c→∥（2a15．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA=45，cosC=513，a＝1，則b＝三．解答題（共5小題）16．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2B2（1）求cosB；（2）若a+c＝6，△ABC的面積為2，求b．17．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為a2（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．18．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=7，△ABC的面積為33219．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asinA+C2=（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．20．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．設(shè)（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．（1）求A；（2）若2a+b＝2c，求sinC．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之平面向量及其應(yīng)用（2024年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則EB→A．34AB→-14AC→ B．1【考點(diǎn)】平面向量的基本定理．【專題】方程思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【答案】A【分析】運(yùn)用向量的加減運(yùn)算和向量中點(diǎn)的表示，計(jì)算可得所求向量．【解答】解：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，EB→=AB→-=3故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的加減運(yùn)算和向量中點(diǎn)表示，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則PA→?（PBA．﹣2 B．-32 C．-43【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用．【答案】B【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則A（0，3），B（﹣1，0），C（1，0），設(shè)P（x，y），則PA→=（﹣x，3-y），PB→=（﹣1﹣x，﹣y），PC→=則PA→?（PB→+PC→）＝2x2﹣23y+2y2＝2[x2+（y∴當(dāng)x＝0，y=32時(shí)，取得最小值2×（-3方法2：取BC的中點(diǎn)M，AM的中點(diǎn)N，則，PA→?(PB→+PC→)=當(dāng)且僅當(dāng)P與N重合時(shí)，取得等號(hào)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法是解決本題的關(guān)鍵．3．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c=2，則CA．π12 B．π6 C．π4 【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；三角函數(shù)的求值；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計(jì)算即可【解答】解：sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC＝0，∴cosAsinC+sinAsinC＝0，∵sinC≠0，∴cosA＝﹣sinA，∴tanA＝﹣1，∵π2＜A＜∴A=3由正弦定理可得csinC∴sinC=csinA∵a＝2，c=2∴sinC=csinA∵a＞c，∴C=π故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理，屬于基礎(chǔ)題4．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為a2+bA．π2 B．π3 C．π4 【考點(diǎn)】余弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形．【答案】C【分析】推導(dǎo)出S△ABC=12absinC=a2+【解答】解：∵△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．△ABC的面積為a2∴S△ABC=1∴sinC=a2+∵0＜C＜π，∴C=π故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角的求法，考查余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．5．已知非零向量a→，b→滿足|a→|＝2|b→|，且（a→-bA．π6 B．π3 C．2π3【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；平面向量及應(yīng)用．【答案】B【分析】由（a→-b→）⊥b→【解答】解：∵（a→-b∴(=|∴cos=|∵＜a∴＜a故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積和向量的夾角，屬基礎(chǔ)題．6．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知a=5，c＝2，cosA=23A．2 B．3 C．2 D．3【考點(diǎn)】余弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形．【答案】D【分析】由余弦定理可得cosA=b2+c2-a22bc，利用已知整理可得3b2【解答】解：∵a=5，c＝2，cosA=∴由余弦定理可得：cosA=23=b2+c2-a22∴解得：b＝3或-1故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．7．在△ABC中，cosC2=55，BC＝1，AC＝A．42 B．30 C．29 D．25【考點(diǎn)】余弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形．【答案】A【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函數(shù)值，利用余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cosC2=55，cosCBC＝1，AC＝5，則AB=BC2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的解法以及計(jì)算能力．8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=-14A．6 B．5 C．4 D．3【考點(diǎn)】利用正弦定理解三角形．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；邏輯推理．【答案】A【分析】利用正弦定理和余弦定理列出方程組，能求出結(jié)果．【解答】解：∵△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=-∴由正弦定理得：a2解得3c2=1∴bc=故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．9．設(shè)非零向量a→，b→滿足|a→+b→A．a(chǎn)→⊥b→ B．|a→|＝|b→| C．a(chǎn)→∥b→ D．|【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；平面向量的概念與平面向量的模；平面向量的相等與共線．【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；平面向量及應(yīng)用．【答案】A【分析】由已知得(a→+b→)【解答】解：∵非零向量a→，b→滿足|a→+b→∴(aa→4a解得a→?∴a→故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩個(gè)向量的關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量的模的性質(zhì)的合理運(yùn)用．10．已知向量a→=（1，m），b→=（3，﹣2），且（a→A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用．【答案】D【分析】求出向量a→+b【解答】解：∵向量a→=（1，m），b→=（∴a→+b→=（4又∵（a→+b∴12﹣2（m﹣2）＝0，解得：m＝8，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是向量垂直的充要條件，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．二．填空題（共5小題）11．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，則△ABC的面積為233【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；三角函數(shù)的求值；解三角形．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】直接利用正弦定理求出A的值，進(jìn)一步利用余弦定理求出bc的值，最后求出三角形的面積．【解答】解：△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．bsinC+csinB＝4asinBsinC，利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB＝4sinAsinBsinC，由于0＜B＜π，0＜C＜π，所以sinBsinC≠0，所以sinA=1則A=由于b2+c2﹣a2＝8，則：cosA=①當(dāng)A=π6時(shí)，解得bc=8所以S△②當(dāng)A=5π6解得bc=-故：S△故答案為：23【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用及三角形面積公式的應(yīng)用．12．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC+ccosA，則B＝π3【考點(diǎn)】正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；三角函數(shù)的求值；解三角形．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)正弦定理和兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式計(jì)算即可【解答】解：∵2bcosB＝acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，∵sinB≠0，∴cosB=1∵0＜B＜π，∴B=π故答案為：π【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理和兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題13．已知向量a→，b→的夾角為60°，|a→|＝2，|b→|＝1，則|a→+2b→【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】數(shù)形結(jié)合；定義法；平面向量及應(yīng)用．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出模長(zhǎng)即可．【解答】解：【解法一】向量a→，b→的夾角為60°，且|a→|＝2，|b→∴(a→+2b→)＝22+4×2×1×cos60°+4×12＝12，∴|a→+2b→|＝【解法二】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示；結(jié)合圖形OC→=OA在△OAC中，由余弦定理得|OC→|=22即|a→+2b→|＝故答案為：23．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)利用數(shù)量積求出模長(zhǎng)，是基礎(chǔ)題．14．已知向量a→=（1，2），b→=（2，﹣2），c→=（1，λ）．若c→∥（2a【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；平面向量的相等與共線．【專題】計(jì)算題；方程思想；定義法；平面向量及應(yīng)用．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出2a→+b→=（【解答】解：∵向量a→=（1，2），b→=（∴2a→+b→∵c→=（1，λ），c→∥（∴14解得λ=1故答案為：12【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．15．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA=45，cosC=513，a＝1，則b＝【考點(diǎn)】解三角形．【專題】方程思想；分析法；三角函數(shù)的求值；解三角形．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】運(yùn)用同角的平方關(guān)系可得sinA，sinC，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，可得sinB，運(yùn)用正弦定理可得b=asinB【解答】解：由cosA=45，cosCsinA=1-sinC=1-sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC=3由正弦定理可得b==1×故答案為：2113【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理的運(yùn)用，同時(shí)考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，以及同角的平方關(guān)系的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．三．解答題（共5小題）16．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2B2（1）求cosB；（2）若a+c＝6，△ABC的面積為2，求b．【考點(diǎn)】正弦定理；二倍角的三角函數(shù)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；解三角形．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理可知A+C＝π﹣B，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)sin（A+C），利用降冪公式化簡(jiǎn)8sin2B2，結(jié)合sin2B+cos2B＝1，求出cosB（2）由（1）可知sinB=817，利用三角形的面積公式求出ac，再利用余弦定理即可求出【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2B2∴sinB＝4（1﹣cosB），∵sin2B+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，∴cosB=15（2）由（1）可知sinB=8∵S△ABC=12ac?sinB＝∴ac=17∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣2×＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，∴b＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的面積公式，二倍角公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題17．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為a2（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周長(zhǎng)．【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的求值；解三角形．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案，（2）根據(jù)兩角余弦公式可得cosA=12，即可求出A=π3，再根據(jù)正弦定理可得bc＝8，根據(jù)余弦定理即可求出【解答】解：（1）由三角形的面積公式可得S△ABC=12acsinB∴3csinBsinA＝2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA＝2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=2（2）∵6cosBcosC＝1，∴cosBcosC=1∴cosBcosC﹣sinBsinC=1∴cos（B+C）=-∴cosA=1∵0＜A＜π，∴A=π∵asinA=bsinB=c∴sinBsinC=b2R∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c=∴周長(zhǎng)a+b+c＝3+33【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積公式和兩角和的余弦公式和誘導(dǎo)公式和正弦定理余弦定理，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=7，△ABC的面積為332【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinC不為0求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周長(zhǎng)．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，整理得：2cosCsin（A+B）＝sinC，即2cosCsin（π﹣（A+B））＝sinC2cosCsinC＝sinC∴cosC=1∴C=π（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab?12∴（a+b）2﹣3ab＝7，∵S=12absinC=3∴ab＝6，∴（a+b）2﹣18＝7，∴a+b＝5，∴△ABC的周長(zhǎng)為5+7【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及三角函數(shù)的恒等變形，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．19．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知asinA+C2=（1）求B；（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，求△ABC面積的取值范圍．【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】方程思想；分析法；三角函數(shù)的求值；解三角形．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和二倍角公式，以及正弦定理，計(jì)算可得所求角；（2）運(yùn)用余弦定理可得b，由三角形ABC為銳角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，求得a的范圍，由三角形的面積公式，可得所求范圍．【解答】解：（1）asinA+C2=bsinA，即為asinπ-B2可得sinAcosB2=sinBsinA＝2sinB2cosB∵sinA＞0，∴cosB2=2sinB2若cosB2=0，可得B＝（2k+1）π，k∈∴sinB2由0＜B＜π，可得B=π（2）若△ABC為銳角三角形，且c＝1，由余弦定理可得b=a由三角形ABC為銳角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，且1+a2＞a2﹣a+1，解得12＜a＜可得△ABC面積S=12a?sinπ3=34a【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理、面積公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換，以及化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．設(shè)（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．（1）求A；（2）若2a+b＝2c，求sinC．【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；邏輯推理．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，再由余弦定理能求出A．（2）由已知及正弦定理可得：sin（C-π6）=2【解答】解：（1）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．∵（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．∴sin2B+sin2C﹣2sinBsinC＝sin2A﹣sinBsinC，∴由正弦定理得：b2+c2﹣a2＝bc，∴cosA=b∵0＜A＜π，∴A=π（2）∵2a+b＝2c，A=π∴由正弦定理得2sinA∴6解得sin（C-π6）∴C-π6=π∵0＜C＜2π3，∴∴sinC＝sin（π4+π6）＝sinπ4cosπ【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．二倍角的三角函數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二倍角的正弦其實(shí)屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實(shí)屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實(shí)屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α=2【解題方法點(diǎn)撥】例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是π．解：∵y＝sin2x+2sinxcosx=1-cos＝sin2x-12cos2=52sin（2x+φ）+12，（∴其周期T=2π故答案為：π．這個(gè)簡(jiǎn)單的例題的第二個(gè)式子就是一個(gè)二倍角的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)換過(guò)后又使用了和差化積的相關(guān)定理，這也可以看得出三角函數(shù)的題一般都涉及到幾個(gè)公式，而且公式之間具有一定的相似性，所以大家要熟記各種公式．【命題方向】本考點(diǎn)也是一個(gè)很重要的考點(diǎn)，在高考中考查的也比較多，這里面需要各位同學(xué)多加練習(xí)，熟記各種公式．2．三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：sinαcosα=tan2．誘導(dǎo)公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=23．平面向量的概念與平面向量的?！局R(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒(méi)有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．向量的幾何表示用有向線段表示向量，有向線段的長(zhǎng)度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，例如AB→、BC→，…字母表示，用小寫字母a→、b→，…表示．有向向量的長(zhǎng)度為模，表示為|AB→|、|向量的模AB→的大小，也就是AB→的長(zhǎng)度（或稱模），記作|AB零向量長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，記作0→，零向量的長(zhǎng)度為0單位向量長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量AB→（與AB→共線的單位向量是相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．4．平面向量的相等與共線【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】相等向量的定義：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規(guī)定：零向量與任一向量平行．注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．【解題方法點(diǎn)撥】平行向量與相等向量的關(guān)系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時(shí)，向量所在的直線重合或平行；（2）平行向量要求兩個(gè)向量均為非零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒(méi)有這個(gè)限制，零向量與零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動(dòng)到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命題方向】了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，有時(shí)候會(huì)與向量的坐標(biāo)運(yùn)算等其它知識(shí)結(jié)合考察．5．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b→（3）當(dāng)a→，b→方向相同時(shí)，a→?b→=|a→||b→|；當(dāng)a→特別地：a→?a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c→≠0，④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“|a→?b→|＝|a→|⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（a→?b⑥“acbc=ab”類比得到a→?解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“a→即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，即③錯(cuò)誤；∵|a→?b→|≠|(zhì)a→|∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“|a→?b→|＝|a→|即④錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（a→?b即⑤錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴acbc=ab即⑥錯(cuò)誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→=c→”；|a→?b→|≠|(zhì)a→|?【命題方向】本知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，題目相對(duì)來(lái)說(shuō)也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．6．平面向量的基本定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一a→，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說(shuō)明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．7．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示：設(shè)a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則b→∥a→（a→≠0→）?x18．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當(dāng)兩條向量a→與b→不平行時(shí)，那么它們就會(huì)有一個(gè)夾角θ，并且還有這樣的公式：cosθ【解題方法點(diǎn)撥】例：復(fù)數(shù)z=3+i與它的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角為60解：zz=3+i3∴復(fù)數(shù)z=3+i與它的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角為故答案為：60°．點(diǎn)評(píng)：這是個(gè)向量與復(fù)數(shù)相結(jié)合的題，本題其實(shí)可以換成是用向量（3，1）與向量（3，﹣1）的夾角．【命題方向】這是向量里面非常重要的一個(gè)公式，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，出題方式一般喜歡與其他的考點(diǎn)結(jié)合起來(lái)，比方說(shuō)復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等，希望大家認(rèn)真掌握．9．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】向量是有方向的，那么在一個(gè)空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當(dāng)兩條向量的方向互相垂直的時(shí)候，我們就說(shuō)這兩條向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→與b→垂直，有a→?b→=1×【解題方法點(diǎn)撥】例：與向量(-35A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：對(duì)于A：∵(-35，45)?（3，﹣4）對(duì)于B：∵(-35，45)?（﹣4，3對(duì)于C：∵(-35，45)?（4，3對(duì)于D：∵(-35，45)?（4，﹣3故選：C．點(diǎn)評(píng)：分別求出向量(-35，45)和A，B，C【命題方向】向量垂直是比較喜歡考的一個(gè)點(diǎn)，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個(gè)關(guān)系并靈活運(yùn)用．10．正弦定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問(wèn)題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時(shí)，a＜bsinA，無(wú)解．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，a≤b，無(wú)解．2、三角形常用面積公式1．S=12a?ha（ha表示邊2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問(wèn)題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測(cè)量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)（1）測(cè)距離問(wèn)題：測(cè)量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問(wèn)題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后再把未知的邊長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問(wèn)題．（2）測(cè)量高度問(wèn)題：解題思路：①測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問(wèn)題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間