安徽省合肥市普通高中六校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

合肥市普通高中六校聯(lián)盟20242025學(xué)年第一學(xué)期期中聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）命題學(xué)校：合肥七中命題教師：李歆輝審題教師：韓瑩一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合交集運(yùn)算求解.【詳解】由題可知，，所以.故選：C.2.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】判斷充分必要條件需要既要判斷充分性也要判斷必要性.【詳解】當(dāng)時(shí)，或，則不滿足充分性；當(dāng)時(shí)，成立，則滿足必要性，∴“”是“”的必要不充分條件故選：B3.下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的一組是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合同一函數(shù)的定義，結(jié)合定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)和的定義域都是，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，是同一個(gè)函數(shù)，故A符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)的定義域?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故B不符合題意；對(duì)于C中，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)?，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，故C不符合題意；對(duì)于D中，函數(shù)與的定義域不同，故D不符合題意.故選：A.4.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)以及中間量“1”即可比較大小.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，即，又因?yàn)?，則.故選：D.5.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合一次、二次函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】由是上的增函數(shù)，得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B6.已知且，且，若函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】函數(shù)為偶函數(shù)，有，代入函數(shù)解析式，化簡(jiǎn)得恒成立，則有．【詳解】由題意可知，，即，所以，因?yàn)?，所以恒成立，所以．故選：B.7.已知函數(shù)，設(shè)，若，則取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性情況，及分段函數(shù)在每段內(nèi)的最值情況可得與的取值范圍及與間關(guān)系，進(jìn)而可得，利用換元法可得取值范圍.【詳解】由，易知函數(shù)在和上分別單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，則，，即，，又，所以，所以，設(shè)，則，，所以，故選：C.8.設(shè)函數(shù)，若存在最小值，則的最大值為（

）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，由一次函數(shù)單調(diào)性可知無(wú)最小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可知，滿足題意；當(dāng)和時(shí)，根據(jù)函數(shù)存在最小值可確定分段處的函數(shù)值的大小關(guān)系，由此解得的范圍；綜合所有情況即可得到的最大值.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)最小值，不合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，存在最小值，滿足題意；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若存在最小值，則，解得：，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若存在最小值，則，不等式無(wú)解；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為，則的最大值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.圖中陰影部分用集合表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集以及圖象等知識(shí)來(lái)確定正確答案.【詳解】根據(jù)圖象可知，陰影部分表示的集合是，所以AB選項(xiàng)正確、C選項(xiàng)錯(cuò)誤.而，不符合題意，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB10.若，，且，則下列不等式中恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式分析的最值即可.【詳解】對(duì)AB，，，且，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，故A正確B錯(cuò)誤；對(duì)CD，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故.故C錯(cuò)誤D正確.故選：AD11.已知函數(shù)滿足：①對(duì)任意，；②若，則.則（）A.的值為2 B.C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】分析】對(duì)于A，令，結(jié)合“若，則”即可判斷；對(duì)于B，由基本不等式相關(guān)推理結(jié)合即可判斷；對(duì)于C，令得，，由此即可判斷；對(duì)于D，令，即可判斷.【詳解】對(duì)于A，令，得，解得或，若，令，得，即，但這與②若，則矛盾，所以只能，故A正確；對(duì)于B，令，結(jié)合得，，解得或，又，所以，所以只能，故B正確；對(duì)于C，若，令得，，所以，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，取，則且單調(diào)遞增，滿足，但，故D錯(cuò)誤故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是構(gòu)造，由此即可證偽.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“，”的否定是__________.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題求解即可.【詳解】命題“，”的否定是“，”.故答案為：，13.若函數(shù)是R上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解集是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性得到當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，從而得到不等式的解集.【詳解】因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，則，在上是增函數(shù)，則在0,+∞上也單調(diào)遞增，又，故，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，滿足，綜上，的解集為.故答案為：14.已知，是正實(shí)數(shù)，且關(guān)于，的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】先由得，由基本不等式進(jìn)而可得.【詳解】因，是正實(shí)數(shù)及，可知，可得，得，得，因，是正實(shí)數(shù)，故，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故，故，故，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合，，.（1）求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1），或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)并集和補(bǔ)集的概念計(jì)算；（2）根據(jù)，可以知道兩個(gè)集合數(shù)軸上表示，要有公共部分，比較端點(diǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗?，所以或【小?wèn)2詳解】因?yàn)椋?，即集合?shù)軸表示要有公共部分，所以，即的取值范圍是.16.如圖所示，有一塊矩形空地，要在這塊空地上開辟一個(gè)內(nèi)接四邊形綠地（圖中四邊形）．使其四個(gè)頂點(diǎn)分別落在矩形的四條邊上，已知米，米，且．（1）設(shè)米（），求出四邊形的面積關(guān)于的表達(dá)式；（2）為使綠地面積不小于空地面積的一半，求長(zhǎng)的最大值．【答案】（1）（2）100【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形與三角形的面積公式計(jì)算，即可;（2）解一元二次不等式即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)米，則，，，即；【小問(wèn)2詳解】若綠地面積不小于空地面積的一半，則，即解得，故AE的長(zhǎng)的最大值為100米.17.冪函數(shù)為偶函數(shù)，.（1）求的解析式；（2）若對(duì)于恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先根據(jù)冪函數(shù)定義得到或，再根據(jù)為偶函數(shù)判斷即可；（2）由題意得對(duì)于恒成立，再分類討論，結(jié)合基本不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)為偶函數(shù)，∴，解得或，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，所以為偶函?shù)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，不合題意，綜上，【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以?duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立，當(dāng)時(shí)，得恒成立，則；當(dāng)時(shí)，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，當(dāng)時(shí)，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，綜上，.18.已知函數(shù)，其中是奇函數(shù).（1）求a的值；（2）判斷的單調(diào)性并用定義證明；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】（1）（2）在和上為減函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇函數(shù)，滿足，列式求解；（2）設(shè)和上的任意，，且，分析的正負(fù)證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式得，再討論得到取值，求解的取值范圍.小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以，，則，則，故.小問(wèn)2詳解】在和上為減函數(shù)，證明見解析設(shè)上的任意，，且，由；，，，則.故，在上為減函數(shù).當(dāng)時(shí)，，，則，在上也為減函數(shù).綜上有在和上為減函數(shù).【小問(wèn)3詳解】，由（2）可得在和上是嚴(yán)格減函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由可得：，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即，又，所以；當(dāng)時(shí)，，則，而，，則滿足題意；函數(shù)的定義域，則時(shí)不符，舍去.綜上.19.設(shè)A是由若干個(gè)正整數(shù)組成的集合，且存在3個(gè)不同的元素a，b，，使得，則稱A為“等差集”．（1）若集合，，且B是“等差集”，用列舉法表示所有滿足條件的B；（2）若集合是“等差集”，求m的值；（3）已知正整數(shù)，證明：不是“等差集”．【答案】（1）答案見解析（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等差集的定義結(jié)合子集的定義求解即可；（2）根據(jù)等差集定義應(yīng)用，即逐個(gè)計(jì)算判斷即可；（3）應(yīng)用反