專題46基本平面圖形（2大知識(shí)點(diǎn)5大考點(diǎn)18類題型）（全章知識(shí)梳理與題型分類講解）（北師大版）

專題4.6基本平面圖形（2大知識(shí)點(diǎn)5大考點(diǎn)18類題型）（全章知識(shí)梳理與題型分類講解）第一部分【知識(shí)點(diǎn)歸納】【知識(shí)點(diǎn)1】直線、射線、線段直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間，線段最短．3.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長(zhǎng)度,再畫一條等于這個(gè)長(zhǎng)度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：4．線段的比較與運(yùn)算（1）線段的比較：比較兩條線段的長(zhǎng)短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=ABBD。（3）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有：【知識(shí)點(diǎn)2】角1．角的度量（1）角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個(gè)大寫英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫英文字母表示，三是用一個(gè)小寫希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖：（3）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.（4）角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°<∠β<180°∠β=180°∠β=360°（5）畫一個(gè)角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個(gè)角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.2．角的比較與運(yùn)算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.3．方位角以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向，這種表示方向的角叫做方位角.考點(diǎn)與題型目錄【考點(diǎn)一】直線、射線、線段【題型1】直線、射線、線段的辨析.............................................3【題型2】直線、射線、線段的數(shù)量與直線相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù).........................5【題型3】尺規(guī)作圖——畫線段、射線、直線.....................................7【題型4】直線、線段的基本性質(zhì)...............................................8【考點(diǎn)二】與線段有關(guān)的計(jì)算【題型5】線段和與差與線段中點(diǎn)的辨析.........................................9【題型6】線段和與差與線段中點(diǎn)的運(yùn)算........................................11【題型7】探究線段間的數(shù)量關(guān)系..............................................14【題型8】與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題..............................................17【題型9】?jī)牲c(diǎn)之間的距離....................................................21【考點(diǎn)三】角的概念【題型10】角的概念理解與表示方法...........................................24【題型11】鐘面角...........................................................26【題型12】方向角...........................................................28【考點(diǎn)四】角的比較與運(yùn)算【題型13】角的比較.........................................................30【題型14】與角平分線有關(guān)計(jì)算...............................................31【題型15】三角板中角的計(jì)算.................................................35【題型16】旋轉(zhuǎn)圖形中角的計(jì)算...............................................37【考點(diǎn)五】多邊形和圓的初步認(rèn)識(shí)【題型17】多邊形的截角.....................................................40【題型18】多邊形對(duì)角線條數(shù)及對(duì)角線分成三角形的個(gè)數(shù)規(guī)律.....................42第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】直線、射線、線段的辨析【例1】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖各圖中，表示線段、射線的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題考查了線段，射線，直線的表示方法；根據(jù)線段，射線，直線的表示方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可得出答案．解：A．圖中是直線，射線，故選項(xiàng)A不符合題意；B．圖中是線段，射線，故選項(xiàng)B符合題意；C．圖中是射線，線段，故選項(xiàng)C不符合題意；D．圖中是線段，射線，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【變式1】（2024七年級(jí)上·山西·專題練習(xí)）如圖，下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)在射線上B．直線比直線長(zhǎng)C．線段與線段是同一條線段D．射線與射線是同一條射線【答案】C【分析】本題考查了直線、射線、線段的相關(guān)概念，熟練掌握直線、射線、線段的相關(guān)概念是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)直線、射線、線段的相關(guān)概念逐項(xiàng)分析即可得出答案；解：點(diǎn)在射線AB上，選項(xiàng)不正確，不符合題意；直線可以向兩端無(wú)限延長(zhǎng)，無(wú)法比較大小，選項(xiàng)不正確，不符合題意；線段和線段是同一條線段，選項(xiàng)正確，符合題意；射線和射線是兩條不同的射線，選項(xiàng)不正確，不符合題意，故選：C．【變式2】（2024七年級(jí)上·山東·專題練習(xí)）觀察圖形，下列說(shuō)法正確的有個(gè)．直線和直線AB是同一條直線；線段BD和線段DB是兩條不同的線段；射線和射線AD是同一條射線．【答案】【分析】本題主要考查了直線、射線、線段，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)直線、射線、線段的定義進(jìn)行判斷．解：直線是向兩個(gè)方向無(wú)限延伸的，直線和直線AB是同一條直線，故正確；線段有兩個(gè)端點(diǎn)，不延伸，線段BD和線段DB是同一條線段，故不正確；射線有一個(gè)端點(diǎn)，向一個(gè)方向無(wú)限延伸，射線和射線AD的端點(diǎn)相同，延伸的方向相同，是同一條射線，故正確；說(shuō)法正確的有個(gè)．故答案為：．【題型2】直線、射線、線段的數(shù)量與直線相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)【例2】（2324七年級(jí)上·安徽亳州·階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)有四條直線，每?jī)蓷l直線都相交，則這四條直線的交點(diǎn)共有（

）A．6個(gè) B．1個(gè)或4個(gè) C．6個(gè)或4個(gè) D．1個(gè)或4個(gè)或6個(gè)【答案】D【分析】本題考查了直線相交問(wèn)題，分成經(jīng)過(guò)一個(gè)交點(diǎn)和不經(jīng)過(guò)一個(gè)交點(diǎn)兩種情況進(jìn)行討論求解即可．解：四條直線經(jīng)過(guò)同一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：四條直線不經(jīng)過(guò)同一個(gè)交點(diǎn)，這時(shí)有4個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：四條直線沒(méi)有公共交點(diǎn)，兩兩相交，這時(shí)有6個(gè)交點(diǎn)，如圖所示：故選：D．【變式1】（2425七年級(jí)上·廣西南寧·開(kāi)學(xué)考試）在一條線段中間另有個(gè)點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成（

）條線段．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了線段的計(jì)數(shù)，掌握線段的定義是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的定義即可求解．解：這個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成：（條），故選：C．【變式2】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，是直線l上的三個(gè)點(diǎn)．（1）圖中以點(diǎn)B為端點(diǎn)的射線有條，分別是；（2）直線l還可以表示為．【答案】2射線、射線直線或直線或直線或直線或直線或直線【分析】本題考查了射線與直線的表示法，注意表示射線時(shí)必須把頂點(diǎn)字母寫在前．（1）根據(jù)射線的表示方法解答即可；（2）根據(jù)直線的表示方法解答即可．解：（1）圖中以點(diǎn)B為端點(diǎn)的射線有2條，射線、射線；故答案為：2，射線、射線；（2）直線l還可以表示為：直線或直線或直線或直線或直線或直線；故答案為：直線或直線或直線或直線或直線或直線．【題型3】尺規(guī)作圖——畫線段、射線、直線【例3】（2425七年級(jí)上·河北石家莊·期中）已知線段，，．小明利用尺規(guī)作圖畫出線段，則線段（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要查了尺規(guī)作圖—作一條線段等于已知線段．根據(jù)作圖可得，即可求解．解：根據(jù)題意得：．故選：C【變式1】（2324六年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．畫線段厘米 B．畫射線厘米C．在射線上截取厘米 D．延長(zhǎng)線段到C，使得【答案】B【分析】本題主要考查了畫線段和射線，射線無(wú)法度量，線段可以度量，據(jù)此結(jié)合線段的畫法可得答案．解：A、線段可以度量，因此可以畫線段厘米，原說(shuō)法正確，不符合題意；B、射線無(wú)法度量，因此不可以畫射線厘米，原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；C、在射線上可以截取厘米，原說(shuō)法正確，不符合題意；D、延長(zhǎng)線段到C，使得，原說(shuō)法正確，不符合題意；故選：B．【變式2】（2324七年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，在操作課上，同學(xué)們按老師的要求操作：①作射線；②在射線上順次截取；③在射線上截取；④在線段上截取，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)B在線段上．由操作可知，線段（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了線段的和差及基本作圖知識(shí)，準(zhǔn)確把握線段的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)即可求得．解：，，，，，，故選：D．【題型4】直線、線段的基本性質(zhì)【例4】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）下列4個(gè)現(xiàn)象中，可用事實(shí)“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解釋的有（

）①用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上．②植樹(shù)時(shí)，只要定出兩棵樹(shù)的位置，就能確定同一行樹(shù)所在的直線．③從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段架設(shè)．④把彎曲的公路改直就能縮短路程．A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】D【分析】本題考查了線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短，認(rèn)真分析題干，運(yùn)用線段的性質(zhì)和直線的性質(zhì)判斷即可．解：①用兩個(gè)釘子就可以把木條固定在墻上可以用兩點(diǎn)確定一條直線來(lái)解釋．②植樹(shù)時(shí)，只要定出兩棵樹(shù)的位置，就能確定同一行樹(shù)所在的直線可以用兩點(diǎn)確定一條直線來(lái)解釋．③從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段架設(shè)可以用兩點(diǎn)之間，線段最短來(lái)解釋．④把彎曲的公路改直就能縮短路程可以用兩點(diǎn)之間，線段最短來(lái)解釋．所以可用事實(shí)“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解釋的有③④，故選：D．【變式1】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）下列事實(shí)可以用“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線”來(lái)說(shuō)明的是（

）A．從張莊去李莊走直線最近B．向遠(yuǎn)方延伸的鐵路給人們一條直線的感覺(jué)C．?dāng)?shù)軸是一條特殊的直線D．一般地，射擊時(shí)要保證瞄準(zhǔn)的目標(biāo)在準(zhǔn)星和缺口確定的直線上，這樣才能擊中目標(biāo)【答案】D【分析】依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別，數(shù)軸的定義，兩點(diǎn)確定一條直線等知識(shí)點(diǎn)逐項(xiàng)分析判斷即可．解：A.從張莊去李莊走直線最近，屬于“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí)，故選項(xiàng)不符合題意；B.向遠(yuǎn)方延伸的鐵路給人們一條直線的感覺(jué)，屬于“直線可以無(wú)限延長(zhǎng)”的知識(shí)，故選項(xiàng)不符合題意；C.數(shù)軸是一條特殊的直線，屬于數(shù)軸的定義知識(shí)，即“數(shù)軸是一條有方向、有刻度的直線”，故選項(xiàng)不符合題意；D.一般地，射擊時(shí)要保證瞄準(zhǔn)的目標(biāo)在準(zhǔn)星和缺口確定的直線上，這樣才能擊中目標(biāo)，屬于“經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有且只有一條直線”，故選項(xiàng)符合題意；故選：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了兩點(diǎn)之間線段最短，直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別，數(shù)軸的定義，兩點(diǎn)確定一條直線等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握直線的相關(guān)特性是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）在下列現(xiàn)象中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)原理“兩點(diǎn)確定一條直線”的是（填序號(hào)）．【答案】①②③【分析】本題考查了直線的性質(zhì)，根據(jù)直線的性質(zhì)，逐一判斷即可解答．解：①平板彈墨線，體現(xiàn)了基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”；②建筑工人砌墻，體現(xiàn)了基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”；③會(huì)場(chǎng)擺直茶杯，體現(xiàn)了基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”；④彎河道改直，體現(xiàn)了基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”；所以，在上列現(xiàn)象中，體現(xiàn)了基本事實(shí)“兩點(diǎn)確定一條直線”的有①②③，故答案為：①②③．【題型5】線段和與差與線段中點(diǎn)的辨析【例5】．（2324七年級(jí)上·河北石家莊·期末）點(diǎn)C是線段上任意一點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）

A． B．當(dāng)點(diǎn)C為的中點(diǎn)時(shí)，C．如果，那么 D．如果，那么【答案】C【分析】本題主要考查了線段的中點(diǎn)性質(zhì)，根據(jù)線段的中點(diǎn)性質(zhì)可推出，，當(dāng)時(shí)，，即可推出，進(jìn)而即可得解，解題的關(guān)鍵是能正確表示線段的和差倍分．解：A：∵M(jìn)、N分別是、的中點(diǎn)，∴，，∵C為上任意一點(diǎn)，∴不一定等于，∴不一定等于，∴A錯(cuò)誤，不符合題意；B：當(dāng)C為中點(diǎn)時(shí)，，∴，∴，∴B錯(cuò)誤，不符合題意；C：∵，∴，∴，∴C正確，符合題意；D：∵，∴，∴，∴D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【變式】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，線段，為線段的中點(diǎn)，下列式子不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了線段的和差運(yùn)算，線段中點(diǎn)的含義；由為線段的中點(diǎn)，得，再由，即可得，從而判定A；由，結(jié)合可判定B；由圖形易判定C；現(xiàn)有條件無(wú)法判斷D正確．解：因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，即，故A正確；因?yàn)椋?，所以，故B正確；由圖形知，，故C正確；現(xiàn)有條件無(wú)法判斷，故D不正確．故選：D．【題型6】線段和與差與線段中點(diǎn)的運(yùn)算【例6】（2324七年級(jí)上·山西晉城·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，點(diǎn)，，都在線段上，，是的中點(diǎn)，則圖中共有線段__________條．【深入探究】（2）在（1）的條件下，若，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

【拓展提高】（3）如圖2，在（2）的基礎(chǔ)上，是的中點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．

【答案】（1）10；（2），理由見(jiàn)解析；（3）【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，掌握線段中點(diǎn)的定義，線段之間的倍分關(guān)系是關(guān)鍵．（1）圖中的線段有、、、、、、、、、這10條，據(jù)此回答即可；（2）設(shè)，先列方程求得求得，，可得答案；（3）設(shè)，先列方程求得，再求得的長(zhǎng)即可．解：（1）圖中的線段有、、、、、、、、、這10條，故答案為：10；（2）設(shè)，∵，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（3）設(shè)，∵，∴由（2）得，，∴，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴．【變式1】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，C是線段上一點(diǎn)，D為的中點(diǎn)，且．若點(diǎn)E在直線上，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題主要考查線段中點(diǎn)的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)及和差關(guān)系；由題意易得，則有，然后分當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，進(jìn)而求解即可解：因?yàn)镈為的中點(diǎn)，，所以．因?yàn)?，所以．如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)．因?yàn)?，所以，所以；如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)因?yàn)?，所以．綜上所述，的長(zhǎng)為或；故選D．【變式2】（2425七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，已知點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，給出下面4個(gè)結(jié)論：①③若，則；④若，則上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④【分析】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段和差計(jì)算，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到，再由線段的和差關(guān)系即可判斷①②；求出，進(jìn)而可得，據(jù)此可判斷③；求出，則可求出，據(jù)此可判斷④．解：∵點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，∴，∴，，故①②正確；∵，∴，∵，∴，故③錯(cuò)誤；∵，∴，又∵，∴，∴，∴，故④正確；∴正確的有①②④，故答案為：①②④．【題型7】探究線段間的數(shù)量關(guān)系【例7】（2223七年級(jí)上·河南許昌·期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，線段，，M，N分別在線段，上，且，．(1)求線段的長(zhǎng)度．(2)若點(diǎn)C為線段上任意一點(diǎn)，且，其他條件不變，則線段的長(zhǎng)度為．(3)若題中的條件變?yōu)椤包c(diǎn)C在線段的延長(zhǎng)線上”，其他條件不變，則的長(zhǎng)度會(huì)有變化嗎？若有變化，請(qǐng)求出結(jié)果．【答案】(1)16(2)(3)有變化，4【分析】本題主要考查了線段間的數(shù)量關(guān)系，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握線段間的數(shù)量關(guān)系．（1）根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系，求出，，然后求出結(jié)果即可；（2）根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行解答即可；（3）先求出，再求出，根據(jù)線段間的數(shù)量關(guān)系，即可得出答案．解：（1）∵，，，，∴，，∴；（2）∵，，∴，故答案為：；（3）有變化．理由如下：當(dāng)C點(diǎn)在的延長(zhǎng)線時(shí)，∵，，∴，∵，∴，∴的長(zhǎng)度有變化．【變式1】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）若線段，在線段的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使是的中點(diǎn)；在線段的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使是的中點(diǎn)；在線段的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使是的中點(diǎn)；……這樣操作下去，則線段的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了線段中點(diǎn)的定義，找出題目中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，找出題目中的規(guī)律求出，因此，進(jìn)而中點(diǎn)的定義即可解答．解：∵，是的中點(diǎn)，∴．∵，是的中點(diǎn)，∴．∵，是的中點(diǎn)，∴，．．．∴，∴．∵是的中點(diǎn)，∴．故選：B．【變式2】（2223七年級(jí)上·廣東東莞·期末）如圖，將一根繩子對(duì)折一次后用線段表示，點(diǎn)在上，且，現(xiàn)從處將繩子剪斷，剪斷后的各段繩子中最短的一段為，則這條繩子的原長(zhǎng)為．【答案】或/或【分析】本題主要考查了線段的和差，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)為折點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)為折點(diǎn)時(shí)，結(jié)合圖形，分別求出各段繩子的長(zhǎng)度，即可得出答案，熟練掌握線段的和差計(jì)算，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)為折點(diǎn)時(shí)，，∴剪開(kāi)的三段分別為，；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)為折點(diǎn)時(shí)，，∴剪開(kāi)的三段分別為，，，，綜上所述，這條繩子的原長(zhǎng)為或，故答案為：或．【題型8】與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【例8】（1920七年級(jí)上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知：如圖1，M是定長(zhǎng)線段上一定點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)分別從M、B出發(fā)以、的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示（C在線段上，D在線段上）(1)若，當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了，求的值．(2)若點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有，直接填空：___________．(3)在（2）的條件下，N是直線上一點(diǎn)，且，求的值．【答案】(1)(2)(3)或1【分析】（1）本題考查線段的和與差，以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意算出，，再由，即可解題．（2）本題考查線段的和與差，以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則，，根據(jù)，，結(jié)合，即可解題．（3）本題考查線段的和與差，以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)N是直線上一點(diǎn)，且，可分為以下兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)合線段之間的和差關(guān)系，得出與的數(shù)量關(guān)系，即可解題．解：（1）（1）當(dāng)點(diǎn)C、D運(yùn)動(dòng)了時(shí)，，，，，，．（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則，，，，又，，即，，，，故答案為：．（3）當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，如圖，又，，，即．當(dāng)點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖：，又，，即．綜上所述的值為或．【變式1】（2021七年級(jí)上·云南昆明·期末）如圖所示，數(shù)軸上O，A兩點(diǎn)的距離為8，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到AO的中點(diǎn)A1處，第2次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A1O的中點(diǎn)A2處，第3次從A2點(diǎn)跳動(dòng)到A2O的中點(diǎn)A3處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整數(shù)）處，問(wèn)經(jīng)過(guò)這樣2023次跳動(dòng)后的點(diǎn)與A1A的中點(diǎn)的距離是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，可以寫出前幾個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，然后即可得到2023次跳動(dòng)后的點(diǎn)與A1A的中點(diǎn)的距離，本題得以解決．解：由題意可得，點(diǎn)A1表示的數(shù)為8×＝4，點(diǎn)A2表示的數(shù)為8××＝2，點(diǎn)A3表示的數(shù)為8××＝1，…，點(diǎn)An表示的數(shù)為8×（）n，∵A1A的中點(diǎn)表示的數(shù)為（8+4）÷2＝6，∴2023次跳動(dòng)后的點(diǎn)與A1A的中點(diǎn)的距離是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查數(shù)字的變化類、數(shù)軸，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)．【變式2】（1920七年級(jí)上·湖北武漢·期末）已知線段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長(zhǎng)為a，長(zhǎng)度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動(dòng)，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，線段的長(zhǎng)為b，則線段的長(zhǎng)為（用a，b的式子表示）．【答案】/【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分情況討論，再利用線段和差分別表示線段的長(zhǎng)度即可．解：∵M(jìn)為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，∴，．∵線段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長(zhǎng)為a，長(zhǎng)度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動(dòng)，∴分以下5種情況說(shuō)明：①當(dāng)在左側(cè)時(shí)，如圖1，即，，，；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2，即，；③當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖3，即，；④當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，同理可得：；⑤當(dāng)在右側(cè)時(shí)，同理可得：；綜上所述：線段的長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查線段的和差，根據(jù)題意畫出對(duì)應(yīng)情況的圖形是解題的關(guān)鍵，注意分類討論思想的運(yùn)用．【題型9】?jī)牲c(diǎn)之間距離【例9】（2425七年級(jí)上·河北石家莊·期中）閱讀感悟：數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下問(wèn)題：如圖1，一條直線上有A、B、C、D四點(diǎn)，線段，點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，線段，請(qǐng)你補(bǔ)全圖形，并求的長(zhǎng)度．以下是小華的解答過(guò)程：解：如圖2，因?yàn)榫€段，點(diǎn)C為線段的中點(diǎn)，所以____________．因?yàn)椋訽_____．小斌說(shuō)：我覺(jué)得這個(gè)題應(yīng)該有兩種情況，小華只考慮了點(diǎn)D在線段上，事實(shí)上，點(diǎn)D還可以在線段的延長(zhǎng)線上．完成以下問(wèn)題：(1)請(qǐng)?zhí)羁眨簩⑿∪A的解答過(guò)程補(bǔ)充完整；(2)根據(jù)小斌的想法，請(qǐng)你在備用圖中畫出另一種情況對(duì)應(yīng)的示意圖，并求出此時(shí)的長(zhǎng)度．【答案】(1)；；(2)【分析】本題考查了線段的性質(zhì)、線段的和差等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，分情況討論．（1）根據(jù)點(diǎn)C為的中點(diǎn)，即可得到與的數(shù)量關(guān)系，若在線段上時(shí)，根據(jù)和的長(zhǎng)即可求得的長(zhǎng)；（2）根據(jù)點(diǎn)C為的中點(diǎn)，即可得到與的數(shù)量關(guān)系，若在射線上時(shí)，根據(jù)和的長(zhǎng)即可求得的長(zhǎng)．解：（1）線段，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，，當(dāng)在線段上時(shí)，，故答案為：；；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，線段，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，，【變式1】（2425七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知線段，點(diǎn)為的中點(diǎn)，是直線上的一點(diǎn)，且，，則（

）A．6或 B．6或2 C．6或3 D．2【答案】A【分析】此題主要考查了兩點(diǎn)之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握線段的中點(diǎn)平分線段，正確畫出圖形．首先根據(jù)題意畫出圖形，分兩種情況：①在上，②在的延長(zhǎng)線上，然后利用方程思想設(shè)出未知數(shù)，表示出、、和的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題．解：如圖1，設(shè)，則，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，解得：，；如圖2，設(shè)，則，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，解得：，．綜上所述，線段的長(zhǎng)為或．故選：A．【變式2】（2223六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，線段，點(diǎn)分別是線段和線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．設(shè)，，可得，，然后根據(jù)，求得，故求出，，再根據(jù)中點(diǎn)的定義計(jì)算即可．解：設(shè)，，∴，∴，又∵，∴，解得：，∴，，∴，又∵點(diǎn)分別是線段和線段的中點(diǎn)，∴，，∴，故答案為．【題型10】角的概念理解與表示方法【例10】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）下列關(guān)于角的說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（

）①兩條有公共點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角；②角是由一個(gè)端點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形；③兩條射線，它們的端點(diǎn)重合時(shí)，可以形成角；④角的大小與邊的長(zhǎng)短有關(guān)．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本題主要考查角的知識(shí)，首先正確理解角的概念：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角，注意不要忽略“公共端點(diǎn)”，還應(yīng)注意角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，與度數(shù)的大小一致；然后結(jié)合角的定義的理解，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，排除錯(cuò)誤答案即可．解：角是由有公共端點(diǎn)的兩條射線所構(gòu)成的圖形，故①②③正確；角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，只與兩條邊張開(kāi)的角度有關(guān)，故④錯(cuò)誤．故選D．【變式1】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）下列選項(xiàng)中，能用，，三種方法表示同一個(gè)角的圖形是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查角的表示方法，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是要熟練掌握角的幾種表示方法．根據(jù)角的表示方法對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可作出判斷．解：A．頂點(diǎn)O處有四個(gè)角，這四個(gè)角均不能用表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．頂點(diǎn)O處只有一個(gè)角，這個(gè)角能用，，表示，故本選項(xiàng)正確；C．頂點(diǎn)O處有三個(gè)角，這三個(gè)角均不能用表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．頂點(diǎn)O處有3個(gè)角，這3個(gè)角均不能用表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【變式2】（2024七年級(jí)上·河南·專題練習(xí)）（1）圖中可以用一個(gè)大寫字母表示的角有；（2）以A為頂點(diǎn)的角有；（3）圖中一共個(gè)角（不包括平角）．【答案】7【分析】本題主要考查了角的表示方法，角的個(gè)數(shù)問(wèn)題：（1）頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的可以用一個(gè)大寫字母表示即可；（2）以為頂點(diǎn)的角有三個(gè)，逐一寫出即可；（3）把圖中所有角（不包括平角）寫出數(shù)一數(shù)即可．解：（1）圖中可以用一個(gè)大寫字母表示的角有故答案為：．（2）以A為頂點(diǎn)的角有；故答案為：．（3）圖中的角為：，，共7個(gè)．故答案為：．【題型11】鐘面角【例11】（2324七年級(jí)上·河南平頂山·期末）如圖所示，鐘表上顯示的時(shí)間是時(shí)分，此時(shí)，時(shí)針和分針的夾角的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了鐘面角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握時(shí)針和分針每分鐘所轉(zhuǎn)過(guò)的角度．時(shí)針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)，分針每分鐘轉(zhuǎn)，由此即可算出時(shí)分鐘時(shí)，時(shí)針、分針與12時(shí)的夾角，即得答案．解：∵時(shí)針在鐘面上每分鐘轉(zhuǎn)，分針每分鐘轉(zhuǎn)，∴鐘表上時(shí)分鐘時(shí)，時(shí)針從時(shí)轉(zhuǎn)過(guò)分鐘轉(zhuǎn)了，此時(shí)時(shí)針與垂直線的夾角為，分針從的位置順時(shí)針轉(zhuǎn)了，∴時(shí)分鐘時(shí)分針與時(shí)針的夾角．故選C．【變式1】（2425七年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）下午四點(diǎn)多，小李潛心鉆研桃李杯的思維題，開(kāi)始時(shí)時(shí)針與分針的夾角是，結(jié)束時(shí)發(fā)現(xiàn)時(shí)間還不到當(dāng)天下午五點(diǎn)，且時(shí)針與分針的夾角還是，小李鉆研了分鐘．【答案】/【分析】本題考查應(yīng)用類問(wèn)題，鐘表時(shí)針與分針的夾角．在鐘表問(wèn)題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)系：分針每分鐘走，時(shí)針每分鐘走，并且利用起點(diǎn)時(shí)間時(shí)針和分針的位置關(guān)系建立方程求解．解：分針每分鐘走，時(shí)針每分鐘走，四點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針和分針之間的夾角是，設(shè)小李開(kāi)始鉆研時(shí)是4點(diǎn)分，則由題意可得：，解得，即：下午4點(diǎn)10分時(shí)，小李開(kāi)始鉆研，設(shè)結(jié)束時(shí)是4點(diǎn)分，則由題意可得：，解得，即：下午4點(diǎn)分時(shí)，小李結(jié)束鉆研，∴小李鉆研了分，故答案為：．【變式2】（2024七年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）1點(diǎn)到3點(diǎn)之間（包括1點(diǎn)和3點(diǎn)）鐘表的時(shí)針和分針成的時(shí)刻有（

）次．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】時(shí)針走一圈(360度)要12小時(shí)，即速度為，分針走一圈(360度)要1小時(shí)，即速度為，鐘面(360度)被平均分成了12等份，所以每份(相鄰兩個(gè)數(shù)字之間)是，所以分鐘后，時(shí)針走過(guò)的角度為，分針走過(guò)的角度為，列方程可得.這道題考查的是鐘面角，理解分針每分鐘轉(zhuǎn)的度數(shù)，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)的度數(shù)，根據(jù)分針與時(shí)針轉(zhuǎn)的度數(shù)之間的關(guān)系，得到一元一次方程，求出答案即可.解：由題意可知，1點(diǎn)整的時(shí)刻，時(shí)針與分針正好成角；(1)設(shè)1點(diǎn)分的時(shí)刻，時(shí)針與分針成角，則應(yīng)該是分針在前，得，解得，故1點(diǎn)分的時(shí)刻，時(shí)針與分針成角；(2)設(shè)1點(diǎn)分的時(shí)刻，時(shí)針與分針成角，則應(yīng)該是分針在前，得，解得，故1點(diǎn)分的時(shí)刻，時(shí)針與分針成角；當(dāng)恰好是2點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針正好成角；(3)設(shè)2點(diǎn)分的時(shí)刻，時(shí)針與分針成角，則應(yīng)該是分針在前，得，解得，故2點(diǎn)分的時(shí)刻，時(shí)針與分針成角；(4)設(shè)2點(diǎn)分的時(shí)刻，時(shí)針與分針成角，則應(yīng)該是分針在前，得，解得，故2點(diǎn)分即3點(diǎn)正時(shí)，時(shí)針與分針成角；故選：B.【題型12】方向角【例12】（2324七年級(jí)上·江蘇南京·期末），兩個(gè)海上觀測(cè)站的位置如圖所示，在燈塔北偏東方向上，，則在燈塔的方向．【答案】南偏東【分析】本題考查了方位角有關(guān)的計(jì)算，由根據(jù)即可求解，理解“從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，叫做方位角”是解題的關(guān)鍵．解：如圖，∵觀測(cè)站在燈塔北偏東方向上，∴，∵，∴，∴觀測(cè)站在燈塔的是南偏東，故答案為：南偏東．【變式1】（2324六年級(jí)下·山東淄博·期末）點(diǎn)B看點(diǎn)A是北偏西58度，則由點(diǎn)A看點(diǎn)B是（

）A．南偏東58度 B．南偏東32度 C．北偏西32度 D．北偏西58度【答案】A【分析】本題主要考查了方向角，在敘述方向角時(shí)一定要注意以哪個(gè)圖形為參照物．點(diǎn)A看點(diǎn)B的方向是北偏東，是以A為標(biāo)準(zhǔn)，反之B看A的方向是A相對(duì)于B的方向與位置．解：從點(diǎn)B看點(diǎn)A的方向?yàn)楸逼鳎敲磸狞c(diǎn)A看點(diǎn)B的方向?yàn)槟掀珫|．故選：A．【變式2】（2324七年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）如圖，是北偏東方向的一條射線，若射線與射線成角，則的方位角是（

）A．東偏南 B．南偏東 C．東偏南 D．南偏東【答案】D【分析】本題主要考查了與方位角有關(guān)的計(jì)算，正確求出是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意得到，再由方位角的定義求出，即可得到答案．解：如圖所示：∵射線與射線成角，∴，∵是北偏東方向的一條射線，∴，∴，∴，即的方位角是南偏東方向，故選：D．【題型13】角的比較【例13】（2324七年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）比較大?。骸敬鸢浮俊痉治觥勘绢}主要考查角度大小的比較，熟練掌握度分秒之間的換算即可得到答案．解：，．故答案為：．【變式1】（2324七年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖所示，由正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C，D，O是網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么與的大小關(guān)系是．（填“＞”，“＜”或“＝”）【答案】＞【分析】如圖：連接，則，又，即．解：如圖：連接，由題意得：，∵，∴．故答案為：＞．【點(diǎn)撥】本題主要考查了角的大小比較，根據(jù)方格作出是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】（2018七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，則．（填“大于、小于或等于”）【答案】小于【分析】本題主要考查了角的大小比較，解答本題的關(guān)鍵在于熟練掌握角度的單位度、分之間的轉(zhuǎn)換進(jìn)率，將角度不同單位轉(zhuǎn)化成相同單位，即可求解．解：根據(jù)，可得：；又∵，∴．故答案為：小于．【題型14】與角平分線有關(guān)計(jì)算【例14】（2324七年級(jí)上·黑龍江綏化·期末）在一節(jié)綜合實(shí)踐課上，老師與同學(xué)們以“同一平面內(nèi)，點(diǎn)在直線上，用三角尺畫，使；用直尺畫射線，使平分．”為問(wèn)題背景，展開(kāi)研究．(1)提出問(wèn)題：如下圖，若，求的度數(shù)；

(2)探索發(fā)現(xiàn)：如下圖，的值是__________；

(3)拓展探究：若點(diǎn)在直線的同側(cè)，利用下圖探索與之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．

【答案】(1)；(2)(3)與之間的數(shù)量關(guān)系為或．【分析】本題考查了角的計(jì)算以及角平分線定義；弄清各個(gè)角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、余角的性質(zhì)求得，，再利用角平分線的定義求得的度數(shù)，據(jù)此即可求解；（2）設(shè)，則，同（1）求得，據(jù)此即可求解；（3）分點(diǎn)C靠近點(diǎn)B和點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，同（1）的方法即可求解．解：（1）∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）設(shè)，則，∵，∴，∵平分，∴，∴；∴，故答案為：；（3）如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)B時(shí)，

∵平分，∴，設(shè)，，∴，，∴；如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，

∵平分，∴，設(shè)，∴，，∴；綜上，與之間的數(shù)量關(guān)系為或．【變式1】已知，其角平分線為，，其角平分線為，則的大小為（

）A． B． C．或 D．30°或【答案】C【分析】本題主要考查角平分線定義的運(yùn)用能力，能考慮到在外部和內(nèi)部?jī)煞N情況是關(guān)鍵．分在外部和內(nèi)部?jī)煞N情況，由、分別平分、可得、度數(shù)，在根據(jù)兩種位置分別求之．解：①如圖，當(dāng)在外部時(shí)，∵，平分，∴，又∵，平分，∴，∴；②如圖，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，∵，平分，∴，又∵，平分，∴，∴，綜上所述：為或．故選C．【變式2】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，從頂點(diǎn)任意作一條射線，若是的平分線，是的平分線，，則的度數(shù)為【答案】【分析】本題考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，掌握各角之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義可求得，即可解得．解：是的平分線，是的平分線，，，，故答案為：．【題型15】三角板中角的計(jì)算【例15】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）將一副三角尺疊放在一起．(1)如圖①，若，求的度數(shù)；(2)如圖②，若，求的度數(shù)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了幾何圖形中角的計(jì)算，三角尺中角的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握三角形板中角的度數(shù)．（1）根據(jù)，，求出．根據(jù)，得出．（2）根據(jù)，，求出，根據(jù)，求出，最后求出結(jié)果即可．解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，所以．?）由題圖可知，，所以．又因?yàn)?，所以，所以．【變?】（2324七年級(jí)下·甘肅酒泉·期末）如圖，將一塊含有角的直角三角板的兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上．如果，那么的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查三角板中角的計(jì)算、平行線的性質(zhì)，由題意得，，，，由平行線的性質(zhì)可得，即可求解．解：由題意得，，，，則，∴，故選：B．【變式2】（2425七年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，平分，平分，若，則．【答案】【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，設(shè)，則，由角平分線的定義可得，，進(jìn)而可得，最后根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．解：設(shè)，則，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴，故答案為：．【題型16】旋轉(zhuǎn)圖形中角的計(jì)算【例16】（2425七年級(jí)上·河北石家莊·期中）把一副三角尺與按如圖所示那樣拼在一起，其中A、B、D三點(diǎn)在同一直線上，BM為的平分線．(1)求和的度數(shù)；(2)若為的平分線，求的度數(shù)．(3)若將圖中三角尺逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20度，則大小變化嗎？（選填不變、增大或縮小多少度）請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【答案】(1)，(2)(3)不變【分析】本題考查角的和差和角平分線的定義，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．（1）由三角板的內(nèi)角，利用角的和差求出的度數(shù)，然后利用角平分線的定義得到的度數(shù)，然后利用交的和差解題即可；（2）先求出的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的定義得到的度數(shù)，然后根據(jù)解題即可；（3）根據(jù)（1）（2）的計(jì)算方法解題即可．解：（1）∵A、B、D三點(diǎn)在同一直線上，∴，又∵BM為的平分線，∴，∴；（2），∵為的平分線，∴，∴；（3）不變，理由為：三角尺逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)20度時(shí)，∴，，又∵BM為的平分線，為的平分線，∴，，∴；【變式1】（2324七年級(jí)上·浙江寧波·期末）如圖，將一副三角尺角和角的頂點(diǎn)疊放在一起，將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中三角板的邊始終在的內(nèi)部，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】A【分析】本題考查三角板中角度的計(jì)算．根據(jù)題意可得，從而得到，，即可求解．解：根據(jù)題意得：，∴，，∴．故選：A【變式2】（2024七年級(jí)上·甘肅蘭州·專題練習(xí)）如圖，是的平分線，是內(nèi)部一條射線，過(guò)點(diǎn)O作射線，在平面內(nèi)沿箭頭方向轉(zhuǎn)動(dòng)，使得，若，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題主要考查了角的計(jì)算，角平分線的定義，由是的平分線得，進(jìn)而求得，結(jié)合得，再分兩種情況：當(dāng)在下方時(shí)，當(dāng)在上方時(shí)，分別討論即可求解解：∵，是的平分線，∴，又∵，∴，而，∴，如圖，當(dāng)在下方時(shí)，此時(shí)，；如圖，當(dāng)在上方時(shí)，此時(shí)，；即或．故答案為：或．【題型17】多邊形的截角【例17】（2021七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成16邊形，那么原來(lái)的多邊形的邊數(shù)為（

）A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18【答案】A【分析】分三種情況討論，當(dāng)截線不經(jīng)過(guò)多邊形的頂點(diǎn)時(shí)，當(dāng)截線經(jīng)過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，當(dāng)截線經(jīng)過(guò)多邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，再利用數(shù)形結(jié)合的方法可得答案.解：如圖，當(dāng)截線不經(jīng)過(guò)多邊形的頂點(diǎn)時(shí)，被截后的多邊形比原多邊形增加一條邊，所以當(dāng)被截后的多邊形為16邊形，則原多邊形為15邊形，如圖，當(dāng)截線經(jīng)過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，被截后的多邊形與原多邊形邊數(shù)相同，所以當(dāng)被截后的多邊形為16邊形，則原多邊形為16邊形，如圖，當(dāng)截線經(jīng)過(guò)多邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，被截后的多邊形比原多邊形少一條邊，所以當(dāng)被截后的多邊形為16邊形，則原多邊形為17邊形，故選：【點(diǎn)撥】本題考查的是用直線截多邊形的一個(gè)角后，被截后的多邊形的邊數(shù)與原多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是清晰的分類討論.【變式1】（2324八年級(jí)上·湖