2024年陜西省西安交大附中少年班自主招生數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024年陜西省西安交大附中少年班自主招生數(shù)學(xué)試卷1．已知a+b+c+d＝0，abcd＞0，則＝．2．已知，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AE＝6，AF＝3且∠EAF＝60°．3．陽(yáng)光與水平面成60°角，皮球在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為，則這個(gè)皮球的直徑為cm．4．如圖，△ABC，△DEF是等邊三角形，求△CDF的內(nèi)切圓的半徑．5．如圖所示，每個(gè)方格均為正方形，線(xiàn)段AB與CD交于點(diǎn)P6．如圖，正三角形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，求點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)字．7．圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”，則這個(gè)風(fēng)車(chē)的外圍周長(zhǎng)是多少？8．已知，一次函數(shù)y1＝x+4，y2＝﹣x2+2x，P為y2上一動(dòng)點(diǎn)，求P到y(tǒng)1的距離的最小值．9．已知整數(shù)x，y滿(mǎn)足xy＝22﹣3x+y，求xy的最大值．10．已知，求的值．11．如圖，在矩形ABCD中，有正方形AEGF，正方形KLCM，問(wèn)：知道哪個(gè)正方形的面積可以得到兩個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)之差．12．已知任意一個(gè)大于1的正整數(shù)m的三次冪均可以分裂成m個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如23＝3+5，33＝7+9+11+?，按照此規(guī)律，若m3分裂后，有一個(gè)奇數(shù)是2023，求m的值．13．已知a，b，c，d，e五個(gè)數(shù)的平均數(shù)為m，方差為g，3b+n，3c+n，3e+n的平均數(shù)和方差．14．平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)AB：，過(guò)A作AC垂直于AB，求直線(xiàn)BC的解析式．15．球隊(duì)兩兩比賽，主場(chǎng)客場(chǎng)各一場(chǎng)，共42場(chǎng)16．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)（a，b），若規(guī)定以下兩種變換：①f（a，b）＝（b，a）（1，3）＝（3，1）；②g（a，b）＝（a，﹣b），如：g（1，3）＝（1，﹣3）（5，﹣6））＝．17．我們用min表示兩個(gè)數(shù)中的較小數(shù)，如min{5，3}＝32﹣x，2x）的最大值．18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的解為an，bn，求++…+的值．19．假設(shè)隊(duì)伍中共有2人現(xiàn)列隊(duì)需要，每10人中走出一個(gè)人，當(dāng)x除以10的余數(shù)大于5時(shí)，則共走出多少人（）A． B． C． D．20．如圖，C為半圓上一點(diǎn)，AB為直徑，，沿BD翻折交BC于E，若E為BC中點(diǎn)，求

2024年陜西省西安交大附中少年班自主招生數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號(hào)19答案C1．已知a+b+c+d＝0，abcd＞0，則＝0．【解答】解：∵a+b+c+d＝0，∴b+c+d＝﹣a，a+c+d＝﹣b，a+b+c＝﹣d，∴＝+++＝﹣（），∵abcd＞0，∴要么都是正數(shù)，要么兩負(fù)兩正，∵a+b+c+d＝6，∴a、b、c、d中兩正兩負(fù)，不妨設(shè)a＞0，b＞0，d＜7，﹣（）＝﹣（1+1﹣8﹣1）＝﹣0＝5，故答案為：0．2．已知，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AE＝6，AF＝3且∠EAF＝60°2．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AF，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BG于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠D＝∠FCG，∠DAF＝∠G，∵F分別是CD的中點(diǎn)，∴DF＝CF，∴△ADF≌△GFC（AAS），∴AF＝FG＝3，∴AG＝6＝AE，又∠EAG＝60°，∴△AEG是等邊三角形，∴AG＝EG＝7，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝EC，設(shè)BE＝EC＝x，則AD＝2x，∴CG＝2x，∴EG＝6x＝6，∴x＝2，∴BG＝6，在Rt△AGH中，∠G＝60°，∴AH＝AG?sin60°＝6×＝3AG＝3，∴BH＝BG﹣BH＝5，∴AB＝＝＝2，故答案為：6．3．陽(yáng)光與水平面成60°角，皮球在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為，則這個(gè)皮球的直徑為15cm．【解答】解：如圖，求的圓心為點(diǎn)O，陽(yáng)光m和陽(yáng)光n與AC的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A、C，m、F，連接EF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，則m∥n，則∠BAC＝60°＝∠FCE，則∠OAC＝∠∠BAC＝30°，同理可得：∠OCD＝60°，則△AOC為直角三角形，設(shè)圓的半徑為r，則AD＝OD?tan60°＝r，同理可得：CD＝r，由AC＝AD+CD得：，∴，則直徑為15cm．故答案為：15．4．如圖，△ABC，△DEF是等邊三角形，求△CDF的內(nèi)切圓的半徑．【解答】解：∵∠EFC是△AEF的外角，∴∠EFD+∠DFC＝∠A+∠AEF，又∵△ABC，△DEF是等邊三角形，∴∠EFD＝∠A＝60°，EF＝DF，∴∠DFC＝∠AEF，∴△AEF≌CFD，同理可得△AEF≌△BDE（AAS），∴AF＝DC，∴CD+CF＝AF+CF＝3，∴△CDF的周長(zhǎng)為5，設(shè)△CDF的內(nèi)切圓的半徑為r，∴△CDF的面積為r（DF+DC+CF）＝△ABC﹣S△DEF）＝（×32﹣）＝，即，解得：r＝．5．如圖所示，每個(gè)方格均為正方形，線(xiàn)段AB與CD交于點(diǎn)P【解答】解：如圖，作AM∥CD，則△ABM為直角三角形，∠BPD＝∠A，則sin∠BPD＝sinA＝＝＝．6．如圖，正三角形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，求點(diǎn)B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)字．【解答】解：由題意得，翻轉(zhuǎn)1次，翻轉(zhuǎn)2次，翻轉(zhuǎn)5次，周期為3，∵2023÷3＝674……2，且翻轉(zhuǎn)一次后B落在1處，∴正三角形向右翻轉(zhuǎn)2023次，此時(shí)B落在數(shù)軸上．7．圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的．若AC＝6，BC＝5，得到圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”，則這個(gè)風(fēng)車(chē)的外圍周長(zhǎng)是多少？【解答】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”中的四個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為x，則x2＝122+42＝169所以x＝13所以“數(shù)學(xué)風(fēng)車(chē)”的周長(zhǎng)是：（13+6）×2＝76．8．已知，一次函數(shù)y1＝x+4，y2＝﹣x2+2x，P為y2上一動(dòng)點(diǎn)，求P到y(tǒng)1的距離的最小值．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥y1垂足為H，作PQ∥y軸1于點(diǎn)Q．設(shè)P（t，﹣t6+2t），則Q（t，PQ＝t+4﹣（﹣t2+2t）＝t2﹣t+6，∵一次函數(shù)y1＝x+4，∴∠PQH＝45°，∴PH＝PQ＝2﹣t+4）＝（t﹣）2+．當(dāng)t＝1時(shí)，PH有最小值．9．已知整數(shù)x，y滿(mǎn)足xy＝22﹣3x+y，求xy的最大值．【解答】解：∵xy＝22﹣3x+y，∴x（y+3）﹣y＝22，∴x（y+5）﹣（y+3）+3＝22，∴（x﹣2）（y+3）＝19，∵x，y是整數(shù)，∴或或或，解得：或或或，則xy＝32或xy＝4或xy＝﹣40或xy＝72，故當(dāng)時(shí)，xy＝（﹣18）×（﹣4）＝72，為72．10．已知，求的值．【解答】解：由可得y﹣x＝xy，即x﹣y＝﹣xy，∴原式＝＝＝＝＝．11．如圖，在矩形ABCD中，有正方形AEGF，正方形KLCM，問(wèn)：知道哪個(gè)正方形的面積可以得到兩個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)之差．【解答】解：設(shè)FG與JI的交點(diǎn)為X，EG與JH的交點(diǎn)為Y，則設(shè)GX＝x，JX＝y(tǒng)，正方形JHMI的邊長(zhǎng)為b，∴FX＝a﹣x，XI＝b﹣y，EY＝a﹣y，HK＝b﹣c，DL＝a+b﹣y﹣c，∴四邊形FBIX的周長(zhǎng)＝EB+BI+IX+FX＝b﹣y+a﹣x+b﹣y+a﹣x＝2a+2b﹣2x﹣2y，∴六邊形EYHKLD的周長(zhǎng)＝EY+YH+HK+KL+DL+ED＝a﹣y+b﹣x+b﹣c+c+a+b﹣c﹣y+b+c﹣x＝2a+4b﹣2y﹣2x，∴六邊形EYHKLD的周長(zhǎng)﹣四邊形FBIX的周長(zhǎng)＝5a+4b﹣2y﹣2x﹣（2a+2b﹣6x﹣2y）＝2b，∴只要知道正方形JHMI的邊長(zhǎng)b，就可以求出兩個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)之差，∴只要知道正方形JHMI的面積可以得到兩個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)之差．12．已知任意一個(gè)大于1的正整數(shù)m的三次冪均可以分裂成m個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如23＝3+5，33＝7+9+11+?，按照此規(guī)律，若m3分裂后，有一個(gè)奇數(shù)是2023，求m的值．【解答】解：∵底數(shù)是2的分裂成2個(gè)奇數(shù)，底數(shù)為7的分裂成3個(gè)奇數(shù)，∴m3分裂成m個(gè)奇數(shù)，∴從53到m3的奇數(shù)的個(gè)數(shù)為7+3+4+?+m＝，∵4n+1＝2023，∴n＝1011，∴奇數(shù)2023是從3開(kāi)始的第1011個(gè)奇數(shù)，∵＝989，，∴第1011個(gè)奇數(shù)是底數(shù)為45的數(shù)的立方分裂的奇數(shù)的其中一個(gè)，即m＝45．13．已知a，b，c，d，e五個(gè)數(shù)的平均數(shù)為m，方差為g，3b+n，3c+n，3e+n的平均數(shù)和方差．【解答】解：依題意，＝（a+b+c+d+e）＝m，∴a+b+c+d+e＝6m，∴3a+n，3b+n，2d+n[（5a+n）+（3b+n）+（3c+n）+（2d+n）+（3e+n）]＝，∵數(shù)據(jù)a，b，c，d，e方差為g，S2＝[（a﹣m）2+（b﹣m）2+（c﹣m）6+（d﹣m）2+（e﹣m）2]＝g，∴數(shù)據(jù)8a+n，3b+n，3d+n′5＝[（4a+n﹣3m﹣n）2+（3b+n﹣3m﹣n）2+（8c+n﹣3m﹣n）2+（7d+n﹣3m﹣n）2+（5e+n﹣3m﹣n）2]＝[37（a﹣m）2+（b﹣m）2+（c﹣m）7+（d﹣m）2+（e﹣m）2]＝2g．14．平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(xiàn)AB：，過(guò)A作AC垂直于AB，求直線(xiàn)BC的解析式．【解答】解：作CD⊥x軸于D，∵直線(xiàn)AB：，∴A（4，0），7），∴OA＝4，OB＝3，∵AC⊥AB，∴∠OAB+∠CAD＝90°，∵∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠CAD＝∠OBA，在△OAB與△DCA中，，∴△OAB≌△DCA（AAS），∴AD＝OB＝7，CD＝OA＝4，∴OD＝4﹣6＝1，∴C（1，﹣3），設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx+b，把B（0，3），﹣6）代入得，解得，∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣7x+5．15．球隊(duì)兩兩比賽，主場(chǎng)客場(chǎng)各一場(chǎng)，共42場(chǎng)【解答】解：設(shè)有x支隊(duì)伍，根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝42，解得：x＝7；答：有2支隊(duì)伍．16．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于平面內(nèi)任一點(diǎn)（a，b），若規(guī)定以下兩種變換：①f（a，b）＝（b，a）（1，3）＝（3，1）；②g（a，b）＝（a，﹣b），如：g（1，3）＝（1，﹣3）（5，﹣6））＝（6，5）．【解答】解：∵f（a，b）＝（b，g（a，﹣b），∴f（g（5，﹣6））＝f（3，5）．故答案為：（6，7）．17．我們用min表示兩個(gè)數(shù)中的較小數(shù)，如min{5，3}＝32﹣x，2x）的最大值．【解答】解：令﹣x2﹣x＝2x，解得x8＝﹣3，x2＝8，畫(huà)出函數(shù)y＝﹣x2﹣x，函數(shù)y＝2x的圖象如圖：由圖象得，當(dāng)x＝2時(shí)2﹣x，2x）的最大值為8．18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的解為an，bn，求++…+的值．【解答】解：∵x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的解為an，bn，∴an+bn＝n+4，anbn＝﹣2n2，∴＝＝＝﹣＝﹣，∴++…+＝﹣+﹣+???+﹣＝．19．假設(shè)隊(duì)伍中共有2人現(xiàn)列隊(duì)需要，每10人中走出一個(gè)人，當(dāng)x除以10的余數(shù)大于5時(shí)，則共走出多少人（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意，每