湖南省長沙市2025屆高三上學(xué)期新高考適應(yīng)性考試針對性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題 含答案

湖南省長沙市2025屆高三新高考適應(yīng)性考試針對性訓(xùn)練數(shù)學(xué)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)為虛數(shù)單位，若，則（

）A． B． C． D．3．若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知，則（

）A． B． C． D．5．的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．240 B． C．560 D．3606．某公司計(jì)劃派員工到甲、乙、丙、丁、戊這5個(gè)領(lǐng)頭企業(yè)中的兩個(gè)企業(yè)進(jìn)行考察學(xué)習(xí)，記該公司員工所學(xué)習(xí)的企業(yè)中含甲、乙、丙的個(gè)數(shù)為，記的所有取值的平均數(shù)為，方差為，則（

）A． B． C． D．7．如圖，已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過的直線與圓相切，與雙曲線在第四象限交于一點(diǎn)，且有軸，則離心率為（

）A．3 B． C． D．28．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．466 B．467 C．932 D．933二、多選題9．北京時(shí)間2024年7月27日，我國射擊健將黃雨婷、盛李豪在奧運(yùn)會(huì)上戰(zhàn)勝韓國選手，摘奪了射擊混合團(tuán)體10米氣步槍金牌，通過賽后數(shù)據(jù)記錄得到其中一名選手的得分分別為7，12，13，18，18，20，32，則（

）A．該組數(shù)據(jù)的極差為26B．該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為18C．該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為19D．若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)最高分和最低分，則這組數(shù)據(jù)的方差變小10．已知函數(shù)，則（

）A．若，則B．若，則在上單調(diào)遞增C．若，則在上單調(diào)遞減D．若有兩個(gè)零點(diǎn)，則11．已知正方體的棱長為2，，分別是線段，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則（

）A．若是的中點(diǎn)，則平面B．若是的中點(diǎn)，則平面C．的最大值是D．的最小值為三、填空題12．已知三角形中，，是上中線的三等分點(diǎn)滿足，記，則.13．已知數(shù)列，，…，，其中，，…，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；，，…，是公差為的等差數(shù)列；，，…，是公差為的等差數(shù)列，則a30的最小值為14．已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，為上異于的兩動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為.四、解答題15．在面積為S的中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)若，求周長的最大值；(2)若為銳角三角形，且AB邊上的高h(yuǎn)為2，求面積的取值范圍．16．已知函數(shù)在上的最大值為.（1）求的解析式；（2）討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).17．如圖，在直三棱柱中，為等腰直角三角形，，D為BC的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．18．如圖，已知點(diǎn)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是負(fù)半軸上的一點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)與點(diǎn).

(1)求面積的最大值；(2)設(shè)直線的斜率為和直線的斜率為，橢圓上是否存在點(diǎn)，使得為定值，若存在，求出點(diǎn)與值，若不存在，請說明理由.19．有一位老師叫他的學(xué)生到麥田里，摘一顆全麥田里最大的麥穗，期間只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結(jié)果，他的學(xué)生兩手空空走出麥田，因?yàn)樗恢懊媸欠裼懈玫模詻]有摘，走到前面時(shí)，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設(shè)該學(xué)生在麥田中一共會(huì)遇到顆麥穗（假設(shè)顆麥穗的大小均不相同），最大的那顆麥穗出現(xiàn)在各個(gè)位置上的概率相等，為了使他能在這些麥穗中摘到那顆最大的麥橞，現(xiàn)有如下策略：不摘前顆麥穗，自第顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的麥穗都大的，就摘這顆麥穗，否則就摘最后一顆.設(shè)，該學(xué)生摘到那顆最大的麥穗的概率為.（?。?(1)若，，求；(2)若取無窮大，從理論的角度，求的最大值及取最大值時(shí)的值.湖南省長沙市2025屆高三新高考適應(yīng)性考試針對性訓(xùn)練數(shù)學(xué)參考答案：題號12345678910答案BDABBDCCBDAD題號11答案ACD1．B【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】，所以.故選：B.2．D【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，即可求解．【詳解】，故．故選：D．3．A【分析】利用充分條件與必要條件的概念判斷.【詳解】由得，，所以且，則，充分性成立；由，不妨取，則，顯然，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A．4．B【分析】根據(jù)已知條件即可求得，代入即可求得.【詳解】由，則，化簡得，所以，由.故選：B5．B【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)特征即可求解.【詳解】的通項(xiàng)為且，令解得，故的項(xiàng)的系數(shù)為，故選：B6．D【分析】根據(jù)方差的計(jì)算即可求解，結(jié)合排列組合求解概率，即可根據(jù)期望和方差，結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】由題知的所有可能取值為，則，.且，，，所以，故A錯(cuò)誤；由于，故C錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，則，故D正確．故選：D7．C【分析】求出的坐標(biāo)，由直線與圓相切于點(diǎn)，可求出，，，，再由銳角三角函數(shù)得到，進(jìn)而求出離心率.【詳解】圓的圓心，半徑，雙曲線中，令，解得，則，由直線與圓相切于點(diǎn)，得，又，則，，于是，即，有，而，所以.故選：C8．B【分析】方法一：根據(jù)的范圍，確定的范圍，結(jié)合已知條件以及函數(shù)的零點(diǎn)，得且，分別驗(yàn)證、、確定的范圍，求出的最大值，代入函數(shù)解析式即可求解；方法二：利用換元的令，根據(jù)的范圍，確定的范圍，由，得出的范圍，結(jié)合圖象性質(zhì)，以及已知條件，最終確定的最大值，代入函數(shù)解析式即可求解.【詳解】方法一：由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的周期為，因?yàn)?，可得，又由函?shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，且滿足，且，可得，即，且，當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)解集為空集，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為.所以，得，，則，解得，令，則有，解得，即，因?yàn)?，所以共?67個(gè)零點(diǎn).方法二：由題意，函數(shù)，可得函數(shù)的周期為，因?yàn)椋稍O(shè)，則，又函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，可得，所以，則由圖象性質(zhì)，可知，得，即.或者，得，即.所以最大為，得.，則，解得.令，則有：，解得：，即，因?yàn)?，所以共?67個(gè)零點(diǎn).故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于區(qū)間長度為定值的動(dòng)區(qū)間，若區(qū)間上至少含有個(gè)零點(diǎn)，需要確定含有個(gè)零點(diǎn)的區(qū)間長度，一般和周期相關(guān).9．BD【分析】由統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)分析的相關(guān)概念即可得到結(jié)論.【詳解】該組數(shù)據(jù)的極差，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為出現(xiàn)頻數(shù)最多的：18，故B選項(xiàng)正確；該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)：,取第6個(gè)，則為20，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)最高分和最低分，則這組數(shù)據(jù)波動(dòng)變小，所以方差變小，故D選項(xiàng)正確；故選：BD.10．AD【分析】根據(jù)極值點(diǎn)的含義列方程求解a判斷A，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號求解單調(diào)區(qū)間判斷BC，結(jié)合為的一個(gè)零點(diǎn)，所以=0在有一個(gè)解，分參后轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)有一個(gè)公共點(diǎn)判斷D.【詳解】若，，則，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，則，令得，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，符合題意，A正確；若，，，在上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；若，1=，令得，所以在上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；若有兩個(gè)零點(diǎn)，且為一個(gè)零點(diǎn)，即在有一個(gè)解，即在有一個(gè)解，則與有唯一交點(diǎn)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以0，D正確.故選：AD11．ACD【分析】對選項(xiàng)A，根據(jù)是的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，通過證明四邊形是平行四邊形即可證明；對選項(xiàng)B，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的一個(gè)法向量，證明即可；對選項(xiàng)C，根據(jù)可知，與重合時(shí)，最大；對選項(xiàng)D，設(shè)出，坐標(biāo)，則可知坐標(biāo)，故，，由可知，代入數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可轉(zhuǎn)化為的取值范圍，利用三角換元即可求解.【詳解】是的中點(diǎn)，，，，∴是的中點(diǎn).連接交于點(diǎn)如圖所示.，∴四邊形是平行四邊形，.又平面，平面，平面，故A正確；以為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，若是的中點(diǎn)，此時(shí)是的中點(diǎn)，那么，，，，而平面的一個(gè)法向量.，不是平面的法向量，故B錯(cuò)誤；當(dāng)與重合時(shí)，最大，為，故C正確；設(shè)，，則，，，，，，設(shè)，，，故，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中線面位置關(guān)系、求線段長度最小值及數(shù)量積最小值的方法，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力、數(shù)形結(jié)合能力和計(jì)算能力，屬于壓軸題.12．1【分析】結(jié)合圖形，由平面向量線性運(yùn)算和平面向量的基本定理求解即可.【詳解】如圖，，所以，所以.故答案為：1.13．/7.5【分析】先計(jì)算出，由得出，再由利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案.【詳解】因?yàn)?，，…，是首?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，因?yàn)?，，…，是公差為的等差?shù)列，所以，因?yàn)?，，…，是公差為的等差?shù)列，所以，因此，的取值范圍為.故答案為：.14．11【分析】將點(diǎn)帶入拋物線方程求出，然后根據(jù)設(shè)，根據(jù)，解得，根據(jù)拋物線定義表示出，最后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解出最小值.【詳解】因?yàn)樵趻佄锞€上，所以，得，因此拋物線令，則因?yàn)?，所以，化簡得，令，則,，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即的最小值為，故答案為：11.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，通過解得的關(guān)系是本題的關(guān)鍵點(diǎn)，最后根據(jù)拋物線定義表示出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解出最小值.通過設(shè)坐標(biāo)結(jié)合向量表示出坐標(biāo)關(guān)系的聯(lián)立思維是圓錐曲線常用方法，對于學(xué)生來說務(wù)必掌握該方法和技巧..15．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊角互換，代入已知條件，可以求得，再結(jié)合余弦定理和基本不等式即可求得最值；（2）通過等面積法，用兩種方法表示三角形的面積即可求得三邊之間的關(guān)系，用正弦定理將邊化為角，用輔助角公式化簡，借助角的范圍來求得最值.【詳解】（1）由和正弦定理，三角形面積公式得，，因，故得，，由余弦定理，，因，則；·由余弦定理，，即，整理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即，于是，，即當(dāng)時(shí)，周長的最大值為；（2）由可得，由正弦定理，，即得，，，·則，由為銳角三角形可得，，解得，則，由正弦函數(shù)的圖象知，，故得，即面積的取值范圍為.16．（1）（2）有且僅有個(gè)零點(diǎn)【解析】（1）由，求導(dǎo)得到，根據(jù)函數(shù)在上的最大值為，利用唯一的極值點(diǎn)為最值點(diǎn)求解.（2）由（1）得到，求導(dǎo)，設(shè)，分，，，四種情況用導(dǎo)數(shù)法結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解.【詳解】（1）由，得，令，得；令，得，∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.故在處有極大值，也是的最大值，所以，∴，故.（2）∵，∴，設(shè)，（i）當(dāng)時(shí)，∴，所以單調(diào)遞減.又，，從而在上存在唯一零點(diǎn).也即在上存在唯一零點(diǎn).（ii）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以存在，，且在上，在上，所以為在上的最大值，又因?yàn)椋?，所以在上恒大于零，無零點(diǎn).（iii）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.，所以在上單調(diào)遞增.又，，所以在上存在唯一零點(diǎn).（iiii）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，∴，所以在上單調(diào)遞減，所以，即.∴在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以在無零點(diǎn)，綜上，有且僅有個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)以及零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，還考查了分類討論和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.17．（1）見解析（2）．【分析】（1）連接交與點(diǎn)，可證得，從而得證線面平行；（2）以DA，DC所在直線，過點(diǎn)D且平行于的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，由直線的方向向量與法向量夾角的余弦值的絕對值求得線面角的正弦值．【詳解】（1）連接，記，連接DE，在直三棱柱中，易知側(cè)面為平行四邊形，所以E是的中點(diǎn)，又D為BC的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．（2）因?yàn)?，D為BC的中點(diǎn)，所以，又在直三棱柱中，平面ABC，所以可以DA，DC所在直線，過點(diǎn)D且平行于的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椋瑸榈妊苯侨切?，所以，，，，故，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，所以，令，得，則為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，則．故直線與平面所成角的正弦值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間中線面位置關(guān)系的證明，線面角的求解，求空間可建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求空間角，把空間想象問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算問題，考查考生的邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力．18．(1)(2)存在，答案見解析【分析】（1）利用兩個(gè)公共底的三角形面積差表示出所求三角形面積，再由根與系數(shù)的關(guān)系化簡，化簡后換元，利用均值不等式求最值；（2）設(shè)，表示出，再利用在直線上及根與系數(shù)的關(guān)系化簡，觀察式子當(dāng)當(dāng)，時(shí)為定值，即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，由，可設(shè)，由題意，聯(lián)立，消元得，設(shè)，，則，且，，所以的面積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)（此時(shí)適合的條件）取得等號.故面積的最大值為.（2）設(shè)橢圓上存在滿足條件的點(diǎn)，定值，如圖，

由（1）知，，所以，，，由，在上，所以，，所以，當(dāng)，，時(shí)，該等式成立與取值無關(guān)，此時(shí)，故滿足條件的橢圓上的點(diǎn)對應(yīng)或?qū)?yīng).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：定值問題的關(guān)鍵在于能夠把利用直線消元即根與系數(shù)的關(guān)系化為關(guān)于及的式子，通過觀察確定的取值，使得為定值，對運(yùn)算能力要求很高.19．(1)(2)的最大值為，此時(shí)的值為.【分析】（1）由題意可知，要摘到那顆最大的麥穗，有兩種情況，最大的麥穗是第3顆和最大的麥穗是最后1顆，分情況分析兩種情況的可能性，結(jié)合古典概型即可求出結(jié)果；（2）記事件表示最大的麥穗被摘到，根據(jù)條件概率和全概率公式求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出最值即可.【詳解】（1）這4顆麥穗的位置從第1顆到第4顆排序，有種情況.要摘到那顆最大的麥穗，有以下兩種情況：①最大的麥穗是