2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之立體幾何初步

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之立體幾何初步一．選擇題（共10小題）1．（2024?泰安模擬）下列命題中，正確的是A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．垂直于同一直線的兩條直線平行 C．若直線與平面上的無數(shù)條直線都垂直，則 D．若、、是三條直線，且與都相交，則直線、、在同一平面上2．（2024?天津）一個(gè)五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知，，．則該五面體的體積為A． B． C． D．3．（2024?河南模擬）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為A． B． C． D．4．（2024?吳忠模擬）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的表面積（單位：是A．24 B．28 C．32 D．365．（2024?四川模擬）如圖所示，在棱長為2的正方體中，直線平面，，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與側(cè)面的交點(diǎn)的軌跡長為A． B． C． D．6．（2024?大連模擬）在正四棱臺中，，，，則該正四棱臺的體積為A． B． C． D．7．（2024?云南模擬）底面積是，側(cè)面積是的圓錐的體積是A． B． C． D．8．（2024?榆林三模）設(shè)，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，下面為真命題的是A．若，，，則 B．對于空間中的直線，若，，，，則 C．若直線上存在兩點(diǎn)到平面的距離相等，則 D．若，，則9．（2024?莆田三模）若制作一個(gè)容積為的圓錐形無蓋容器（不考慮材料的厚度），要使所用材料最省，則該圓錐的高是A． B．2 C． D．410．（2024?咸陽模擬）已知平行六面體中，棱、、兩兩的夾角均為，，，為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?郴州模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是A．三棱錐的體積是定值 B．存在點(diǎn)，使得與所成的角為 C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為 D．若，則的軌跡的長度為12．（2024?隨州模擬）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則A．異面直線與所成角的余弦值為 B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最大值為 C．過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長為 D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為13．（2024?鹽湖區(qū)一模）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的有A．若，，則 B．若，，則 C．若，，，則 D．若，，，則14．（2024?保定三模）如圖，在正方體中，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則下列結(jié)論正確的是A．，，，四點(diǎn)共面 B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形 C．平面 D．平面平面15．（2024?江蘇模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則A．當(dāng)時(shí)，平面 B．任意，，三棱錐的體積是定值 C．存在，，使得與平面所成的角為 D．當(dāng)時(shí)，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為三．填空題（共5小題）16．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知圓錐的高為5，其頂點(diǎn)和底面圓周都在直徑為6的球面上，則圓錐的體積為．17．（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體中，，，，設(shè)四面體與四面體的體積分別為、，則的值為．18．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，，使；②存在點(diǎn)，，使；③到直線和的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)；④若，則四面體體積的最大值為；其中所有正確結(jié)論的序號是．19．（2024?遼寧模擬）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)，距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體中，，點(diǎn)在棱上，，動(dòng)點(diǎn)滿足．若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為；若點(diǎn)在長方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為．20．（2024?甘肅模擬）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)．在一個(gè)“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為．四．解答題（共5小題）21．（2024?河南模擬）如圖所示，在△中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn)．是平面外一點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為．求△的面積；求三棱錐的體積．22．（2024?重慶模擬）正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個(gè)多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這樣的多面體就叫做正多面體．可以驗(yàn)證一共只有五種多面體．令，，，，均為正整數(shù)），我們發(fā)現(xiàn)有時(shí)候某正多面體的所有頂點(diǎn)都可以和另一個(gè)正多面體的一些頂點(diǎn)重合，例如正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合，正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的所有頂點(diǎn)重合，等等．（1）當(dāng)正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合時(shí)，求正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值；（2）當(dāng)正面體在棱長為1的正面體內(nèi)，且正面體的所有頂點(diǎn)均為正面體各面的中心時(shí)，求正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積；（3）已知正面體的每個(gè)面均為正五邊形，正面體的每個(gè)面均為正三角形．考生可在以下2問中選做1問．（第一問答對得2分，第二問滿分8分，兩題均作答，以第一問結(jié)果給分）第一問：求棱長為1的正面體的表面積；第二問：求棱長為1的正面體的體積．23．（2024?湖北模擬）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，，是邊長為2的正三角形，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為．（1）證明：直線平面；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，求當(dāng)為何值時(shí)，．24．（2024?揚(yáng)州模擬）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的大?。?5．（2024?商洛模擬）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，，分別是和的中點(diǎn)，平面平面，．（1）證明：平面．（2）求三棱錐的體積．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之立體幾何初步參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?泰安模擬）下列命題中，正確的是A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．垂直于同一直線的兩條直線平行 C．若直線與平面上的無數(shù)條直線都垂直，則 D．若、、是三條直線，且與都相交，則直線、、在同一平面上【答案】【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；直線與平面垂直【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；簡易邏輯；綜合法；邏輯推理；直觀想象；空間位置關(guān)系與距離【分析】利用平面的基本性質(zhì)及推論可知，錯(cuò)誤，正確，再利用直線與平面垂直的判定定理可知選項(xiàng)錯(cuò)誤．【解答】解：對于：不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故錯(cuò)誤，對于：由墻角模型可知，兩條直線可能是相交直線，也可能是異面直線，顯然錯(cuò)誤，對于：根據(jù)線面垂直的判定定理，若直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直，若直線與平面內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，則直線與平面不垂直，故錯(cuò)誤，對于：因?yàn)?，所以與唯一確定一個(gè)平面，設(shè)為平面，又與和都相交，所以也在平面內(nèi)，即直線、、共面，故選項(xiàng)正確，故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了平面的基本性質(zhì)及推論，考查了空間中線與線的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題．2．（2024?天津）一個(gè)五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知，，．則該五面體的體積為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意，分別延長、到、，使、、平行且相等，得到三棱柱，根據(jù)四邊形與四邊形全等，利用錐體的體積公式得到，然后求出的體積，進(jìn)而算出該五面體的體積，可得答案．【解答】解：延長到，使，延長到，使，連接、，可得，結(jié)合，可知為三棱柱，因?yàn)樗倪呅闻c四邊形全等，所以，由，且它們兩兩之間的距離為1．可知：當(dāng)為正三棱柱時(shí)，底面邊長為1，高為3，此時(shí)．根據(jù)棱柱的性質(zhì)，若為斜三棱柱，體積也是，因此，，可得該五面體的體積．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查棱柱的定義與性質(zhì)、柱體與錐體的體積公式及其應(yīng)用等知識，考查了計(jì)算能力、圖形的理解能力，屬于中檔題．3．（2024?河南模擬）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】圓錐的側(cè)面積和表面積【專題】三角函數(shù)的求值；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想【分析】根據(jù)半徑求出底面周長，由弧長公式可得母線長，再利用圓錐的側(cè)面積公式求解．【解答】解：因?yàn)榈酌姘霃?，所以底面周長為，又因?yàn)閭?cè)面展開圖是圓心角為的扇形，所以圓錐的母線長，所以該圓錐的側(cè)面積．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?吳忠模擬）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：，則該幾何體的表面積（單位：是A．24 B．28 C．32 D．36【答案】【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何；轉(zhuǎn)化法；數(shù)形結(jié)合【分析】借助三視圖得到幾何體的直觀圖后計(jì)算即可得．【解答】解：該幾何體的直觀圖如圖所示，則幾何體的表面積為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了利用三視圖求幾何體的表面積問題，是基礎(chǔ)題．5．（2024?四川模擬）如圖所示，在棱長為2的正方體中，直線平面，，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與側(cè)面的交點(diǎn)的軌跡長為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】棱柱的結(jié)構(gòu)特征【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；向量法；轉(zhuǎn)化思想；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理【分析】先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，保證，，，四點(diǎn)共面，從而得到向量與平面的法向量垂直，進(jìn)而分析得出的方程表示的軌跡是什么，求解即可．【解答】解：在棱長為2的正方體中，直線平面，，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，2，，，2，，直線平面，，設(shè)，如圖，在矩形中，，△，，點(diǎn)滿足，，設(shè)平面的法向量為，且，，可得，即，不妨取，由于直線與側(cè)面的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，0，，可得，，，四點(diǎn)共面，且，顯然，得方程，顯然方程在平面內(nèi)表示一條直線，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，0，，此時(shí)兩點(diǎn)，重合，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，0，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，此時(shí)兩點(diǎn)，重合，直線與側(cè)面的交點(diǎn)的軌跡為線段，且．故選：．【點(diǎn)評】本題考查正方體結(jié)構(gòu)特征、三角形相似、四點(diǎn)共面、點(diǎn)的軌跡等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．6．（2024?大連模擬）在正四棱臺中，，，，則該正四棱臺的體積為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】棱臺的體積【專題】綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)題意可得：該正四棱臺上下底面正方形的中心到相應(yīng)正方形頂點(diǎn)的距離分別為，，從而可求出該正四棱臺的高，最后根據(jù)正四棱臺的體積公式，即可求解．【解答】解：正四棱臺中，，，上下底面正方形的中心到相應(yīng)正方形頂點(diǎn)的距離分別為，，又側(cè)棱，該正四棱臺的高為，該正四棱臺的體積為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查正四棱臺的體積的求解，屬基礎(chǔ)題．7．（2024?云南模擬）底面積是，側(cè)面積是的圓錐的體積是A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】圓錐的體積【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何；定義法；方程思想【分析】利用圓錐的底面積和側(cè)面積公式求出底面圓半徑和母線長，再求圓錐的高，即可計(jì)算圓錐的體積．【解答】解：設(shè)圓錐的母線長為，高為，半徑為，則，且，解得，，所以，所以圓錐的體積為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式和體積公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．8．（2024?榆林三模）設(shè)，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，下面為真命題的是A．若，，，則 B．對于空間中的直線，若，，，，則 C．若直線上存在兩點(diǎn)到平面的距離相等，則 D．若，，則【答案】【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【專題】綜合法；整體思想；邏輯推理；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象【分析】由空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系判定；直接證明正確．【解答】解：若，，，則或與異面，故錯(cuò)誤；當(dāng)，，，時(shí)，只有，相交時(shí)才有，故錯(cuò)誤；若直線上存在兩點(diǎn)到平面的距離相等，則或與相交，故錯(cuò)誤；如圖，，過作平面和平面交于，則，而，故，又，，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．9．（2024?莆田三模）若制作一個(gè)容積為的圓錐形無蓋容器（不考慮材料的厚度），要使所用材料最省，則該圓錐的高是A． B．2 C． D．4【答案】【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；立體幾何【分析】根據(jù)題意，設(shè)圓錐的高與半徑，利用體積公式得出高與半徑的關(guān)系，再消元轉(zhuǎn)化得出側(cè)面積，利用導(dǎo)數(shù)計(jì)算單調(diào)性與最值，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)該圓錐的高為，底面圓的半徑為，則，從而，變形可得，該圓錐的側(cè)面積．令，易知時(shí)，，，單調(diào)遞減，時(shí)，，，單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得最小值；所以要使所用材料最省，則該圓錐的高是2．故選：．【點(diǎn)評】本題考查圓錐的體積、表面積計(jì)算，涉及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，屬于中檔題．10．（2024?咸陽模擬）已知平行六面體中，棱、、兩兩的夾角均為，，，為中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；空間角；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理【分析】由題意求出異面直線的方向向量和方向向量的表達(dá)式，求出這兩個(gè)向量的余弦值，進(jìn)而求出異面直線所成的角的余弦值．【解答】解：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，棱、、兩兩的夾角均為，，，設(shè)，則，由平行六面體的性質(zhì)可得：，，可得，，所以，，可得，則，．所以異面直線與所成角的余弦值為，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用及用空間向量的方法求異面直線所成的角的余弦值，屬于中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?郴州模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是A．三棱錐的體積是定值 B．存在點(diǎn)，使得與所成的角為 C．直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為 D．若，則的軌跡的長度為【答案】【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積；異面直線及其所成的角【專題】轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想【分析】對于：利用等體積轉(zhuǎn)換即可求得體積為定值；對于：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，得出，，利用向量夾角公式即可求解；對于：求出平面的法向量為，0，，利用向量夾角公式即可求解；對于：由可得，即可求解．【解答】解：對于，（定值），故正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，1，，設(shè)，，，，則，對于，，與的夾角滿足，故錯(cuò)誤；對于，平面的法向量為，0，，直線與平面所成的角的正弦值為，故正確；對于，，2，，，由可得，化簡可得，在平面內(nèi)，令，得，令，得，所以的軌跡的長度為，正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查等體積法求體積以及空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．12．（2024?隨州模擬）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則A．異面直線與所成角的余弦值為 B．點(diǎn)為正方形內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，的最大值為 C．過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面周長為 D．當(dāng)三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上時(shí)，球的表面積為【答案】【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面平行；異面直線及其所成的角；球的體積和表面積【專題】立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間角；對應(yīng)思想；向量法【分析】對于：根據(jù)正方體的性質(zhì)得出在△中即為異面直線與所成的角，即可判定；對于：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，得到，，即可證明面面，則根據(jù)已知得出軌跡為線段，則過作，此時(shí)取得最小值，即可判定；對于：過點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，得出，，設(shè)，，以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，得出，，，的坐標(biāo)，則可根據(jù)，列式得出，，即可得出，，在△中得出，同理得出，在中得出，同理得出，在中得出，即可得出五邊形的周長，即過點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面周長，即可判定；對于：取的中點(diǎn)，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，則為外接球的半徑，計(jì)算得出半徑即可求出球的表面積，即可判定．【解答】解：對于選項(xiàng)，，在△中即為異面直線與所成的角，，異面直線與所成的角的余弦值為．故正確；對于選項(xiàng)，過點(diǎn)、、的平面截正方體，平面平面，則過點(diǎn)、、的平面必與與交于兩點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)、、的平面必與與分別交于、，過點(diǎn)、、的平面與平面和平面分別交于與，，同理可得，如圖過點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面圖形為五邊形，如圖以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S、軸、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，0，，，2，，，1，，，2，，，0，，，，，，，，，解得，，，，，在△中，，，，同理：，在中，，，，同理：在中，，，，即過點(diǎn)、、的平面截正方體所得的截面周長為．故正確；對于選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，，，，，，四邊形為平行四邊形，，，，同理可得，又面，面，面，面，面，面，又，，面，面面，又面，面，軌跡為線段，在中，過作，此時(shí)取得最小值，在△中，，，，在△中，，，，在△中，，，，如圖，在中，，即的最小值為，而的最大值為．故錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)，如圖所示，取的中點(diǎn)，則，過作，且使得，則為三棱錐的外接球的球心，所以為外接球的半徑，在中，，，．故項(xiàng)正確，故選：．【點(diǎn)評】本題考查線面角以及利用空間向量法解決球體相關(guān)問題，屬于中檔題．13．（2024?鹽湖區(qū)一模）設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的有A．若，，則 B．若，，則 C．若，，，則 D．若，，，則【答案】【考點(diǎn)】平面與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【專題】轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理；空間位置關(guān)系與距離；綜合法【分析】根據(jù)空間中線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系，即可分別求解．【解答】解：對選項(xiàng)，，，或與相交或與異面，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對選項(xiàng)，，，，選項(xiàng)正確；對選項(xiàng)，，，與內(nèi)的某條直線平行，也平行該直線，又，，選項(xiàng)正確；對選項(xiàng)，，，，，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間中線線關(guān)系，線面關(guān)系，面面關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．14．（2024?保定三模）如圖，在正方體中，，，，分別為棱，，，的中點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則下列結(jié)論正確的是A．，，，四點(diǎn)共面 B．平面被正方體截得的截面是等腰梯形 C．平面 D．平面平面【答案】【考點(diǎn)】平面與平面垂直；直線與平面平行；平面的基本性質(zhì)及推論；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【專題】立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理【分析】由題意可得過，，三點(diǎn)的平面為一個(gè)正六邊形，判斷出的真假；分別連接，和，，截面是等腰梯形，判斷出的真假；分別取，的中點(diǎn)，，易證顯然不平行平面，可判斷出的真假；平面，可判斷出的真假．【解答】解：對于：如圖經(jīng)過，，三點(diǎn)的平面為一個(gè)正六邊形，點(diǎn)在平面外，所以，，，四點(diǎn)不共面，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于：分別連接，和，，則平面即平面，截面是等腰梯形，所以選項(xiàng)正確；對于：分別取，的中點(diǎn)，，則平面即為平面，由正六邊形，可知，所以不平行于，又，平面，所以，所以平面，所以不平行于平面，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于：因?yàn)?，是等腰三角形，所以，所以，所以，因?yàn)?，是，的中點(diǎn)，易證，由正方體可得平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行的證法及平面與平面垂直的證法，屬于中檔題．15．（2024?江蘇模擬）如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則A．當(dāng)時(shí)，平面 B．任意，，三棱錐的體積是定值 C．存在，，使得與平面所成的角為 D．當(dāng)時(shí)，平面截該正方體的外接球所得截面的面積為【答案】【考點(diǎn)】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面所成的角；直線與平面垂直【專題】立體幾何；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；邏輯推理【分析】根據(jù)三垂線定理及線面垂直的判定定理，三棱錐的體積公式，線面角的求法，坐標(biāo)法求點(diǎn)面距，即可分別求解．【解答】解：對選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，與重合，根據(jù)三垂線定理易證，，從而可得平面，即平面，選項(xiàng)正確；對選項(xiàng)，與相交，到平面的距離不是定值，又的面積為定值，對任意，，三棱錐的體積不是定值，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，與重合，此時(shí)易知平面，當(dāng)時(shí)，與重合，如圖，設(shè)，連接，，易知平面，又平面，平面平面，且平面平面，在平面的射影為，與平面所成角為，又易知，存在，，使得與平面所成的角為，選項(xiàng)正確；對選項(xiàng)，正方體的外接球的球心為正方體的體心，且外接球的直徑為正方體的體對角線，，，當(dāng)時(shí)，為靠近的三等分點(diǎn)，建系如圖，則，0，，，2，，，，，，1，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，球心到平面的距離，平面截該正方體的外接球所得截面小圓半徑，平面截該正方體的外接球所得截面小圓的面積為，選項(xiàng)正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查線面垂直的證明，三棱錐的體積變化問題，線面角的變化問題，球的截面面積的求解，三垂線定理的應(yīng)用，坐標(biāo)法的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題．三．填空題（共5小題）16．（2024?鹽湖區(qū)一模）已知圓錐的高為5，其頂點(diǎn)和底面圓周都在直徑為6的球面上，則圓錐的體積為．【答案】．【考點(diǎn)】圓錐的體積【專題】整體思想；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法【分析】求出圓錐的底面半徑，結(jié)合錐體的體積公式可求得該圓錐的體積．【解答】解：取圓錐的軸截面如下圖所示：設(shè)圓錐的外接球?yàn)榍?，易知，且，，則，故圓錐的底面半徑為，因此該圓錐的體積為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了圓錐的體積公式，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體中，，，，設(shè)四面體與四面體的體積分別為、，則的值為．【答案】．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】立體幾何；綜合法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】根據(jù)題意易得，，，再作出底面圖形，根據(jù)向量共線定理，三棱錐的體積公式，化歸轉(zhuǎn)化，即可求解．【解答】解：，，，，，，，，，作出底面圖形，延長，交于點(diǎn)，如圖所示：由，可得，設(shè)，又，，又，，三點(diǎn)共線，，，，又，，，又，且，，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查四面體的體積問題，向量的線性運(yùn)算，向量共線定理的應(yīng)用，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．18．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，正方形和矩形所在的平面互相垂直．點(diǎn)在正方形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在矩形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)，，使；②存在點(diǎn)，，使；③到直線和的距離相等的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)；④若，則四面體體積的最大值為；其中所有正確結(jié)論的序號是①③④．【答案】①③④．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；立體幾何；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量研究位置關(guān)系，結(jié)合軌跡方程、三棱錐體積公式逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，2，，，2，，，0，，，2，，設(shè)，，，，，，其中，，，，對于①，，，，則，當(dāng)，，時(shí)，有，故①正確；對于②，，，，，，，若，則有，由，，，，得，，此時(shí)與重合，與重合，不符合題意，故②錯(cuò)誤；對于③，點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，則，即，，，，，故其軌跡為雙曲線的一部分，即點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，③正確；對于④，，，，，，，又由，則，即，，又，故，故④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)評】考查向量法、向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量平行的性質(zhì)、軌跡方程、體積公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19．（2024?遼寧模擬）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點(diǎn)，距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線上的圓，該圓簡稱為阿氏圓．根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體中，，點(diǎn)在棱上，，動(dòng)點(diǎn)滿足．若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為；若點(diǎn)在長方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，為棱的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則三棱錐的體積的最小值為．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】①若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，可得，．設(shè)，由可得．即，．即可②若點(diǎn)在長方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，由①可得點(diǎn)在半徑為，球心為球上．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求得到面的距離為，求得到面的距離的最小值，又到面的距離的最小值為，利用體積公式即可求解．【解答】解：①若點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，可得，．設(shè)，由可得．即，．則點(diǎn)所形成的阿氏圓的半徑為，圓心為，②若點(diǎn)在長方體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，由①可得點(diǎn)在半徑為，球心為球上．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，可得，0，，，3，，，6，，，6，則，設(shè)面的法向量為，，可得．到面的距離為．則到面的距離的最小值為，為的中點(diǎn)，到面的距離的最小值為．則三棱錐的體積的最小值為．故答案為：，．【點(diǎn)評】本題考查了空間動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，屬于中檔題．20．（2024?甘肅模擬）傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等．“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)．在一個(gè)“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為．【考點(diǎn)】球的體積和表面積；旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何；對應(yīng)思想；定義法【分析】借助球體體積公式及圓柱表面積公式計(jì)算即可得．【解答】解：設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，母線長為，則球的體積為，所以，所以圓柱表面積為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了球體體積公式及圓柱表面積公式應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．四．解答題（共5小題）21．（2024?河南模擬）如圖所示，在△中，點(diǎn)在邊上，且，為邊的中點(diǎn)．是平面外一點(diǎn)，且．（1）證明：；（2）已知，，，直線與平面所成角的正弦值為．求△的面積；求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解答；（2）；．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；運(yùn)算求解【分析】（1）利用，得出，再根據(jù)，得出，進(jìn)而得出平面，即可得證；（2）在△中，，，，由余弦定理得出，進(jìn)而求出，利用三角形面積公式即可求解；利用等體積轉(zhuǎn)換法求三棱錐體積即可．【解答】解：（1）證明：因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，所以，又，故，即，如圖，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，又，所以，，因?yàn)椋?，即，所以，因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）在△中，，，，由余弦定理得，所以，故△的面積為；設(shè)直線與平面所成角為，由題意可知，則，故，又因?yàn)槠矫妫灾本€與平面所成的角為，于是，所以，如圖，連接，則三棱錐的體積為，設(shè)△，△的面積分別為，，點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)闉檫叺闹悬c(diǎn)，，所以由平面幾何知識易得，則三棱錐的體積為．【點(diǎn)評】本題考查向量法在立體幾何中的應(yīng)用，考查等體積法求三棱錐體積，屬于中檔題．22．（2024?重慶模擬）正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個(gè)多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條數(shù)都相等，這樣的多面體就叫做正多面體．可以驗(yàn)證一共只有五種多面體．令，，，，均為正整數(shù)），我們發(fā)現(xiàn)有時(shí)候某正多面體的所有頂點(diǎn)都可以和另一個(gè)正多面體的一些頂點(diǎn)重合，例如正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合，正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的所有頂點(diǎn)重合，等等．（1）當(dāng)正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合時(shí)，求正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值；（2）當(dāng)正面體在棱長為1的正面體內(nèi)，且正面體的所有頂點(diǎn)均為正面體各面的中心時(shí)，求正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積；（3）已知正面體的每個(gè)面均為正五邊形，正面體的每個(gè)面均為正三角形．考生可在以下2問中選做1問．（第一問答對得2分，第二問滿分8分，兩題均作答，以第一問結(jié)果給分）第一問：求棱長為1的正面體的表面積；第二問：求棱長為1的正面體的體積．【答案】（1）；（2）；（3）第一問：；第二問：．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）根據(jù)正面體特點(diǎn)求出，，，，，由此能求出結(jié)果；（2）推導(dǎo)出截面為邊長為2的正三角形，能求出結(jié)果；（3）第一問：根據(jù)正二十面體各面為正三角形即可求解；第二問：圖形可分為得到一個(gè)棱長相等的平行六面體和六個(gè)相同的立體圖形，由此能求出結(jié)果．【解答】解：（1）設(shè)正面體每個(gè)頂點(diǎn)出去的棱數(shù)相等為，每個(gè)面的邊的數(shù)量相等為，端點(diǎn)數(shù)量為，面的數(shù)量為，棱的數(shù)量為，每個(gè)棱有兩個(gè)端點(diǎn)，，每兩個(gè)相鄰的面共用一條棱，，，，代表多邊形的邊數(shù)，，要得到立體圖形，必須有，由題意易得，，，滿足條件的只有5組解，①，，，即正四面體；②，，，即正六面體；③，，，即正十二面體；④，，，即正八面體；⑤，，，即正二十面體．，，，，，為了滿足題意，只需找到正六面體的四個(gè)端點(diǎn)，端點(diǎn)距離全部相等，滿足題意的僅有一種，如圖，由題意得線面角只有或，當(dāng)正面體的所有頂點(diǎn)可以與正面體的某些頂點(diǎn)重合時(shí)，正面體的棱與正面體的面所成線面角的最大值為；（2）當(dāng)正面體在棱長為1的正面體內(nèi)，且正面體的所有頂點(diǎn)均為正面體各面的中心時(shí)，、、代表正六面體的中心，、、代表截面三角形，由題意得截面為邊長為的正三角形，正面體某一面所在平面截正面體所得截面面積面積為；（3）第一問：正二十面體各面為正三角形，表面積為；第二問：正十二面體各面為正五邊形，圖形如下：按照圖示帶箭頭的虛線分割，得到一個(gè)棱長相等的平行六面體和六個(gè)相同的立體圖形，如圖，、長度為1，且，由，知，即正六面體邊長為，正六面體邊長為，則，沿著頂棱的兩個(gè)端點(diǎn)，分別作關(guān)于頂棱垂直的切面，立體圖形可以拆成兩個(gè)四面體，一個(gè)三棱柱，先算出綠色邊的長度，再用勾股定理易得立體圖形高為，，總體積為．【點(diǎn)評】本題考查正多面體的性質(zhì)、歐拉公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．23．（2024?湖北模擬）如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，，是邊長為2的正三角形，，，分別是，的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為．（1）證明：直線平面；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，求當(dāng)為何值時(shí)，．【答案】（1）證明見解析；（2）當(dāng)時(shí)，．【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角；直線與平面垂直【專題】空間角；計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）利用中位線，直線平面的平行問題得出，根據(jù)直線平面的垂直問題得出平面，即可得出直線平面．（2）建立坐標(biāo)系得出平面的法向量，，，，，直線平面，直線的夾角的關(guān)系求解即可，，，．【解答】（1）證明：，分別為，中點(diǎn)，，又平面，平面，平面又平面，平面平面，．，，，，，平面平面，平面，直線平面，（2）如圖建立坐標(biāo)系得出：，0，，，0，，，0，，，2，，，0，，，，，0，為平面的法向量，，2，，，，，，，，設(shè)直線分別與平面、直線所成的角分別為，，，，，，即，求解，，，0，，存在，1，或，，，即當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)評】本題綜合考查了空間直線，平面的位置關(guān)系，判斷方法，空間向量解決存在性問題，運(yùn)用代數(shù)方法求解幾何問題，考查了學(xué)生的計(jì)算能力．24．（2024?揚(yáng)州模擬）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，，為中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求異面直線與所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）．【考點(diǎn)】直線與平面垂直；異面直線及其所成的角【專題】空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】（1）根據(jù)已知可推得，然后即可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，得出線面垂直；（2）根據(jù)已知證明，建立空間直角坐標(biāo)系，得出的坐標(biāo)，即可根據(jù)向量法得出答案．【解答】解：（1）證明：由已知可得，，為中點(diǎn)，所以，．因?yàn)槊娴酌?，面底面，平面，所以，平面．?）連接，因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以，．又因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，，且．由已知，所以．如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，，，，1，，所以，，，所以，，所以，異面直線與所成角的余弦值為，大小為．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：線面垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，三角函數(shù)的值的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題．25．（2024?商洛模擬）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，，分別是和的中點(diǎn)，平面平面，．（1）證明：平面．（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解答；（2）．【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行【專題】轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何；轉(zhuǎn)化思想【分析】（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，推導(dǎo)出四邊形是矩形，從而四邊形是平行四邊形，進(jìn)而，由此即可證明平面；（2）利用，即可求解．【解答】解：（1）取中點(diǎn)，連結(jié)，，，分別是，中點(diǎn)，在中，，且，又是中點(diǎn)，四邊形是矩形，，且，且，四邊形是平行四邊形，，又平面，平面，平面．（2）平面平面，且平面平面，過點(diǎn)作，垂足為，則平面，因?yàn)?，所以，又四邊形是矩形，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．【點(diǎn)評】本題考查線面平行的判定以及等體積法求三棱錐體積，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．命題的真假判斷與應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】判斷含有“或”、“且”、“非”的復(fù)合命題的真假，首先要明確p、q及非p的真假，然后由真值表判斷復(fù)合命題的真假．注意：“非p”的正確寫法，本題不應(yīng)將“非p”寫成“方程x2﹣2x+1＝0的兩根都不是實(shí)根”，因?yàn)椤岸际恰钡姆疵媸恰安欢际恰保皇恰岸疾皇恰保J(rèn)真區(qū)分．【解題方法點(diǎn)撥】1．判斷復(fù)合命題的真假，常分三步：先確定復(fù)合命題的構(gòu)成形式，再指出其中簡單命題的真假，最后由真值表得出復(fù)合命題的真假．2．判斷一個(gè)“若p則q”形式的復(fù)合命題的真假，不能用真值表時(shí)，可用下列方法：若“pq”，則“若p則q”為真；而要確定“若p則q”為假，只需舉出一個(gè)反例說明即可．3．判斷逆命題、否命題、逆否命題的真假，有時(shí)可利用原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假這一關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化判斷．【命題方向】該部分內(nèi)容是《課程標(biāo)準(zhǔn)》新增加的內(nèi)容，幾乎年年都考，涉及知識點(diǎn)多而且全，多以小題形式出現(xiàn)．2．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識棱柱底面：棱柱中兩個(gè)互相平行的面，叫做棱柱的底面．側(cè)面：棱柱中除兩個(gè)底面以外的其余各個(gè)面都叫做棱柱的側(cè)面．側(cè)棱：棱柱中兩個(gè)側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)．高：棱中兩個(gè)底面之間的距離．3．棱柱的結(jié)構(gòu)特征根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì)：（1）側(cè)面都是平行四邊形（2）兩底面是全等多邊形（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形（4）長方體一條對角線長的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和．4．棱柱的分類（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱…．（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱柱．5．棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為S，高為h，V棱柱＝S×h．3．棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】側(cè)面積和全面積的定義：（1）側(cè)面積的定義：把柱、錐、臺的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就是空間幾何體的側(cè)面積．（2）全面積的定義：空間幾何體的側(cè)面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積．柱體、錐體、臺體的表面積公式（c為底面周長，h為高，h′為斜高，l為母線）S圓柱表＝2πr（r+l），S圓錐表＝πr（r+l），S圓臺表＝π（r2+rl+Rl+R2）4．棱柱、棱錐、棱臺的體積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】柱體、錐體、臺體的體積公式：V柱＝sh，V錐＝Sh．5．棱臺的體積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】棱臺的體積可以通過兩個(gè)平行底面的面積B1和B2以及高度h計(jì)算．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為．﹣底面面積計(jì)算：兩個(gè)底面的面積B1和B2可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計(jì)算．【命題方向】﹣棱臺的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)兩個(gè)底面面積和高度計(jì)算棱臺的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用棱臺體積計(jì)算．6．圓錐的側(cè)面積和表面積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】圓錐的側(cè)面積和表面積依賴于底面圓的半徑r、母線長度l和底面圓的面積．【解題方法點(diǎn)撥】﹣側(cè)面積：計(jì)算公式為．﹣表面積：包括底面圓的面積和側(cè)面的面積，計(jì)算公式為．【命題方向】﹣圓錐的表面積計(jì)算：考查如何計(jì)算圓錐的側(cè)面積和表面積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用圓錐的表面積計(jì)算．7．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．1．圓柱①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．②認(rèn)識圓柱③圓柱的特征及性質(zhì)圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．④圓柱的體積和表面積公式設(shè)圓柱底面的半徑為r，高為h：2．圓錐①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．②認(rèn)識圓錐③圓錐的特征及性質(zhì)與圓錐底面平行的截面是圓，過圓錐的頂點(diǎn)的截面是等腰三角形，兩個(gè)腰都是母線．母線長l與底面半徑r和高h(yuǎn)的關(guān)系：l2＝h2+r2④圓錐的體積和表面積公式設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l：3．圓臺①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺．圓臺用軸字母表示，如下圖圓臺可表示為圓臺OO′．②認(rèn)識圓臺③圓臺的特征及性質(zhì)平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．④圓臺的體積和表面積公式設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長為l：．8．圓錐的體積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】圓錐的體積計(jì)算依賴于底面圓的半徑r和圓錐的高度h．【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算公式：體積計(jì)算公式為．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何根據(jù)實(shí)際問題中的圓錐尺寸進(jìn)行體積計(jì)算．【命題方向】﹣圓錐的體積計(jì)算：考查如何根據(jù)底面圓的半徑和高度計(jì)算圓錐的體積．﹣實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問題中應(yīng)用圓錐的體積計(jì)算．9．球的體積和表面積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．球體：在空間中，到定點(diǎn)的距離等于或小于定長的點(diǎn)的集合稱為球體，簡稱球．其中到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合為球面．2．球體的體積公式設(shè)球體的半徑為R，V球體＝3．球體的表面積公式設(shè)球體的半徑為R，S球體＝4πR2．【命題方向】考查球體的體積和表面積公式的運(yùn)用，常見結(jié)合其他空間幾何體進(jìn)行考查，以增加試題難度，根據(jù)題目所給條件得出球體半徑是解題關(guān)鍵．10．由三視圖求面積、體積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．三視圖：觀測者從不同位置觀察同一個(gè)幾何體，畫出的空間幾何體的圖形，包括：（1）主視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖，反映物體的高度和長度；（2）左視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖，反映物體的高度和寬度；（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖，反映物體的長度和寬度．2．三視圖的畫圖規(guī)則：（1）高平齊：主視圖和左視圖的高保持平齊；（2）長對正：主視圖和俯視圖的長相對應(yīng)；（3）寬相等：俯視圖和左視圖的寬度相等．3．常見空間幾何體表面積、體積公式（1）表面積公式：（2）體積公式：【解題思路點(diǎn)撥】1．解題步驟：（1）由三視圖定對應(yīng)幾何體形狀（柱、錐、球）（2）選對應(yīng)公式（3）定公式中的基本量（一般看俯視圖定底面積，看主、左視圖定高）（4）代公式計(jì)算2．求面積、體積常用思想方法：（1）截面法：尤其是關(guān)于旋轉(zhuǎn)體及與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問題，常用軸截面進(jìn)行分析求解；（2）割補(bǔ)法：求不規(guī)則圖形的面積或幾何體的體積時(shí)常用割補(bǔ)法；（3）等體積轉(zhuǎn)化：充分利用三棱錐的任意一個(gè)面都可以作為底面的特點(diǎn)，靈活求解三棱錐的體積；（4）還臺為錐的思想：這是處理臺體時(shí)常用的思想方法．【命題方向】三視圖是新課標(biāo)新增內(nèi)容之一，是新課程高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容．解答此類問題，必須熟練掌握三視圖的概念，弄清視圖之間的數(shù)量關(guān)系：正視圖、俯視圖之間長相等，左視圖、俯視圖之間寬相等，正視圖、左視圖之間高相等（正俯長對正，正左高平齊，左俯寬相等），要善于將三視圖還原成空間幾何體，熟記各類幾何體的表面積和體積公式，正確選用，準(zhǔn)確計(jì)算．例：某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A.8﹣2πB.8﹣πC.8﹣D.8﹣分析：幾何體是正方體切去兩個(gè)圓柱，根據(jù)三視圖判斷正方體的棱長及切去的圓柱的底面半徑和高，把數(shù)據(jù)代入正方體與圓柱的體積公式計(jì)算．解答：由三視圖知：幾何體是正方體切去兩個(gè)圓柱，正方體的棱長為2，切去的圓柱的底面半徑為1，高為2，∴幾何體的體積V＝23﹣2××π×12×2＝8﹣π．故選：B．點(diǎn)評：本題考查了由三視圖求幾何體的體積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量是解題的關(guān)鍵．11．平面的基本性質(zhì)及推論【知識點(diǎn)的認(rèn)識】平面的基本性質(zhì)及推論：1．公理1：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．2．公理2：經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．①推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．②推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．③推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．3．公理3：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線．【解題方法點(diǎn)撥】1．公理1是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)．2．公理2及推論是確定平面的依據(jù)．3．公理3是判定兩個(gè)平面相交的依據(jù)．12．異面直線及其所成的角【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：13．空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】空間兩條直線的位置關(guān)系：位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)個(gè)數(shù)圖示相交直線在同一平面內(nèi)有且只有一個(gè)平行直線在同一平面內(nèi)無異面直線不同時(shí)在任何一個(gè)平面內(nèi)無14．空間中直線與平面之間的位置關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)符號表示圖示直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)a?α直線和平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)a∩α＝A直線和平面平行無a∥α