2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之空間向量的應(yīng)用

Page2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之空間向量的應(yīng)用一．選擇題（共10小題）1．（2024?懷仁市校級模擬）正方體中，為正方形內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界），記為正方形的中心，直線，，，與平面所成角分別為，，，．若，，則點(diǎn)在A．線段上 B．線段上 C．線段上 D．線段上2．（2024?南昌模擬）在空間中，“經(jīng)過點(diǎn)，，，法向量為，，的平面的方程（即平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，，滿足的關(guān)系式）為：”．用此方法求得平面和平面的方程，化簡后的結(jié)果為和，則這兩平面所成角的余弦值為A． B． C． D．3．（2024?朝陽區(qū)一模）在棱長為1的正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，動點(diǎn)在平面內(nèi)，且．則下列說法正確的是A．存在點(diǎn)，使得直線與直線相交 B．存在點(diǎn)，使得直線平面 C．直線與平面所成角的大小為 D．平面被正方體所截得的截面面積為4．（2024?安慶二模）如圖，在長方體中，，點(diǎn)是棱上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），則A．不存在點(diǎn)，使得 B．空間中與三條直線，，都相交的直線有且只有1條 C．過點(diǎn)與平面和平面所成角都等于的直線有且只有1條 D．過點(diǎn)與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條5．（2024?回憶版）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面所成角的正切值為A． B．1 C．2 D．36．（2024?新華區(qū)校級一模）在正方體的棱長為2，為線段上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最小值為A．1 B． C． D．27．（2024?黃浦區(qū)校級三模）如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體表面上的一個動點(diǎn)，直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡長度為A． B． C． D．8．（2024?李滄區(qū)校級一模）已知某圓錐的側(cè)面積為，軸截面面積為1，則該圓錐的母線與底面所成的角為A． B． C． D．9．（2024?濮陽模擬）如圖，將繪有函數(shù)部分圖像的紙片沿軸折成直二面角，此時，之間的距離為，則A． B． C． D．10．（2024?日照模擬）如圖，已知四面體的棱平面，且，其余的棱長均為．四面體以所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)弧度，且四面體始終在水平放置的平面的上方．如果將四面體在平面內(nèi)正投影面積看成關(guān)于的函數(shù)，記為，則函數(shù)的最小正周期與取得最小值時平面與平面所成角分別為A．，0 B． C． D．二．多選題（共5小題）11．（2024?玄武區(qū)三模）已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，直線的方向向量為，直線的方向向量為，則A． B． C．與為相交直線或異面直線 D．在向量上的投影向量為12．（2024?全國模擬）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則A．與是異面直線 B．存在點(diǎn)，使得，且平面 C．與平面所成角的余弦值為 D．點(diǎn)到平面的距離為13．（2024?南關(guān)區(qū)校級模擬）如圖，在正三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，，則下列說法正確的是A．若，則異面直線和所成的角的余弦值為 B．若，則點(diǎn)到平面的距離為 C．存在，使得平面 D．若三棱柱存在內(nèi)切球，則14．（2024?寧化縣校級一模）已知函數(shù)的部分圖象如圖1所示，、分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過作軸的垂線，交軸于，點(diǎn)為該部分圖象與軸的交點(diǎn)．將繪有該圖象的紙片沿軸折成直二面角，如圖2所示，此時，則下列四個結(jié)論正確的有A． B． C．圖2中， D．圖2中，是△及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積大于15．（2024?遼寧模擬）如圖，圓錐的底面圓的直徑，母線長為，點(diǎn)是圓上異于，的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．與底面所成角為 B．圓錐的表面積為 C．的取值范圍是 D．若點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則二面角的平面角大小為三．填空題（共5小題）16．（2024?南昌模擬）如圖，在長方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為．17．（2024?昌黎縣校級模擬）二面角的棱上有兩個點(diǎn)、，線段與分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且垂直于棱，若，，，，則平面與平面的夾角為．18．（2024?通州區(qū)模擬）如圖，幾何體是以正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體，點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是圓弧上的動點(diǎn)，，給出下列四個結(jié)論：①不存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面；③不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離大于；④存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為．其中所有正確結(jié)論的序號是．19．（2024?重慶模擬）如圖，在正四棱柱中，，，為的中點(diǎn)，則中點(diǎn)到平面的距離為．20．（2024?博白縣模擬）如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)處，測得從，到庫底與水壩的交線的距離分別為，．又測得的長為，的長為，則水庫底面與水壩斜面所成的二面角的大小為．四．解答題（共5小題）21．（2024?天心區(qū)校級模擬）如圖，圓柱的軸截面是正方形，點(diǎn)在底面圓周上，，為垂足．（1）求證：．（2）當(dāng)直線與平面所成角的正切值為2時．①求平面與平面夾角的余弦值；②求點(diǎn)到平面的距離．22．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．23．（2024?撫州模擬）已知四棱錐的底面是一個梯形，．，，，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．24．（2024?天津）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中，．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．25．（2024?保定三模）如圖，在三棱柱中，，四邊形為菱形，，．（1）證明：．（2）已知平面平面，求二面角的正弦值．

2025年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)解密之空間向量的應(yīng)用參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?懷仁市校級模擬）正方體中，為正方形內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界），記為正方形的中心，直線，，，與平面所成角分別為，，，．若，，則點(diǎn)在A．線段上 B．線段上 C．線段上 D．線段上【答案】【考點(diǎn)】幾何法求解直線與平面所成的角【專題】空間角；空間位置關(guān)系與距離；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；計算題；綜合法【分析】作出示意圖形，根據(jù)證出點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在線段上，然后根據(jù)證出，推導(dǎo)出，進(jìn)而得到本題答案．【解答】解：過點(diǎn)作平面于，連接、，則為與平面所成角，為與平面所成角，因?yàn)椋?，可得，結(jié)合，為公共邊，可得△△，點(diǎn)在的平分線上，即在平面內(nèi)的射影在正方形的對角線上，因?yàn)?、分別是、在平面內(nèi)的射影，所以為與平面所成角，為與平面所成角，結(jié)合，得，可得，由，可得，所以點(diǎn)在線段（不含點(diǎn)）上運(yùn)動．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查正方體的結(jié)構(gòu)特征、直線與平面所成角的定義與求法等知識，考查了圖形的理解能力，屬于中檔題．2．（2024?南昌模擬）在空間中，“經(jīng)過點(diǎn)，，，法向量為，，的平面的方程（即平面上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，，滿足的關(guān)系式）為：”．用此方法求得平面和平面的方程，化簡后的結(jié)果為和，則這兩平面所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】空間向量法求解二面角及兩平面的夾角【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；空間角；向量法【分析】根據(jù)題意，由兩平面的方程，得到兩平面的法向量，由法向量夾角公式即可求得結(jié)論．【解答】解：由題意，平面的法向量為，平面的法向量為，則，則兩平面所成角的余弦值為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查二面角的概念和求法，考查空間向量數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．3．（2024?朝陽區(qū)一模）在棱長為1的正方體中，，，分別為棱，，的中點(diǎn)，動點(diǎn)在平面內(nèi)，且．則下列說法正確的是A．存在點(diǎn)，使得直線與直線相交 B．存在點(diǎn)，使得直線平面 C．直線與平面所成角的大小為 D．平面被正方體所截得的截面面積為【答案】【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角【專題】立體幾何；綜合法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；整體思想【分析】取的中點(diǎn)，連接，可求得，可知不存在點(diǎn)，使得直線與直線相交，進(jìn)而可判斷，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量知識可判斷，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可判斷．【解答】解：連接，，所以，取的中點(diǎn)，連接，所以，點(diǎn)到線段的最短距離大于1，所以不存在點(diǎn)，使得直線與直線相交，故不正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，0，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，，，所以，即，令，則，，所以，1，，所以點(diǎn)到平面的距離為，而，所以不存在點(diǎn)，使得直線平面，故不正確；因?yàn)?，所以平面，連接交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，，所以為直線與平面所成角，因?yàn)?，在中，，所以，因?yàn)椤髋c全等，所以，故正確；延長交的延長線于，連接交于，連接，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，則，，，平面被正方體所截得的截面圖形為正六邊形，且邊長為，所以截面面積為，故不正確．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了利用空間向量證明線面垂直，以及求直線與平面所成的角，考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．4．（2024?安慶二模）如圖，在長方體中，，點(diǎn)是棱上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外），則A．不存在點(diǎn)，使得 B．空間中與三條直線，，都相交的直線有且只有1條 C．過點(diǎn)與平面和平面所成角都等于的直線有且只有1條 D．過點(diǎn)與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條【答案】【考點(diǎn)】空間向量法求解直線與平面所成的角【專題】邏輯推理；數(shù)形結(jié)合；綜合法；立體幾何【分析】當(dāng)為的中點(diǎn)時判斷；作圖判斷；利用角平分面的特征判斷；建立空間直角坐標(biāo)系，分析判斷．【解答】解：對于，當(dāng)為的中點(diǎn)時，連接，則，即有，而平面，平面，則，又，，平面，因此平面，而平面，則，故錯誤；對于，連接，，，平面與直線交于，點(diǎn)在線段上，不含端點(diǎn)，則直線與直線相交，同理直線與直線相交，因此直線、分別與三條直線，，都相交，故錯誤；對于，平面，而平面，則，又，于是是二面角的平面角，且，顯然的平分線與平面和平面所成角都等于，過點(diǎn)與此直線平行的直線符合要求，這樣的直線只有1條；半平面與半平面的反向延長面所成二面角的角平分面與平面和平面所成角都等于，在此角平分面內(nèi)過點(diǎn)與平面和平面所成角都等于的直線有2條，因此過點(diǎn)與平面和平面所成角都等于的直線有3條，故錯誤；對于，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，直線，，的方向向量分別為，0，，，1，，，0，，設(shè)過點(diǎn)的直線方向向量為，由直線分別與直線，，所成角都相等，得，于是，不妨令，有，1，或，1，或，，或，顯然使得成立的向量有8個，其余4個分別與上述4個向量共線，所以過點(diǎn)與三條棱，，所成的角都相等的直線有且只有4條，故正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間中點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系，直線與平面所成角，屬于中檔題．5．（2024?回憶版）已知正三棱臺的體積為，，，則與平面所成角的正切值為A． B．1 C．2 D．3【答案】【考點(diǎn)】幾何法求解直線與平面所成的角【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；數(shù)學(xué)建模；空間角；轉(zhuǎn)化思想【分析】由正三棱臺的體積公式計算出棱臺的高，由臺體的性質(zhì)結(jié)合線面角的定義求解即可．【解答】解：設(shè)棱臺的高為，三條側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，則由得：到上底面的距離為，到下底面的距離為，所以與平面所成角即為與平面所成角，又，，所以，解得，因?yàn)樯系酌嬷行牡巾旤c(diǎn)的距離為，所以與平面所成角的正切值為．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查臺體的體積公式，空間中直線與平面所成角的求解，屬于中檔題．6．（2024?新華區(qū)校級一模）在正方體的棱長為2，為線段上的動點(diǎn)，則點(diǎn)到平面距離的最小值為A．1 B． C． D．2【答案】【考點(diǎn)】空間中點(diǎn)到平面的距離【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算；邏輯推理【分析】作出圖形，利用等體積法，求解即可得出答案．【解答】解：作出圖形，如圖所示：由題意得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，由圖形得當(dāng)與重合時，最大，最大為，此時最小，為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．7．（2024?黃浦區(qū)校級三模）如圖，點(diǎn)是棱長為2的正方體表面上的一個動點(diǎn)，直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡長度為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】幾何法求解直線與平面所成的角【專題】綜合法；轉(zhuǎn)化思想；計算題；數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間角【分析】由題意易得點(diǎn)的軌跡為圓錐的側(cè)面與正方體的表面的交軌，進(jìn)而求解即可．【解答】解：若直線與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為圓錐的側(cè)面與正方體的表面的交軌，在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為對角線（除掉點(diǎn)，不影響）；在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為對角線（除掉點(diǎn)，不影響）；在平面內(nèi)是以點(diǎn)為圓心2為半徑的圓弧，如圖，故點(diǎn)的軌跡長度為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查軌跡的長度的計算，屬中檔題．8．（2024?李滄區(qū)校級一模）已知某圓錐的側(cè)面積為，軸截面面積為1，則該圓錐的母線與底面所成的角為A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】幾何法求解直線與平面所成的角【專題】空間角；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法【分析】設(shè)出相應(yīng)長度，根據(jù)圓錐的側(cè)面積和軸截面面積列式可得，再結(jié)合線面夾角運(yùn)算求解．【解答】解：設(shè)圓錐的母線為，底面半徑為，高為，由題意可得：，解得，設(shè)該圓錐的母線與底面所成的角為，則，可得，所以該圓錐的母線與底面所成的角為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查圓錐的性質(zhì)及直線與平面所成角的求法，屬中檔題．9．（2024?濮陽模擬）如圖，將繪有函數(shù)部分圖像的紙片沿軸折成直二面角，此時，之間的距離為，則A． B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象；幾何法求解二面角及兩平面的夾角【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象求解即可．【解答】解：如圖，因?yàn)榈闹芷跒?，所以，，所以折成直二面角時，，解得，所以，所以，，因?yàn)?，所以或，又因?yàn)楹瘮?shù)在軸右側(cè)附近單調(diào)遞減，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)圖象應(yīng)用，考查二面角的計算，屬于中檔題．10．（2024?日照模擬）如圖，已知四面體的棱平面，且，其余的棱長均為．四面體以所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)弧度，且四面體始終在水平放置的平面的上方．如果將四面體在平面內(nèi)正投影面積看成關(guān)于的函數(shù)，記為，則函數(shù)的最小正周期與取得最小值時平面與平面所成角分別為A．，0 B． C． D．【答案】【考點(diǎn)】直線與平面所成的角【專題】轉(zhuǎn)化法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何【分析】根據(jù)對稱性得出的周期；取中點(diǎn)，可得，到的距離為，且直線與平面所成的角為，面，面面，設(shè)在平面的投影為，可得，討論一個周期內(nèi)的情形，當(dāng)，時，，則；當(dāng)，時，，求出及此時與的關(guān)系，即可求出此時平面與平面所成角．【解答】解：設(shè)過且平行于平面的平面為，由題意知，四面體在平面的上方時和下方時完全對稱，故函數(shù)的周期為，取中點(diǎn)，連接、，如圖，，，，，，，，，則，而，故，，到的距離為．又，，，平面，平面，則為直線與平面所成的角，又，直線與平面所成的角為，，，為中點(diǎn)，，，又，，在平面內(nèi)，則面，又面，則，，，，，在平面內(nèi)，則面，又面，則面面，設(shè)在平面的投影為，可得，下面討論一個周期內(nèi)的情形：當(dāng)時，如圖，，，，則，故，當(dāng)時，如圖，到的距離為，，當(dāng)時等號成立，，即，綜上所述，，此時，又直線與平面所成的角為，平面與平面所成的角為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，屬于難題．二．多選題（共5小題）11．（2024?玄武區(qū)三模）已知平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，直線的方向向量為，直線的方向向量為，則A． B． C．與為相交直線或異面直線 D．在向量上的投影向量為【答案】【考點(diǎn)】平面的法向量；空間直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程【專題】空間向量及應(yīng)用；定義法；邏輯推理；轉(zhuǎn)化思想【分析】根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系，判斷選項中的命題是否正確即可．【解答】解：對于，因?yàn)椋?，，，，，且，所以，或，選項錯誤；對于，因?yàn)?，，計算，所以，平面，選項正確；對于，因?yàn)?，，與不共線，所以直線與相交或異面，選項正確；對于，在向量上的投影向量為，1，，，，選項錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了利用空間向量研究直線與平面之間的位置關(guān)系應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．12．（2024?全國模擬）在棱長為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則A．與是異面直線 B．存在點(diǎn)，使得，且平面 C．與平面所成角的余弦值為 D．點(diǎn)到平面的距離為【答案】【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計算；直線與平面平行；異面直線及其所成的角；直線與平面所成的角【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間向量及應(yīng)用；綜合法【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，通過向量的關(guān)系逐項判斷各個選項．【解答】解：選項，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，2，，，1，，，2，，，0，，，0，，，2，，則，，由于，故與平行，錯誤；選項，設(shè)，，，因?yàn)椋?，，，，，即，解得，，，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，則，因?yàn)?，故，平面，故存在點(diǎn)，使得，且平面，正確；選項，平面的法向量為，故與平面所成角的正弦值為，則與平面所成角的余弦值為，正確；選項，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，故，則點(diǎn)到平面的距離為，錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間向量的應(yīng)用，考查點(diǎn)到面的距離，考查線面的位置關(guān)系，屬于中檔題．13．（2024?南關(guān)區(qū)校級模擬）如圖，在正三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，，則下列說法正確的是A．若，則異面直線和所成的角的余弦值為 B．若，則點(diǎn)到平面的距離為 C．存在，使得平面 D．若三棱柱存在內(nèi)切球，則【答案】【考點(diǎn)】直線與平面垂直；異面直線及其所成的角；空間中點(diǎn)到平面的距離【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；空間角【分析】根據(jù)題設(shè)條件，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量夾角坐標(biāo)公式判斷；利用點(diǎn)到平面的距離公式判斷；利用向量數(shù)量積公式判斷；利用三棱柱內(nèi)切球特征求出其半徑，判斷．【解答】解：過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，則平面，，分別以，，所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，0，，，0，，對于，，，0，，，，則，，，0，，，，異面直線和所成角的余弦值為，故正確；對于，依題意，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，得，0，，，0，，點(diǎn)到平面的距離為，故正確；對于，設(shè)，則，，，，由，知與不垂直，故不存在，使得平面，故錯誤；對于，若三棱柱存在內(nèi)切球，不妨設(shè)其半徑為，則，且內(nèi)切球在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)切圓，，解得，，故錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查異面直線所成角、點(diǎn)到平面的距離、線面垂直、三棱柱內(nèi)切球等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．14．（2024?寧化縣校級一模）已知函數(shù)的部分圖象如圖1所示，、分別為圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，過作軸的垂線，交軸于，點(diǎn)為該部分圖象與軸的交點(diǎn)．將繪有該圖象的紙片沿軸折成直二面角，如圖2所示，此時，則下列四個結(jié)論正確的有A． B． C．圖2中， D．圖2中，是△及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積大于【答案】【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；正弦函數(shù)的圖象【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；立體幾何；對應(yīng)思想【分析】在圖2中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的方向分別為、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件求出的值，即可判斷；結(jié)合的取值范圍求出的值，可判斷；利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷；求出，結(jié)合扇形的面積公式可判斷．【解答】解：函數(shù)的最小正周期為，在圖2中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，對于，，設(shè)點(diǎn)，，，則點(diǎn)，，、，，，，因?yàn)?，解得，故正確；所以，則，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)在附近單調(diào)遞減，且，所以，，故錯誤；對于，因?yàn)椋傻?，又因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)的圖象在軸左側(cè)距離軸最近的最高點(diǎn)，則，可得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)是函數(shù)在軸右側(cè)的第一個對稱中心，所以，，可得，翻折后，則有、，、、所以，，所以在圖2中，，故正確；對于，在圖2中，設(shè)點(diǎn)，，，，可得，，，，易知為銳角，則，所以，區(qū)域是坐標(biāo)平面內(nèi)以點(diǎn)為圓心，半徑為，且圓心角為的扇形及其內(nèi)部，故區(qū)域的面積，故錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了立體幾何與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題．15．（2024?遼寧模擬）如圖，圓錐的底面圓的直徑，母線長為，點(diǎn)是圓上異于，的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．與底面所成角為 B．圓錐的表面積為 C．的取值范圍是 D．若點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，則二面角的平面角大小為【答案】【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積；二面角的平面角及求法【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；綜合法；立體幾何；數(shù)形結(jié)合【分析】由線面角定義，可得即為與底面所成角，求其大小即可判定；由圓錐的表面積公式即可判斷；求出的范圍，再利用，求范圍即可判斷；取的中點(diǎn)，證得面，則為二面角的平面角，求解可判斷．【解答】解：如圖，在中，，半徑，對于，由線面角定義，即為與底面所成角，滿足，即，故正確；對于，圓錐的側(cè)面積為：，底面積為，故圓錐表面積為，故錯誤；對于，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，為最小角，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，，達(dá)到最大值，又因?yàn)榕c，不重合，則，又，可得，故正確；對于，取的中點(diǎn)，連接，，又為的中點(diǎn)，則，，，面，面，，，面，面，，故為二面角的平面角，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，，，則，故錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查線面角，二面角，空間幾何體表面積等知識，屬難題．三．填空題（共5小題）16．（2024?南昌模擬）如圖，在長方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為．【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計算【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；向量法；空間位置關(guān)系與距離【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)到平面的距離．【解答】解：在長方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，2，，，2，，1，，，0，，，1，，，1，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，1，，點(diǎn)到平面的距離：．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．17．（2024?昌黎縣校級模擬）二面角的棱上有兩個點(diǎn)、，線段與分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且垂直于棱，若，，，，則平面與平面的夾角為．【答案】【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法【專題】綜合法；空間角；計算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】先設(shè)平面與平面的夾角為，因?yàn)椋?，所以，根?jù)空間向量得，兩邊平方代入數(shù)值即可求出答案．【解答】解：設(shè)平面與平面的夾角為，因?yàn)?，，所以，由題意得，所以，所以，所以，所以，即平面與平面的夾角為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了二面角的夾角計算，屬于中檔題．18．（2024?通州區(qū)模擬）如圖，幾何體是以正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體，點(diǎn)是圓弧的中點(diǎn)，點(diǎn)是圓弧上的動點(diǎn)，，給出下列四個結(jié)論：①不存在點(diǎn)，使得平面平面；②存在點(diǎn)，使得平面；③不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離大于；④存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為．其中所有正確結(jié)論的序號是②③④．【答案】②③④．【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；點(diǎn)、線、面間的距離計算【專題】綜合法；直觀想象；空間向量及應(yīng)用；整體思想【分析】將圖形補(bǔ)全為一個正方體，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷各選項的正誤【解答】解：由題意可將圖形補(bǔ)全為一個正方體，如圖所示：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，、，0，、，0，、，0，、，2，、，2，，，設(shè)點(diǎn)，，，其中，對于①，，，設(shè)，，平面，則，取，則，，可得，，，設(shè)為平面的法向量，，，則，取，則，，可得，，，若平面平面，則，解得，所以存在，使得平面平面，故①錯誤；對于②，，，，若平面，則，即，即，，故，0，，故存在點(diǎn)，使得平面，故②正確；對于③，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，因?yàn)椋?，所以，，所以，所以不存在點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離大于，故③正確；對于④，，，，，則直線與平面的所成角為，所以，，整理可得，因?yàn)楹瘮?shù)在時的圖象是連續(xù)的，且，，所以存在，使得，所以存在點(diǎn)，使得直線與平面的所成角的余弦值為，④正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)評】本題主要考查了空間向量在平行及垂直關(guān)系的應(yīng)用，還考查了空間向量在空間角及空間距離求解中的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（2024?重慶模擬）如圖，在正四棱柱中，，，為的中點(diǎn)，則中點(diǎn)到平面的距離為．【答案】．【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計算【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到面的距離即可．【解答】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，1，，，0，，，0，，所以，1，，，0，，設(shè)中點(diǎn)為，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，0，，所以中點(diǎn)到平面的距離為．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查空間中點(diǎn)到面距離的求法，熟練掌握利用向量法求點(diǎn)到面的距離是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（2024?博白縣模擬）如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)處，測得從，到庫底與水壩的交線的距離分別為，．又測得的長為，的長為，則水庫底面與水壩斜面所成的二面角的大小為．【答案】．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法【專題】立體幾何；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化法【分析】作且，連接，可得是所求二面角的平面角，進(jìn)而求得，，再利用余弦定理可求得，可求得．【解答】解：如圖，作且，連接，又，則四邊形是矩形，．又，所以是所求二面角的平面角，因?yàn)?，，則，又，，，平面，所以平面，而平面，所以，，所以，，由題可知，則，又是三角形的內(nèi)角，所以．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查二面角的計算，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?天心區(qū)校級模擬）如圖，圓柱的軸截面是正方形，點(diǎn)在底面圓周上，，為垂足．（1）求證：．（2）當(dāng)直線與平面所成角的正切值為2時．①求平面與平面夾角的余弦值；②求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解答；（2）①；②．【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計算；二面角的平面角及求法【專題】向量法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)運(yùn)算；立體幾何；計算題【分析】（1）先證明平面，證明，進(jìn)而證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可證明結(jié)論；（2）①建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出相關(guān)向量的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求出答案；②利用空間向量的距離公式求出答案即可．【解答】解：（1）證明：由題意可知底面，平面，故，又，，，平面，故平面，由平面，得，又，，，平面，故平面，由平面，可得；（2）①由題意，以為原點(diǎn)，分別以，所在直線為軸、軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)的長度為2，則，0，，，2，，，2，，，0，，因?yàn)槠矫?，所以就是直線與平面所成的角，所以，所以，所以由以上可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，得，又，0，是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面夾角的大小為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為；②因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離．【點(diǎn)評】本題考查了線面垂直的性質(zhì)，考查了二面角以及點(diǎn)到面距離的求法，屬于中檔題．22．（2024?西城區(qū)模擬）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，，，為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．【答案】證明過程請見解答；（Ⅱ）．【考點(diǎn)】直線與平面平行；二面角的平面角及求法【專題】空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；向量法；空間角；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】連接，設(shè)，連接，由中位線的性質(zhì)知，再由線面平行的判定定理，即可得證；（Ⅱ）先證，，兩兩相互垂直，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角，即可得解．【解答】證明：連接，設(shè)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．（Ⅱ）解：因?yàn)椋?，且，所以平面，又平面，所以，又，所以，，兩兩相互垂直，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，0，，，1，，，2，，所以，設(shè)平面的法向量為，則即令，所以，1，，因?yàn)槠矫妫允瞧矫娴囊粋€法向量，所以，由題意知，二面角的平面角為鈍角，所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面平行的判定定理，線面垂直的判定、性質(zhì)定理，以及利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．23．（2024?撫州模擬）已知四棱錐的底面是一個梯形，．，，，，．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【考點(diǎn)】平面與平面垂直；二面角的平面角及求法【專題】空間角；向量法；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)運(yùn)算【分析】（1）分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理，可證，，從而知平面，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角，即可得解．【解答】（1）證明：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，在直角梯形中，，，因?yàn)?，所以，且，又，是的中點(diǎn)，所以，所以，即，又，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，4，，，0，，，0，，，2，，所以，，，，4，，，4，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，2，，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，則，，所以，1，，所以，，由圖可知，二面角為銳角，故二面角的余弦值為．【點(diǎn)評】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面、面面垂直的判定定理，利用向量法求二面角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．24．（2024?天津）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中，．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解答；（2）；（3）．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面平行；點(diǎn)、線、面間的距離計算【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；邏輯推理；空間位置關(guān)系與距離；空間角【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，易證四邊形是平行四邊形，所以，由線面平行的判定定理證明即可；（2）以為原點(diǎn)建系，利用向量法分別求出平面與平面的法向量，利用向量的夾角公式，求平面與平面的夾角的余弦值；（3）由（2）得及平面的法向量，利用向量法即可求點(diǎn)到平面的距離．【解答】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，得，且，由是的中點(diǎn)，得，且，則，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，故平面．（2）解：以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有，0，，，0，，，0，，，1，，，1，，，1，，則，，，，，設(shè)平面的法向量為，，則，3，，設(shè)平面的法向量為，，則，1，，所以，，故平面與平面的夾角的余弦值為．（3）解：因?yàn)?，平面的法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為．【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行、點(diǎn)到平面的距離、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，屬于中檔題．25．（2024?保定三模）如圖，在三棱柱中，，四邊形為菱形，，．（1）證明：．（2）已知平面平面，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解答；（2）．【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直【專題】數(shù)學(xué)運(yùn)算；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何【分析】（1）通過線面、面面的位置關(guān)系證平行四邊形為菱形即可；（2）先證平面，根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法即可求解．【解答】解：（1）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，所以為等邊三角形，則，又平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以四邊形為菱形，即．?）因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，，，，，，1，，可得，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，，可得，，故二面角的正弦值為．【點(diǎn)評】本題考查線面垂直與空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．正弦函數(shù)的圖象【知識點(diǎn)的認(rèn)識】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）遞增區(qū)間：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；遞減區(qū)間：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）遞增區(qū)間：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時，ymin＝﹣1無最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱性對稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ+，k∈Z對稱中心：（kπ+，0）（k∈Z）對稱軸：x＝kπ，k∈Z對稱中心：（，0）（k∈Z）無對稱軸周期2π2ππ2．旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）的體積【知識點(diǎn)的認(rèn)識】旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體．1．圓柱①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱OO′．②認(rèn)識圓柱③圓柱的特征及性質(zhì)圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形．④圓柱的體積和表面積公式設(shè)圓柱底面的半徑為r，高為h：2．圓錐①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐SO．②認(rèn)識圓錐③圓錐的特征及性質(zhì)與圓錐底面平行的截面是圓，過圓錐的頂點(diǎn)的截面是等腰三角形，兩個腰都是母線．母線長l與底面半徑r和高h(yuǎn)的關(guān)系：l2＝h2+r2④圓錐的體積和表面積公式設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線長為l：3．圓臺①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓臺．圓臺用軸字母表示，如下圖圓臺可表示為圓臺OO′．②認(rèn)識圓臺③圓臺的特征及性質(zhì)平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形．④圓臺的體積和表面積公式設(shè)圓臺的上底面半徑為r，下底面半徑為R，高為h，母線長為l：．3．異面直線及其所成的角【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、異面直線所成的角：直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．異面直線所成的角的范圍：θ∈（0，]．當(dāng)θ＝90°時，稱兩條異面直線互相垂直．2、求異面直線所成的角的方法：求異面直線的夾角關(guān)鍵在于平移直線，常用相似比，中位線，梯形兩底，平行平面等手段來轉(zhuǎn)移直線．3、求異面直線所成的角的方法常用到的知識：4．直線與平面平行【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．用符號表示為：若a?α，b?α，a∥b，則a∥α．2、直線與平面平行的判定定理的實(shí)質(zhì)是：對于平面外的一條直線，只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行，就可判定這條直線必和這個平面平行．即由線線平行得到線面平行．1、直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行．用符號表示為：若a∥α，a?β，α∩β＝b，則a∥b．2、直線和平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)質(zhì)是：已知線面平行，過已知直線作一平面和已知平面相交，其交線必和已知直線平行．即由線面平行?線線平行．由線面平行?線線平行，并不意味著平面內(nèi)的任意一條直線都與已知直線平行．正確的結(jié)論是：a∥α，若b?α，則b與a的關(guān)系是：異面或平行．即平面α內(nèi)的直線分成兩大類，一類與a平行有無數(shù)條，另一類與a異面，也有無數(shù)條．5．直線與平面垂直【知識點(diǎn)的認(rèn)識】直線與平面垂直：如果一條直線l和一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么就說直線l和平面α互相垂直，記作l⊥α，其中l(wèi)叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直的判定：（1）定義法：對于直線l和平面α，l⊥α?l垂直于α內(nèi)的任一條直線．（2）判定定理1：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．（3）判定定理2：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面．直線與平面垂直的性質(zhì)：①定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行．符號表示為：a⊥α，b⊥α?a∥b②由定義可知：a⊥α，b?α?a⊥b．6．平面與平面垂直【知識點(diǎn)的認(rèn)識】平面與平面垂直的判定：判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直．平面與平面垂直的性質(zhì)：性質(zhì)定理1：如果兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．性質(zhì)定理2：如果兩個平面垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個平面的直線在第一個平面內(nèi)．性質(zhì)定理3：如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面．性質(zhì)定理4：三個兩兩垂直的平面的交線兩兩垂直．7．空間直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù)方程【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、直線的方向向量：空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個定點(diǎn)A以及一個定方向確定．直線l上的向量以及與共線的向量叫做直線l的方向向量．注意：①一條直線l有無窮多個方向向量，這些方向向量之間互相平行．②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量．2、方向向量的求法：可根據(jù)直線l上的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線l的一個方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”．如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面，記作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：①法向量一定是非零向量；②一個平面α有無窮多個法向量，這些法向量之間互相平行；③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有?＝0．④一個平面α的法向量也是所有與平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）設(shè)：設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為＝（u，v，w）；（2）列：根據(jù)＝0，＝0，列出方程組；（3）解：把u（或v或w）看作常數(shù)，用u（或v或w）表示另外兩個量（4）取：取u為任意一個數(shù)（當(dāng)然取得越特殊越好），則得到平面法向量的坐標(biāo)．1、空間直線的點(diǎn)向式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程：設(shè)直線L過點(diǎn)M0（x0，y0，z0），＝（m，n，p）是直線L的方向向量．設(shè)M（x，y，z）是直線L上任意一點(diǎn)，則＝（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且∥．由兩向量平行的充要條件可知改方程組稱為直線的點(diǎn)向式方程或標(biāo)準(zhǔn)方程（當(dāng)m、n、p中有一個或兩個為零時，就理解為相應(yīng)的分子為零）．若直線L的方程為，平面π的方程為Ax+By+Cz+D＝0，則直線L與平面π平行的充要條件是mA+nB+pC＝0；直線L與平面π垂直得充要條件是2、空間直線的參數(shù)方程：在直線方程中，記其比值為t，則有（※）這樣，空間直線上動點(diǎn)M的坐標(biāo)x、y、z就都表達(dá)為變量t的函數(shù)．當(dāng)t取遍所有實(shí)數(shù)值時，由所確定的點(diǎn)M（x，y，z）就描出來直線．形如（※）的方程稱為直線的參數(shù)方程，t為參數(shù)．8．平面的法向量【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、直線的方向向量：空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個定點(diǎn)A以及一個定方向確定．直線l上的向量以及與共線的向量叫做直線l的方向向量．注意：①一條直線l有無窮多個方向向量，這些方向向量之間互相平行．②直線l的方向向量也是所有與l平行的直線的方向向量．2、方向向量的求法：可根據(jù)直線l上的任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)寫出直線l的一個方向向量．3、平面的法向量：由于垂直于同一平面的直線是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直線的方向向量來刻畫平面的“方向”．如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面α，則稱這個向量垂直于平面，記作⊥α，如果⊥α，那么向量叫做平面α的法向量．注意：①法向量一定是非零向量；②一個平面α有無窮多個法向量，這些法向量之間互相平行；③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有?＝0．④一個平面α的法向量也是所有與平面α平行的平面的法向量．4、法向量的求法：（1）設(shè)：設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為＝（u，v，w）；（2）列：根據(jù)＝0，＝0，列出方程組；（3）解：把u（或v或w）看作常數(shù)，用u（或v或w）表示另外兩個量（4）?。喝為任意一個數(shù)（當(dāng)然取得越特殊越好），則得到平面法向量的坐標(biāo)．9．直線與平面所成的角【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．2、一條直線和一個平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣?zhàn)鞒鲂本€與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成的角時，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．3、斜線和平面所成角的最小性：斜線和平面所成的角是用兩條相交直線所成的銳角來定義的，其中一條直線就是斜線本身，另一條直線是斜線在平面上的射影．在平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線有無數(shù)條，它們和斜線都組成相交的兩條直線，為什么選中射影和斜線這兩條相交直線，用它們所成的銳角來定義斜線和平面所成的角呢？原因是斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中，它是最小的角．對于已知的斜線來說這個角是唯一確定的，它的大小反映了斜線關(guān)于平面的“傾斜程度”．根據(jù)線面所成的角的定義，有結(jié)論：斜線和平面所成的角，是這條斜線和這個平面內(nèi)的直線所成的一切角中最小的角．用空間向量直線與平面所成角的求法：（1）傳統(tǒng)求法：可通過已知條件，在斜線上取一點(diǎn)作該平面的垂線，找出該斜線在平面內(nèi)的射影，通過解直角三角形求得．（2）向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為φ，則有sinθ＝|cosφ|＝．10．幾何法求解直線與平面所成的角【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、直線和平面所成的角，應(yīng)分三種情況：（1）直線與平面斜交時，直線和平面所成的角是指此直線和它在平面上的射影所成的銳角；（2）直線和平面垂直時，直線和平面所成的角的大小為90°；（3）直線和平面平行或在平面內(nèi)時，直線和平面所成的角的大小為0°．顯然，斜線和平面所成角的范圍是（0，）；直線和平面所成的角的范圍為[0，]．2、一條直線和一個平面斜交，它們所成的角的度量問題（空間問題）是通過斜線在平面內(nèi)的射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的度量問題（平面問題）來解決的．【解題方法點(diǎn)撥】具體的解題步驟與求異面直線所成的角類似，有如下的環(huán)節(jié)：（1）作﹣﹣?zhàn)鞒鲂本€與射影所成的角；（2）證﹣﹣論證所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂線段、斜線段、斜線段的射影所組成的直角三角形）求出角．（4）答﹣﹣回答求解問題．在求直線和平面所成的角時，垂線段是其中最重要的元素，它可起到聯(lián)系各線段的紐帶的作用．在直線與平面所成的角的定義中體現(xiàn)等價轉(zhuǎn)化和分類與整合的數(shù)學(xué)思想．【命題方向】﹣夾角計算：考查如何使用幾何方法計算直線與平面之間的夾角．11．空間向量法求解直線與平面所成的角【知識點(diǎn)的認(rèn)識】直線與平面所成角的求法：向量求法：設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為θ，與的夾角為φ，則有sinθ＝|cosφ|＝．【解題方法點(diǎn)撥】﹣點(diǎn)積和模：計算向量的數(shù)量積和模，求得角度的余弦值，然后使用反余弦函數(shù)計算角度．【命題方向】﹣向量法計算：考查如何使用空間向量法計算直線與平面之間的夾角．12．二面角的平面角及求法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個