2024-2025學年四川省名校聯(lián)盟高三（上）聯(lián)考數(shù)學試卷（12月份）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年四川省名校聯(lián)盟高三（上）聯(lián)考數(shù)學試卷（12月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知z?(1?3i)=10，則z=(

)A.2?3i B.1+3i C.3i D.?3i2.已知單位向量a,b滿足|a+bA.8 B.3 C.22 3.已知命題p：?x∈R，ex+e?x≥2，命題q：?x∈(0,10)，A.命題p與q均為真命題 B.命題p與￢q均為真命題

C.命題￢p與q均為真命題 D.命題￢p與￢q均為真命題4.已知平行四邊形ABCD的頂點A(0,1)，邊AB所在直線方程是x?y+1=0，對角線的交點為M(2,2)，邊CD所在直線方程為(

)A.x?y?1=0 B.x?y+2=0 C.x+y?1=0 D.x+y?3=05.設m，n為兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，則下列說法一定成立的是(

)A.若α//β，m//α，則m//β B.若α⊥β，γ⊥β，則α//γ

C.若m//n，m⊥α，n⊥β，則α//β D.若m，n與α所成角相等，則m//n6.點P在邊長為1的正三角形ABC的外接圓上，則AP?AB的最大值為(

)A.33+12 B.37.已知實數(shù)a滿足2a+a=2，則函數(shù)f(x)=2x3A.0 B.1 C.2 D.38.已知函數(shù)f(x)=ln(x2?2x+3)+e|x?1|，設a=f(0)，b=f(log34)，c=f(A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.b<c<a二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.為了研究某校高三年級學生的性別和身高是否低于170cm的關聯(lián)性，研究小組從該校高三學生中獲取容量為500的有放回簡單隨機樣本，由樣本數(shù)據(jù)整理得到如下列聯(lián)表：

單位：人性別身高合計低于170cm不低于170cm女14060200男120180300合計260240500附：χ2=n(ad?bc)α0.10.050.01x2.7063.8416.635小組成員甲用該列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)進行獨立性檢驗，小組成員乙將該列聯(lián)表中的所有數(shù)據(jù)都縮小為原來的110后再進行獨立性檢驗，則下列說法正確的是(

)A.依據(jù)α=0.01的獨立性檢驗，小組成員甲可以認為該中學高三年級學生的性別與身高有關聯(lián)

B.依據(jù)α=0.01的獨立性檢驗，小組成員甲不能認為該中學高三年級學生的性別與身高有關聯(lián)

C.小組成員甲、乙計算出的χ2值相同，依據(jù)α=0.01的獨立性檢驗，他們得出的結論也相同

D.小組成員甲、乙計算出的χ2值不同，依據(jù)10.已知數(shù)列{an}(n∈N?)為無窮等差數(shù)列，公差為d，前nA.若S5=S17，d<0，則a11>0，a12<0

B.若m，n，p，q∈N?且互不相等，則am?anm?n=ap?aqp?q11.已知函數(shù)fn(x)=sinnA.若cos2x=35，則f4(x)=1725

B.當x∈[?π2,π2]時，函數(shù)y=f4(x)與y=sin4x+34的圖象恰有5個交點

C.當n=2k+1，k∈三、填空題：本題共3小題，共20分。12.已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點在x軸上，且經(jīng)過點P(2,0)，Q(0,1)，則橢圓C的標準方程為______．13.已知棱長為1的正四面體P?ABC，E，F(xiàn)分別為PA，BC的中點，若以EF的中點O為球心的球與該正四面體的棱有公共點，則球O半徑的最大值為______．14.整數(shù)的商mn(其中n≠0)稱為有理數(shù)，任一有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)可以化為整數(shù)的商mn(其中n≠0)的形式，則1．2?=______(寫成mn的形式，m與n為互質(zhì)的具體正整數(shù))；若1.2，1.22，1.222，?構成數(shù)列{an}，令bn=四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量m=(3sinC,1+cosA)，n=(c,a)，且m//n．

(1)求角A；

(2)如圖，∠BAC的平分線AD交BC于D16.(本小題12分)

已知圓C：x2+(y?5)2=9，圓C1經(jīng)過點M(?1,?3)，且與圓C相切于點N(0,2)．

(1)求圓C1的標準方程；

(2)已知直線l過點17.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ax?tanx，x∈(0,π2)．

(1)當a=2時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a≤2，證明：18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，且AB=BD=2CD=4，側(cè)面PCD是正三角形，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，E為PC中點，作EF⊥PB交PB于F．

(1)求證：PB⊥平面DEF；

(2)求平面PBD與平面PBC的夾角的余弦值；

(3)在平面DEF內(nèi)是否存在點Q.使得QA?QB=0，若存在，求動點Q19.(本小題12分)

定義：如果在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A，B的坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，那么稱d(A,B)=|x1?x2|+|y1?y2|為A，B兩點間的曼哈頓距離；D(A,B)=(x1?x2)2+(y1?y2)2為A，B兩點間的歐幾里得距離．

(1)已知參考答案1.B

2.D

3.B

4.A

5.C

6.A

7.D

8.C

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.x213.614.119

115.解：(1)由m//n，可得3asinC=c(1+cosA)，根據(jù)正弦定理化簡得3sinAsinC=sinC(1+cosA)，

結合sinC>0，整理得3sinA?cosA=1，即2sin(A?π6)=1，sin(A?π6)=12．

因為A為三角形的內(nèi)角，可知A?π6∈(?π6,5π6)，所以A?π6=π6，可得A=π3．

(2)AD平分∠BAC，可得∠DAB=∠DAC=π6，

由S△ABD+S△ACD=S△ABC，

可得12AB?ADsin∠DAB+12AC?ADsin∠DAC=12AB?ACsin∠BAC，

16.解：(1)圓C：x2+(y?5)2=9的圓心C(0,5)，半徑為3，

設圓C1的圓心坐標為(a,b)，半徑為r，

圓C1經(jīng)過點M(?1,?3)，且與圓C相切于點N(0,2)．

所以(a+1)2+(b+3)2=r2a2+(b?2)2=r2a2+(b?5)2=(r+3)2，解得a=0b=0r=2，

所以圓C1的方程為x2+y2=4．

(2)若直線l直線斜率存在，設l：y+2=k(x+1)，

因為弦長為23，所以圓心C1(0,0)到直線17.解：(1)當a=2時，f(x)=2x?tanx，f′(x)=2?1cos2x=2cos2x?1cos2x=cos2xcos2x，

故對0<x<π4有f′(x)=cos2xcos2x>0，對π4<x<π2有f′(x)=cos2xcos2x<0，從而f(x)在(0,π4)上遞增，在(π4,π2)上遞減．

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,π4)，單調(diào)遞減區(qū)間為(π4,π2)．

(2)證明：由(1)可得，0<x<π2，有f(x)=2x?tanx≤f(π4)=π2?1，

對3π8<x<π2，有f(x)=2x?tanx<f(3π8)=3π4?2?1<0，

設g(x)=sin2x?x，則對0<x<18.解：(1)證明：由側(cè)面PCD⊥底面ABCD，側(cè)面PCD∩底面ABCD=CD，BC?面ABCD，

又底面ABCD是直角梯形，AB/?/CD，AB⊥BC，故BC⊥CD，

所以BC⊥面PCD，DE?面PCD，則BC⊥DE，

由側(cè)面PCD是正三角形，E為PC中點，則DE⊥PC，

而BC∩PC=C且都在面PBC內(nèi)，則DE⊥面PBC，DE?面DEF，

所以面DEF⊥面PBC，而EF⊥PB，面DEF∩面PBC=EF，PB?面PBC，

所以PB⊥平面DEF．

(2)依題意，可構建如下圖示的空間直角坐標系，C(0,0,0),B(0,23,0),P(1,0,3),D(2,0,0)，

所以CB=(0,23,0),CP=(1,0,3)，PB=(?1,23,?3),DP=(?1,0,3)，

令m=(x,y,z)是面PBC的一個法向量，

則m⊥CBm⊥CP，則m?CB=23y=0m?CP=x+3z=0，

令x=3，則m=(3,0,?1)，

令n=(a,b,c)是面PBC的一個法向量，

則n⊥PBn⊥DP，則n?PB=?a+23b?319.解：(1)令P(x,y)，

此時d(O,P)=|x|+|y|=1，

當x≥0，y≥0時，軌跡為x+y?1=0；

當x<0，y>0時，軌跡為x?y+1=0；

當x≤0，y≤0時，軌跡為x+y+1=0；

當x>0，y<0時，軌跡為x?y+1=0，

所以點P的軌跡是頂點在坐標軸上且邊長為2的正方形，

則[D(O,P)]min=(x2+y2)min=22；

(2)令N(x,y)，

此時D(O,N)=x2+y2=2，

即x2+y2=4，

所以N在以原點為圓心，半徑為2的圓上，

因為M(3,2)，

令d(M,N)=|x?3|+|y?2|=t≥0，

當x≥3，y≥2時，軌跡為x+y?5?t=0；

當x<3，y>2時，軌跡為x?y+t?1=0；

當x≤3，y≤2時，軌跡為x+y+t?5=0；

當x>3，y<2時，軌跡為x?y?1?t=0，

對于M點的曼哈頓距離，N的軌跡為正方形，

所以只需研究N在上述兩種情況下，軌跡交點到M的曼哈頓距離范圍，

當M位于圓x2+y2=4的右上方，

此時只需確定直線x+y+t?5=0與該圓相切時參數(shù)t的范圍，

若x2+y2=4與x+y+t?5=0相切，

可得|t?5|2=2，

解得t=5±22，滿足條件，

所以d(M,N)∈[5?22,5+22]，

故最大值為5+22；

(3)令x1=m<0，

此時A(m,?1m)，

若B(x,y)，

可得d(A,B)=|x?m|+|y+1m|，

易知g(x)=alnx?x的定義域為(0,+∞)，

可得g′(x)=a?xx，

當0<x<a時，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；

當x>a時，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，

作出函數(shù)?(x)與g(x)的大致圖象如圖所示：

由圖知，?(x)在g(x)的左上方位置，

令|x