湖北部分名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2024年湖北部分名校高二期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：鄖陽中學(xué)命題教師：王俊燕張輝慶趙燕敏審題學(xué)校：鄂州高中考試時間：2024年11月12日下午15:0017:00試卷滿分：150分注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A.0 B.2024 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)除法運算求得，進而可得和.【詳解】因為，則，所以.故選：D.2.已知直線：，直線：，若，則（）A.2或 B. C.4或 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線平行列式求得，并代入檢驗即可.【詳解】若，則，解得，當時，直線：，直線：，兩直線重合，不合題意；當時，直線：，直線：，兩直線平行，符合題意；綜上所述：.故選：B.3.已知圓經(jīng)過點，則圓在點P處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圓心坐標，利用圓的切線性質(zhì)求出切線的斜率即可得切線方程.【詳解】圓的圓心，直線的斜率，因此圓在點P處的切線方程為，即.故選：D4.已知圓：和：，若動圓P與這兩圓一個內(nèi)切一個外切，記該動圓圓心的軌跡為M，則M的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的位置關(guān)系及橢圓的定義可判斷點軌跡為橢圓，即可得出軌跡方程.【詳解】圓：圓心，半徑，圓：的圓心，半徑，由，得圓內(nèi)含于圓內(nèi)，設(shè)動圓半徑為,依題意，，，則，因此點的軌跡為以為焦點的橢圓，其中，，所以M方程為.故選：B5.某學(xué)校的高一、高二及高三年級分別有學(xué)生1000人、1200人、800人，用分層抽樣的方法從全體學(xué)生中抽取一個容量為30人的樣本，抽出的高一、高二及高三年級學(xué)生的平均身高為165cm、168cm、171cm，估計該校學(xué)生的平均身高是（）A.166.4cm B.167.2cm C.167.8cm D.170.0cm【答案】C【解析】【分析】求出樣本中高一、高二及高三年級的學(xué)生數(shù)，再利用分層抽樣的平均數(shù)公式計算即得.【詳解】依題意，容量為30人的樣本中，高一年級的學(xué)生數(shù)為，高二年級的學(xué)生數(shù)為，高三年級的學(xué)生數(shù)為，所以該校學(xué)生的平均身高大約為.故選：C6.已知向量，，若，則（）A.3 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示、數(shù)量積的坐標表示列式計算即得.【詳解】由向量，，得，由，得，所以.故選：A7.已知點，平面，其中，則點到平面的距離是（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量求出點到平面的距離.【詳解】由平面，得是平面的法向量，點在平面內(nèi)，，所以點到平面的距離是.故選：C8.如圖，焦點在x軸上的橢圓（）的左、右焦點分別為，，P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，且直線與y軸的正半軸交于A點，的內(nèi)切圓在邊上的切點為Q，若，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】運用橢圓的定義，結(jié)合圓的相切性質(zhì)列式求出，進而求出橢圓的離心率.【詳解】令與圓相切的切點分別為，由橢圓定義得，即，由，得，即，由對稱性得，即，解得，所以該橢圓的離心率為.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法中，正確的有（）A.直線在y軸的截距是2B.直線的傾斜角為C.直線l沿x軸向左平移3個單位，再沿y軸向上平移1個單位長度后，回到原來的位置，則直線l的斜率為D.點在直線l：上，直線l的方程可化為．【答案】BCD【解析】【分析】利用直線的一般式方程的有關(guān)概念。逐項分析判斷即得.【詳解】對于A，直線在y軸的截距是，A錯誤；對于B，直線的斜率為，其傾斜角為，B正確；對于C，設(shè)直線的方程為，則變換后的直線方程為，依題意，，解得，直線的斜率為，C正確；對于D，由點在直線l：上，得，因此該直線方程為，D正確.故選：BCD10.在空間直角坐標系中，已知，，下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.若，且，則D.若且，則【答案】AC【解析】【分析】利用空間向量的坐標表示，再結(jié)合空間向量的坐標運算逐項分析判斷得解.【詳解】由，，得，對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，由，，得，解得，C正確；對于D，由且，得，無解，D錯誤.故選：AC11.四葉草也叫幸運草，四片葉子分別象征著：成功，幸福，平安，健康，表達了人們對美好生活的向往，梵客雅寶公司在設(shè)計四葉草吊墜時，利用了曲線Ω：，進行繪制，點在曲線Ω上，點，則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線Ω圍成的圖形面積為B.的最小值是C.直線PQ的斜率的最大值為1D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】對A：根據(jù)曲線與圓的關(guān)系，結(jié)合面積公式，直接求解即可；對B：將問題轉(zhuǎn)化為求到直線的距離的最小值問題，數(shù)形結(jié)合解決問題；對C：根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，求解問題；對D：根據(jù)圓外一點到圓上一點距離的最值求解方法，數(shù)形結(jié)合，求解即可.【詳解】對曲線方程：，當時，可化為，即，故曲線Ω在第一象限是圓心為，半徑為的圓上的一段圓??；根據(jù)對稱性可知，該曲線關(guān)于軸，軸，以及坐標原點均對稱，故其曲線繪制如下：對A：記點，顯然均在曲線Ω上，如下所示：因為，故三點共線，則該曲線在第一象限內(nèi)的面積為一個半圓的面積和△面積之和；故曲線Ω圍成的圖形面積，故A正確；對B：設(shè)點到直線距離為，則，根據(jù)對稱性可知，曲線Ω在第三象限內(nèi)的部分是在圓心為，半徑為的圓上；數(shù)形結(jié)合可知，點到直線的距離最小值為，故的最小值為，故B錯誤；對C：根據(jù)題意，作圖如下：數(shù)形結(jié)合可知，當且僅當為過且與曲線Ω在第四象限內(nèi)的圓弧相切時，其斜率取得最大值；根據(jù)對稱性，曲線Ω在第四象限的部分是在圓心為，半徑為的圓弧，其方程為，設(shè)過點，且斜率存在的直線為，故可得，整理得：，，解得（舍去）或k=1，故斜率的最大值為，故C正確；對D：記曲線Ω在第一和第二象限圓弧的圓心分別為，顯然，如下所示：根據(jù)圓上一點到圓外一點距離的最值求解，數(shù)形結(jié)合可知：當點在第一，第四象限時，可以取到最小值；當點在第二，第三象限時，可取到最大值；為方便，只討論第一，第二象限的情況；當點在第一象限時，的最小值為；當點在第二象限時，的最大值為；故的取值范圍為：，故D正確；故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：處理本題的關(guān)鍵，一是能夠合理轉(zhuǎn)化曲線方程，將其和圓建立關(guān)系；二是，借鑒處理圓中問題的方法，進而處理本題中遇到的問題，屬綜合困難題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.橢圓的長軸長為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓長軸長的定義可求.【詳解】根據(jù)橢圓方程可知，所以長軸長為，故答案為：13.甲、乙兩人下圍棋，若甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為；若乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為．假定每局之間相互獨立且無平局，第二局由上一局負者先下，若甲、乙比賽兩局，第一局甲執(zhí)黑子先下，則甲、乙各勝一局的概率為________．【答案】【解析】【分析】分第一局甲勝，第二局乙勝和第一局乙勝，第二局甲勝兩種情況，利用互斥事件的概率公式及相互獨立事件的概率公式計算即得.【詳解】第一局甲勝，第二局乙勝：甲勝第一局的概率為，第二局乙執(zhí)黑子先下，則乙勝的概率為，因此第一局甲勝，第二局乙勝的概率為；第一局乙勝，第二局甲勝：乙勝第一局的概率為，第二局甲執(zhí)黑子先下，則甲勝的概率為，因此第一局乙勝，第二局甲勝的概率為；所以甲、乙各勝一局的概率為.故答案為：.14.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”事實上，很多的代數(shù)問題都可以通過轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題．已知點在直線：上，點在直線：上，且，結(jié)合上述觀點，的最小值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩點距離公式將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為點到點的距離與點到點的距離和，過點A作，垂足為，證明，由求目標函數(shù)最小值.【詳解】由已知表示點到點的距離，表示點到點的距離，所以，過點A作，垂足為，因為直線的方程為，，則，又直線與直線平行，，則，可得，則四邊形為平行四邊形，所以，可得，且，當且僅當三點共線時等號成立，所以當點為線段與直線的交點時，取最小值，最小值為，因為過點與直線垂直的直線的方程為，聯(lián)立，可得，即點的坐標為，可得，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)兩點距離公式將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為求線段的距離和問題，進一步結(jié)合圖形將問題轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離問題.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的頂點，的平分線AD交BC于點D，且AD所在直線方程為，記，的面積分別為，．（1）求；（2）求頂點A坐標．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，進而可得面積之比；（2）求關(guān)于直線對稱的點為，再求直線的交點即可.【小問1詳解】由題意可知：直線，對于直線，令，可得，即，可得，所以.【小問2詳解】設(shè)關(guān)于直線對稱的點為，則，解得，即，可知直線，即，聯(lián)立方程，解得，所以頂點A坐標為.16.圖1是邊長為正方形ABCD，將沿AC折起得到如圖2所示的三棱錐，且．（1）證明：平面平面ABC；（2）點M是棱PA上的點，且，求平面PBC與平面MBC的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）取中點為，連接，利用勾股定理證明，再結(jié)合，即可由線線垂直證明線面垂直；（2）根據(jù)（1）中所證，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得的坐標，以及兩個平面的法向量，利用空間向量求面面夾角.【小問1詳解】由于正方形ABCD的邊長為，所以，取AC的中點O，連接PO，BO，由題意，得，再由，可得，即．由題易知，又，面，所以平面ABC，又平面PAC，所以平面平面ABC．【小問2詳解】由（1）可知，，且，故以O(shè)C，OB，OP所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系．則，，，．所以，，，由題意知，則．可得．設(shè)平面MBC的法向量為，則，令，則，可得；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得；則，所以平面PBC與平面MBC的夾角的余弦值.17.“猜燈謎”又叫“打燈謎”，是元宵節(jié)的一項活動，出現(xiàn)在宋朝．南宋時，首都臨安每逢元宵節(jié)時制迷，猜謎的人眾多．在一次元宵節(jié)猜燈謎活動中，共有20道燈謎，三位同學(xué)獨立競猜，甲同學(xué)猜對了15道，乙同學(xué)猜對了8道，丙同學(xué)猜對了n道．假設(shè)每道燈謎被猜對的可能性都相等．（1）任選一道燈謎，求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率；（2）任選一道燈謎，若甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對的概率為，求n的值．【答案】（1）（2）16【解析】【分析】（1）由題設(shè)求出甲、乙、丙猜對或錯的概率值，應(yīng)用獨立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率；（2）利用對立事件的概率求法及獨立事件乘法公式列方程求.【小問1詳解】設(shè)“任選一道燈謎甲猜對”，“任選一道燈謎乙猜對”，“任選一道燈謎丙猜對”.則，，，可得，，.“甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對”，且與互斥.每位同學(xué)獨立競猜，故A，互相獨立，則A與，與，與均相互獨立.所以，所以甲，乙兩位同學(xué)恰有一個人猜對的概率為.【小問2詳解】設(shè)“甲，乙，丙三個人中至少有一個人猜對”，則.所以，解得，所以n的值16.18.已知圓E：，直線l：．（1）討論l與圓E的位置關(guān)系；（2）若l與圓E相交于M，N兩點，圓心E到l的距離為，另有一圓C的圓心在線段MN上，且圓C與圓E相切，切點在劣弧MN上，求圓C的半徑的最大值．【答案】（1）答案見解析.（2）.【解析】【分析】（1）通過圓的方程解出圓心和半徑，比較圓心到直線的距離與半徑的大小，即可得到直線與圓的位置關(guān)系.（2）由點到線的距離得出參數(shù)的值，從而得到圓的方程，通過內(nèi)切圓的關(guān)系得到半徑的范圍，由此得出最大值.【小問1詳解】圓：的圓心，且，即或m>0，圓的半徑，設(shè)圓心到的距離為，則，若，則，解得，則當或時，直線與圓相離；若，則當或，直線與圓相切；若，則當或，直線與圓相交.【小問2詳解】由（1）知，解得或，則，圓，圓心，半徑，依題意，圓的圓心在圓內(nèi)且兩圓內(nèi)切，記圓的半徑為，由切點在劣弧上，知，，又點在線段上，則，當且僅當圓心與線段的中點重合時，最大，且.所以圓的半徑的最大值為.19.如圖，在多面體ABCDPQ中，底面ABCD是平行四邊形，，，M為BC的中點，，，．（1）證明：；（2）若平面PCD與平面QAB夾角的余弦值為，求多面體ABCDPQ的體積．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根